2025年中考數(shù)學復習：二次函數(shù)平行四邊形存在性問題（含解析）

二次函數(shù)平行四邊形存在性問題

1如圖，拋物線y=-產(chǎn)+以+c與x軸交于A(-3,0)、B(1,0)兩點與y軸交于點C,對稱軸1與x軸交

于點F直線1m||4C,點E是直線AC上方拋物線上一動點過點E作EHLm,垂足為H,交AC于點G,連接AE、

EC、CH、AH.

⑴拋物線的解析式為

(2)當四邊形AHCE面積最大時，求點E的坐標；

⑶在(2)的條件下，連接EF,點P是x軸上一動點，在拋物線上是否存在點Q,使得以F、E、P、Q為頂點，

以EF為一邊的四邊形是平行四邊形.若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

2如圖，已知拋物線y=a/過點4(-吟).

(1)求拋物線的解析式；

⑵已知直線1過點AM(|，0)且與拋物線交于另一點B,與y軸交于點C,求證：MC2=MA-MB;

(3)若點P,D分別是拋物線與直線1上的動點，以OC為一邊且頂點為O,C,P,D的四邊形是平行四邊形，

求所有符合條件的P點坐標.

3如圖所示拋物線y=ax2+/?%4-c(aH0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C且點A的坐標為4(-2,0),

點C的坐標為C(0,6),對稱軸為直線%=1.點D是拋物線上一個動點,設點D的橫坐標為m(l<m<4),連接A

C,BC,DC,DB.

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)當小BCD的面積等于△AOC的面積的汨寸，求m的值

4

(3)在⑵的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M，使得以點

B,D,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在,請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

4如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax2-2x+c與直線y=kx+b都經(jīng)過A(0,-3)、B(3,

0)兩點，該拋物線的頂點為C.

⑴求此拋物線和直線AB的解析式；

(2)設直線AB與該拋物線的對稱軸交于點E,在射線EB上是否存在一點M,過M作x軸的垂線交拋物線于點

N,使點M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點?若存在，求點M的坐標；若不存在,請說明理由；

(3)設點P是直線AB下方拋物線上的一動點，當△P4B面積最大時，求點P的坐標，并求△P4B面積的最

大值

5如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx+2(a0)與x軸交于A(-學習筆記：1,0),B(3,

0)兩點與y軸交于點C,連接BC.

(1).求該拋物線的解析式，并寫出它的對稱軸；

⑵點D為拋物線對稱軸上一點，連接CD、BD,若ADCB=NCBD,求點D的坐標；(3).已知F(l,1),若E(x,

y)是拋物線上一個動點(其中1＜久＜2),連接CE、CF、EF,求△CEF面積的最大值及此時點E的坐標

(4).若點N為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點M，使得以B,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊

形?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

6如圖，在平面直角坐標系中，直線y=--x+2^x軸交于點A,與y軸交于點B,拋物線y=-

+c經(jīng)過A,B兩點且與x軸的負半軸交于點C.

(1).求該拋物線的解析式；

⑵若點D為直線AB上方拋物線上的一個動點，當^ABD=2NB4C時，求點D的坐標；

(3).已知E,F分別是直線AB和拋物線上的動點，當以B,0,E,F為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫

出所有符合條件的E點的坐標.

7如圖1,在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=-+3的圖象與x軸交于點A,與y軸交于B點，拋物線y

=-%2+bx+c經(jīng)過A,B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D,過點D作DC阻軸于點C,交直線AB于點E.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)是否存在點D,使得△BDE和.A4CE相似?若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,F是第一象限內拋物線上的動點(不與點D重合)，點G是線段AB上的動點.連接DF,FG,當四邊

形DEGF是平行四邊形且周長最大時，請直接寫出點G的坐標.

CA

圖2

8如圖，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象交x軸于點.4(-4,0)和點B,交y軸于點C(0,4).

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)若點P在第二象限內的拋物線上，求△P4C面積的最大值和此時點P的坐標；

(3)在平面直角坐標系內，是否存在點Q,使A,B,C,Q四點構成平行四邊形?若存在，直接寫出點Q的坐標；

若不存在，說明理由.

9如圖，拋物線y=*+6%+c交x軸于A,B兩點，交y軸于點C,直線y=久—5經(jīng)過點B,C.

⑴求拋物線的解析式；

(2)過點A的直線交直線BC于點M.

①當2M因BC時，過拋物線上一動點P(不與點B,C重合)，作直線AM的平行線交直線BC于點Q,若以點

A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；

②連接AC,當直線AM與直線BC的夾角等于.乙4cB的2倍時，請直接寫出點M的坐標.

10如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)經(jīng)過點A(3,0),B(—1，0),C(0--3).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)若以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M,求切點M的坐標；

⑶若點Q在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以點B,C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，求

點P的坐標；若不存在，請說明理由.

11如圖1拋物線y=a/+bx+3(a力0)與x軸交于A(-1,0),B(3,0),與y軸交于點C.已知直線y=kx

+幾過8,C兩點.

⑴求拋物線和直線BC的表達式；

⑵點P是拋物線上的一個動點.

①如圖1,若點P在第一象限內，連接PA,交直線BC于點D.設△PDC的面積為Si,△ADC的面積為S2,求

融勺最大值；

②如圖2,拋物線的對稱軸1與x軸交于點E,過點E作EF±BC,垂足為F.點Q是對稱軸1上的一個動點，

是否存在以點E,F,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，求出點P,Q的坐標；若不存在，請說明理由.

12如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)的圖象經(jīng)過A(l,0),B(3,0),C(0,6)三點.

⑴求拋物線的解析式.

(2)拋物線的頂點M與對稱軸1上的點N關于x軸對稱，直線AN交拋物線于點D,直線BE交AD于點E,若直

線BE將仆ABD的面積分為1:2兩部分，求點E的坐標.

(3)P為拋物線上的一動點，Q為對稱軸上動點，拋物線上是否存在一點P,使A、D、P、Q為頂點的四邊形為

平行四邊形?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

13在平面直角坐標系中，拋物線y=-/+.+c與x軸交于A,B兩點與y軸交于點C.且點A的坐標為(-

1,0)，點C的坐標為(0,5).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖1.若點P是第一象限內拋物線上的一動點.當點P到直線BC的距離最大時，求點P的坐標；

⑶如圖2,若點M是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，是否存在點M使得以B,C,M,N為頂

點的四邊形是平行四邊形?若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

14將拋物線y=ax2(a豐0)向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋物線H:y=a(x-h)2+k拋

物線H與x軸交于點A,B,與y軸交于點C.已知A(-3,0),點P是拋物線H上的一個動點.

⑴求拋物線H的表達式；

⑵如圖1,點P在線段AC上方的拋物線H上運動(不與A,C重合),過點P作PDXAB,垂足為D,PD交A

C于點E.作PFLAC,垂足為F,求APEF的面積的最大值；

⑶如圖2,點Q是拋物線H的對稱軸1上的一個動點，在拋物線H上,是否存在點P，使得以點A,P,C,Q

為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由.

1解：((1)???y=-x2+bx+c與x軸交于(-3,0)、B(l,0),???(—9—3b+c=0—l+b+c=0,解得:

b=-2

?c=3'

；?拋物線的解析式為y=-x2-2x+3.

故答案為：y=-x2-2x+3;

(2)如圖1中,連接OE.設.E(m--m2-2m+3).VA(-3,0),C(0,3),；.OA=OC=3,AC=3V2VAC/7M^m,.\

當直線m的位置確定時，AACH的面積是定值，S=SAAEC+S&ACH，

???當4AEC的面積最大時，四邊形AECH的面積最大,

1S^AEC=S—EO+S^ECO-S&AOC

=|x3x(―m2—2m+3)+|x3x(―m)—x3x3

|V0,?-m=—|時，△AEC的面積最大,

???E(十分

⑶存在.因為點Q在拋物線上EF是平行四邊形的邊，觀察圖象可知，滿足條件的點Q的縱坐標為±三如圖

2中，有3種情況滿足題意：

對于拋物線y=-X2-2x+3,當y=牛時，一/一2%+3=手，解得%=-1（舍去）或x=-

???Qi（-*）

當y=—f時，—/—2x+3=—章解得％=連思，；.Q2（三匣，—?）43（三回，—?）.綜上所述，滿足

條件的點Q坐標為（-2）或（三畫T或（若雪

4

2解：⑴把點A(-3，￡)代入y=a*得到：=9a,；.a=%,.拋物線的解析式為y=^x2.

91

Z=-3fc+bk=--

2

⑵設直線1的解析式為y=kx+b把A、C點坐標代入，則有｛43解得：｛3.

O=-/c+hb=-

24

o/oxy=-%x=1

，直線1的解析式為y=—號尤+1,令x=0,得到3=”/（。|）,由｛；3,解得1=工或

V=——X+-y4

x=-3/24

9，

1，1),如圖1,過點A作AELx軸于E,過B作y=~BF_Lx軸于F,則BF〃OC〃AE,

嘿=需=47同理MCMO_1

MAME-3

2

??.MB=二MCA,，MC2=MAMB.

(5)如圖2中，一共有3種情況，符合題意.

VOC為一邊且頂點為0,C,P,D的四邊形是平行四邊形，PD〃OC,PD=OC,

:.設0（t,―2|）,P（t*2）

???PD=I3產(chǎn)—（一六+），又：oc=l

.壁-齊+力=3

整理得：t2+2t-6=0或/+2t=0,

解得t=-l-近或-1+上或-2或0（舍棄），

P（-l-V7-2+或（-1+V7-2-y）

或（-2,1）.

.??拋物線的函數(shù)表達式為：y=—：/+|x+6;

4Z

⑵過點D作DE±x軸于E,交BC于G,過點C作CF±ED交ED的延長線于F,如圖1所示

,?1點A的坐標為(-2,0),點C的坐標為(0,6),OA=2,OC=6,SAA0C=|OX-OC=1x2x6=6,

339

S^BCD=JS^AOC=IX6=亍

當y=0時，-"2+|x+6=o,解得：xi=-2,X2=4,.?.點B的坐標為(4,0),設直線BC的函數(shù)表達式為：y=

4Z

3

kx+n,則｛仁軌+"解得：產(chǎn)=在

6=兀n=6

???直線BC的函數(shù)表達式為：y=—|x+6,

,點D的橫坐標為?.點D的坐標為:(m,-|m2+|m+6),點G的坐標為：(m，-弧+6),

33/3\3o

???DG=——7+-m+6———m+6=——+3m

42\2J4

???S&BCD~.OB=1x(一,TH2_|_3血)x4

=—~m2+6m,???——m2+6m=

222

解得：mi=1（不合題意舍去），m2=3,；.m的值為3;

(3)由⑵得:m=3,—|療+|爪+6=—9x32+[x3+6=%?.點D的坐標為:(3,由)，因為B,D,M,N四邊

滿足平行四邊形，則N點到x軸的距離為千

①當N在x軸上方時，如圖2所示，有Mi和M2兩種情況：：四邊形BDNM是平行四邊形，，DN〃:BM,；.D

N〃x軸，，點D與點N關于直線x=l對稱,

???N(T耳)，:DN=3-(-1)=4,.-.BM=4,VB(4,0),，Mi(0,0)(與原點重合)，%(8,0);

②當N在x軸下方時，如上圖所示，有M3和用4兩種情況：：四邊形BDNM是平行四邊形,

???DM=BN,DM\\BN,.-.乙DMB=乙MBN,

???點D與點N的縱坐標互為相反數(shù)，

；點。(3由，.?.點N的縱坐標為:-y,

將y=代入y=+|x+6中，得：一：*2+|%+6

=—三解得：%】=1+V14,x2=1—V14,

當比=1—414時,則N3(1—V141—手)，

設M3點的坐標為(m,0),又；D(3，S，

B(4,0):等=若生，解得：m=-V14

M3(-V14-0);

當久=1+舊時，則N4(l+3演一號，

同理可得：M4(V14>0);

綜上所述，點M的坐標為(8,0)或(0,0)或”氏0)或(-V14-0).

4.解：⑴?.?拋物線y=ax2-2x+c經(jīng)過A(0,-3)、B(3,0)兩點，嚴一6+;=0,...{a=

???拋物線的解析式為y=/—2久-3,

???直線y=kx+b經(jīng)過A(0,-3)、B(3,0)兩點,

3\+”0解得：k=l

b=-3b=—3

，直線AB的解析式為y=x-3,

（2）存在，一共分兩種情況，如圖1,四邊形CEMiM和四邊形（CEN2M2就是存在的平行四邊形。

■：y=X2—2x—3=（x—I）2—4,

拋物線的頂點C的坐標為（1,-4）,；CE〃y軸，

-2）,；.CE=2,

①若點M在x軸下方，四邊形CEMiM為平行四邊形，則CE=%Ni，設%(a，a-3),則N[(a，a2-2a-3),

*'-M[N]=CL—3—(a?—2a—3)=—a?+3a,

-a2+3a=2,解得：a=2,a=1(舍)，”式2,-1),

②若點M在x軸上方，四邊形CEN2M2為平行四邊形，則CE=%必設時2（。a-3）,則a2-2a-3）,

**.MN=小—2a—3—(a—3)=a?—3a,小—3a=2,

解得：。=—,。=手（舍去）,

綜合可得M點的坐標為（（2,-1）或（3+},3；g）

⑶如圖2,作PG團x軸交直線AB于點G,

設P(mfm2—2m—3)^(]G(jn/m—3),

PG=m—3—(m2—2m—3)=—m2+3m,

???S^PAB—^PGxOB=jx(—m2+3m)x3

=—|(m—1)2+????當根=|時，△PAB面積的最大值是學此時P點坐標為(|一號).

5.解：(1)將點A(-1,O),B(3,O)代入y=ax2+bx+2可得a=—^,b=y=~|%2++2;

，對稱軸x=l;

2222222

(2).設點D(1,y),VC(0,2),B(3,0),ACD=CG+GD=(2-y)+lfBD=BH+HD=4+y2,

在ABCD中，YNDCB二NCBD,???CD二BD,

ACD2=BD2,A(2-y)2+l=4+y1

y=3,c(嗎；

⑶.如圖：過點E作.EQ團y軸于點Q,過點F作直線FR回y軸于R,：SACEF=S橫彩。臚E-S^CRF-S&TQE

；E(x,y),C(0,2),F(l,1),

111

S.EF=~(EQ+RF)-QR--CR?RF--FR?ER,

11111

??SMEF=5。+DO-1)-5%(y-2)--xlxl=-x+-y-l

22I4IOc12I7

y=——xz+—%+2,SA=——心+-x,

/33CEF36

.?.當久=泄,面積有最大值4948,此時E?II);

(4)存在點M使得以B,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形，

設N(l,n),M(x,y),且已知B(3,0),C(0,2)

①四邊形CMNB是平行四邊形時,CM〃NB,CB〃MN,由平行四邊形中心點坐標公式得：等=等

x=—2,M(-2,—藍)；

②四邊形CNBM是平行四邊形時CN〃BM,CM〃BN,由平行四邊形中心點坐標公式得：詈=等，x=2,；.M

(2,2);

③四邊形CNMB是平行四邊形時,CB〃MN,NC〃BM,由平行四邊形中心點坐標公式得：詈=等；.％=4,

M(4，T；

綜上所述：M(2,2)或“(4，-爭或M(-2,-y);

6解：⑴在y=-1+2中，令y=0,得x=4,令x=0,得y=2；.A(4,0),B(0,2)

把A(4,0),B(0,2)，代入y=-j%2+bx+c,

c=2h=l

得：｛_"16+4b+c=0,解得：｛；

2c=2

???拋物線的解析式為y=-|%2+|%+2

(2)如圖1,過點B作x軸得平行線交拋物線于點E,過點D作BE的垂線，垂足為F,交AB于點G

：BE〃x軸，.?.NBAC=NABE

ZABD=2ZBAC,/.ZABD=2ZABE

SPZDBE+ZABE=2ZABE

；./DBE=/ABE,；./DBE=/BAC

設D點的坐標為(%--|x2+|x+2),G(x--jx+2),易證F是DG的中點，

則F點的坐標是(x'-^x2+|x+2)

又點縱坐標和B點縱坐標相同，為2,

二一：/+Jx+2=2,解得xi=0(舍去)，%2=2,

，點D的坐標為(2,3)

(3)當BO為邊時，OB//EF,OB=EF,如圖2所示，有3種情況設E(m--|m+2),F(m--|m2+|m+2)EF

2

—|m+2^—|m+|zn+2)|=2解得mt=2,m2=2—2A/2,m3=2+2V2

???曷(2,1),￡2(2-2V2-1+V2),￡3(2+2V2-1-V2)

當BO為對角線時，OB與EF互相平分，如圖3,有2種情況，符合題意：

過點O作OF〃AB,直線OF:y=-1交拋物線于點F5(2+2加，-1-夜)和F4(2-2&，-1+迎)

取BO的中點M,則M(0,1)由題意得，M是的中點，也是E5F5的中點，由中點坐標公式可以求出：

&(2&-2,3—V2),￡5(-2>/2—2,3+a).,.E點的坐標為(2,1)或(2—2近，1+/)或(2+2&,1-a)或

(2&—2,3-夜)，或(-2a-2,3+仞

7.解：(1)在y=-1+3中”令x=0,得y=3,令y=0,得x=4,；.A(4,0),B(0,3)，將A(4,0),B(0,3)分別代入拋

物線.y=-％2+5％+。中，得：｛—42+4b+c=0c=3,解得：｛4,

c=3

???拋物線的函數(shù)表達式為：y=-/+?%+3.

4

(2)存在.「△BDE和AACE相似，ZBED=ZAEC.\ABDE^AACEftgADBE^AACE

①當△BDEs/iACE時，如圖l,NBDE=NACE=90。,此時BD〃ACjk匕時D點縱坐標為3，代入二次函數(shù)解析式，

可得。(子3).

②當△DBES/XACE時,NBDE=NCAE,如圖2所示，過點B作BH±CD于HAZBHD=90°,

???—=tanZ-BDE=tanZ,CAE=―,

DHAC

tD(%，一/+/%+3),H(%，3),E卜，一1%+3)

：.BH=x,DH=-x2+—x+3-3=-x2+—x,CE=--x+3

444

端亞=:受解得：Xi=0倍),x2=4(舍),￡=H，???D償怖)；

4

綜上所述，點D的坐標為件3)或偌，第；

(3)如圖2,???四邊形DEGF是平行四邊形

???DE\\FGfDE=FG

設D(m>—m2+Y771+3),￡*(加一]TH+3)(n,—n2+^-n+3),G(n>—^n+3)貝!]：DE=-m2+4m,FG=

—n2+4n,???—m2+4m=—n2+4n,

即：(m-n)(m+n-4)=0,*.*m-n^0

m+n-4=0,即：m+n=4,-?-n=4—m

過點G作GKEICD于K,則GK〃AC,；.ZEGK=ZBAO—=cos乙EGK=cos^BAO=—,

EGAB

即：GKAB=AOEG,.\5(n-m)MEG,

即：EG=、(7i_7n)=q(4_7n_7n)=5一|7n

?'.DEGF周長=2(DE+EG)=2|^(—m2+4m)+5—|mj=-2(m—+?

,.?-2<0,?,?當m=|時,??.?DEG尸周長最大值=.此時n=4-|=.則G(子劫,

當E,G互換時，結論也成立，此時G(亍高,綜上所述.G(子意或([*)?

8.解：(1)??,二次函數(shù)y=-/+故+。的圖象交*軸于點4(—4,0)和點B,交y軸于點C(0,4).

—16—4b+c=0b=-3

,?{rc=4i4(=4，

二次函數(shù)的表達式為y=-x2-3x+4,

⑵如圖1,連接AC,AP,PC,過點P作PE團久軸，

交AC于點E,由點A(-4,0)，點C(0,4),

可得直線AC的解析式為：y=x+4,

設尸3—3%+4),￡*(%，%+4)

貝!]PE=—X2—3%+4—%—4=—X2—4x

???SNAC=^PE-AO=^(-X2-4x)-4=-2(%+2)2+8

當x=-2時，4c面積最大值是8,

此時P點的坐標是(-2,6).

(3)存在點Q,使A,B,C,Q四點構成平行四邊形，如下三種情況，理由：

①以AB為邊時，有Q1和Q2兩種情況：

VCQ/7AB,CQ=AB=5

??,C(0,4),Q(-5,4)或(5,4),

②以AB為對角線時，有Q3一種情況：

CQ必過線段AB中點，且被AB平分，即：AB的中點也是CQ的中點，YA(-4,0),B(1,0),

；?線段AB中點坐標為(-1，0),設Q(a,b)

由平行四邊形中心點坐標公式可得：

等=一幸解得：a=3

誓=0,解得:b=-4,.\Q(-3,-4),

綜上所述,滿足條件的點Q的坐標為Q(-5,4)或(5,4)或(-3,-4).

當AB為對角線時，解法二：過點Q作QM±x軸于點M,貝必AQM2△BCO,則AM=BO=1,QM=CO=4,.\O

M=OA-AM=3,；.Q(-3,-4),

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為Q(-5,4)或(5,4)或(-3,-4).

9.解：(1)當x=0時，y=x-5=-5,則C(0,-5),當y=0時,x-5=0,解得x=5,則B(5,0)把B(5,0),C(0,-5)代入

y=a/+6x+c得：｛25a+30+c=°解得：產(chǎn);二

C—bC—b

，拋物線解析式為y=-/+6%-5；

⑵①令y=0,解方程—/+6x—5=0得xi=1,X2=5,則A(l,0),VB(5,0),C(0,-5),

AOCB為等腰直角三角形,NOBC=/OCB=45。,AM±BC,AAAMB為等腰直角三角形,

AM=—AB=—x4=2V2,

22

???以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形，AM\\PQ,.-.PQ=AM=2&,PQ1BC,

作PD_Lx軸交直線BC于D,則4PDQ=45",

PD=V2PQ=V2X2V2=4,

設P(m>—m2+6m—5),則D(m,m-5),

①.當P點在直線BC上方時，Pl符合題意

PD=-m2+6m—5—(m—5)=—m2+5m=4,

解得nil=1(舍去),m2=4,

②.當P點在直線BC下方時,P2和P3符合題意,

PD=m—5—(―m2+6m—5)=m2—5m=4

解得=土/,Tn25-V41

2

綜上所述，P點的橫坐標為4或手或號空

②如圖2,作ANLBC于N,NHLx軸于H,作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E,

VMiA=MiC,/ACM】=ZCAMr,

???ZAMiB=2/ACB,???△ANB為等腰直角三角形,

.*.AH=BH=NH=2,；.N(3,-2),

易得AC的解析式為y=5x-5,E點坐標為U，—5設直線EM】的解析式為y=—9％+仇

把EG，-0代入得—E+b=-*解得匕=一去..直線EM1的解析式為丫=一如一卷解方程組:

_13y=x-5

得：仁，，則

112，

y=—x-----

55

在直線BC上作點Mi關于N點的對稱點M2,則ZXM2C=^AMrB=2^ACB,設M2(x,x-5),vN

13

(31-2),Mi,-?);由中點坐標公式得，3=吃―,??.%=學，M2償，-)綜上所述，點M的坐標為(*-芝)或

管V)

9a+3b+c=0a=1

10.解：(1)把A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入拋物線解析式得：｛a—b+c=0解得：伯=—2則該拋物

c=-3c=—3

線解析式為y=x2-2x-3；

⑵設直線BC解析式為丫=kx-3把B(-l,0)代入得：-k-3=0,即k=-3,

J直線BC解析式為y=-3x-3,

??,以點A為圓心的圓與直線BC相切于點MAAM1BC

**?設直線AM解析式為y=：%+TH,

把A(3,0)代入得：l+m=0,即m=-l,

1y=-3%-3x=--/qA、

???直線AM解析式為y=，—1,聯(lián)立得：-解得：｛飄］M(-|，一鄉(xiāng);如圖1：

3J5

⑶以點B,C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形時，只有BC為邊一種情況，易知P到x軸的距離和CO

的值相等，等于3,則分兩種情況討論，如下圖2:

①當P在x軸的下方,則P點的縱坐標為-3,則./_2X-3=-3,解得：%=0(舍去),x2=2,此時P(2,-3)②.當

P在x軸的上方，則P點的縱坐標為3,則./-2%-3=3,解得：石=1+夕,犯=1—夕,此時(1+夕,3)或

(1-V7-3)

綜上所述，存在以點B,C,Q,P為頂點的四邊形是平行四邊形，且P的坐標為：(1+夕，3)或(1-V7,3)

或(2,-3).

11.解：⑴把A(-l,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：｛。；°八解得：產(chǎn)「二

9a+3b+3=0b=Z

.??拋物線的表達式為y=—x2+2x+3,.^.點C坐標為(0,3),把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+n得：1卜十“；°

解得：｛)；［???直線BC的表達式為y=-x+3.

(2)①；PA交直線BC于點D,.?.設點D的坐標為(m,-m+3),設直線AD的表達式為y=kx+4，

???直線AD的表達式，y=需x+霽，ffl+1

聯(lián)立得：募+費苧=一％?+2%+3,整理得，(%-怒■)(x+1)=0

解得/=熟或%2=-1(不合題意，舍去)，，點D的橫坐標為m,點P的橫坐標為含，分別過點D、P

作x軸的垂線，垂足分別為M、N,如圖1：

??.DM\\PNfOM=m,ON=^fOA=l,

4m

..S\一S.PDC_PD_MN一后-m

S2SjADCD4AMm+1

22

-m+3m設金=t,則-m+3m

(m+1)2J(m+1)2

整理得，(t+l)/7l2+(2t—3)77l+1=0,

VA>0,A(2t-3)2-4t(t+l)>0,

解得142宗有最大值，最大值為2

loIo

②存在，理由如下：如圖2,過點F作FGXOB于G,：y=-x2+2x+3的對稱軸為x=l,.,.OE=1,VB(3,0),C(0,

3)OC=OB=3,又,,,ZCOB=90°,AOCB是等腰直角三角形,

,/ZEFB=90°,BE=OB-OE=2,

AAEFB是等腰直角三角形，；.FG=GB=EG=1,

.??點F的坐標為(2,1),

第一種情況：當EF為邊時，?.?四邊形EFPQ為平行四邊形，，QE=PF,QE〃PF〃y軸，

.?.點P的橫坐標與點F的橫坐標同為2,

當x=2時,.y=-22+2x2+3=3,

.??點P的坐標為(2,3),

.?.QE=PF=3-1=2,點Q的坐標為(1,2)根據(jù)對稱性當P(0,3)時,Q(1,4)時，四邊形EFQP也是平行四邊形.

第二種情況：當EF為對角線時，如圖2中的PiEQ3F，:四邊形PEQF為平行四邊形.；.QE=PF,QE〃PF〃y

軸,同理求得:點P的坐標為(2,3),...QE=PF=3-1=2,點Q的坐標為(2-2);綜上，點P的坐標為(2,3)時，點Q的坐

標為(1,2)或(1,-2),P(0,3)時,Q(1,4).

12.解⑴...拋物線y=ax2+bx+c(a豐0)的圖象經(jīng)過A(l,0),B(3,0),

二設拋物線解析式為：y=a(x-l)(x-3),

???拋物線y=a(x-l)(x-3)(a#))的圖象經(jīng)過點C(0,6),A6=a(0-l)(0-3),.\a=2,

，拋物線解析式為：y=2(%-1)(%—3)=2/-8%+6;(2)y-2/-8x+6=2(x-2)2-2,

二頂點M的坐標為(2,-2),

,/拋物線的頂點M與對稱軸1上的點N關于x軸對稱，

，點N(2,2),設直線AN解析式為：y=kx+b,

由題意可得：｛：=以工＞解得：｛『=2

二直線AN解析式為：y=2x-2,

聯(lián)立方程組得：％j2m6,解得：｛＞算要

..點D(4,6),SAAB。=-X2X6=6,

設點E(m,2m-2),

?..直線BE將4ABD的面積分為1：2兩部分，

S—BE=.SAAB。=2或S&ABE==4，

???|x2X(2m—2)=2或|X2X(2m-2)=4,

，m=2或3,.?.點E(2,2)或(3,4);

(3)存在，分兩種情況討論：

①.若AD為平行四邊形的邊，

???以A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，

/.AD=PQ,xD-xA=xP-xQ或xD-xA=xQ-xP,

，xp=4-l+2=5或xp=2-4+l=-l,

???點P坐標為(5,16)或(-1,16);

②若AD為平行四邊形的對角線，

???以A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，

AD與PQ互相平分，中=至孕，

，xp=3,二點P坐標為(3,0),

綜上所述：當點P坐標為(5,16)或(-1,16)或(3,0)時，使A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形.

13解：(1)將A的坐標(-1,0),點C的坐(0,5)代入y=-/+法+c得：｛°=F一+°解得(b=[?.拋物線

的解析式為y=-X2+4%+5;

(2)過P作PDLx軸于D,交BC于Q,過P作PHLBC于H,如圖1：

在y=-x2+4x+5中，令y=0得—x2+4%+5=0,解得x=5或x=-l,/.B(5,0),

.".OB=OC,ABOC是等腰直角三角形,...NCBO=45。