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文檔簡(jiǎn)介
2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之銳角三角函數(shù)
選擇題(共10小題)
1.(2025?烏魯木齊一模)第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(JCME-14)會(huì)標(biāo)如圖Q)所示,會(huì)標(biāo)中心的圖案
來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”,如圖S所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形(△A2E,
△BCF,ACDG,ADAH)和一個(gè)小正方形ER3X拼成的大正方形ABCD若EF:AH=1:3,則cos
ZABE()
D
其.「暗,
B
(a)(b)
V52V534
A.—B.-----C.一D.-
5555
2.(2025?常州模擬)在RtZkABC中,2c=90°,2c=5,BC=12,則tanB等于()
512125
A.—B.—C.—D.—
1351312
3.(2025?紅橋區(qū)模擬)如圖,在中,ZBAC=90°,AD±BC,垂足為。,則下列結(jié)論中正確的
是()
A
BDC
A.sinB=器B.cosB=黑C.tanC=ABrr_AD
~BCD,tanC~~CD
4.(2025?廣東模擬)如圖,在A處測(cè)得點(diǎn)尸在北偏東60°方向上,在B處測(cè)得點(diǎn)尸在北偏東30°方向
上,若AB=2米,則點(diǎn)尸到直線AB距離PC為()
ARC示T
A.3米B.V5米C.2米D.1米
5.(2025?平陸縣模擬)如圖,在正方形網(wǎng)格中,A,B,C,。為格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn)),交CD于點(diǎn)。,
則tan/AOC的值為)
6.(2025?深圳模擬)一座樓梯的示意圖如圖所示,BC是鉛垂線,CA是水平線,54與CA的夾角為*現(xiàn)
要在樓梯上鋪一條地毯,已知C4=4米,樓梯寬度3米,則地毯的面積至少需要()
B.(4+4tan0)米2
C3(4+熹)米2D.3(4+4tan0)米2
7.(2025?沈陽(yáng)模擬)如圖,在離地面高度為1.5米的A處放風(fēng)箏,風(fēng)箏線AC長(zhǎng)8米,用測(cè)傾儀測(cè)得風(fēng)箏
線與水平面的夾角為9,則風(fēng)箏線一端的高度。為()
A.(1.5+8sin0)米B.(1.5+8COS0)米
D
C.(1.5+8tan0)米-(I“焉米
8.(2025?南通模擬)圖1是某款自動(dòng)旋轉(zhuǎn)遮陽(yáng)傘,傘面完全張開(kāi)時(shí)張角呈180°,圖2是其側(cè)面示意圖.為
實(shí)現(xiàn)遮陽(yáng)效果最佳,傘面裝有接收器,可以根據(jù)太陽(yáng)光線的角度變化,自動(dòng)調(diào)整手柄。沿著移動(dòng),
以保證太陽(yáng)光線與。F始終垂直,已知支架A8長(zhǎng)為2.5米,且垂直于地面BC,某一時(shí)刻測(cè)得1.7
米,懸托架AE=DE,點(diǎn)E固定在傘面上,當(dāng)傘面完全張開(kāi)時(shí),太陽(yáng)光線與地面的夾角設(shè)為a,當(dāng)tcma=五
時(shí),此時(shí)懸托架AE的長(zhǎng)度為()米.
圖1
A.0.5B.0.6
9.(2025?深圳模擬)某數(shù)學(xué)興趣小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量園博園“福塔”AB的高度,測(cè)量方案如圖:先將無(wú)人
機(jī)垂直上升至距水平地面142機(jī)的P點(diǎn),測(cè)得“福塔”頂端A的俯角為37°,再將無(wú)人機(jī)面向“福塔”
沿水平方向飛行210機(jī)到達(dá)。點(diǎn),測(cè)得“福塔”頂端A的俯角為45。,則“福塔”的高度約為()
QQA
(參考數(shù)據(jù):tan37°為,sm37°cos37°?1)
A.48mB.50mC.51mD.52m
10.(2025?登封市一模)如圖所示,在矩形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格
V5V2
c.—D.—
54
二.填空題(共5小題)
11.(2025?浙江一模)如圖,已知AD//BC,BD1.AC,AC=4,BD=8,貝!IsinZDBC
A■D
-------------、C
12.(2025?蠡縣一模)如圖是一個(gè)港灣,A是碼頭,OA,。。是筆直的海岸,2是海島,。在點(diǎn)。的正東
方向上,點(diǎn)A在點(diǎn)。北偏東25°的方向上,點(diǎn)8在點(diǎn)。北偏東65°的方向上,OA=3km,點(diǎn)、O與點(diǎn)、
8的距離為現(xiàn)有一艘貨船按計(jì)劃從碼頭A出發(fā)后,先??亢0渡先我恻c(diǎn)C處裝貨后再開(kāi)往海
島B,則按此計(jì)劃,貨船行駛的水路最短為km.
OcD
13.(2025?廣東模擬)如圖,NMON=90°,OM=ON=6,以點(diǎn)。為圓心,0M為半徑作弧MN,點(diǎn)A
是0M中點(diǎn),點(diǎn)尸是弧MN上的動(dòng)點(diǎn),以AP為直角邊作RtAAPQ,且tcm4PQ=連接NQ,則
NQ的最小值為二____________________
0AM
14.(2025?平陸縣模擬)如圖,在四邊形A8CD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、P,ZABC=ZADB=90°,
1
AB—BC,tan^CAD=于BP=5,則CD的長(zhǎng)為_(kāi)__________________.
BC
15.(2025?深圳模擬)在等腰△ABC中,AB=AC,。是8C上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)。作交AC延長(zhǎng)線于
點(diǎn)、E,若tanNBAC=空,器=V,則好的值為?
E
三.解答題(共5小題)
16.(2025?鄭州模擬)小新的數(shù)學(xué)研學(xué)日記
課題:測(cè)量旗桿的高度
地點(diǎn):操場(chǎng)
時(shí)間:2025月1月13日
昨天,晴.高老師要帶我們?nèi)ゲ賵?chǎng)測(cè)量旗桿的高度,我們小組設(shè)計(jì)方案:小卓拿著標(biāo)桿垂直于地面放置,
如圖1所示,標(biāo)桿AB=a,影長(zhǎng)BC=b,旗桿的影長(zhǎng)DF=c,則可求得旗桿DE的高度
為.
今天,陰.設(shè)計(jì)方案:如圖2所示,高老師將升旗用繩子拉直,用儀器測(cè)得繩子與地面的夾角為37。,
然后又將繩子拉到一個(gè)0.3米高的平臺(tái)上,拉直繩子使繩子上的X點(diǎn)剛好觸到平臺(tái)時(shí)剩余的繩子長(zhǎng)度為
5米,此時(shí)測(cè)得繩子與平臺(tái)的夾角為54°,利用這些數(shù)據(jù)能求出旗桿。E的高度嗎?
請(qǐng)你回答小新的問(wèn)題.若能,請(qǐng)求出旗桿的高度;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(參考數(shù)據(jù):sin37°-0.6,cos37°-0.8,tan37°"0.75,sin54°七0.8,cos54°仁0.58,tan54°21.45)
17.(2025?新鄉(xiāng)模擬)圖1是開(kāi)封市龍亭大殿,龍亭大殿是公園內(nèi)整個(gè)清代建筑群中的主體.大殿坐北朝
南,殿前是用青石雕刻的蟠龍盤繞的御道.某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到龍亭景區(qū)測(cè)量龍亭大殿的高度,如圖2,
他們選取的測(cè)量點(diǎn)B與大殿底部C在同一水平線上,72級(jí)蹬道平臺(tái)CD高度為13.7米,在B處測(cè)得平
臺(tái)。的仰角為30°,頂部A的仰角為48°.
(1)根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù),請(qǐng)幫助該數(shù)學(xué)活動(dòng)小組求出龍亭大殿A(yù)C的高度.(結(jié)果精確到0.1米;參考
數(shù)據(jù):sin48°弋0.74,cos48°^0.67,tan48°^1.11,V3?1.73)
(2)在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中,請(qǐng)你寫(xiě)出一條減少誤差的措施.
圖1
18.(2025?和平區(qū)模擬)單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的裝置.某興趣小組利用單擺進(jìn)行相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探
究.并撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下.
實(shí)驗(yàn)主題探究擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中高度的變化
實(shí)驗(yàn)用具擺球,擺線,支架,攝像機(jī)等
實(shí)驗(yàn)說(shuō)明如圖1,在支架的橫桿點(diǎn)。處用擺線懸掛一個(gè)擺球,將擺
球拉高后松手,擺球開(kāi)始往復(fù)運(yùn)動(dòng).(擺線的長(zhǎng)度變化忽略
不計(jì))
如圖2,擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A,拉緊擺線將擺球拉至
點(diǎn)B處,于點(diǎn)。,ZBOA=64°,18.9cm;
當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí),NCQ4=37°,CELOA于點(diǎn)E.(點(diǎn)
O,A,B,C,D,E1在同一平面內(nèi))
實(shí)驗(yàn)圖示
圖1
解決問(wèn)題:根據(jù)以上信息,求AE的長(zhǎng).
(參考數(shù)據(jù):sin37°心0.60,cos37°-0.80,tan37°20.75,sin64°七0.90,cos64°心0.44,tan64°
?2.05,結(jié)果精確到1cm)
19.(2025?天心區(qū)校級(jí)一模)熱氣球的探測(cè)器顯示,從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°,看這棟樓樓底
的俯角為60°,熱氣球與樓的水平距離為120根,這棟樓有多高(g=1.73,結(jié)果取整數(shù))?
B
20.(2025?碑林區(qū)校級(jí)二模)如圖,在側(cè)面示意圖中,遮陽(yáng)棚AB長(zhǎng)為6米,與墻面的夾角NABC
為74°,當(dāng)太陽(yáng)光線AD與地面CE的夾角為45°時(shí),涼蔭處CD的長(zhǎng)為2.76米,求墻面8C的高度.(結(jié)
果精確到0.1米;參考數(shù)據(jù):sin74°心0.96,cos74°"0.28,tan74°-3.49)
2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之銳角三角函數(shù)
參考答案與試題解析
一.選擇題(共10小題)
題號(hào)1234567891c)
答案CDDBBDAADB
選擇題(共10小題)
1.(2025?烏魯木齊一模)第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)UCME-14)會(huì)標(biāo)如圖Q)所示,會(huì)標(biāo)中心的圖案
來(lái)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”,如圖(6)所示的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形(AABE,
△BCF,ACDG,ADAH)和一個(gè)小正方形拼成的大正方形48CD若EF:AH=1:3,則cos
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用;勾股定理的證明.
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用;運(yùn)算能力.
【答案】C
【分析】根據(jù)已知可設(shè)設(shè)EF=無(wú),則A”=3尤,然后利用全等三角形的性質(zhì)可得AH=8E=3x,再根據(jù)
正方形的性質(zhì)可得EF=EH=x,從而可得AE=4x,最后在RtAABE中,利用勾股定理求出AB的長(zhǎng),
再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.
【解答】解::斯:AH=1:3,
-gEF=x,則AH=3x,
LABE沿ADAH,
:.AH=BE=3x,
:四邊形所GH是正方形,
:.EF=EH=x,
AE=AH+EH=3x+x=4x,
在RtAABE中,AB=yjAE2+BE2=V(4%)2+(3x)2=5x,
?/人口口BE3x3
--COSZABE=AB=^=5'
故選:c.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,勾股定理的證明,準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.
2.(2025?常州模擬)在Rt/XABC中,ZC=90°,AC=5,BC=12,則tanB等于()
51212
A.—B.—C.—D.
1351312
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義.
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用;運(yùn)算能力.
【答案】D
【分析】根據(jù)正切的定義即可求得答案.
【解答】解:?.?在Rt^ABC中,ZC=90°,AC=5,BC=12,
.AC5
■■tanKB=BC=12'
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)定義,熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.
3.(2025?紅橋區(qū)模擬)如圖,在Rt^ABC中,ZBAC=90°,AD1BC,垂足為。,則下列結(jié)論中正確的
是()
A.p.BC?cADc48n
A.SITIB=B.cosB-C.taYiC—D.tanC=器
【考點(diǎn)】解直角三角形.
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用;運(yùn)算能力.
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦,余弦及正切的定義對(duì)所給選項(xiàng)依次進(jìn)行判斷即可.
【解答】解:由題知,
VZBAC=90°,ADLBC,
???ZB+ZC=ZB+ZBAD,
:.ZC=ZBAD.
同理可得,ZB=ZCAD.
在RtZXAB。中,
.口AD
smB=AB-
在RtAABC中,
。
s.innB=豆A不
在RtAACD中,
cn
sinZCAD=浣,
CD
:.sin8=sinNCA0=穿,
,l.ADACCD
則msiD"=^=就=衣?
故A選項(xiàng)不符合題意.
同理可得,cos8=器=黑=祟
故8選項(xiàng)不符合題意.
同理可倚,tanC=^=而=而?
故C選項(xiàng)不符合題意,D選項(xiàng)符合題意.
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形,熟知正弦,余弦及正切的定義是解題的關(guān)鍵.
4.(2025?廣東模擬)如圖,在A處測(cè)得點(diǎn)尸在北偏東60°方向上,在8處測(cè)得點(diǎn)尸在北偏東30°方向
上,若A3=2米,則點(diǎn)尸到直線A2距離PC為()
A.3米B.百米C.2米D.1米
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題;勾股定理的應(yīng)用.
【答案】B
【分析】設(shè)點(diǎn)尸到直線AB距離PC為x米,根據(jù)正切的定義用x表示出AC、BC,根據(jù)題意列出方程,
解方程即可.
【解答】解:設(shè)點(diǎn)P到直線AB距離PC為x米,
在Rt^APc中,AC=E^=居,
在RSPC中,BC=石糕阮=冬,
由題意得,遮x-亭%=2,
解得,x=V3(米),
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用,掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確標(biāo)注方向角是解題的關(guān)鍵.
5.(2025?平陸縣模擬)如圖,在正方形網(wǎng)格中,A,B,C,。為格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn)),AB交C£>于點(diǎn)。,
則tan/AOC的值為()
【考點(diǎn)】解直角三角形;勾股定理的逆定理.
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用;運(yùn)算能力.
【答案】B
【分析】先將A8平移至。咒所以NAOC=ND連接CR再判定不是直角三角形,根據(jù)C尸和
。產(chǎn)的值,即可求出答案.
【解答】解:如圖,將線段向右平移至陽(yáng)處,使得點(diǎn)8與點(diǎn)。重合,連接CF.
BD
:.ZAOC=ZFDC.
設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為單位1,
:.AC=2,AF=1,CE=2,DE=4,FG=3,DG=4,
:.CF=V5,CD=2V5,DF=5.
??,(俑2+Q遮)2=52,
:.ZFCD=90°,
CFjc]
tan^AOC=tanDC=-^;——尸=弓.
CD2V52
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了網(wǎng)格圖中求三角函數(shù),勾股定理逆定理,解題關(guān)鍵是掌握所給示例中的方法,靈活
運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.
6.(2025?深圳模擬)一座樓梯的示意圖如圖所示,8c是鉛垂線,CA是水平線,區(qū)4與CA的夾角為0.現(xiàn)
要在樓梯上鋪一條地毯,已知CA=4米,樓梯寬度3米,則地毯的面積至少需要()
B.(4+4tan0)米2
C3(4+急米2D.3(4+4tan0)米2
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用;應(yīng)用意識(shí).
【答案】D
【分析】由三角函數(shù)表示出BC,得出AC+8C的長(zhǎng)度,由矩形的面積即可得出結(jié)果.
【解答】解:在RtaABC中,BC=AOtan0=4tan6(米),
.?.AC+BC=4+4tan0(:米),
,地毯的面積至少需要3義(4+4tan0)(米2);
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形面積的計(jì)算;由三角函數(shù)表示出8C是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
7.(2025?沈陽(yáng)模擬)如圖,在離地面高度為1.5米的A處放風(fēng)箏,風(fēng)箏線AC長(zhǎng)8米,用測(cè)傾儀測(cè)得風(fēng)箏
線與水平面的夾角為e,則風(fēng)箏線一端的高度CD為()
B.(1.5+8cos0)米
C.(1.5+8tan0)米D-05+蔡迷
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題.
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用;應(yīng)用意識(shí).
【答案】A
【分析】過(guò)點(diǎn)A作于E,根據(jù)正弦的定義求出CE,進(jìn)而求出CD
【解答】解:如圖,過(guò)點(diǎn)A作于E,
則四邊形A8DE為矩形,
:.DE^AB=1.5米,
在RtZXAEC中,AC=8米,ZCA£=0,
rp
VsinZCAE=^1,
.?.CE=AC?sin/CAE=8sine(米),
:.CD=CE+DE=(1.5+8sin0)米,
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題,熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
8.(2025?南通模擬)圖1是某款自動(dòng)旋轉(zhuǎn)遮陽(yáng)傘,傘面完全張開(kāi)時(shí)張角呈180°,圖2是其側(cè)面示意圖.為
實(shí)現(xiàn)遮陽(yáng)效果最佳,傘面裝有接收器,可以根據(jù)太陽(yáng)光線的角度變化,自動(dòng)調(diào)整手柄。沿著移動(dòng),
以保證太陽(yáng)光線與。尸始終垂直,已知支架長(zhǎng)為2.5米,且垂直于地面BC,某一時(shí)刻測(cè)得3。=1.7
米,懸托架AE=DE,點(diǎn)E固定在傘面上,當(dāng)傘面完全張開(kāi)時(shí),太陽(yáng)光線與地面的夾角設(shè)為a,當(dāng)tcma=五
時(shí),此時(shí)懸托架AE的長(zhǎng)度為()米.
圖1
A.0.5B.0.6
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用;生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用;運(yùn)算能力.
【答案】A
【分析】過(guò)點(diǎn)E作EM,A。,垂足為根據(jù)題意可得:DG//EH,從而可得/OGB=Na,再根據(jù)垂
直定義可得:NABC=NFDG=90°,從而可得N3OG+/OGB=90°,ZADE+ZBDG^90°,然后
利用同角的余角相等可得/次"/?!。"①?gòu)亩傻胻an/ADE=梳,再根據(jù)已知易得:AD=0.8〃z,
再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得:AM=DM=OAm,最后在中,利用銳角三角函數(shù)的
定義求出EM的長(zhǎng),從而利用勾股定理求出。E的長(zhǎng),即可解答.
【解答】解:過(guò)點(diǎn)E作垂足為M,
:.ZDGB=Za,
VABXBC,
ZABC=90°,
;.NBDG+/DGB=90°,
■:DF工DG,
:.ZFDG=90°,
ZADE+ZBZ)G=180°-ZFDG=90°,
:?NDGB=/ADE=a,
?_3
?iCLTLCL—q~rf
3
tan^ADE=T
-q,
AB—2.5m,BD=1.7m,
:.AD=AB-BD=2.5-1.7=0.8(m),
?:AE=DE,EM±ADf
:.AM=DM=%。=0.4(m),
在RtZXOME中,EM=DMnmZADE=0Ax=0.3(m),
:.DE^VDM2+EM2=Jo.42+0.32=0.5(m),
DE=AE=0.5m,
故選:A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象,根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適
當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.
9.(2025?深圳模擬)某數(shù)學(xué)興趣小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量園博園“福塔”AB的高度,測(cè)量方案如圖:先將無(wú)人
機(jī)垂直上升至距水平地面142根的尸點(diǎn),測(cè)得“福塔”頂端A的俯角為37°,再將無(wú)人機(jī)面向“福塔”
沿水平方向飛行210機(jī)到達(dá)。點(diǎn),測(cè)得“福塔”頂端A的俯角為45°,貝卜'福塔”42的高度約為()
(參考數(shù)據(jù):tan37°?s譏37。=|,cos37°?
A.48mB.50mC.51mD.52m
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用;運(yùn)算能力.
【答案】D
【分析】延長(zhǎng)8A交尸。于點(diǎn)C,根據(jù)題意可得:BC±PQ,BC=142m,然后設(shè)數(shù)=無(wú)小,則。。=(210
-x)m,從而分別在Rt^APC和Rt^ACQ中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng),進(jìn)而列出關(guān)于
x的方程,進(jìn)行計(jì)算即可解答.
【解答】解:延長(zhǎng)BA交PQ于點(diǎn)C,
由題意得:BCLPQ,8c=142加,
設(shè)PC—xm,
':PQ=210m,
:.CQ=PQ-CP=(210-x)m,
在RtZ\APC中,NAPC=37°,
:.AC=PC'\an310aJr(m),
在RtZXACQ中,ZAQC=45°,
.,.AC—CQ,tan45°—(210-x)m,
3
x=210-x,
4
解得:x=120,
.,.AC—210-x=90(m),
:.AB=BC-AC^142-90=52(m),
故選:D.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題,根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)?/p>
輔助線是解題的關(guān)鍵.
10.(2025?登封市一模)如圖所示,在矩形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格
點(diǎn)上,則tanA的值為()
【考點(diǎn)】解直角三角形.
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用;運(yùn)算能力.
【答案】B
【分析】在中,利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.
【解答】解:如圖:
在中,BD=2,AD=6,
一?BD21
??tanA==6=
故選:B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
二.填空題(共5小題)
V5
11.(2025?浙江一模)如圖,已知AO〃BC,BD±AC,AC=4,BD=8,貝!Isin/Q8C=W
【考點(diǎn)】解直角三角形;平行線的性質(zhì).
【專題】線段、角、相交線與平行線;解直角三角形及其應(yīng)用;推理能力.
V5
【答案】y.
【分析】過(guò)。作。E〃AC,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,證明四邊形AOEC是平行四邊形,則AC=£>E=4,
再由勾股定理求出BE=4V5,然后由sin/DBC=禺即可求解.
【解答】解:過(guò)。作。石〃AC,交8C延長(zhǎng)線于點(diǎn)
\9AD//BC,
???四邊形AOEC是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形),
:.AC=DE=4f
VBD±AC,
:.BDLDE,
:.ZBDE=90°,
:.BE=7BD2+DE2=V82+42=4倔
..DE475
?"皿。=詼=砧=虧’
V5
故答案為:y.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),勾股定理,正弦的定義,掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)
鍵.
12.(2025?蠡縣一模)如圖是一個(gè)港灣,A是碼頭,OA,。。是筆直的海岸,B是海島,。在點(diǎn)。的正東
方向上,點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東25°的方向上,點(diǎn)B在點(diǎn)O北偏東65°的方向上,OA=3的?,點(diǎn)0與點(diǎn)
8的距離為現(xiàn)有一艘貨船按計(jì)劃從碼頭A出發(fā)后,先停靠。。海岸上任意點(diǎn)C處裝貨后再開(kāi)往海
島8,則按此計(jì)劃,貨船行駛的水路最短為5km.
,CD
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題;線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間線段最短.
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用;運(yùn)算能力.
【答案】5.
【分析】作點(diǎn)A關(guān)于直線。。的對(duì)稱點(diǎn)A',連接44',OA',由題意得到當(dāng)A'、C、B三點(diǎn)共線
時(shí),路線最短,即可得到答案.
【解答】解:作點(diǎn)A關(guān)于直線。。的對(duì)稱點(diǎn)A',連接A4',0A',連接A'B交直線0。于點(diǎn)C,
連接AC,
:.OA=OA',
則AC=A'C,ZAOD^ZA'0D,
:.A'C+BC^A'B,
BPAC+BC^A'B,
僅當(dāng)A'、C、8三點(diǎn)共線時(shí),路線最短,
VZAOD=9Q°-25°=65°,
AZAZ0D^65°,
NBOD=90°-65°=25°,
:./BOA'=65°+25°=90°,
則OA'=OA=3km,OB=4km,
:.A'B=70A'2+OB2=5km.
故答案為:5.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查最短路徑問(wèn)題,熟練掌握線段最短來(lái)解題是解題的關(guān)鍵.
13.(2025?廣東模擬)如圖,/MON=90°,0M=0N=6,以點(diǎn)。為圓心,0M為半徑作弧A/N,點(diǎn)A
是0M中點(diǎn),點(diǎn)P是弧MN上的動(dòng)點(diǎn),以AP為直角邊作RtAAPg,^tan^APQ=會(huì)連接NQ,則
NQ的最小值為一8_.
0AM
【考點(diǎn)】解直角三角形;等腰直角三角形.
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用;運(yùn)算能力.
【答案】V109-8.
【分析】將線段AO繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°并延長(zhǎng)至點(diǎn)使得過(guò)點(diǎn)。作DHJ_NO,交NO延長(zhǎng)
線于點(diǎn)X,連接沏,DQ,OP,證明△OAPs^m。,求出。。=8,推出點(diǎn)。在以。為圓心,。。=8
為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)N,Q,。三點(diǎn)共線時(shí),N。由最小值,最小值為L(zhǎng)W-易證四邊形AOHD
是矩形,再利用勾股定理求出DN=7NH2+DH2=V109,即可求解.
【解答】解:將線段A。繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°并延長(zhǎng)至點(diǎn)。,使得過(guò)點(diǎn)。作OHLNO,交N。
延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接NO,DQ,OP,
404
由條件可知而=?
4aD4
-即----
3。a3
':ZPAQ+ZOAQ=ZOAD+ZOAQ,
:.ZPAQ=ZOAD,
:.AOAP^ADAQ9
.OPOA3
?,DQ~DA~4
???OP=OM=6,
**?DQ=8,
...點(diǎn)。在以。為圓心,。。=8為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),
當(dāng)N,Q,。三點(diǎn)共線時(shí),N。由最小值,最小值為。N-。。,
由條件可知四邊形AOHD是矩形,
:.DH=OA,OH=AD,
1
:.OA=^OM=3,
4
:.DH=0A=3,OH=AD=^0A=4,
:.NH=ON+OH=10,
.?.在RtAAWD中,DN=yJNH2+DH2=V109,
:.NQ的最小值為DN-DQ=V109-8,
故答案為:V109-8.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),正切的定義,勾股定理等,正確作
出輔助線,構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵.
14.(2025?平陸縣模擬)如圖,在四邊形ABCZ)中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)P,ZABC=ZADB=9Q°,
-1
AB=BC,tanAD=4,BP=5,則C£)的長(zhǎng)為2g.
L-------
【考點(diǎn)】解直角三角形;勾股定理;等腰直角三角形.
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用;推理能力.
【答案】2底.
【分析】過(guò)C點(diǎn)作CE_L2D于E點(diǎn),如圖,先證明△A3。g△8CE得到BD=CE,再在Rt
△ADP中利用正切的定義得到tan/D4P=%=當(dāng)則可設(shè)DP=x,AZ)=2x,所以BE=AD=2x,PE
1
=5-2羽CE=BP=5+x,接著證明NECP=NCA。得到tanNECP=tanNCAZ)=右然后在RtAECP
5—2%1
中利用正切的定義得到二一=則可求出
解得%=1,然后在RtAECD中利用勾股定理可計(jì)算出CD.
【解答】解:過(guò)C點(diǎn)作于E點(diǎn),如圖,
VZABD+ZCBE=90°,NCBE+NBCE=90°,
ZABD=ZBCE,
在△A3。和△BCE中,
'NADB=/BEC
'乙ABD=乙BCE,
.AB=BC
:?AABD義ABCE(A4S),
:.AD=BEfBD=CE,
npi
在RtAADP中,??,tanZDAP=話=當(dāng)
???設(shè)。尸=x,AD=2x,
;.BE=AD=2x,
?:BP=5,
:.PE=BP-BE=5-2x,CE=BP=BP+DP=5+x,
9:AD±BD,CELBD,
J.AD//CE,
:.ZECP=ZCAD,
1
tanZECP=tanZCAD=中
FP
在中,VtanZECP=
.5-2%1
??=一,
5+x2
解得x=l,
CE=5+x=6,DE=x+5-2x=5-x=4,
在RtAECD中,CD=<DE2+CE2=V42+62=2g.
故答案為:2g.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形,靈活應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理,構(gòu)建Rt^CEP是解決
本題的關(guān)鍵.
15.(2025?深圳模擬)在等腰△A8C中,AB=AC,。是8C上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)。作。交AC延長(zhǎng)線于
24RD?AC13
點(diǎn)E,若tanZBAC=亍,/=G,則77的值為-7.
/HDDCE4
【考點(diǎn)】解直角三角形;等腰三角形的性質(zhì).
【專題】等腰三角形與直角三角形;解直角三角形及其應(yīng)用;幾何直觀;運(yùn)算能力.
【答案】V-
4
【分析】過(guò)點(diǎn)A作APLBC于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)2作出/LAC于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E作EPL3C交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)
F,在RCABH中,根據(jù)tan/BAC=瑞=竽,設(shè)BH=24a,AH=la,利用勾股定理分別求出AB=AC
=25a,CH=lSa,BC=30a,則8P=CP=15a,再求出80=10°,貝!]CD=20a,DP=5a,AP=20a,
4FFEF4
-
進(jìn)而得tanZACP=西3tanZECF=根據(jù)NACP=NEC尸得一=一,設(shè)EF=4比CF=3k,則
CFCF3
r)piFF4”
CE=5k,DF=20a+3k,證明NEOb=ND4P,再根據(jù)tan/D4尸=弟=本tanNED/=法=蒲荻得
=解得k=1當(dāng),進(jìn)而得CE=5k=,據(jù)此即可得出;的值.
20+3/C413W13CE
【解答】解:過(guò)點(diǎn)A作APLBC于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)8作BXLAC于點(diǎn)孫過(guò)點(diǎn)E作斯,8C交BC的延長(zhǎng)線
于點(diǎn)F,如圖所示:
則AP//EF,
在RtZ\ABH中,tan/A4C=^=竽,
.?.設(shè)BH=24a,AH=la,
由勾股定理得:AB=y/BH2+AH2=V(24a)2+(7a)2=25a,
.\AB=AC=25a,
:.CH=AC-AH=25a-7a=18m
在RtABCH中,由勾股定理得:BC=VBW2+CH2=7(24a)2+(18cz)2=30a,
VAPXBC,
:.BP=CP=15af
.BD2
??=一,
AB5
:.BD=|AB=Ix25a=10a,
:.CD=BC-BD=30a-]Qa=20a,DP=BP-BD=15a-10a=5a,
在Rt/XACP中,由勾股定理得:AP=ylAC2-CP2=7(25a)2-(15a)2=20a,
../“D4P20。4
在RtZkCEE中,tan/ECT=黑,
?/ZACP=ZECF,
.EF4
??—―,
CF3
設(shè)EF=4k,CF=3k,
由勾股定理的:CE='EF2+C-2=J(4k)2+(3k)2=54
DF=CD+CF^2Qa+3k,
在RtAAPD中,tmZDAP=%=篇=J,
FF4/z
在Rt△?;?中,/即尸=加=荻銃,
?:DE1AD,AP1BC,
:.ZEDF-^ZADP=90°,ZDAP+ZADP=90°,
:.ZEDF=ZDAP,
4k1
20d+3/c4
解得:卜=轡
100a
:.CE=5k=
.AC25a13
:'~CE=豆叵=I--
13
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形,等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握等腰三角形的性質(zhì),靈活運(yùn)用銳
角三角函數(shù)的定義及勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,正確地添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解決問(wèn)
題的難點(diǎn).
三.解答題(共5小題)
16.(2025?鄭州模擬)小新的數(shù)學(xué)研學(xué)日記
課題:測(cè)量旗桿的高度
地點(diǎn):操場(chǎng)
時(shí)間:2025月1月13日
昨天,晴.高老師要帶我們?nèi)ゲ賵?chǎng)測(cè)量旗桿的高度,我們小組設(shè)計(jì)方案:小卓拿著標(biāo)桿垂直于地面放置,
如圖1所示,標(biāo)桿影長(zhǎng)BC=6,旗桿的影長(zhǎng)。尸=c,則可求得旗桿的高度為生.
今天,陰.設(shè)計(jì)方案:如圖2所示,高老師將升旗用繩子拉直,用儀器測(cè)得繩子與地面的夾角為37°,
然后又將繩子拉到一個(gè)0.3米高的平臺(tái)上,拉直繩子使繩子上的X點(diǎn)剛好觸到平臺(tái)時(shí)剩余的繩子長(zhǎng)度為
5米,此時(shí)測(cè)得繩子與平臺(tái)的夾角為54°,利用這些數(shù)據(jù)能求出旗桿。E的高度嗎?
請(qǐng)你回答小新的問(wèn)題.若能,請(qǐng)求出旗桿的高度;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(參考數(shù)據(jù):sin37°心0.6,cos37°-0.8,tan37°-0.75,sin54°心0.8,cos54°-0.58,tan54°仁1.45)
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用;相似三角形的應(yīng)用.
【專題】等腰三角形與直角三角形;圖形的相似;幾何直觀;應(yīng)用意識(shí).
【答案】竽,111米.
【分析】證明△ABCsAE/m,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算求出。E;過(guò)
點(diǎn)”作于Q,HPLGO于P,根據(jù)正弦的定義求出OE.
【解答】解:利用這些數(shù)據(jù)能求出旗桿。E的高度;理由如下:
'."AB//DE,標(biāo)桿
△ABCS^EDF,
.BCAB
??—J
DFDE
???影長(zhǎng)旗桿的影長(zhǎng)OF=c,
.ba
??一二,
cDE
解得:DE避,
過(guò)點(diǎn)H作HQLDE于。,HPA.GD于P,
圖2
則QD=HP=Q3米,
:.EQ=(ED-0.3)米,
由題意可知:EH=EG-5,
在RtzXEQH中,/EHQ=54°,
則sin/EHQ=器,
:.EQ=EH?sin/EHQ,
:.ED-03^0.8(EG-5),
在Rt/XEDQ中,NEGD=37°,
FD
則sinZEGD=器,
:.ED=EG,sin/EGD,
:.ED6EG,
則-0.3=0.8(EG-5)
、IED=0.6EG
解得:{北
.,?旗桿的高度約為H.1米.
故答案為弋
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用,相似三角形的應(yīng)用,熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
17.(2025?新鄉(xiāng)模擬)圖1是開(kāi)封市龍亭大殿,龍亭大殿是公園內(nèi)整個(gè)清代建筑群中的主體.大殿坐北朝
南,殿前是用青石雕刻的蟠龍盤繞的御道.某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到龍亭景區(qū)測(cè)量龍亭大殿的高度,如圖2,
他們選取的測(cè)量點(diǎn)B與大殿底部C在同一水平線上,72級(jí)蹬道平臺(tái)CD高度為13.7米,在B處測(cè)得平
臺(tái)。的仰角為30°,頂部A的仰角為48°.
(1)根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù),請(qǐng)幫助該數(shù)學(xué)活動(dòng)小組求出龍亭大殿A(yù)C的高度.(結(jié)果精確到0.1米;參考
數(shù)據(jù):sin48°弋0.74,cos48°^0.67,tan48°^1.11,V3?1.73)
(2)在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中,請(qǐng)你寫(xiě)出一條減少誤差的措施.
A
圖1圖2
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題.
【專題】解直角三角形及其應(yīng)用;運(yùn)算能力.
【答案】(1)龍亭大殿A(yù)C的高度約為26.3米;
(2)減少誤差的建議:可多次測(cè)量,取測(cè)量數(shù)據(jù)的平均值.(答案不唯一,合理即可).
【分析】(1)根據(jù)題意可得:0=13.7米,ZCBD=30°,ZABC=48°,然后在RtZ^CBD,利用銳
角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng),再在Rt^ABC中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng),即可解答;
(2)根據(jù)多次測(cè)量求平均值,即可解答.
【解答】解:(1)由題意得:C£)=13.7米,NCBD=30°,/ABC=48°,
在RtZXCB。中,tan/CBD=器=號(hào),
.?.BC=3CD?1.73X13.7=23.7(米),
CA
在RtAABC中,tanZABC=器,
.*.AC=BCnan48°*23,7X1.11^26.3(米).
答:龍亭大殿A(yù)C的高度約為26.3米;
(2)減少誤差的建議:可多次測(cè)量,取測(cè)量數(shù)據(jù)的平均值.(答案不唯一,合理即可).
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
18.(2025?和平區(qū)模擬)單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的裝置.某興趣小組利用單擺進(jìn)行相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探
究.并撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下.
實(shí)驗(yàn)主題探究擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中高度的變化
實(shí)驗(yàn)用具擺球,擺線,支架,攝像機(jī)等
實(shí)驗(yàn)說(shuō)明如圖1,在支架的橫桿點(diǎn)。處用擺線懸掛一個(gè)擺球,將擺
球拉高后松手,擺球開(kāi)始往復(fù)運(yùn)動(dòng).(擺線的長(zhǎng)度變化忽略
不計(jì))
如圖2,擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A,拉緊擺線將擺球拉至
點(diǎn)8處,于點(diǎn)。,ZBOA=64°,BD=18.9cm;
當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí),ZCOA=31°,CELOA于點(diǎn)E.(點(diǎn)
O,A,B,C,D,E在同一平面內(nèi))
實(shí)驗(yàn)圖示
解決問(wèn)題:根據(jù)以上信息,求AE的長(zhǎng).
(參考數(shù)據(jù):sin37°心0.60,cos37°-0.80,tan37°-0.75,sin640-0.90,cos64°"0.44,tan64°
55a2.05,結(jié)果精確到
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