第07講函數(shù)的奇偶性期末大總結(jié)()

第7講函數(shù)的奇偶性期末大總結(jié)目錄速覽第一部分：必會(huì)知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖第二部分：考點(diǎn)梳理知識(shí)方法技巧大總結(jié)第三部分：必會(huì)技能?？碱}型及思想方法大歸納必會(huì)題型一：函數(shù)奇偶性的定義與判斷必會(huì)題型二：利用奇偶性求值及范圍必會(huì)題型三：由奇偶性求函數(shù)解析式必會(huì)題型四：抽象函數(shù)的奇偶性必會(huì)題型五：奇偶性與單調(diào)性綜合第一部分：知識(shí)結(jié)構(gòu)導(dǎo)圖速看第二部分：考點(diǎn)梳理知識(shí)方法技巧大總結(jié)1．函數(shù)的奇偶性(1)奇函數(shù)：圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)叫奇函數(shù)，f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)[或f(－x)＋f(x)＝0]；(2)偶函數(shù)：圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)叫偶函數(shù)，f(x)為偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)[或f(－x)－(x)＝0]．2．函數(shù)對(duì)稱性(1)若函數(shù)y＝f(x)對(duì)x∈R滿足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)則函數(shù)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；注意：若對(duì)x∈R滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數(shù)關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱[注x＝eq\f((a＋x)＋(b－x),2)＝eq\f(a＋b,2)]．(2)若函數(shù)y＝f(x)對(duì)x∈R滿足f(a＋x)＝－f(a－x)或f(x)＝－f(2a－x)則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(a，0)對(duì)稱；注意：若對(duì)x∈R滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)(eq\f(a＋b,2)，0)對(duì)稱[注x＝eq\f((a＋x)＋(b－x),2)＝eq\f(a＋b,2)]．3．奇偶性的判斷方法(1)定義法：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的情況下滿足f(－x)＝±f(x)或f(－x)±f(x)＝0或eq\f(f(－x),f(x))＝±1(f(x)≠0)之一函數(shù)有奇偶性．(2)圖像法：函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)?函數(shù)為奇(偶)函數(shù)(3)分析法：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，奇×偶＝奇；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；(4)復(fù)合函數(shù)F(x)＝f[g(x)]的奇偶性(有偶則偶，無(wú)偶為奇)：①若g(x)為偶函數(shù)，f(x)為偶函數(shù)，則F(x)為偶函數(shù)；②若g(x)為奇函數(shù)，f(x)為奇函數(shù)，則F(x)為奇函數(shù)；③若g(x)為奇函數(shù)，f(x)為偶函數(shù)，則F(x)為偶函數(shù)；④若g(x)為偶函數(shù)，f(x)為奇函數(shù)，則F(x)為偶函數(shù)．[名師點(diǎn)睛]分段函數(shù)的奇偶性可根據(jù)定義分區(qū)間討論也可根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性加以判斷．4．函數(shù)奇偶性的特性(1)定義域含零的奇函數(shù)，必過原點(diǎn)[即f(0)＝0]；(2)若f(x)是偶函數(shù)，f(x)＝f(－x)＝f(|x|)；(3)奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間單調(diào)性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間單調(diào)性相反；(4)在原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)，奇函數(shù)的最大值M與最小值N之和為零．第三部分：必會(huì)技能?？碱}型及思想方法大歸納必會(huì)題型一：函數(shù)奇偶性的定義與判斷1．(2022·北京·北二外附屬中學(xué)高一期中)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在0，+∞上單調(diào)遞增的是A．y=log2xC．y=-x2+1【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性確定正確答案．【解析】y=log2x的定義域是0，+y=x+1是偶函數(shù)，且在0，y=-x2+1是偶函數(shù)，在0y=1x是偶函數(shù)，在0，故選：B2．(2022·廣東·福田外國(guó)語(yǔ)高中高一期中)下列函數(shù)是偶函數(shù)且在0，+∞上單調(diào)遞增的函數(shù)是(A．fx=x2-x B．f【答案】C【分析】分析選項(xiàng)的奇偶性和在0，【解析】對(duì)于A，fx=xfx=x2-x=對(duì)于B，fx=2f-x=2-x-對(duì)于C，fx=2fx=2對(duì)于D，fx=x當(dāng)x>0時(shí)，fx為減函數(shù)，故D故選：C．3．(2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高一期中)下列判斷正確的是(

)A．函數(shù)fx=1既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) B．函數(shù)C．函數(shù)fx=1+x1-x1+x【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可．【解析】對(duì)于A，x∈R，所以f-x=1=fx≠-f對(duì)于B，函數(shù)fx=xx所以f-x=-xx2-1對(duì)于C，函數(shù)fx=1+x1-x1+x定義域滿足1-x1+x≥0?-1<x≤1，定義域?qū)τ贒，函數(shù)fx=1所以f-x=12-x故選：D．4．已知函數(shù)f(x(1)若函數(shù)g(x)(2)當(dāng)a＝2時(shí)，先用定義法證明函數(shù)f((3)若對(duì)任意x∈(2，3)，都有2x[答案](1)g(x)為奇函數(shù)，證明見解析；(2)[分析](1)由奇偶函數(shù)定義即可證明；(2)任取x1，x2∈[1(3)參變分離得a<x+[詳解](1)因?yàn)間(定義域?yàn)?-∞，且g(-x)＝(2)當(dāng)a＝2時(shí)，任取x1，有fx因?yàn)閤1所以fx1-所以函數(shù)f(x)在(3)x∈(2，3)根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，h(x)＝x+1x+32在必會(huì)題型二：利用奇偶性求值及范圍1．定義在R上的偶函數(shù)fx，滿足f12=0，且在0，+A．x0<x<12或-12C．x0<x<12或x<-12【答案】D【分析】由條件結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)求f-12，判斷函數(shù)在區(qū)間-【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx是偶函數(shù)，在0，+所以f-12當(dāng)x>12或x<-12時(shí)，fx又當(dāng)x>0，xfx<0可化為fx當(dāng)x<0時(shí)，不等式xfx<0可化為fx所以不等式xfx<0的解集為x-故選：D．2．(2022·吉林·四平市第一高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈-∞,0時(shí)，fx=x2A．-∞,0 B．0,+∞ C．-【答案】D【分析】首先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，求出m的值，再結(jié)合解析式，判斷出單調(diào)性，然后利用奇偶性以及單調(diào)性即可求解．【解析】因?yàn)閒x是定義在R上的奇函數(shù)，則必有f(0)=0，代入fx=又因?yàn)楫?dāng)x∈-∞,0時(shí)，y=x2、y=3-x均為減函數(shù)，則fx=x2+3-x-1f(x)在R上為減函數(shù)，則有x-1>1，解得x>2，即x∈2,+故選：D3．(2022·江蘇·常州田家炳高中高一期中)已知fx=ax4+a+b+2【答案】0【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域?qū)ΨQ，fx=f-x，即可列方程求解a,b【解析】已知fx=ax4且x∈R，所以f-x=ax4-a+b+2x+b=fx故答案為：0．4．(2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高一期中)已知函數(shù)f(x)=ax+b1+x2是定義在(1)求fx(2)判斷函數(shù)fx在-1【答案】(1)f(x)=(2)fx在-1【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；(2)根據(jù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷證明即可．【解析】(1)根據(jù)題意，f(x)=ax+b1+x則有a(-x)+b1+(-x)2=-ax+b1+x2∵f1=1，∴a1+1=a2=1，解可得(2)fx在-1，1則fx∵-1≤x1<x2≤1，則有1+x則有fx1-fx2<0，即f必會(huì)題型三：由奇偶性求函數(shù)解析式1．(2022·甘肅·玉門油田第一中學(xué)高一期中)已知定義在-∞，0∪0，+∞上的奇函數(shù)fx，當(dāng)x>0時(shí)，A．-x2+x+1 B．-x2+x-1【答案】A【分析】根據(jù)x<0，則-x>0，由條件可求出f(-x)的解析式，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)可求出f(x)的解析式【解析】當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，則f-x又因?yàn)閒x是定義在-所以fx故選：A2．(2020·河南·鶴壁市鶴山區(qū)高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))若定義在R上的偶函數(shù)fx和奇函數(shù)gx滿足fx-2gxA．11 B．6 C．10 D．12【答案】A【分析】利用函數(shù)的奇偶性得到關(guān)于函數(shù)fx和gx的另一個(gè)式子，將所得式子和已知式子相加可得函數(shù)fx【解析】因?yàn)閒x-2g因?yàn)閒x是R上的偶函數(shù)，gx是所以f-x＝f所以f-x-2g所以2fx＝4x故選：A．3．(2022·黑龍江·虎林市高級(jí)中學(xué)高一期中)已知定義在m-5，1-2m上的奇函數(shù)fx，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=【答案】-8【分析】根據(jù)定義域的對(duì)稱性，求得m=-4，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性和題設(shè)條件，得到f(-4)=-f(4)，即可求解．【解析】由題意，定義在[m-5,1-2m]上的奇函數(shù)f(x)可得m-5=-(1-2m)，解得m=-4又由當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x所以f(-4)=-f(4)=-4故答案為：-8．4．(2022·上海·復(fù)旦附中高一期中)函數(shù)y＝fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx＝x2【答案】f【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義f-x【解析】∵函數(shù)y＝fx是定義在R上的奇函數(shù)，?x<0，-x>0又f-x＝∴fx＝-f-x＝∴fx＝-f故答案為：fx必會(huì)題型四：抽象函數(shù)的奇偶性1．[多選](2022·江蘇省響水中學(xué)高一期中)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0，則函數(shù)f(x)滿足(

)A．f(0)=0 B．y=f(x)是奇函數(shù)C．f(x)在[m，n]上有最大值f(n) D．f(x-1)>0【答案】AB【分析】由抽象函數(shù)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0可得f(0)，利用奇偶性，單調(diào)性的定義可推導(dǎo)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可求函數(shù)在區(qū)間m，n上的最大值，利用單調(diào)性解不等式【解析】因?yàn)槎x在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得f(0)=2f(0)，即f(0)=0，A令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(x)，函數(shù)為奇函數(shù)，B正確，設(shè)?x1<x2由題，f(x1)=f(所以f(x1)>f(x2)，函數(shù)不等式f(x-1)>0可化為f(x-1)>f(0)，由f(x)在R上單調(diào)遞減，所以x-1<0，即x<1，不等式解集為-∞，1故選：AB．2．(2022·海南·?？谥袑W(xué)高一期中)已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，且滿足：fx+fy=2fx+y2fA．f3=1 BC．fx為偶函數(shù) D．f【答案】C【分析】利用賦值法令x=3,y=1，求得f3=-1，判斷A;令x=y=1，可求得f(0)=1，繼而求出f12=0，判斷B;令y=-x,可推得f-x=f【解析】令x=3,y=1，則f3+f1則f3=-1，令x=y=1，則2f令x=1,y=0，則f1+f0則f12=0令y=-x，則fx+f-x故f-x=fx，f令x=1,y=-1，則f1+f-1由于f-1≠-f(1)，故fx故選：C．3．[多選](2022·浙江臺(tái)州·模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)fx，滿足：?x，y∈R，fx+y=fxA．函數(shù)fx一定為B．函數(shù)fxC．當(dāng)x>0時(shí)，fx>1，則fxD．當(dāng)x<0時(shí)，fx<1，則fx【答案】BC【分析】對(duì)于AB：令x=y=0，結(jié)合奇偶性的定義即可求解；對(duì)于CD：利用單調(diào)性的定義結(jié)合已知條件求解即可【解析】對(duì)于AB：令x=y=0，則f0所以f0=0或當(dāng)f0令y=0，則fx=f則f-x所以此時(shí)fx故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C：當(dāng)x>0時(shí)，fx>1，則又f1所以f0≠0，則設(shè)x1>x2，則所以fx由于fx+y取y=-x，得f0所以fx則當(dāng)x∈-∞，0時(shí)，所以fx則fx在R上單調(diào)遞增，故C對(duì)于D：設(shè)x1<x2，則所以fx則fx在R上單調(diào)遞增，故D故選：BC4．(2022·遼寧·鳳城市第一中學(xué)高一期中)定義在R上的函數(shù)fx滿足：?x，y∈R，fx-y=fx(1)判斷函數(shù)fx(2)判斷函數(shù)fx(3)若對(duì)任意的t∈1，2，存在x∈6，【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析(2)函數(shù)fx在R(3)-【分析】(1)根據(jù)所給關(guān)系式令x=y=0，即可求出f0，再y=x，即可得到f-x與(2)利用定義法證明，根據(jù)所給關(guān)系式及奇偶性得到fx-y=fx-fy(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性得到3x2+3tx≥-3x-7m，參變分離可得-73m≥x2+tx+x，令【解析】(1)解：fx證明：因?yàn)閒x的定義域?yàn)镽，且對(duì)?x，y∈R，令x=y=0，則f0=f0令y=x，則fx+f-x所以函數(shù)fx(2)解：fx在R證明：設(shè)x1，x2∈R且則fx當(dāng)x>0時(shí)，fx<0，所以當(dāng)x1所以fx1-fx2<0，即(3)解：由f3x2由于函數(shù)fx為奇函數(shù)，則f由于函數(shù)fx在R上為減函數(shù)，則3x2令gt=x由已知，有g(shù)t在區(qū)間1，2令hx=x2+3x=x+32故-73m≥54，解得m≤-必會(huì)題型五：奇偶性與單調(diào)性綜合1．[多選](2021·浙江·高一期中)已知函數(shù)fx=xx+1A．fx為奇函數(shù)B．fxC．fx在R上是增函數(shù)D．fx2【答案】ACD【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義判斷出fx為奇函數(shù)，A正確，B求出fx在0，+∞上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)奇偶性得到fx根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式，得到D正確．【解析】fx=xx+1定義域?yàn)楣蔲x為奇函數(shù)，A正確，B當(dāng)x>0時(shí)，fx=xx+1在0，根據(jù)fx為奇函數(shù)，得到fx在R上是增函數(shù)，因?yàn)閒x為奇函數(shù)，故fx2又fx在R上是增函數(shù)，所以x解得：-∞，-2故選：ACD2．已知定義在-3，3的函數(shù)y=fx+1-2是奇函數(shù)，且對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2∈[1?A．1，32 B．1，2 C【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)得到fx+1+f-x+1【解析】x∈-3，3y=fx+1-2是奇函數(shù)，故f函數(shù)關(guān)于點(diǎn)1，2中心對(duì)稱，取x=0得到f1x1fx故函數(shù)在[1?，4]f2x+f故f2x≤fx+1，故考慮定義域：-2≤2x≤4-2≤1-x≤4，解得綜上所述：1≤x≤2故選：B3．(2022·山東泰安·高三期中)函數(shù)f(x)=2x2ex+A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的奇偶性與特殊的函數(shù)值對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，【解析】由題意得f(-x)=2(-x)2e-x+ef(2)=8e2故選：A4．定義在R上的奇函數(shù)fx滿足f2=3，且函數(shù)gx=fx-2x【答案】-【分析】由fx為奇函數(shù)，然后說(shuō)明gx=fx-2x為奇函數(shù)，又【解析】因?yàn)閒x為R所以f-x由gxg-x所以gx又函數(shù)gx在0由對(duì)稱性可知，gx在R又因?yàn)閒2所以g所以fx-1即gx-1所以x-1<-2?x<-1，故答案為：-∞5．(2022·北京市第十七中學(xué)高一期中)已知函數(shù)fx=ax+b1+x(1)確定函數(shù)fx(2)用定義證明fx在0,1(3)解不等式f【答案】(1)fx=x1+【分析】(1)先由函數(shù)的奇偶性得到b=0，然后由f1(2)利用函數(shù)單調(diào)性定義證明；(3)將f(x-1)+f(x)<0，轉(zhuǎn)化為f(x-1)<-f(x)=f(-x)，利用單調(diào)性求解．【解析】(1)由題意可得f0=0所以fx(2)證明：設(shè)0<x則f(x∵0<x∴0<x1x2<1則f(x1)-f(所以函數(shù)f(x)是增函數(shù)．