2023~2024學(xué)年湖南高三高考數(shù)學(xué)押題試題二模帶解析

2023-2024學(xué)年湖南省高三高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（二模）一、單選題1．設(shè)集合，若A的所有三元子集的三個(gè)元素之和組成的集合為，則集合（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】不妨設(shè)，由題意可得，即可得解.【詳解】不妨設(shè)，則A的所有三元子集為，由題意可得，解得，因此集合.故選：B.2．已知，若對(duì)任意，，則一定為（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形【正確答案】D【分析】利用向量的模化簡(jiǎn)不等式，得出和的關(guān)系，即可得出的形狀.【詳解】由題意，在中，令，過(guò)A作于D.

∵對(duì)任意，，∴，令，代入上式，得，即，也即.從而有.∴.∴為直角三角形，故選：D.3．過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若實(shí)數(shù)使得的直線恰有3條，則（

）A．2 B．3 C．4 D．6【正確答案】C【分析】根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可知：滿足題意的直線，其中一條與實(shí)軸垂直，另兩條關(guān)于軸對(duì)稱，即可得到答案.【詳解】左支內(nèi)最短的焦點(diǎn)弦，又，所以與左、右兩支相交的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，因?yàn)閷?shí)數(shù)使得的直線恰有3條，根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可知：其中一條與實(shí)軸垂直，另兩條關(guān)于軸對(duì)稱.如圖所示：

所以當(dāng)時(shí)，有3條直線滿足題意.故選：C4．設(shè)，為正實(shí)數(shù)，，，則（

）A． B． C．1 D．【正確答案】D【分析】首先由得出，由得出，代入得出，而，即，由基本不等式等號(hào)成立條件得出，即可得出答案．【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，所以，即，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，此時(shí)，所以，故選：D．5．已知，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】轉(zhuǎn)化為，利用增函數(shù)性質(zhì)可得是上的增函數(shù)，故而，進(jìn)而得出答案即可.【詳解】不等式等價(jià)于，又是上的增函數(shù)，所以，故.因?yàn)椋缘娜≈捣秶?故選：B6．已知（，2，?，95），則數(shù)列中整數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為（

）A．13 B．14 C．15 D．16【正確答案】C【分析】整理得，當(dāng)時(shí)，只要，均為整數(shù)即可，但當(dāng)，會(huì)出現(xiàn)小數(shù)，應(yīng)考慮中因子的個(gè)數(shù)問(wèn)題.【詳解】因?yàn)?，要使為整?shù)，必有，均為整數(shù)，當(dāng)，8，14，20，26，32，38，44，50，56，62，68，74，80時(shí)，和均為非負(fù)整數(shù)，所以為整數(shù)，共有14個(gè).當(dāng)時(shí)，，在中，中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為，同理可計(jì)算得中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為82，中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為110，所以中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為，故是整數(shù).當(dāng)時(shí)，，在中，同樣可求得中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為88，中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為105，故中因數(shù)2的個(gè)數(shù)為，故不是整數(shù).因此，整數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為.故選：C.7．在直三棱柱中，，已知G與E分別為和的中點(diǎn)，D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）.若，則線段DF長(zhǎng)度的取值范圍為A． B． C． D．【正確答案】C【詳解】根據(jù)直三棱柱中三條棱兩兩垂直，本題考慮利用空間坐標(biāo)系解決．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出、的坐標(biāo)，利用求得關(guān)系式，寫出的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)求最值即可．解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，0，，，，由于，所以，，，當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小值是當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值是1而不包括端點(diǎn)，故不能??；故選C．8．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠啠粼撦喗Y(jié)束比賽停止則某一方連贏兩局，概率為；若比賽繼續(xù)，則甲、乙各得一分，概率為，且對(duì)下一輪比賽是否停止無(wú)影響.由此可計(jì)算為2，4的概率，為6時(shí)，可能被迫中止，只需計(jì)算前兩輪比賽不停止的概率即可.【詳解】解：依題意知，的所有可能值為2，4，6，設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為．若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響．從而有，，為6時(shí)，即前兩輪比賽不分輸贏，繼續(xù)比第三輪，故．故選：B二、多選題9．已知采用分層抽樣得到的樣本數(shù)據(jù)由兩部分組成，第一部分樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；第二部分樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，設(shè)，則以下命題正確的是（

）A．設(shè)總樣本的平均數(shù)為，則B．設(shè)總樣本的平均數(shù)為，則C．設(shè)總樣本的方差為，則D．若，則【正確答案】AD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，由放縮可得；對(duì)于B選項(xiàng)，舉例說(shuō)明B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，舉例說(shuō)明C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若，代入總體方差計(jì)算公式，可得.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，即，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取第一部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，取第二部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，則，B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，取第一部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，取第二部分?jǐn)?shù)據(jù)為，則，，則，，C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，D正確.故選：AD.10．如圖，為正方體.任作平面與對(duì)角線垂直，使得與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長(zhǎng)為l.則（

）

A．S為定值 B．S不為定值 C．l為定值 D．l不為定值【正確答案】BC【分析】作出輔助線，得到平面，從而得到截面的周長(zhǎng)為定值，舉出例子得到面積不是定值.【詳解】將正方體切去兩個(gè)正三棱錐與后，得到一個(gè)以平行平面與為上、下底面的幾何體V，在上取一點(diǎn)，作，，再作，，，則六邊形即為平面，

V的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的一條邊平行，將V的側(cè)面沿棱剪開(kāi)，展平在一張平面上，得到一個(gè)平行四邊形，而多邊形W的周界展開(kāi)后便成為一條與平行的線段（如圖中），顯然，故為定值.當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，多邊形W為正六邊形，而當(dāng)移至處時(shí)，W為正三角形，易知周長(zhǎng)為定值的正六邊形與正三角形面積分別為與，故S不為定值.

故選：BC11．已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，滿足，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】BC【分析】根據(jù)題目給出的等式，代入函數(shù)解析式得到、的關(guān)系，從而判斷出的符號(hào)，再把，轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)字母的式子即可求解．【詳解】∵，∴，∴或，又∵，∴，∴，故A不正確，B正確；又由有意義知，從而，于是.所以.從而.又，所以，故.解得或（舍去）.把代入解得.所以，，故C正確，D不正確.故選：BC.12．已知曲線．從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為．則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為B．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，【正確答案】ABC【分析】設(shè)直線，方程聯(lián)立由，可得，，從而可判斷A，B；由，得，從而可判斷C；舉例即可判斷D，如.【詳解】設(shè)直線，聯(lián)立，得，則由，即，得（負(fù)值舍去）所以可得，，故A正確；，所以，故B正確；對(duì)于C，由，得，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，則，故C正確；對(duì)于D，，因?yàn)?，所以，所以，所以，令，即，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，所以當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查圓的切線問(wèn)題和數(shù)列不等式的證明問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出切線方程，方程聯(lián)立由，得出，，證明得到，從而可比較與的大小.三、填空題13．直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為拋物線上的一點(diǎn)，.則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【正確答案】或【詳解】設(shè)、、由得.則

①又，，則

②因?yàn)椋裕?故.將方程組①、②代入上式并整理得.顯然，.否則，.于是，點(diǎn)在直線上，即點(diǎn)與或重合.所以，，.故所求點(diǎn)或.故答案為或14．設(shè)是定義在上的函數(shù)，若，且對(duì)任意，滿足，，則________【正確答案】由可得，從而可得.從而可求的值.【詳解】因?yàn)?，故，，故，而，所以，所以，故，故答案?本題考查不等式的性質(zhì)、等比數(shù)列的前和，注意利用夾逼的方法把不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系，本題屬于較難題.15．一個(gè)半徑為1的小球在一個(gè)內(nèi)壁棱長(zhǎng)為的正四面體封閉容器內(nèi)可向各個(gè)方向自由運(yùn)動(dòng)，則該小球表面永遠(yuǎn)不可能接觸到的容器內(nèi)壁的面積是．【正確答案】【詳解】試題分析：如圖甲，考慮小球擠在一個(gè)角時(shí)的情況，作平面//平面，與小球相切于點(diǎn)，則小球球心為正四面體的中心，，垂足為的中心．因，故，從而．記此時(shí)小球與面的切點(diǎn)為，連接，則．考慮小球與正四面體的一個(gè)面(不妨取為)相切時(shí)的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點(diǎn)的軌跡仍為正三角形，記為，如圖乙．記正四面體的棱長(zhǎng)為，過(guò)作于．因，有，故小三角形的邊長(zhǎng)．小球與面不能接觸到的部分的面積為．又，所以．由對(duì)稱性，且正四面體共4個(gè)面，所以小球不能接觸到的容器內(nèi)壁的面積共為．(1)三棱錐的體積公式；（2）分情況討論及割補(bǔ)思想的應(yīng)用．16．如圖，在的長(zhǎng)方形棋盤的每個(gè)小方格中各放一個(gè)棋子.如果兩個(gè)棋子所在的小方格共邊或共頂點(diǎn)，則稱這兩個(gè)棋子相連.現(xiàn)從這56個(gè)棋子中取出一些，使得棋盤上剩下的棋子沒(méi)有五個(gè)在一條直線（橫、豎、斜方向）上依次相連.則最少取出______個(gè)棋子才可能滿足要求.【正確答案】11【分析】通過(guò)反證法證明任取10個(gè)棋子，則余下的棋子必有一個(gè)五子連珠，然后構(gòu)造一種取法，共取走11個(gè)棋子，余下的棋子沒(méi)有五子連珠，最后得到答案.【詳解】如果一個(gè)方格在第i行第j列，則記這個(gè)方格為.第一步通過(guò)反證法證明若任取10個(gè)棋子，則余下的棋子必有一個(gè)五子連珠，即五個(gè)棋子在一條直線（橫、豎、斜方向）上依次相連.假設(shè)可取出10個(gè)棋子，使余下的棋子沒(méi)有一個(gè)五子連珠.如圖1，在每一行的前五格中必須各取出一個(gè)棋子，后三列的前五格中也必須各取出一個(gè)棋子.這樣10個(gè)被取出的棋子不會(huì)分布在右下角的陰影部分.同理由對(duì)稱性，也不會(huì)分布在其他角上的陰影部分.第1、2行必在每行取出一個(gè)，且只能分布在、、、這些方格.同理、、、這些方格上至少要取出2個(gè)棋子.在第1、2、3列，每列至少要取出一個(gè)棋子，分布在、、、、、、、、所在區(qū)域，同理、、、、、、、、所在區(qū)域內(nèi)至少取出3個(gè)棋子.這樣在這些區(qū)域內(nèi)至少已取出了10個(gè)棋子.因此在中心陰影區(qū)域內(nèi)不能取出棋子.由于①、②、③、④這4個(gè)棋子至多被取出2個(gè)，從而，從斜的方向看必有五子連珠了.矛盾，故假設(shè)不成立，則若任取10個(gè)棋子，則余下的棋子必有一個(gè)五子連珠，第二步構(gòu)造一種取法，共取走11個(gè)棋子，余下的棋子沒(méi)有五子連珠.如圖2，只要取出有標(biāo)號(hào)位置的棋子，則余下的棋子不可能五子連珠.綜上所述，最少要取走11個(gè)棋子，才可能使得余下的棋子沒(méi)有五子連珠.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過(guò)反證法證明任取10個(gè)棋子，則余下的棋子必有一個(gè)五子連珠，然偶利用圖形分析出取出固定標(biāo)號(hào)的棋子，則無(wú)法五子連珠.四、解答題17．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c成等比數(shù)列.(1)若，的面積為2，求的周長(zhǎng)；(2)求的取值范圍.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比中項(xiàng)公式與三角形面積公式求得，再利用余弦定理與完全平方公式求得，從而得解；（2）結(jié)合題意，先化簡(jiǎn)所求得求公式q的取值范圍即可，利用三角形兩邊之和大于第三邊得到關(guān)于q的不等式組，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列，則，又，，所以，所以的面積為，故，則，由余弦定理，即，則，所以，故的周長(zhǎng)為.（2）設(shè)a，b，c的公比為q，則，，而，因此，只需求的取值范圍即可.因a，b，c成等比數(shù)列，最大邊只能是a或c，因此a，b，c要構(gòu)成三角形的三邊，必需且只需且.故有不等式組，即，解得，從而，因此所求范圍為.18．已知數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，試比較與的大小.【正確答案】（1），且；（2）．【分析】（1）由已知可得，令求數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）通過(guò)（1）作差，討論、判斷、的符號(hào)，即可得結(jié)論．【詳解】（1）原式可變形得：，則，記，則，整理得，又，所以是首項(xiàng)、公比均為1的等差數(shù)列，則，故.所以，且．（2）由（1），作差可得：，又，當(dāng)時(shí)，且；當(dāng)時(shí)，且綜上，當(dāng)且時(shí)，與同號(hào)，即．19．類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則．（1）當(dāng)、時(shí)，證明以上三面角余弦定理；（2）如圖2，四棱柱中，平面平面，，，①求的余弦值；②在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且使時(shí)，平面.【分析】（1）過(guò)射線上一點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接，，可得是二面角的平面角．在中和中分別用余弦定理，兩式相減變形可證結(jié)論；（2）①直接利用三面角定理（（1）的結(jié)論）計(jì)算；②連結(jié)，延長(zhǎng)至，使，連結(jié)，由線面平行的判定定理證明平面．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)射線上一點(diǎn)作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接，則是二面角的平面角．在中和中分別用余弦定理，得，，兩式相減得，∴，兩邊同除以，得．（2）①由平面平面，知，∴由（1）得，∵，，∴．②在直線上存在點(diǎn)，使平面．連結(jié)，延長(zhǎng)至，使，連結(jié)，在棱柱中，，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴．在四邊形中，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，又平面，平面，∴平面．∴當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且使時(shí)，平面．20．公元1651年，法國(guó)一位著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家德梅赫向另一位著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡提請(qǐng)了一個(gè)問(wèn)題，帕斯卡和費(fèi)馬討論了這個(gè)問(wèn)題，后來(lái)惠更斯也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)全歐洲乃至全世界最優(yōu)秀的科學(xué)家都給出了正確的解答該問(wèn)題如下：設(shè)兩名賭徒約定誰(shuí)先贏局，誰(shuí)便贏得全部賭注元.每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭錢相互獨(dú)立.在甲贏了局，乙贏了局時(shí)，賭錢意外終止賭注該怎么分才合理？這三位數(shù)學(xué)家給出的答案是：如果出現(xiàn)無(wú)人先贏局則賭錢意外終止的情況，甲、乙便按照賭錢再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注.（1）甲、乙賭錢意外終止，若，則甲應(yīng)分得多少賭注？（2）記事件為“賭錢繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”，試求當(dāng)時(shí)賭錢繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷當(dāng)時(shí)，事件是否為小概率事件，并說(shuō)明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.【正確答案】（1）216元；（2），是，理由見(jiàn)解析.【分析】(1)設(shè)賭錢再進(jìn)行X局甲贏得全部賭注，甲必贏最后一局，最多再進(jìn)行4局，甲、乙必有人贏得全部賭注，由此利用概率計(jì)算公式即可得解；(2)設(shè)賭錢再進(jìn)行Y局乙贏得全部賭注，同(1)的方法求出乙贏得全部賭注的概率，由對(duì)立事件可得，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值作答.【詳解】（1）設(shè)賭錢再繼續(xù)進(jìn)行局甲贏得全部賭注，則最后一局必然甲贏，由題意知，最多再進(jìn)行4局，甲、乙必然有人贏得全部賭注，當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以，當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以，當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以，于是得甲贏得全部賭注的概率為，所以，甲應(yīng)分得的賭注為元.（2）設(shè)賭錢繼續(xù)進(jìn)行Y局