淺析因式分解 畢業(yè)論文.doc

學 士 學 位 論 文題 目 淺析因式分解 學 生 指導教師 年 級 2009級專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學系 別 數(shù)學系學 院 數(shù)學與科學學院哈爾濱師范大學2013年4月1因式分解淺析 摘 要：因式分解是數(shù)學中恒等變形的一種重要的方法，它在初等數(shù)學乃至高等數(shù)學中，都有廣泛的應用。本論文首先運用類比和大量的舉例對因式分解概念作了說明；其次給出了因式分解的一些方法以及應用過程，然后對因式分解中所涉及到的數(shù)學思想作了歸納和總結；最后通過調(diào)查分析了解了學生在學習因式分解中常出錯的地方，并給出了應對方法。因為本論文主要從理論上闡述了因式分解中的一些重要內(nèi)容及方法，因此對于一般因式、數(shù)域、公因式等的定義都沒有另行敘述而直接采用。關鍵詞： 因式分解 概念 方法 思想 錯誤分析一、因式分解概念在算術中，我們已掌握了整數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的概念，如：；在此基礎上，由數(shù)向式過渡，我們得到因式分解的一般定義：通常把一個多項式分解為幾個不能再分的因式的乘積，稱作多項式的因式分解。對于一個多項式能否因式分解，不能孤立的來考慮，在不同的數(shù)域內(nèi)有不同的結論，為了說清楚這個問題，我們必須引進幾個概念。1所謂多項式在給定的數(shù)集內(nèi)討論，是指多項式中的一切系數(shù)，以及自變量所取的值，都要屬于這個數(shù)集。例1 分解的因式在有理數(shù)域中，它的分解式是：，分解到這里就不能再繼續(xù)分解，不然的話，分解式的系數(shù)將超出有理數(shù)的范圍。在實數(shù)域中，它的分解式是：，分解到這里，就不能再繼續(xù)分解。在復數(shù)域中，它的分解式：。由此可見，對多項式的分解，必須先明確系數(shù)的數(shù)域，再理解其不能再分的含義。2當然因子和非當然因子。在給定的數(shù)集內(nèi)，任一多項式總能被該數(shù)集內(nèi)的一個非零數(shù)整除，而且所除得的商與原多項式只差一個非零數(shù)值因子。例2 在有理數(shù)集內(nèi)分解 這種和原多項式只差一個非零數(shù)值因子的多項式叫做原多項式的當然因子，一切其他因子叫做原多項式的非當然因子。如上例中，等是的當然因子，而，是它的非當然因子。因此，我們研究多項式的因式分解，只是從它能否表示成非當然因子的積來考慮的。3可約多項式和不可約多項式。在某個數(shù)域上次數(shù)的多項式，如果他不能表示成這個數(shù)域上兩個次數(shù)比的次數(shù)低的多項式的乘積，我們稱多項式為這個數(shù)域上的不可約多項式。按照定義，一個多項式是否可約，是依賴于它的系數(shù)域的。當系數(shù)域改變后，它的可約與否就可能改變。如在指定的數(shù)集內(nèi)多項式有非當然因子，那么這個多項式在這個數(shù)集內(nèi)是可約的，否則就叫做不可約。關于因式分解中不能再分問題，有幾個重要命題。（1）在復數(shù)域。推論1 多項式總可以在復數(shù)域中分解成個一次式的積。推論2在復數(shù)域上，只有一次式是不可約的，任何大于的多項式都是可約多項式。定理1如果實系數(shù)次多項式有一個虛數(shù)根（其中，為實數(shù)，），那么也是的根。例3 在復數(shù)域上分解下列各式：其中，（，）（2）在實數(shù)域。定理2在實數(shù)域中只存在一次和二次不可約多項式；任何次數(shù)的多項式總是可約的。在實數(shù)集內(nèi)，一個二次三項式是不可約的充要條件是：。例4 在實數(shù)域上分解下列各式：(的，在實數(shù)域上不能再分)（因為在實數(shù)域上最多有二次不可約多項式，像上面的一定可以再分，這一點往往會被忽略）（3）在有理數(shù)域。除一次式不可約外，次數(shù)高于一次的多項式，都可能會是不可約的。有理系數(shù)多項式可以歸結為整系數(shù)多項式來討論。設是有理系數(shù)多項式，選取適當?shù)恼麛?shù)乘以，總可以使是整系數(shù)多項式，如果的各項系數(shù)有公因式，可以提出來，即，其中是各項系數(shù)互質(zhì)的整系數(shù)多項式。例5 ，這里 。關于整系數(shù)多項式的因式分解，有以下定理： 定理3（艾森坦因判別法）設是一個整系數(shù)多項式，如果有一個素數(shù)使得那么在有理數(shù)域上不可約。例6 證明下列各式在有理數(shù)域上不可約。證：，；取，因為能整除，,，；不能整除，不能整除，由艾氏判別法知，原式在有理數(shù)上不可約。證：因為，；取素數(shù)，那么不能整除，不能整除，能整除，故由艾氏判別法知，在有理數(shù)域上不可約。在中學課本中，一方面以“把一個多項式化為幾個整式的積的形式叫做多項式的因式分解?！眮硖娲疚拈_頭的嚴格定義；另一方面又加了幾個注意：“分解因式必須分解到每一個因式都不能分解為止。”而在中學范圍內(nèi)，學生所掌握的數(shù)還只限于有理數(shù)。因此，“分解到每一個因式都不能分解為止”是指所分得因式的系數(shù)為有理數(shù)。隨著學生接觸的數(shù)的范圍不斷擴大，這句話就有了新的意義，有些本來認為不能再分解了，而這時還可以繼續(xù)分解。因此交代這個“注意”時不要把話說死了，而要留有余地。二、 因式分解的一般解法 一元多項式的因式分解1根據(jù)多項式的有理根，要是的根則就是的因式，根據(jù)多項式的有理根可知，要是得根必須是的形式，其中,是多項式最高次項系數(shù)的約數(shù)，是多項數(shù)常數(shù)項的約數(shù)。給出所有的的值再逐一的驗證，實際問題中的根往往是整數(shù)，所以我們可以優(yōu)先驗證整數(shù)，在具體的題里我們可以優(yōu)先驗證那些相對小的整數(shù)。2根據(jù)多項式的標準分解式，在理論上已經(jīng)證明任意一個次數(shù)大于0的多項式都可以分解成為不可約多項式乘積的形式，即都可以分解成則其中每個都不能整除。由于存在使。由此可見和具有完全相同的形式，差別只是中的因式的重數(shù)為，所以求的因式就可以轉(zhuǎn)化成求的因式。例1 求多項式的標準分解式。解：由，得，所以得不可約因式為。但是，又由重因式定理，是的重因式，所以。 二元一次多項式的因式分解1提取公因式 找多項式每項的公因式； 提公因式 。注意問題： 每個括號多不能提； 每個括號的第一項不能提數(shù)； 數(shù)字的最大約數(shù)不一定為； ； ；。 分解后答案不能有多重括號，每個括號都要化簡； 數(shù)字和單個字母要寫在最前面； 能變相同的要寫相同因式； 求代數(shù)的值：先因式分解在求值。2公式法 平方差公式：；注意：分解的結果不能為根號。 完全平方公式：； 注意： 必須是三項式。 有兩個“項”的平方（有兩個“項”的符號相同）。 有這兩“項”的倍或倍。3分組分解法如果整式是 項：分組方法有 分， 分；（必須是完全平方） 項：分組分解是 分； 項：分組分解是 分； 分； 分。例2 分解因式。解法一： 分解法二： 分4十字相乘法定義： 常數(shù)項是正數(shù)時，它分解成兩個同號的因數(shù)，它們與一次項系數(shù)符號相同。 常數(shù)項是負數(shù)時，它分解成兩個異號的因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次系數(shù)符號相同。例3 分解因式 。分析 解：例4 分解因式。分析 解： 二元二次多項式的因式分解二元二次多項式 的因式分解，與二元二次方程租的求解及二次曲線的討論都有密切的關系。對的因式分解，一般都是采用待定系數(shù)法。假設能分解為兩個一次因式和的乘積，即與比較，應有 反之如果存在實數(shù)使，三個式子同時成立，則必可以分解成為兩個一次因式和的乘積。由此可知，如果、和至少有一個不能分解，或者不存在使，三個式子同時滿足、的實數(shù)，則就不可以分解成為兩個一次因式的乘積。在解題的時候，我們可以先求出、中任意兩個分解式，再驗證另外一個式子是否成立。例5 判斷下列兩個多項式是否可以分解成為兩個一次因式的乘積。若能分解，求出其分解式。 解：因為,。所以。原式可以分解為兩個一次因式的乘積： 顯然，在實數(shù)范圍內(nèi)不能分解，所以原式不能分解成為兩個一次因式的乘積。.對于系數(shù)比較簡單的情形，我們可以不寫出分解式、，而只要利用十字相乘法便可以得到結果。三、因式分解的特殊解法1拆項法它是指把多項式的某一項分裂成為兩項，利用分組來分解因式的方法，它常適用于雙二次三項式、二次三項式、三次四項式、四次二項式、四次三項式等多項式的因式分解。例1 分解因式 。分析 把常數(shù)項分解為解：例2 在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式。分析 把二次項分解為兩項解：2添項法它是指在多項式中添加某一輔助項，利用分組來分解因式的方法。它也常適用于雙二次三項式、二次三項式、三次四項式、四次二項式、四次三項式等多項式的因式分解。例3 在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式。分析 添加輔助項解：3待定系數(shù)法它是指形如二次二項式，在指定數(shù)域內(nèi)能分解成為，通過恒等的性質(zhì)，確定、, 待定分解因式的方法。它適用于有二次齊次項的多項式的因式分解，以及某些缺項的高次多項式的因式分解。例4 分解因式。解：由設原式 與原式比較對應項系數(shù)，得解得故。4對稱法它是指形如二元二次式形式的多項式的因式分解的方法。他通常有一般的解法和特殊的解法兩種。一般說來，在初中階段應重點掌握特殊解法。例5 分解因式。分析 當時原式，故可斷定是原式的一個因子，同理、也是原式的因子解：設原式，令；把他們代入等式的兩邊，得化簡整理，得，解得。故。5綜合除法法它是指根據(jù)多項式的除法原理，找出多項式的有理因式，再尋求因式分解的方法。它常適用于高次多項式的因式分解。例6 分解因式。分析 設，則可知，。故可斷定原式有因子或，通過綜合除法，可找出其余的因子解：由經(jīng)驗得、，均為的根，可知原式有或兩個因子，根據(jù)多項式除法，得 四、因式分解在解題中的運用1在求值問題中的運用例1 已知求的值。解：由對分別配方，得因為，所以于是得到故。本題是利用配方法將已知等式化成的形式，從而得出。例2 已知為任意實數(shù)，試求的最小值。解：因為，由于，且僅當時，故。且僅當時，因此得到最小值是，僅當時，。由以上兩例的求解過程可以看出，利用配方法變形代數(shù)式以達到問題的解決是一種常用的方法。2在分式運算中的運用例3 化簡。解：例4 計算。解：對分式的運算，通常應先化簡，因而應將因式的分子，分母分解因式后約分，然后再計算；當然，在運算過程中亦應注意簡化。3在二次根式計算中的運用例5 滿足等式的正整數(shù)對的個數(shù)是（ ）。a；b；c；d。解：由等式得出此式重新組項，得分別提取共因式，得出進而得到由于，所以。從而得出，又因為整數(shù)是質(zhì)數(shù)，必然有或，故應選擇答案b。4在等式恒等式中的運用例6 設n為正整數(shù)，且 求證 。證明： 式去分母，移項得 上式中，時等式成立；又由上式左端的對稱性可知，當，時，等式亦成立。注意到式左端三次多項式，因而它可分解因式為其中，是一待定常數(shù)，令即可得出。這樣，式變形為故，已知條件式等價于且、中至少有一個等于。若，由此有，分別代入求證式的左、右兩端，得到 故，當時求證式成立。類似可證當時求證式亦成立，因此在條件之下求證式成立。此例中，已知式的變形（特別是其左端的因式分解）是解題的關鍵。五、因式分解中涉及的數(shù)學思想 1類比思想利用數(shù)形性結合的方法，類比揭示因式分解是一種代數(shù)式的恒等變形。例1 觀察圖1和圖2，求陰影部分的面積我們可求出圖1-1中陰影部分的面積是 ，圖1-2中陰影部分的面積是同時觀察圖1-1和圖1-2的結構可知圖1-2是由圖1-1的部分旋轉(zhuǎn)、平移后得到的，這兩種圖形變換不改變圖形的面積，因此 。從而可認識到因式分解是一種式的恒等變形。（2）通過對比，加深學生對因式分解的理解。學習因式分解，首先要明確因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別，即整式乘法是把幾個整式相乘并展開為一個多項式。而因式分解是把一個多項式化成幾個因式相乘，而且必須把每個因式分解到不能再分解為止。對此，我們總結出以下表格。表1-1整式乘法名稱整式乘法因式分解因式分解名稱特點單項式乘以多項式提取公因式法提出各項公有的因式平方差公式平方差公式法僅二項，都為完全平方項且為減法完全平方公式完全平方二次三項式中，二項是完全平方式且為同號，另一項是兩數(shù)積的2倍立方和或立方差公式立方和或立方差二項和或差，且每項都為某數(shù)的立方多項式乘以多項式分組分解法四項，分組后能直接提公因式十字相乘法二次三項式，二次項系數(shù)為1，且不為完全平方公式二次三項式，二次項系數(shù)不為1，且不為完全平方公式通過列表，把整式乘法同因式分解對應起來，學生通過對比分析，就可以明確因式分解和整式乘法相互間的聯(lián)系與區(qū)別。2 轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想就是對于不能直接分解的某些多項式，若通過轉(zhuǎn)化，如添項拆項等變形，則可以因式分解。例2 在復數(shù)域分解因式。解：這個式子可以配乘積項，利用平方差共公式分解例 3 在有理數(shù)域分解因式。分析 這是一個五項式，沒有公因式可提，也不能用公式法或分組分解，但其中有三項式，如果把拆成，則可得平方差公式。解：3換元思想將多項式的某些項用其它字母代換，通過換元可以將復雜的多項式轉(zhuǎn)變成簡單的多項式,將陌生的形式轉(zhuǎn)變成熟悉的形式，再分解因式。例4 分解。解：設，則把原始化為，這是個二次三項式，它的分解式是，再把帶回原式，則例5 分解。解： 設 ，則上式為原式為 4整體思想用整體思想分解因式，是指將要分解的多項式中的某些項看成一個整體而加以分解。六、錯誤分析現(xiàn)列出平時書面檢測中，有關因式分解的問題。指出哪些是因式分解，那些不是因式分解。1）2）3）4）經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)正確指出）題是因式分解的學生占90%，正確指出）不是因式分解的學生各占81%、68%、68% ，）兩題等號右邊有一部分和因式分解相似，答對的人數(shù)明顯降低，這是因為學生對定義中“幾個整式的積的形式”作了片面的理解。當他們看見等式右邊的一部分式子具有“積的形式”，與因式分解相似，就把它與因式分解等同起來，因此，指出錯誤的題目就要比指出正確的題目要困難些。經(jīng)過類似的調(diào)查和分析，我們知道了學生在因式分解中出錯的主要原因是：1）混淆了乘法運算和因式分解，如：（分解后又作乘法）；2）只“分解”多項式的某幾項，如：；3）不知分解到何時為止，尤其把“不會”與“不能”混淆，以為不會就是不能；4）不正確的按字母按順序分，如：；5）不能正確地改變符號，如：；針對以上情況，應采取以下措施：類比質(zhì)因式數(shù)提出分解多項式的問題，并且指出多項式因式分解是把一個多項式分成幾個整式的積的形式。再對比說明，乘法運算是把幾個整式“乘出來”。要用實例讓學生了解，尚能分解時，還要繼續(xù)分解下去，直到不能再分解為止。要讓學生注意字母型形象和各項順序?qū)σ蚴椒纸獾挠绊?，并且要使學生充分掌握符號法則和基本順序。參考文獻：1 牛繼武 張羽 張寅 因式分解及其應用，天津市數(shù)學會，中學數(shù)學叢書，1998(1)2 李穎一元多項式因式分解的方法，大慶師范學院學報，2006(4)3 霍思瓊二元二次式因式分解的簡便方法，昭通師范高等?？茖W校學報，2001(9)author factoringpanabstract:factoring is identical deformation of a kind of important method in mathematics, in elementary mathematics and higher mathematics, it has a wide range of applications. first