第一輪復(fù)習(xí) 風(fēng)向標(biāo)導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用

第五章 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用知識(shí)網(wǎng)絡(luò)導(dǎo)數(shù)的概念基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性研究的的的函數(shù)的極值與最值研究導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的物理及幾何意義意義導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用最優(yōu)化問(wèn)題計(jì)算定積分的的的定積分與微積分的基本定理定積分的應(yīng)用第1講 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 知 識(shí) 梳理 1.用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟.（1）求函數(shù)的改變量y；（2）求平均變化率.（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)（x0）=.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義幾何意義：曲線f（x）在某一點(diǎn)（x0，y0）處的導(dǎo)數(shù)是過(guò)點(diǎn)（x0，y0）的切線的 物理意義：若物體運(yùn)動(dòng)方程是s=s（t），在點(diǎn)P（i0，s（t0）處導(dǎo)數(shù)的意義是t=t0處的 解析：斜率.；瞬時(shí)速度.3. 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（為常數(shù)）；（）； ； ； ； ；. 解析：4.運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：； ； .解析：； 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：或 重 難 點(diǎn) 突 破 1.重點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算法則，熟練掌握常見函數(shù)的計(jì)算和曲線的切線方程的求法2.難點(diǎn)：切線方程的求法及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)3.重難點(diǎn)：借助于計(jì)算公式先算平均增長(zhǎng)率,再利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)的問(wèn)題.（1）平均變化率的實(shí)際含義是改變量與自變量的改變量的比。問(wèn)題1.比較函數(shù)與,當(dāng)時(shí),平均增長(zhǎng)率的大小.點(diǎn)撥:解題規(guī)律技巧妙法總結(jié): 計(jì)算函數(shù)的平均增長(zhǎng)率的基本步驟是(1)計(jì)算自變量的改變量(2)計(jì)算對(duì)應(yīng)函數(shù)值的改變量(3)計(jì)算平均增長(zhǎng)率: 對(duì)于,又對(duì)于,故當(dāng)時(shí), 的平均增長(zhǎng)率大于的平均增長(zhǎng)率.（2）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要堅(jiān)持“將求導(dǎo)進(jìn)行到底”的原則,問(wèn)題2. 已知,則 .點(diǎn)撥：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)計(jì)算不熟練,其與系數(shù)不一樣也是一個(gè)復(fù)合的過(guò)程,有的同學(xué)忽視了,導(dǎo)致錯(cuò)解為:.設(shè),則. （3）求切線方程時(shí)已知點(diǎn)是否切點(diǎn)至關(guān)重要。問(wèn)題3. 求在點(diǎn)和處的切線方程。點(diǎn)撥：點(diǎn)在函數(shù)的曲線上，因此過(guò)點(diǎn)的切線的斜率就是在處的函數(shù)值；點(diǎn)不在函數(shù)曲線上，因此不能夠直接用導(dǎo)數(shù)求值，要通過(guò)設(shè)切點(diǎn)的方法求切線切忌直接將，看作曲線上的點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)求解。即過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為4，故切線為：設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，又，故，。即切線的斜率為4或12，從而過(guò)點(diǎn)的切線為： 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn)1: 導(dǎo)數(shù)概念題型1.求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值例1 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則等于 A B C D【解題思路】由定義直接計(jì)算解析.故選【名師指引】求解本題的關(guān)鍵是變換出定義式考點(diǎn)2.求曲線的切線方程例2(高明一中2009屆高三上學(xué)期第四次月考)如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是，則= .【解題思路】區(qū)分過(guò)曲線處的切線與過(guò)點(diǎn)的切線的不同，后者的點(diǎn)不一定在曲線上. 解析:觀察圖形,設(shè),過(guò)P點(diǎn)的切線方程為即它與重合,比較系數(shù)知:故=2【名師指引】求切線方程時(shí)要注意所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn)若是，可以直接采用求導(dǎo)數(shù)的方法求；不是則需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)題型3.求計(jì)算連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率例3一球沿一斜面從停止開始自由滾下，10 s內(nèi)其運(yùn)動(dòng)方程是s=s(t)=t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求小球在t=5時(shí)的加速度.【解題思路】計(jì)算連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率實(shí)際上就是在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解析：加速度v= (10+t)=10 m/s.加速度v=2t=25=10 m/s.【名師指引】計(jì)算連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率的基本步驟是1. 計(jì)算2. 計(jì)算【新題導(dǎo)練】.1. 曲線和在它們交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是 .解析：曲線和在它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)，兩條切線方程分別是y=x+2和y=2x1，它們與軸所圍成的三角形的面積是.點(diǎn)撥:與切線有關(guān)的問(wèn)題,應(yīng)有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的意識(shí),求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)只要聯(lián)立解方程組即可.2. 某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是，則在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度為（ ）A1B3C7D13解:B 點(diǎn)撥:計(jì)算即可3. 已知曲線C1:y=x2與C2:y=(x2)2,直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程.解：設(shè)l與C1相切于點(diǎn)P(x1,x12),與C2相切于Q(x2,(x22)2)對(duì)于C1：y=2x,則與C1相切于點(diǎn)P的切線方程為yx12=2x1(xx1),即y=2x1xx12對(duì)于C2：y=2(x2),與C2相切于點(diǎn)Q的切線方程為y+(x22)2=2(x22)(xx2),即y=2(x22)x+x224兩切線重合，2x1=2(x22)且x12=x224,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0直線l方程為y=0或y=4x4點(diǎn)撥:利用解方程組求交點(diǎn),利用直線間的位置和待定系數(shù)法求斜率.考點(diǎn)2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算題型1:求導(dǎo)運(yùn)算例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1） （2） （3）【解題思路】按運(yùn)算法則進(jìn)行解析 （1）（2）（3）【名師指引】 注意復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法（分解求導(dǎo)回代）；注意問(wèn)題的變通：如的導(dǎo)數(shù)容易求錯(cuò)，但的導(dǎo)數(shù)不易求錯(cuò).題型2:求導(dǎo)運(yùn)算后求切線方程例2. (廣州市2008屆二月月考)已知函數(shù)（1）若，點(diǎn)P為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線斜率取最小值時(shí)的切線方程；（2）若函數(shù)上為單調(diào)增函數(shù)，試求滿足條件的最大整數(shù)a.【解題思路】先按運(yùn)算法則求導(dǎo),再按幾何意義求切線方程.解析：（1）設(shè)切線的斜率為k，則 又，所以所求切線的方程為： 即【名師指引】求三次函數(shù)圖象的切線在高考中經(jīng)常出現(xiàn).與曲線相切于P處的切線方程是（ D ）A B C D 題型3:求導(dǎo)運(yùn)算后的小應(yīng)用題例3. 某市在一次降雨過(guò)程中,降雨量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為,則在時(shí)刻的降雨強(qiáng)度為( )A. B. C. D. 【解題思路】先對(duì)的求導(dǎo),再代的數(shù)值.解析:選D【名師指引】求某一時(shí)刻的降雨量相當(dāng)于求瞬時(shí)變化率,即那一時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)值.【新題導(dǎo)練】.4. 設(shè)函數(shù)，且，則 A0 B-1 C3 D-6思路分析: 按導(dǎo)數(shù)乘積運(yùn)算法則先求導(dǎo),然后由已知條件構(gòu)造關(guān)于的方程求解.解 : +故 又,故5. 設(shè)函數(shù)，（、 是兩兩不等的常數(shù)），則 解析:代入即得0.6. 質(zhì)量為的物體按的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),動(dòng)能,則物體在運(yùn)動(dòng)后的動(dòng)能是 解析:先求瞬時(shí)速度后,再代入公式求解提3125J 搶 分 頻 道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. (廣東省六校2009屆高三第二次聯(lián)考試卷)是的導(dǎo)函數(shù)，則的值是 解析: 故=32. (廣東省2008屆六校第二次聯(lián)考)在處的導(dǎo)數(shù)值是_. 解析：故填3. 已知直線x+2y4=0與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是拋物線的弧上求一點(diǎn)P，當(dāng)PAB面積最大時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為 .解析：|AB|為定值，PAB面積最大，只要P到AB的距離最大，只要點(diǎn)P是拋物線的平行于AB的切線的切點(diǎn)，設(shè)P（x,y）.由圖可知，點(diǎn)P在x軸下方的圖象上y=2,y=,kAB=,x=4,代入y2=4x(y0)得y=4. P(4,4)4.(廣東省深圳市2008年高三年級(jí)第一次調(diào)研考試)已知，（），直線與函數(shù)、的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1求直線的方程及的值；解：依題意知：直線是函數(shù)在點(diǎn)處的切線，故其斜率，所以直線的方程為又因?yàn)橹本€與的圖像相切，所以由，得（不合題意，舍去）；5.(湛江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2009屆高三第四次月考)已知函數(shù)的圖象都相切，且l與函數(shù)圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求直線l的方程及a的值；解由，故直線l的斜率為1，切點(diǎn)為即（1，0） 又 即 比較和的系數(shù)得 綜合拔高訓(xùn)練6. 對(duì)于三次函數(shù)，定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”?，F(xiàn)已知,請(qǐng)解答下列問(wèn)題:（1）求函數(shù)的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo);（2）求證的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A 對(duì)稱;并寫出對(duì)于任意的三次函數(shù)都成立的有關(guān)“拐點(diǎn)”的一個(gè)結(jié)論（此結(jié)論不要求證明）.解析（1），.令得 ， .拐點(diǎn)（2）設(shè)是圖象上任意一點(diǎn)，則，因?yàn)殛P(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，把代入得左邊,右邊右邊=右邊在圖象上關(guān)于A對(duì)稱7.已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中。設(shè)兩曲線有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同。（1）若，求的值；（2）用表示，并求的最大值。解：（1）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同由題意知，由得，或（舍去）即有（2）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同由題意知，由得，或（舍去）即有令，則，于是當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，故在的最大值為，故的最大值為8. 設(shè)三次函數(shù)在處取得極值，其圖象在處的切線的斜率為。求證：；解：()方法一、 .由題設(shè)，得 ，。由代入得，得或 將代入中，得 由、得；方法二、同上可得：將（1）變?yōu)椋捍耄?）可得：，所以，則方法三：同上可得：將（1）變?yōu)椋捍耄?）可得：，顯然，所以因?yàn)閳D象的開口向下，且有一根為x1=1由韋達(dá)定理得,所以，即，則，由得：所以：第2講 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 知 識(shí) 梳理 1. 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) ；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) .解析：?jiǎn)握{(diào)遞增；單調(diào)遞減2. 判別f(x0)是極大、極小值的方法若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的 ，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是 解析：極大值點(diǎn)；極小值.3解題規(guī)律技巧妙法總結(jié): 求函數(shù)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x) .(2)求方程f(x)=0的根.(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值.4求函數(shù)最值的步驟：（1）求出在上的極值.（2）求出端點(diǎn)函數(shù)值.（3）比較極值和端點(diǎn)值，確定最大值或最小值. 重 難 點(diǎn) 突 破 1.重點(diǎn)：熟悉利用導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值與最值的一般思路，熟練掌握求常見函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值與最值的方法2.難點(diǎn)：與參數(shù)相關(guān)單調(diào)性和極值最值問(wèn)題3.重難點(diǎn)：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題（1）在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)注意可導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)可能是它的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。問(wèn)題1. 設(shè)，令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；點(diǎn)撥:根據(jù)求導(dǎo)法則有，故，于是，2減極小值增列表如下：故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值（2）借助導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究不等關(guān)系關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù).問(wèn)題2.已知函數(shù)是上的可導(dǎo)函數(shù)，若在時(shí)恒成立.（1）求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）求證：當(dāng)時(shí)，有. 點(diǎn)撥:由轉(zhuǎn)化為為增函數(shù)是解答本題關(guān)鍵.類似由轉(zhuǎn)化為為增函數(shù)等思考問(wèn)題的方法是我們必須學(xué)會(huì)的.（1）由得因?yàn)?，所以在時(shí)恒成立，所以函數(shù)在上是增函數(shù).（2）由（1）知函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有成立，從而兩式相加得 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn)1: 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性題型1.討論函數(shù)的單調(diào)性例1(08廣東高考)設(shè)，函數(shù)，試討論函數(shù)的單調(diào)性【解題思路】先求導(dǎo)再解和【解析】 對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)?！久麕熤敢拷忸}規(guī)律技巧妙法總結(jié): 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟.（1） 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（2）令解不等式，得的范圍就是單調(diào)增區(qū)間;令解不等式，得的范圍就是單調(diào)減區(qū)間（3）對(duì)照定義域得出結(jié)論.誤區(qū)警示求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，容易忽視定義域，如求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，錯(cuò)誤率高，請(qǐng)你一試，該題正確答案為.題型2.由單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍例2: 若在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增，求的取值范圍.【解題思路】解這類題時(shí),通常令(函數(shù)在區(qū)間上遞增)或(函數(shù)在區(qū)間上遞減),得出恒成立的條件,再利用處理不等式恒成立的方法獲解.解析：又在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增在1,1上恒成立 即在1,1的最大值為 故的取值范圍為【名師指引】:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)值的關(guān)系,要特別注意導(dǎo)數(shù)值等于零的用法.題型3.借助單調(diào)性處理不等關(guān)系例3. 當(dāng)，求證【解題思路】先移項(xiàng),再證左邊恒大于0解析：設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)， ，故在遞增，當(dāng)時(shí)，,又，即，故【名師指引】若要證的不等式兩邊是兩類不同的基本函數(shù)，往往構(gòu)造函數(shù)，借助于函數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明【新題導(dǎo)練】.1. 若函數(shù)f(x)=x3ax2+1在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.a3 B.a=2C.a3D.0a0恒成立，y=x3+x在(,+)上為增函數(shù)，沒有減區(qū)間.答案：A3. 已知函數(shù),設(shè)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若以函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；解析：（I），由，在上單調(diào)遞增。 由，在上單調(diào)遞減。的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。（II），恒成立當(dāng)時(shí)，取得最大值。，考點(diǎn)2: 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最大(小)值.題型1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最大(小)值例1. 若函數(shù)在處取得極值,則 .【解題思路】若在附近的左側(cè)，右側(cè)，且,那么是的極大值；若在附近的左側(cè)，右側(cè)，且,那么是的極小值.解析因?yàn)榭蓪?dǎo),且,所以,解得.經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí), 函數(shù)在處取得極大值.【名師指引】 若是可導(dǎo)函數(shù)，注意是為函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件.要確定極值點(diǎn)還需在左右判斷單調(diào)性.例2（2008深圳南中）設(shè)函數(shù)（），其中，求函數(shù)的極大值和極小值【解題思路】先求駐點(diǎn)，再列表判斷極值求出極值。解析：.，令，解得或由于，當(dāng)變化時(shí)，的正負(fù)如下表：因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且【名師指引】求極值問(wèn)題嚴(yán)格按解題步驟進(jìn)行。例3. (廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2009屆高三上學(xué)期第二次統(tǒng)測(cè))已知函數(shù).（）求的最小值；（）若對(duì)所有都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解題思路】先求極值再求端點(diǎn)值,比較求出最大(小)值.當(dāng)區(qū)間只有一個(gè)極大(小)值時(shí),該值就是最大(小)值解析：的定義域?yàn)椋?1分 的導(dǎo)數(shù). 3分令，解得；令，解得.從而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 5分所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值. 6分（）解法一：令，則， 8分 若，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，所以，時(shí)，即. 10分 若，方程的根為 ，此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù).所以時(shí)，即，與題設(shè)相矛盾. 13分綜上，滿足條件的的取值范圍是. 14分解法二：依題意，得在上恒成立，即不等式對(duì)于恒成立 . 8分令， 則. 10分當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?故是上的增函數(shù)， 所以 的最小值是， 13分所以的取值范圍是. 14分【名師指引】求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值（或最小值）的步驟：求在內(nèi)的極大（?。┲担瑢O大（?。┲蹬c端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中較大者的一個(gè)是最大者，較小的一個(gè)是最小者題型2.已知函數(shù)的極值和最大(小)值，求參數(shù)的值或取值范圍。例3（廣東省六校2009屆高三第二次聯(lián)考）已知函數(shù)圖像上的點(diǎn)處的切線方程為（1）若函數(shù)在時(shí)有極值，求的表達(dá)式（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解題思路】求函數(shù)的解析式一般用待定系法法，求參數(shù)的取值范圍一般需建立關(guān)于參數(shù)的不等式（組）解析：， -2分因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線斜率為-3，所以，即，-3分又得。-4分（1）函數(shù)在時(shí)有極值，所以，-5分解得，-7分所以-8分（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的值恒大于或等于零，-10分則得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為-14分【名師指引】已知在處有極值，等價(jià)于?！拘骂}導(dǎo)練】4在區(qū)間上的最大值為，則=（ ）A.B. C. D. 或解析：選B在上的最大值為，且在時(shí)，解之或（舍去），選B.5在區(qū)間上的最大值是A B0 C2 D4解析，令可得或（2舍去），當(dāng)時(shí)，0，當(dāng)時(shí)，1時(shí)，對(duì)x（0，+）恒有0， 當(dāng)a.1時(shí)，f(x)在（0，+）上為增函數(shù)；5（汕頭市金山中學(xué)2009屆高三上學(xué)期11月月考）已知函數(shù)f（x）=ax3+3x2x+1，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在（0，4）上單調(diào)遞減？若存在，求出a的范圍；若不存在，說(shuō)明理由。解：（x）=3ax2+6x1. 要使f（x）在0，4遞減，則當(dāng)x（0，4）時(shí)，（x）0。或，解得a3.綜合拔高訓(xùn)練6（東莞高級(jí)中學(xué)2009屆高三上學(xué)期11月教學(xué)監(jiān)控測(cè)試）已知函數(shù)f(x)=ax3+bx23x在x=1處取得極值. （）求函數(shù)f(x)的解析式； （）求證：對(duì)于區(qū)間1，1上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若過(guò)點(diǎn)A（1，m）（m2）可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（I）f(x)=3ax2+2bx3，依題意，f(1)=f(1)=0， 即2分 解得a=1，b=0. f(x)=x33x.4分 （II）f(x)=x33x,f(x)=3x23=3(x+1)(x1)，當(dāng)1x1時(shí)，f(x)0，故f(x)在區(qū)間1，1上為減函數(shù)，fmax(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=26分對(duì)于區(qū)間1，1上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)|f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=48分 （III）f(x)=3x23=3(x+1)(x1)， 曲線方程為y=x33x，點(diǎn)A（1，m）不在曲線上.設(shè)切點(diǎn)為M（x0，y0），則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足因，故切線的斜率為，整理得.過(guò)點(diǎn)A（1，m）可作曲線的三條切線，關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根.10分設(shè)g(x0)= ，則g(x0)=6，由g(x0)=0，得x0=0或x0=1.g(x0)在（，0），（1，+）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減.函數(shù)g(x0)= 的極值點(diǎn)為x0=0，x0=112分關(guān)于x0方程=0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是，解得3m2.故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是3m2.14分7（廣東省北江中學(xué)2009屆高三上學(xué)期12月月考 ）已知，其中是自然常數(shù)，（）討論時(shí), 的單調(diào)性、極值；（）求證：在（）的條件下，;（）是否存在實(shí)數(shù)，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.解：（）， 1分當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增 3分的極小值為 4分（）的極小值為1，即在上的最小值為1， ， 5分令， 6分當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增 7分 在（1）的條件下， 9分（）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使（）有最小值3， 9分 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，（舍去），所以，此時(shí)無(wú)最小值. 10分當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，滿足條件. 11分 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，（舍去），所以，此時(shí)無(wú)最小值.綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有最小值3. 8(潮南區(qū)0809學(xué)年度第一學(xué)期期末高三級(jí)質(zhì)檢)已知函數(shù)（）(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 證明：lnx0，f(x)在上遞增當(dāng)時(shí)，令得解得：，因（舍去），故在上0，f(x)遞增.（2）由（1）知在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增.故，又因故，得 第3講 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 知 識(shí) 梳理 利用導(dǎo)數(shù)解決生活、生產(chǎn)優(yōu)化問(wèn)題，其解題思路是： 優(yōu)化問(wèn)題函數(shù)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題的解 重 難 點(diǎn) 突 破 1.重點(diǎn)：利用于數(shù)學(xué)知識(shí)建立函數(shù)模型，借助于導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問(wèn)題。2.難點(diǎn)：建模的過(guò)程3.重難點(diǎn)：認(rèn)真審題，建立數(shù)學(xué)模型，解決與函數(shù)有關(guān)的最優(yōu)化問(wèn)題. （1）關(guān)注由導(dǎo)數(shù)的定義和物理意義處理實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題問(wèn)題1：路燈距地平面為,一個(gè)身高為的人以的速率在地面上行走，從路燈在地平面上射影點(diǎn)C，沿某直線離開路燈，求人影長(zhǎng)度的變化速率v.點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)的物理意義解決設(shè)路燈距地平面的距離為，人的身高為.設(shè)人從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處路程為米，時(shí)間為(單位：秒)，AB為人影長(zhǎng)度，設(shè)為,則， ,又,人影長(zhǎng)度的變化速率為.（2）利用導(dǎo)數(shù)處理最大（?。┲祮?wèn)題是高考常見題型.問(wèn)題2. （2006江蘇）請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？OO1剖析設(shè)為 ,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長(zhǎng)為（單位：）于是底面正六邊形的面積為（單位：）帳篷的體積為（單位：）求導(dǎo)數(shù)，得令解得(不合題意，舍去),.當(dāng)時(shí)，,為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，,為減函數(shù)。所以當(dāng)時(shí),最大.答當(dāng)為時(shí)，帳篷的體積最大. 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn): 最優(yōu)化問(wèn)題題型1.函數(shù)模型中的最優(yōu)化問(wèn)題例1. 設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個(gè)原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3:5,那么,D應(yīng)選在何處,才能使原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最省?【解題思路】由勾股定理建模.解析 ： 設(shè)BD之間的距離為km,則|AD|=,|CD|=.如果公路運(yùn)費(fèi)為元/km,那么鐵路運(yùn)費(fèi)為元/km.故從原料供應(yīng)站C途經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A所需總運(yùn)費(fèi)為:+,().對(duì)該式求導(dǎo),得=+=,令,即得25=9(),解之得=15,=-15(不符合實(shí)際意義,舍去).且=15是函數(shù)在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn),所以=15是函數(shù)的極小值點(diǎn),而且也是函數(shù)的最小值點(diǎn).由此可知,車站D建于B,C之間并且與B相距15km處時(shí),運(yùn)費(fèi)最省.【名師指引】 這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題,建立的目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù),用過(guò)去的知識(shí)求其最值往往沒有一般方法,即使能求出,也要涉及到較高的技能技巧.而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí),求復(fù)合函數(shù)的最值就變得非常簡(jiǎn)單.例2. 某產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次,生產(chǎn)第一檔(即最低檔次)的利潤(rùn)是每件8元,每提高一個(gè)檔次,利潤(rùn)每件增加2元,但在相同的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)量減少3件.在相同的時(shí)間內(nèi),最低檔的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件.問(wèn)在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大?有多少元?思路分析:在一定條件下,“利潤(rùn)最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強(qiáng)度最大”等問(wèn)題,在生產(chǎn)、生活中經(jīng)常用到,在數(shù)學(xué)上這類問(wèn)題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問(wèn)題.除了常見的求最值的方法外,還可用求導(dǎo)法求函數(shù)的最值.但無(wú)論采取何種方法都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.解法一:設(shè)相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第x(xN*,1x10)檔次的產(chǎn)品利潤(rùn)y最大.2分依題意,得y=8+2(x1)603(x1)4分=6x2+108x+378=6(x9)2+864(1x10),8分顯然,當(dāng)x=9時(shí),ymax=864(元),即在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為864元.10分解法二:由上面解法得到y(tǒng)=6x2+108x+378.求導(dǎo)數(shù),得y=12x+108,令y=12x+108=0,解得x=9.因x=91,10,y只有一個(gè)極值點(diǎn),所以它是最值點(diǎn),即在相同的時(shí)間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為864元.【名師指引】一般情況下,對(duì)于實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題,如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)、簡(jiǎn)單的分式函數(shù)簡(jiǎn)單的無(wú)理函數(shù)、簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),或它們的復(fù)合函數(shù),均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值.由此也可見,導(dǎo)數(shù)的引入,大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用空間.題型2:幾何模型的最優(yōu)化問(wèn)題【名師指引】與最值有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)合理解模,使問(wèn)題獲解.例3. (07上海春季高考)某人定制了一批地磚. 每塊地磚 (如圖1所示）是邊長(zhǎng)為米的正方形，點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上， 、和四邊形均由單一材料制成，制成、和四邊形的三種材料的每平方米價(jià)格之比依次為3:2:1. 若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設(shè)，能使中間的深色陰影部分成四邊形.圖1(1) 求證：四邊形是正方形；(2) 在什么位置時(shí)，定制這批地磚所需的材料費(fèi)用最??？ 圖2 【解題思路】圖2是由四塊圖1所示地磚繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，為等腰直角三角形， 四邊形是正方形. 解析 (2) 設(shè)，則，每塊地磚的費(fèi)用為，制成、和四邊形三種材料的每平方米價(jià)格依次為3a、2a、a (元)， . 由，當(dāng)時(shí)，有最小值，即總費(fèi)用為最省. 答：當(dāng)米時(shí)，總費(fèi)用最省. 【名師指引】 處理較復(fù)雜的應(yīng)用題審題時(shí)要逐字逐句地去啄磨.題型3:三角模型的最優(yōu)化問(wèn)題例4. 若電燈B可在桌面上一點(diǎn)O的垂線上移動(dòng)，桌面上有與點(diǎn)O距離為的另一點(diǎn)A，問(wèn)電燈與點(diǎn)0的距離怎樣，可使點(diǎn)A處有最大的照度？（照度與成正比，與成反比）【解題思路】如圖，由光學(xué)知識(shí)，照度與成正比，與成反比，即（是與燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)）要想點(diǎn)處有最大的照度，只需求的極值就可以了.解析：設(shè)到的距離為，則，于是，.當(dāng)時(shí)，即方程的根為（舍）與，在我們討論的半閉區(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)在點(diǎn)取極大值，也是最大值。即當(dāng)電燈與點(diǎn)距離為時(shí)，點(diǎn)的照度為最大. （0，）+-點(diǎn)評(píng)：在有關(guān)極值應(yīng)用的問(wèn)題中，絕大多數(shù)在所討論的區(qū)間上函數(shù)只有一點(diǎn)使得=0且在該點(diǎn)兩側(cè)，的符號(hào)各異，一般稱為單峰問(wèn)題，此時(shí)，該點(diǎn)就是極值點(diǎn)，也是最大（?。┲迭c(diǎn).【名師指引】多參數(shù)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題要注意分清哪些是主元,哪些是參數(shù);函數(shù)最值有關(guān)的問(wèn)題通常利用導(dǎo)數(shù)求解比較方便.【新題導(dǎo)練】.1在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起（如圖），做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？解析:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為，則無(wú)蓋的方底箱子的高為，其體積為，則，令，得，解得（已舍去）且僅當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在時(shí)取得極大值，結(jié)合實(shí)際情況，這個(gè)極大值就是函數(shù)的最大值.，故當(dāng)箱底邊長(zhǎng)為時(shí)，箱子容積最大，最大容積是.2. .一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時(shí)10公里時(shí)的燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問(wèn)此輪船以何種速度航行時(shí)，能使行駛每公里的費(fèi)用總和最小？設(shè)船速度為時(shí)，燃料費(fèi)用為元，則，由可得，總費(fèi)用，令得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此輪船以20公里/小時(shí)的速度使行駛每公里的費(fèi)用總和最小 搶 分 頻 道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. 我國(guó)兒童4歲前身高增長(zhǎng)的速度最快的是在哪一個(gè)年齡段?答: 據(jù)有關(guān)統(tǒng)計(jì)資料, 我國(guó)兒童4歲前身高情況有一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年齡/歲0.511.522.533.54身高/米0.520.630.730.850.931.011.061.12思路分析: 要判斷這一個(gè)問(wèn)題.必須要計(jì)算每半年這個(gè)群體長(zhǎng)高的平均增長(zhǎng)率,再加以比較即可,通過(guò)計(jì)算每半年長(zhǎng)高的平均增長(zhǎng)率分別是2.2, 2, 2.4, 1.6, 1.6, 1, 1.2可知我國(guó)兒童在1.5歲至2歲這一時(shí)段身高增長(zhǎng)的速度最快2.（2008深圳6校）某日中午時(shí)整，甲船自處以的速度向正東行駛，乙船自的正北處以的速度向正南行駛，則當(dāng)日時(shí)分時(shí)兩船之間距離對(duì)時(shí)間的變化率是_.解析:距離對(duì)時(shí)間的變化率即瞬時(shí)速度。即此時(shí)距離函數(shù)對(duì)時(shí)間變量的導(dǎo)數(shù)。將物理學(xué)概念與數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)概念遷移到實(shí)際應(yīng)用題中來(lái)。易求得從點(diǎn)開始，小時(shí)時(shí)甲乙兩船的距離，當(dāng)時(shí)，3.要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的倉(cāng)庫(kù)，其內(nèi)部的高為3m，長(zhǎng)和寬的和為20m，則倉(cāng)庫(kù)容積的最大值為 1800m3 .解：設(shè)長(zhǎng)為，則寬為，倉(cāng)庫(kù)的容積為V則，令得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，4. 要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使體積為最大，則其高應(yīng)為_.kh20解：設(shè)圓錐底面半徑為r，高為，則，圓錐體積一天，令得，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，時(shí)，V最大，當(dāng)應(yīng)填5. 質(zhì)量為5 kg的物體運(yùn)動(dòng)的速度為v=(18t3t2) m/s,在時(shí)間t=2 s時(shí)所受外力為_N.分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的物理意義即速度v(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是該時(shí)刻的加速度.解:v=186t,v|t=2=1862=6.t=2時(shí)物體所受外力F為65=30.綜合拔高訓(xùn)練6.在長(zhǎng)為100千米的鐵路線AB旁的C處有一個(gè)工廠，工廠與鐵路的距離CA為20千米.由鐵路上的B處向工廠提供原料，公路與鐵路每噸千米的貨物運(yùn)價(jià)比為53，為節(jié)約運(yùn)費(fèi)，在鐵路的D處修一貨物轉(zhuǎn)運(yùn)站，設(shè)AD距離為x千米，沿CD直線修一條公路(如圖). (1)將每噸貨物運(yùn)費(fèi)y(元)表示成x的函數(shù).(2)當(dāng)x為何值時(shí)運(yùn)費(fèi)最??？解：(1)設(shè)公路與鐵路每噸千米的貨物運(yùn)價(jià)分別為5k、3k(元)(k為常數(shù))AD=x，則DB=100x.每噸貨物運(yùn)費(fèi)y=(100x)3k+5k(元)(2)令y=3k+5kk=05x3=0x0，解得x=15當(dāng)0x15時(shí)，y15時(shí)，y0當(dāng)x=15時(shí)，y有最小值.答：當(dāng)x為15千米時(shí)運(yùn)費(fèi)最省 .7. (廣東省2008屆六校第二次聯(lián)考)設(shè)某物體一天中的溫度T是時(shí)間t的函數(shù)，已知，其中溫度的單位是，時(shí)間的單位是小時(shí)中午12:00相應(yīng)的t=0，中午12:00以后相應(yīng)的t取正數(shù)，中午12:00以前相應(yīng)的t取負(fù)數(shù)（如早上8：00相應(yīng)的t=-4，下午16：00相應(yīng)的t=4）若測(cè)得該物體在早上8:00的溫度為8，中午12:00的溫度為60，下午13:00的溫度為58，且已知該物體的溫度早上8:00與下午16:00有相同的變化率.（1）求該物體的溫度T關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（2）該物體在上午10:00到下午14:00這段時(shí)間中(包括端點(diǎn))何時(shí)溫度最高？最高溫度是多少？解：(1) 因?yàn)? 2分而, 故, 3分 . 6分 . 7分 (2) , 由 9分 當(dāng)在上變化時(shí)，的變化情況如下表:-2（-2，-1）-1（-1，1）1（1，2）2+00+ 58增函數(shù)極大值62減函數(shù)極小值58增函數(shù)62 12分由上表知當(dāng)，說(shuō)明在上午11：00與下午14：00，該物體溫度最高，最高溫度是62.8.今有一塊邊長(zhǎng)的正三角形的厚紙，從這塊厚紙的三個(gè)角，按右圖那樣切下三個(gè)全等的四邊形后，做成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，要使這個(gè)盒子容積最大，值應(yīng)為多少？解：折成盒子后底面正三角形的邊長(zhǎng)為，高為設(shè)：容積為V，則a 令得（舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，時(shí)，答：為時(shí)，盒子的容積最大為第4講 定積分與微積分的基本定理 知 識(shí) 梳理 1、定積分概念定積分定義：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)，將區(qū)間等分成幾個(gè)小區(qū)間，在每一個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和，當(dāng)時(shí)，上述和無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即，這里、分別叫做積分的下限與上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式.2、定積分性質(zhì)（1）；（2）（3）3、微積分基本定理一般地，如果是在上有定義的連續(xù)函數(shù)，是在上可微，并且，則，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茲公式，為了方便，常常把，記作，即.4、常見求定積分的公式（1）（2）（C為常數(shù)）（3）（4）（5）（6）（7） 重 難 點(diǎn) 突 破 1.重點(diǎn)：定積分的計(jì)算和簡(jiǎn)單應(yīng)用。2.難點(diǎn)：利用定積分求平面區(qū)域圍成的面積3.重難點(diǎn)：掌握定積分的計(jì)算，了解定積分的物理意義，會(huì)利用定積分求平面區(qū)域圍成的面積. （1）弄清定積分與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系問(wèn)題1.一物體按規(guī)律做直線運(yùn)動(dòng)，式中為時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的距離，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比（比例常數(shù)為），試求物體由運(yùn)動(dòng)到時(shí)，阻力所做的功.解析：要求變力所做的功，必須先求出變力對(duì)位稱的變化函數(shù)，這里的變力即媒質(zhì)阻力，然后根據(jù)定積分可求阻力所做之功.解因?yàn)槲矬w的速度所以媒質(zhì)阻力當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，阻力所做功（2）掌握定積分在求曲邊梯形面積的方法.問(wèn)題2. 求由拋物線與直線及所圍成圖形的面積.y解析：作出及的圖形如右：6解方程組 得x解方程組 得62O所求圖形的面積 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn)1: 定積分的計(jì)算題型1.計(jì)算常見函數(shù)的定積分例1. 求下列定積分（1）（2）（3）【解題思路】根據(jù)微積分基本定理，只須由求導(dǎo)公式找出導(dǎo)數(shù)為，的函數(shù)就可，這就要求基本求導(dǎo)公式非常熟悉.解：（1） （2） （3）【名師指引】簡(jiǎn)單的定積分計(jì)算只需熟記公式即可.題型2:換元法求定積分例2.計(jì)算:【解題思路】：我們要直接求的原函數(shù)比較困難，但我們可以將先變式化為，再求積分，利用上述公式就較容易求得結(jié)果，方法簡(jiǎn)便易行.解析： 【名師指引】較復(fù)雜函數(shù)的積分，往往難以直接找到原函數(shù)，常常需先化簡(jiǎn)、變式、換元變成基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算后，再求定積分.題型3:計(jì)算分段函數(shù)定積分例3. 求【解題思路】：首先是通過(guò)絕對(duì)值表示的分段函數(shù)，同時(shí)又是函數(shù)復(fù)合函數(shù)與的運(yùn)算式，所以我們?cè)谟?jì)算時(shí)必須先把積分區(qū)間分段，再換元積分或奏變量完成.解析： 【名師指引】若被積函數(shù)含絕對(duì)值，往往化成分段函數(shù)分段積分，注意本題中，這實(shí)際是一種奏變量的思想，復(fù)合函數(shù)的積分通?？梢宰嘧兞客瓿?，也可以換元完成.題型4:定積分的逆運(yùn)算例4. 已知求函數(shù)的最小值.【解題思路】：這里函數(shù)、都是以積分形式給出的，我們可以先用牛頓萊布尼茲公式求出與，再用導(dǎo)數(shù)求法求出的最小值.解析： 當(dāng)時(shí)，最小=1 當(dāng)時(shí)，最小=1【名師指引】這是一道把積分上限函數(shù)、二次函數(shù)最值，參數(shù)混合在一起綜合題，重點(diǎn)是要分清各變量關(guān)系. 積分、導(dǎo)數(shù)、函數(shù)單調(diào)些，最值、解析式交匯出