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2-1動(dòng)態(tài)微分方程式的編寫,機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),例:彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng),輸入外力,輸出位移,阻尼系數(shù),與運(yùn)動(dòng)方向相反,2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,2-2 非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,1. 概念 對(duì)于非本質(zhì)非線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié),假設(shè)系統(tǒng)工作過程中,其變量的變化偏離穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)增量很小,各變量在工作點(diǎn)處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),于是可將非線性函數(shù)(數(shù)模)在工作點(diǎn)的某一鄰域展開成泰勒級(jí)數(shù),忽略高次(二次以上)項(xiàng),便可得到關(guān)于各變量近似線性關(guān)系,我們稱這一過程為非線性系統(tǒng)(數(shù)模)的線性化。,2. 數(shù)學(xué)描述 設(shè)系統(tǒng)的輸入為x(t),輸出為y(t), 且滿足y(t)=f(x),其中f(x)為非線性函數(shù)。 設(shè)t=t0時(shí),x=x0,y=y0為系統(tǒng)的穩(wěn)定工作點(diǎn)(x0,y0),2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,當(dāng)|x-xo|很小時(shí),忽略其二階以上各項(xiàng),得:,在該穩(wěn)定工作點(diǎn)處將f(x)泰勒展開為:,即:,也即:,是 線性化模型,例:將上例流體運(yùn)動(dòng)非線性方程線性化如:,可將非線性特性 在 處線性化,2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,即有:,去掉 即為線性化方程。 不難看出線性化方程與工作點(diǎn)有關(guān),工作點(diǎn)不同,方程就不同。,代入原方程得:,2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化,自動(dòng)控制系統(tǒng)的典型輸入信號(hào),3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析,一、典型輸入信號(hào) 為了對(duì)系統(tǒng)性能進(jìn)行分析、比較,給出了幾種典型輸入信號(hào) 階躍輸入 定義如下,A=1時(shí)稱為單位階躍信號(hào),對(duì)于恒值系統(tǒng),相當(dāng)于給定值突然變化或者突然變化的擾動(dòng)量;對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng),相當(dāng)于加一突變的給定位置信號(hào)。,3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析, 斜坡(勻速)輸入,相當(dāng)于隨動(dòng)系統(tǒng)加入一按恒速變化的位置信號(hào),該恒速度為A。,3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析,拋物線(勻加速)輸入,相當(dāng)于隨動(dòng)系統(tǒng)加入一按恒加速度變化的位置信號(hào),該恒加速度為A。,3-1控制系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)分析,脈沖函數(shù),當(dāng)A=1, 時(shí) 稱為單位脈沖函數(shù)(t) ,其面積為1,正弦函數(shù) 用正弦函數(shù)作輸入信號(hào),可以求得系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦輸入函數(shù)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),由此可以間接判斷系統(tǒng)的性能。,拉普拉斯變換(Laplace變換),拉普拉斯變換 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 拉普拉斯逆變換 拉普拉斯變換的應(yīng)用,在數(shù)學(xué)中,為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的運(yùn)算,常常采用一種變換手段,所謂積分變換,就是通過積分運(yùn)算把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的變換。積分變換包括拉普拉斯(Laplace)變換和傅立葉(Fourier)變換。這里只研究Laplace變換,討論他的定義、性質(zhì)及其應(yīng)用。,在 所確定的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為,設(shè)函數(shù) 當(dāng) 有意義,而且積分,( 是一個(gè)復(fù)參量),稱上式為函數(shù) 的拉普拉斯變換式,一、拉普拉斯變換的概念,= ,二、一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換,例2 求單位階躍函數(shù) 的拉氏變換,解,例1 求單位脈沖函數(shù) 的拉氏變換,解,例3 求函數(shù) 的拉氏變換,解,例4 求單位斜坡函數(shù) 的拉氏變換,解,例5正弦函數(shù),是周期為,當(dāng) 在一個(gè)周期上連續(xù)或分段連續(xù)時(shí),則有,周期函數(shù)的拉普拉斯變換,這是求周期函數(shù)拉氏變換公式,的周期函數(shù),即,可以證明:若,(1)線性性質(zhì),三 拉氏變換的幾個(gè)重要定理,(2)微分定理,(3)積分定理,(4)實(shí)位移定理,(5)復(fù)位移定理,(6)初值定理,(7)終值定理,(終值確實(shí)存在時(shí)),自動(dòng)控制原理國(guó)家精品課程 浙江工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化研究所,19,應(yīng)用拉氏變換的終值定理求,注意拉氏變換終值定理的適用條件:,事實(shí)上:,的極點(diǎn)均處在復(fù)平面的左半邊。,不滿足終值定理的條件。,四 拉氏反變換,(1)反演公式,(2)查表法(分解部分分式法),解.,1 利用拉普拉斯變換表和性質(zhì)求拉普拉斯逆變換,一些常用函數(shù)的 拉氏變換,自動(dòng)控制原理國(guó)家精品課程 浙江工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化研究所,22,典型信號(hào)的拉氏變換(2),2.用留數(shù)法分解部分分式,一般有,其中:,設(shè),I. 當(dāng) 無重根時(shí),解.,解.,II. 當(dāng) 有重根時(shí),(設(shè) 為m重根,其余為單根),解.,常系數(shù)線性微分方程的拉普拉斯變換解法,利用拉普拉斯變換可以比較方便地求解常系 數(shù)線性微分方程(或方程組)的初值問題,其基本步驟如下: (1)根據(jù)拉普拉斯變換的微分性質(zhì)和線性性質(zhì),對(duì)微分方程(或方程組)兩端取拉普拉斯變換,把微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程; (2)從象函數(shù)的代數(shù)方程中解出象函數(shù); (3)對(duì)象函數(shù)求拉普拉斯逆變換,求得微分方程(或方程組)的解.,例17 求微分方程,滿足初始條件,的解,解 設(shè),對(duì)方程兩邊取拉氏變換,并考慮到初始條件,則得,解得,所以,用L變換方法解線性常微分方程,: 特征根(極點(diǎn)),: 相對(duì)于 的模態(tài),課后作業(yè),1. 已

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