線性方程組教學大綱.doc

第三章 線性方程組1消元法一 授課內(nèi)容：1消元法二 教學目的：理解和掌握線性方程組的初等變換，同解變換，會用消元法解線性方程組.三 教學重難點：用消元法解線性方程組.四 教學過程：所謂的一般線性方程組是指形式為 （1）的方程組，其中代表個未知量，是方程的個數(shù)， （，）稱為方程組的系數(shù)，（）稱為常數(shù)項.所謂方程組（1）的的一個解就是指由個數(shù) 組成的有序數(shù)組（） ，當 分別用 代入后，（1）中每個等式變?yōu)楹愕仁?，方程組（1）的解的全體稱為它的解集合.解方程組實際上就是找出它的全部解，或則說，求出它的解集合.如果兩個方程組有相同的解集合，它們就稱為同解的.顯然，如果知道了一個線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項，那么這個方程組就基本上確定了，確切的說，線性方程組（1）可以用如下的矩陣來表示.在中學代數(shù)里，我們學習過用加減消元法和代入消元法解二元，三元線性方程組，實際上，這個方法比用行列式解方程組更具有普遍性.分析一下消元法，不難看出，它實際上是反復的對方程組進行變換，而所做的變換也只是由以下三種基本的變換所構成：1 用一非零的數(shù)乘某一方程.2 把一個方程的倍數(shù)加到另一方程.3 互換兩個方程的位置.定義1 變換1，2，3稱為線性方程組的初等變換.消元法的過程就是反復的施行初等變換的過程.可以證明，初等變換總是把方程組變成同解的方程組.對于線性方程組反復的施行初等變換，一步一步做下去，最后就得到一個階梯形方程組. （5）顯然（5）與（1）是同解的.考察（5）的解的情況.如（5）中的方程，而這時不管 取什么值都不能使它成為等式，故（5）無解，因而（1）也無解.當 ，或（5）中根本沒有“”的方程時，分兩種情況：1），這時階梯形方程組為有唯一解.例 解方程組.解 上述方程有唯一的解 .2），這時階梯形方程組為其中 ， ，把它改寫成 （7）由（7）我們可以把 通過 表示出來，這樣一組表達式稱為方程組（1）的一般解，而 稱為一組自由未知量.例 解方程組.解 一般解為.定理1 在齊次線性方程組中，如果，那么它必有非零解.把矩陣 稱為線性方程組（1）的增廣矩陣，顯然，用初等變換花線性方程組（1）成階梯形就相當于用初等行變換化增廣矩陣成階梯形矩陣.例 解方程組.解: 從最后一行可以看出原方程組無解.2 維向量空間一 授課內(nèi)容：2 維向量空間二 教學目的：理解和掌握維向量空間的概念，掌握維向量空間的兩種運算及八條運算律三 教學重難點： 維向量空間的概念.四 教學過程：定義2 所謂數(shù)域上一個維向量就是由數(shù)域中個數(shù)組成的有序數(shù)組 （1） 稱為向量（1）的分量.定義3 如果維向量 ，的對應分量都相等，即 .就稱這兩個向量是相等的，記作定義4 向量稱為向量，的和，記為.由定義立即推出（1）交換律：.（2）結合律：.定義5 分量全為零的向量稱為零向量，記為0，向量 稱為向量的負向量，記為.顯然對于所有的，都有,.定義6 .定義7 設為數(shù)域中的數(shù)，向量稱為向量與數(shù)的數(shù)量乘積，記為.由定義立即推出定義8 以數(shù)域中的數(shù)作為分量的維向量的全體，同時考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法，稱為數(shù)域上的維向量空間.向量通常是寫成一行 有時候也可以寫成一列 前者稱為行向量，后者稱為列向量.3線性相關性一 授課內(nèi)容：3 線性相關性二 教學目的： 理解和掌握以下概念：線性組合、線性表出、線性相關、線性無關、極大線性無關組、向量組的秩.三 教學重難點：線性相關與線性無關的概念.四 教學過程：定義9 向量稱為向量組的一個線性組合，如果有數(shù)域中的數(shù)，使=.任何一個維向量都是向量組的一個線性組合，因為向量稱為維單位向量.當向量是向量組的一個線性組合時，我們也說可以線性表出.定義10 如果向量組 中的每一個向量()都可以由向量組線性表出，那么向量組就稱為可以由向量組 線性表出,如果兩個向量組互相可以線性表出，它們就稱為等價.由定義知，向量組之間的等價有以下性質(zhì)1反身性 每一個向量組與它自身等價.2對稱性 如果向量組與等價，那么向量組也與等價.3傳遞性 如果向量組與等價，向量組與等價，那么向量組與等價.定義11 如果向量組（）中有有一向量可以經(jīng)其余的向量線性表出，那么向量組稱為線性相關的.顯然，因為零向量可以被任一個向量組線性表出，那么任意一個包含零向量的向量組必線性相關.定義 向量組（）稱為線性相關，如果數(shù)域中不全為零的數(shù)，使定義12 一向量組不線性相關，即沒有不全為零的數(shù)，使就稱為線性無關，或者說，一向量組稱為線性無關，如果由可以推出.由定義立即得出，如果一向量組的一部分線性相關，那么這個向量組就線性相關.換個說法，如果一向量組線性無關，那么它的任何一個非空的部分組也線性無關.顯然，由維單位向量 組成的向量組是線性無關的.定理2 設 與是兩個向量組，如果1)向量組可以經(jīng)線性表出.2).那么向量組必線性相關.推論1 如果向量組可以經(jīng)線性表出，且線性無關，那么.推論2 任意個維向量必線性相關.推論3 兩個線性無關的等價向量組，必含有相同個數(shù)的向量.定義13 一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關組，如果這個部分組本身是線性無關的，并且從這個向量組中任意添一個向量（如果還有的話），所得的部分向量組都線性相關.顯然，任意一個極大線性無關組都與向量組本身等價，向量組的兩個極大線性無關組是等價的.定理3 一向量組的極大線性無關組都含有相同個數(shù)的向量.定義14 向量組的極大線性無關組所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩.由定義立即得出，一向量組線性無關的充分必要條件是它的秩與它所含向量的個數(shù)相同.顯然，等價的向量組有相同的秩.4矩陣的秩一 授課內(nèi)容： 4矩陣的秩二 教學目的： 理解和掌握行秩、列秩、矩陣的秩，掌握矩陣的秩與k級子式的關系，會求矩陣的秩.三 教學重難點：定理4的證明.四 教學過程：如果我們把矩陣的每一行看成一個向量，那么矩陣就可以看作由這些行向量所組成的，同樣的，如果我們把矩陣的每一列看成一個向量，那么矩陣就可以看作由這些列向量所組成的.定義15 所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩，矩陣的列秩就是指矩陣的列向量組的秩.引理 如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行秩，那么它有非零解.定理4 矩陣的行秩與列秩相等.因為矩陣的行秩與列秩相等，所以下面就統(tǒng)稱為矩陣的秩.定理5 矩陣的行列式為零的充分必要條件是的秩小于.推論 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式等于零.定義16 在一個矩陣中任意選定行和列，位于這些選定的行和列的交點上的個元素按原來的次序所組成的矩陣的行列式，稱為的一個級子式.定理6 一矩陣的秩是的充分必要條件為矩陣中有一級子式不為零，同時所有的級子式全為零.怎樣計算矩陣的秩，可以用初等變換化矩陣為階梯形矩陣，其中非零行的數(shù)目就是原矩陣的秩.5線性方程組有解的判定定理一 授課內(nèi)容： 5線性方程組有解的判定定理二 教學目的： 理解和掌握線性方程組有解判定定理，利用克蘭姆法則寫出一般解三 教學重難點：判定定理的證明.四 教學過程：線性方程組有解的判定定理 線性方程組（1）有解的充分必要條件為它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩.6線性方程組解的結構一 授課內(nèi)容： 6線性方程組解的結構二 教學目的： 理解和掌握基礎解系的概念，掌握方程組解的性質(zhì)，掌握一般線性方程組解的結構.三 教學重難點：基礎解系，解的結構.四 教學過程：對于齊次線性方程組 （1）它的解構成的集合具有下面兩個重要性質(zhì)：1兩個解的和還是方程組的解.2一個解的倍數(shù)還是方程組的解.綜上，解的線性組合還是方程組的解.定義17 齊次線性方程組（1）的一組解稱為（1）的一個基礎解系，如果1）（1）的任何一個解都可以表示為的線性組合.2）線性無關.定義7 在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎解系，并且它所含解的個數(shù)就等于，這里表示系數(shù)矩陣的秩.（以下將看到，也是自由未知量的個數(shù)）由定義容易看出，任何一個線性無關的與某一個基礎解系等價的向量組都是基礎解系.對于一般的線性方程組： （9）如果把常數(shù)項換成零，就得到齊次線性方程組（1），方程組（1）稱為方程組（9）的.方程組（9）的解與它的導出組（1）的解有密切的關系：1方程組（9）的兩個解的差是它的導出組（1）的解.2方程組（9）的一個解與它的導出組（1）的一個解之和還是這個線性方程組的一個解.由這兩點容易證明定理8 如果是方程組（9）的一個特解，那么方程組（9）的任一個解都可以表成 （10）中是導出組（1）的一個解.因此，對于方程組（9）的任一個特解，當取遍它的導出組的全部解時，（10）就給出（9）的全部解.推論 在方程組有解的情況下，解是唯一的充分必要條件是它的導出組（1）只有零解.例 用消元法解方程組.例