（計算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）組合雜交有限元方法對zienkiewicz薄板元的高精度改進(jìn).pdf

：。l 嬰型查蘭堡杰蘭垡堡苧!z z 5 9 2 2 組合雜交有限元方法對z i e n k i e w i c z 薄板 元的高精度改進(jìn) 計算數(shù)舉專塹 研究生葫建成指導(dǎo)老師謝小平 組含雜交露限元法( c h f e m ) 具有增強(qiáng)低階位移格式程麗格精度靜內(nèi)在輥 制。能量誤差為零的組合雜交格式可以得到改進(jìn)的粗網(wǎng)格精度，麗其中越關(guān)鍵作 用的兩個因素是：能量協(xié)調(diào)b u b b l e 函數(shù)和組合參數(shù)口( o 甜 1 ) 的選擇。對 手霆陵薄教彎魏潤題，綴合雜交法可敬漿建投撬度模式黢板彎輟模式弱任意縫 合。本文引入了一個新穎的基于薄板彎曲問題的組合雜交格式以闡明這一方法 熬內(nèi)在楓維l 一增強(qiáng)低除位移格式盼襁弼格精度和穩(wěn)寇性。骰設(shè)短移模式給 定，適當(dāng)?shù)倪x擇彎矩模式和組合參數(shù)口可以獲锝精確的能量估計，進(jìn)而褥到商 精度的位移和彎矩估計。 利趲維臺雜交方法躲這一瓠割，本文繪出了對z i e n k i e w i c z 三角簿援元款 改進(jìn)。俄移模式采用z i e n k i e w i c z 不完企三次多項式插值，彎矩模式分別采用 睽下三莘孛牾式：3 參掌彎簸模式、5 參 線性彎簸模式露9 參線瞧彎短模式。由 于假設(shè)彎矩模式的參數(shù)可以在單元水平上消去，z i e n k i e w i c z 三角薄板元的組 臺雜交改進(jìn)鍪靜計算量與轉(zhuǎn)統(tǒng)z i e n k i e w i c z 三角薄板元籀當(dāng)。數(shù)篷試驗寢貉這 種組合雜交型改進(jìn)了z i e n k i e w i c z 三角簿板元，克服了傳統(tǒng)的z i e n k i e w i c z 薄 板元的收斂性要依賴網(wǎng)格割分的缺點，遮到粗網(wǎng)格高精度。 關(guān)鍵鑲：有隈無紐舍雜交薄板元絕量誤燕 強(qiáng)大學(xué)礤士學(xué)位論文 i m p r o v e m e n t o fz i e n k i e w i c zp l a t e - e l e m e n tb y c o m b i n e dh y b r i dm e t h o d s m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t ej i a n c h e n gh ua d v i s o rx i a o p i n gx i e t h ec o m b i n e dh y b r i df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( c h f e m ) i so ft h em e c h a n i s mo f e n h a n c i n gc o a r s e - m e s ha c c u r a c yo fc o n v e n t i o n e ld i s p l a c e m e n t e l e m e n t s t h e c o m b i n e dh y b r i ds c h e m ew i t h o u te n e r g ye r r o rl e a d st oe n h a n c e m e n to fa c c u r a c ya t c o a r s em e s h e s ，f o rp l a t eb e n d i n gp r o b l e m s ，i ta l l o w sa r b i t r a r yc o m b i n a t i o n so f d e f l e c t i o ni n t e r p o l a t i o na n db e n d i n gm o m e n ta p p r o x i m a t i o n s an o v e le x p r e s s i o no f t h ec o m b i n e dh y b r i dm e t h o df o rp l a t eb e n d i n gp r o b l e m si si n t r o d u c e dt oc l a r i f yi t s i n t r i n s i cm e c h a n i s mo fe n h a n c i n gc o a r s e m e s ha c c u r a c ya n ds t a b i l i t yo fl o w e ro r d e r d i s p l a c e m e n ts c h e m e s 。f o rag i v e nd i s p l a c e m e n ta p p r o x i m a t i o n ，a p p r o p r i a t ec h o i c e s o ft h eb e n d i n gm o m e n tm o d ea n dt h ec o m b i n a t i o np a r a m e t e ra ( 0 ，1 ) c a nl e a dt o a c c u r a t ee n e r g ya p p r o x i m a t i o nw h i c hg e n e r a l l yy i e l d sn u m e r i c a l l yh i g ha c c u r a c yo f t h ed i s p l a c e m e n ta n db e n d i n gm o m e n ta p p r o x i m a t i o n s b yv i r t u e o ft h i s m e c h a n i s m ，i m p r o v e m e n t o fz i e n k i e w i c zt r i a n g u l a r p l a t e - e l e m e n ti sd i s c u s s e d n ed e f l e c t i o ni sa p p r o x i m a t e db yz i e n k i e w i c z i n c o m p l e t e c u b i c i n t e r p o l a t i o n a n d t h r e ek i n d so f b e n d i n g m o m e n t s a p p r o x i m a t i o n sa r ec o n s i d e r e d ：a3 - p a r a m e t e rc o n s t a n tm o d e ，a5 - p a r a m e t e r i n c o m p l e t el i n e a rm o d e ，a n d a9 - p a r a m e t e rl i n e a rm o d e s i n c et h ep a r a m e t e r so ft h e a s s u m e db e n d i n gm o m e n t sm o d e sc a l lb ee l i m i n a t e do u t 越a l le l e m e n tl e v e l ，t h e 四大學(xué)碩士學(xué)位論文 c o m p u t a t i o n a lc o s to ft h ec o m b i n e dh y b r i dc o u n t e r p a r t so fz i e n k i e w i c z st r i a n g l e a r ea ss a m ea st h a to fz i e n k i e w i c z st r i a n g l e n u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h e c o m b i n e dh y b r i dv e r s i o n sa r ec o n v e r g e n ta td i f f e r e n tm e s h e sa n dc a l la t t a i nh i g h a c c u r a c ya tc o a r s em e s h e s k e ”v o r d s ：f i n i t ee l e m e n t c o m b i n e dh y b r i dm e t h o d p l a t eb e n d i n g e n e r g ye r r o r 蹬川大學(xué)硬士學(xué)位論支 1 萼l(xiāng) 言 板結(jié)構(gòu)是重蒙的結(jié)構(gòu)形式之一，在工程中有蘅廣泛的應(yīng)用。用協(xié)調(diào)元解二 除稀霜邊擅淘題效果程好，毽在解鱔輸橢藩透毽閩題對筑出現(xiàn)了不少酌闖題。 比如處理薄板薄巍等c 1 類連續(xù)憾閩題要求甜日2 國) ，構(gòu)造h 2 ( 躪中的爨數(shù)要 求函數(shù)分片連續(xù)兩次可微，在贈個區(qū)域上一次連續(xù)可微。對三角剖分，為了使 分片多王援式在三角形交弊線上一次連續(xù)研微，姍需要西次以上的多項式。鉚如 a r g y r i s 三鳧元駁三角形三頂點處的函數(shù)傻、一階導(dǎo)數(shù)售、二階導(dǎo)數(shù)蠖以及三角 形三個邊中點處的法向?qū)?shù)值等2 1 個參數(shù)，插值出的綦函數(shù)魑一個五次多項 式，雖然這樣構(gòu)造的分琦多項式藩子鏟 o ( 4 5 ) 很容易得到滿足。再根據(jù)( 4 4 ) ，通過調(diào)節(jié)參數(shù)口就可以得到( 4 3 ) 如果勢能 n p ( “? ) 1 7p ( “) ， ( 4 6 ) 則根據(jù)命題4 1 ，選取彎矩子空間v 6 足夠大使不等式 m f 口- - 上口( r 一( d 2 v ) ，f m ( d 2 v ) ) + 6 l ( r ，v i ( v ) ) 0 ( 4 7 ) 再調(diào)節(jié)參數(shù)口亦可以得到( 4 3 ) 注4 1 能量不等式( 4 4 ) 對協(xié)調(diào)元也成立，即u 6 cc 1 ( 西) 時。不過對于一些非協(xié)調(diào) 元，比如a d i n i 四邊形元和z i e n k i e w i c z 三角形元，不等式( 4 6 ) 成立 四川大學(xué)碩士學(xué)位論文 5 綴合雜交元改進(jìn)z i e n kj e w i c z 薄簸元 設(shè)夏= 噱硒怒區(qū)域q 靜+ - - n n n # ，囂且 壬意三跫形芷瓦n n , a 設(shè)為q ，( x ，y ) ，( f = 1 , 2 ，3 ) 。令 譬l = x 2 一x 3 ， 叩l = y 2 一y 3 ， 受一x 3 一氣，島= 鼉- - x 2 ； 習(xí)22 乃y 1 ， 硯= 歲1 一y 2 ； l 2 z 2 y 3 一x 3 y 2 ，緲22x 3 y l 一一y 3 ，0 9 3 。x l ，7 2 一z 2 y l 三角璐駭o ：g 翡瑟輟坐標(biāo)五，( i = 1 , 2 ，3 ) 定義為： 名，。2 - ( r l x - 孝，+ 甜。_ f = l ，2 ，3 其中a 為三角形的筒積。 z i e n k i e w i c z 兀蠢q 猶度子空間取為 u ：= v e u n c 。( 竭v i x e s p 蝴n g ，五，五，a 五，& 五，五五， 矸如 霹，霹馮一如礙，舒 一馮矸) ，v k e ) v 芒u 6 在三角形鬈主魏節(jié)點參數(shù)嶷為 u 。( v ) = ( v ( q ，) ，a l v ( q ，) ，a ：v ( q 。) ，i ；l ，2 ，3 ) 為了麓純記v ；= v ( 窖；) ，v ( 0 = o ，暖g ) ，弓= 嘎 轡) 。鬟辯予在意懿v w ， 有 其中 ”0 級 十 、，d咚y 卜 峰紆 ，j l ，商 i | 射 一一一嬰刪盔蘭堡主蘭焦煎塞 緲= 管( 3 2 矗，) + 2 2 l 冀2 蠢3 ， t = 專+ 。( 幫 + ：十；矗如馮) 一專+ ：( 砰以州+ j 1 如乃) ， 職= 壤+ t ( 簧丑+ 。+ ；五是五) 強(qiáng)+ ：( 幫五+ ，+ ；焉五五) ， 冀，= 五 ，毒，+ ，；孝 ，誓，+ j 。野l(fā) ，i + 歹k ( m o d3 ) 考慮下面的三種彎矩模式：3 參分片常彎矩模式唁、5 參不完全線性 夸矩模式緣；和9 參分片線毪弩怒模式囂6 。它稻分溺定義皴下：對v 聲，輿， v z - 喈，f k = v f f 毒】，# j 互= | 1 v r 穢，r k = | 0 0 雕 ：。0 o1 1 00 1 3 凇p 一- ；， 敬綴合雜交格式3 8 ) ( 3 。9 ) 孛戇 ( 5 2 ) f 曩3 ) = v ：， 礦= 瑤和礦= 礦得到三種組合雜交三角元記為：c h z 3 ( a ) ， ) 和a 下蕊我們將以c 飄z 3 國) 為例涕纓說明組臺雜交元改進(jìn)的z i e 呔話w i c z 元鮑 單位剛度矩陣是如何推導(dǎo)的。組合雜交元c h 粉( 叻的變分形式為： 求( 仃 ，) 喈u ? 使得， a a ( c 7 h ，f ) 一a b 2 ( v ，稚 ) + 包( 彳，“ 一t a u ) ) = o ，v 彳蹭 、；t， 反；愿 ，f，l，；，；j y 0 o o x 0 o 0 1 鴦 ， 九 ， 取 展；屈 壤 r；，l，l n 埒凇捌 摸 o y o 短 y o o 彎 0 o z p ， 四j i l 大學(xué)碩士學(xué)位論文 a b 2 ( 吼，v ) 一b l ( o - h ，v t ( v ) ) + ( 1 口) d ( “ ，v ) = ( v ) ，v v 乙雪( 5 5 ) 由注3 1 ，6 ，( t ，v - - t ( v ) ) = i m 。( f ) v ( v - l ( v ) ) d s 在單位元k 上，( 5 4 ) ( 5 5 ) 中的積分項分別為 其中 口( o - ，f ) i = j m - l ( 盯) ：v d x = ( 。) 1 ( 。) 7 f j l 。d x1 7 = ：( 盧。) 7 h 7 kk b 2 ( r ，v ) l 。= - - ：d ：v d x = ( q ) 7 f 6 7 中。d xl 7 = ：( q ) 1 g ：盧7 kk b l ( z _ ，v - l ( v ) ) l k = 叮m 。( f ) v ( v t ( v ) ) n d s = ：( 7 ) 1 g ，q ” m ，v ) 忙k 扣( d ：計。：俄= ( q ) t ( k 盧7 帆醞 q ”叫q 甲a q ” 廠( v ) l 。= j 廠v d x 2jf u d x q = ：q q ” k yo i一睜 1 o f ，臚 屯l 0 i - _ ：z j l 瑪：j n = ( 妒l ，少l ，p 1 ，妒2 ，y2 ，p 2 ，妒3 ，少3 ，p 3 ) 和q ”= ( v ( 1 ) ，v ，( 1 ) ，v ，( 1 ) ，v ( 2 ) ，v ，( 2 ) ，v ，( 2 ) ，v ( 3 ) ，v ，( 3 ) ，v y ( 3 ) ) 1 由方程( 5 | 4 ) 得 “：! h ，- ( 口g 。一g 。) t q h 口 一 一 = 凹川大學(xué)碩士學(xué)位論文 把( 5 6 ) 帶入( 6 4 ) 就得到單元剛度矩陣 1 口( a g 2 - g 1 ) h “( a g 2 - g 1 ) 7 + ( 1 一口) a q “= q ( s ，) i 口i 6 數(shù)值算例 本文主要計算了板長l = 1 的簡支和固支方板，在均布荷載和中心集中荷 載作用下的能量、擾度和彎矩，取p o i s s o n 比v = 0 3 。 yf w _ u ：o 。o l | i 一 ! i i l + x (i)(111 圖6 1 四分之方板 ( i ) 四分之一簡支方板( i i ) 四分之一固支方板 由于對稱性，只取四分之一板進(jìn)行計算，并考慮3 種不同的網(wǎng)格，如圖 6 一l 和圖6 2 所示：圖6 1 ( i ) 、( i i ) 是四分之一方板的邊界條件，即簡支方板 和固支方板：圖6 - 2 ( a ) 、( b ) 、( c ) 是三角形單元的網(wǎng)格剖分。對于網(wǎng)格( a ) ， 三角形的三邊分別平行于三個固定的方向，z i e n k i e w i c z 三角板元是收斂的；對 于網(wǎng)格( b ) 和網(wǎng)格( c ) 就是所謂的魚骨型網(wǎng)格和交叉型網(wǎng)格，z i e n k i e w i c z 三角板元 是發(fā)散的。 四川i 大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( a ) ( a ) 三平行網(wǎng)格a2 x 2 c o ) 圖6 2 網(wǎng)格剖分 ( b ) 魚骨網(wǎng)格b2 x 2 ( c ) ( c ) 交叉網(wǎng)格c 2 x 2 表7 一l 表7 4 分別給出了方板在不同網(wǎng)格下的能量、中心擾度和中心彎 矩的計算結(jié)果。表中列舉的組合雜交元c h z 3 ( 0 5 ) 、c h z 5 ( 0 5 ) 、c h z 9 ( 0 5 ) 和 雜交元c h z 9 ( 1 ) 的結(jié)果顯示這些元計算出來的能量與命題3 1 是相符的，例如 兀9 ( 1 ) n 9 ( 0 5 ) 和兀3 ( 0 5 ) + a ( 3 ) ) a ( 3 ) 幸( 2 + 1 ) 一3 + a ( 2 ) ) 2 + b ( 3 ) + ( 1 ) * 2 + a f 2 ) ) 十a(chǎn) ( 3 ) 埯( 2 ) 4 3 ) a ( 3 ) + ( 2 ) * 1 ) ) a o ) 4 ( b ( 2 ) 書( 1 ) ) 】+ h ( 2 4 + a r e a ) ； c c 3 = 4 + ( b ( 1 ) - “1 ) ) ( a ( 2 ) - “3 ) ) ( b ( 1 ) “1 ) ) ( b ( 1 ) - a ( 1 ) ) + c o ( 2 ) - b ( 3 ) ) 4 + ( 3 吣( 2 ) 一3 + a ( 2 ) 均( 1 ) 一1 ) ) a ( 2 ) + ( b ( 1 ) 十a(chǎn) ( 1 ) ) + 2 + 1 ) + ( b ( 3 ) + a ( 1 ) - 2 + b ( 2 ) + 2 + a ( 2 ) ) - b ( 2 ) ( 1 ) + b ( 1 ) ) + 2 岫( 1 ) + ( - 3 ) _ b ( 1 ) + 2 + 2 ) - 2 喝( 2 ) ) 4 ( 3 埯( 3 ) w 3 4 3 ) 十b ( 1 ) 一1 ) ) a ( 3 ) + ( a ( 1 ) 十b ( 1 ) ) + 2 a ( 1 ) + ( * 2 + 3 ) + 2 ( 3 ) - a ( 1 ) - b ( 2 ) ) b ( 3 ) 棗( b ( 1 ) + 1 ) 涉2 埯( 1 ) + ( * 2 3 ) + 擴(kuò)b ( 3 ) + b ( 1 ) + a ( 2 ) ) 】+ h ( 2 4 + a r e a ) ； s w i t c hg r i d c a s e 1 ， i f i 媚m “2 s w i t c hm o d e c a s e 5 ， 5 - p a r a m e t e r c c - - c 1 + c 3 2 ；c 2 + c 3 2 ；一c 3 ；( x x ( 1 ) + x x ( 3 ) ) 幸c 2 2 + ( x x ( 2 ) + x x ( 3 ) ) 4 c 3 4 ： o y ( 1 ) + y y ( 2 ) ) + c 1 2 + ( y y ( 2 ) + y y ( 3 ) ) + c 3 1 4 1 ； c a s