（計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）曲面造型中的blossoming方法及其應(yīng)用.pdf

摘要 本文主要討論b l o s s o m i n g 方法在曲面造型中的應(yīng)用。 利 用b l o s s o m i n g 方法實(shí)現(xiàn)了有理b d z i e r _ 三角片和有理b 6 z i e r 矩形片之 間的相互轉(zhuǎn)換。通過應(yīng)用，我們對(duì)雙變量多項(xiàng)式的b l o s s o m i n g 有 t 一個(gè)全面、統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)同時(shí)還總結(jié)了多元多項(xiàng)式的b l o s s o m i n g 具體章節(jié)安排如下： 第一章是對(duì)自由曲面造型的概述。介紹了曲面造型的研究領(lǐng)域 和研究方法。 第二章介紹t b l o s s o m i n g 的概念，綜述了已有的結(jié)果，敘述了 多元多項(xiàng)式及其微商的b 1 0 8 8 0 m i n g 表示。著重?cái)⑹隽薭 包i e r 三角片 和矩形片b l o s s o m i n g 的表示和它們的b l o s s o m i n g 齊次化的定義。 第三章中，討論t b l o s s o m i n g 方法在曲面造型中的應(yīng)用。首 先討論了有理b d z i e r - - 角片細(xì)分為四個(gè)子有理b d z i e r 三_ 角片，并 由b l o s s o m i n g 算法給出了細(xì)分的飼子。然后討論了曲面轉(zhuǎn)換的問題， 一方面是將有理b d z i e r 三角片轉(zhuǎn)換為有理b d z i e r 矩形片，分別對(duì)一 個(gè)有理b d z i e r - - - 角片轉(zhuǎn)換為三個(gè)非退化的有理b 釔e r 矩形片和一個(gè) 退化的有理b d z i e r 矩形片進(jìn)行了理論推導(dǎo)另一方面是將非退化的 有理b d z i e r e 矩形片轉(zhuǎn)換為兩個(gè)有理b d z i e r t m 角片。用b l o s s o m i n g 方 法得到了相互轉(zhuǎn)換的公式，給出了轉(zhuǎn)換算法并且用數(shù)值例子表明 了算法的有效性。 第四章是對(duì)本文的總結(jié)。 關(guān)鍵詞：b l o s s o m i n g ，有理b 6 z i e r 三角片，有理b d z i e r 矩形片，轉(zhuǎn)換 自由曲面造型 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u g s 4 蕾s o m ea p p l i c a t i o n so fb l o s s o m i n gi ns u r f a c e m o d e l i n g s p e c i f i c a l l y , w ea p p l yb l o s s o m i n gm e t h o di nc o n v e r t i n gb e t w e e n r a t i o n a lb d z i e rt r i a n g u l a ra n dr a t i o n a lb 6 z i e rr e c t a n g u l a r t h e s ep r o b l e m s h e l pn st ou n d e r s t a n dt h et h e o r yo ft h eb l o s s o m i n gi nt w ov a r i a b l e sp o l y - n o m i a li nau n i f i e dw a y a n di n t r o d u c e dt h eb l o 略o m i n gi nm u l t i v a r i a t e p o l y n o m i a l i nt h ef i r s tc h a p t e r w ei n t r o d u c e dt h es t u d y i n gf i e l d sa n dm e t h o d 8o f s u r f a c em o d e l i n g i nt h es e c o n dc h a p t e r w ei n t r o d u c e dt h ee x p l i d tr e p r e s e n t a t i o n s0 fm u l - t i v a r i a t ep o l y n o m i a la n di t sd e r i v a t i v ei nb l o s s o mf o r m ，e s p e c i a l l y , i n t r o d u c e d t h er e p r e s e n t a t i o no ft r i a n g u l a ra n dr e c t a n g u l a rb & i e rp a t c h e si nb l o s s o m f o r ma n dt h e i rh o m o g e n o u so fb l o s s o m i n g i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ea p p l yt h eb l o s s o m i n gm e t h o di ns u r f a c em o d - e 玨n g f i r s t ，w ed m c u s s e dt h es u b d i v i s i o no fr a t i o n a lt r i a n g u l a rb d z i e rp a t c h i n t of o u rs u b p a t c h e sb yb l o s s o m i n gm e t h o d s e c o n d ，w ei n v e s t i g a t e dt h e p r o b l e mo fs u r f a c ec o n v e r s i o n o nt h eo n eh a n d ，w ec o n v e r t e dat r i a n g u l a r r a t i o n a lb 包i e rp a t c hi n t ot h r e en o n d e g e n e r a t ea n dad e g e n e r a t er e c t a n g u l a r r a t i o n a lb & z i e rp a t c h e sr e s p e c t i v e l y o nt h eo t h e rh a n d ，w ec o n v e r t e dan o n - d e g e n e r a t er a t i o n a lb d 口i e rp a t c hi n t ot w ot r i a n g u l a rr a t i o n a lb 6 z i e rp a t c h e s e x p l i c i te x p r e s s i o n sa n da l g o r i t h m sa r eo b t a i n e db yb l o s s o m i n gm e t h o d a n ds o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r o v i d e dt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h e b l o s s o m i n gm e t h o d i nt h ec h a p t e rf o u r lw es u m m a r i z e dt h i sp a p e r k e y w o r d s ：b l o s s o m i n g ，r a t i o n a lt r i a n g u l a rb & i e rp a t c h ，r a t i o n a lr e c t a n g u - l a xb & i e rp a t c h ，c o n v e r s i o n ，f r e e - f o r ms u r f a c em o d e l i n g 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)問論文相關(guān)聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行 研究工作所取得的成果。除己特別加以標(biāo)注和致謝的地方 外，論文中不包含任何他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。 與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的貢獻(xiàn)均已經(jīng)在論文中 作了明確的說(shuō)明。 本人授權(quán)中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)擁有學(xué)位論文的部分使用 權(quán)，即：學(xué)校有權(quán)按有關(guān)規(guī)定向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論 文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱，可以將學(xué)位 論文編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描 等復(fù)制手段保存、匯編學(xué)位論文。 保密的學(xué)位論文在解密后也遵守此規(guī)定。 作者簽名；縊紐豳 加回年歹月叫日 致謝 本文是在導(dǎo)師馮玉瑜教授悉心指導(dǎo)下完成的。 在導(dǎo)師馮玉瑜教授和鄧建松教授的指導(dǎo)下，我從2 0 0 4 年開始了 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)和研究。在這三年的學(xué)習(xí)中，馮老師淵 博的知識(shí)，謙遜的為人，平易近人的作風(fēng)；鄧?yán)蠋熋翡J的洞察力和 嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，都給我留下了非常深刻的印象，并將會(huì)始終激勵(lì) 著我。作者謹(jǐn)向他們致以崇高的敬意和衷心的感謝! 在此，我還要感謝陳發(fā)來(lái)教授，他講授的專業(yè)知識(shí)使我受益匪 淺；感謝陳效群副教授對(duì)我的幫助：感謝陳祖墀教授對(duì)我學(xué)習(xí)和生 活上的幫助。感謝應(yīng)用幾何與科學(xué)計(jì)算實(shí)驗(yàn)室的每位成員，特別是 李秀英，賈曉紅，宋興華，李瑩，童偉華師兄等；還有舍友湯芬斯 蒂和郭朝暉，感謝他們給予我的所有幫助。 同時(shí)，數(shù)學(xué)系的系領(lǐng)導(dǎo)和老師在日常生活中也給我了很多幫 助，在此一并表示感謝。 最后。我要向我的父母和家人朋友表示深深的感謝，感謝他們 一直以來(lái)對(duì)我的支持和鼓勵(lì)，使我能夠安心學(xué)習(xí)并順利完成學(xué)業(yè)。 第一章c a g d 中曲線曲面造型方法的概述 1 1 概述 計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)( c a g d ) 的研究?jī)?nèi)容是在計(jì)算機(jī)圖形圖像系統(tǒng)的 環(huán)境中表示和分析各種自由曲線、曲面以及立體，主要側(cè)重于計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)和 制造( c a d c a m ) 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論和幾何體的構(gòu)造方面。是隨著船舶設(shè)計(jì)、 汽車制造，航空航天等現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與應(yīng)用而產(chǎn)生并發(fā)展 起來(lái)的一門學(xué)科，經(jīng)過數(shù)十年的研究和發(fā)展，特別是伴隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的日 新月異，現(xiàn)在它已不再局限于原有的幾何形狀信息的計(jì)算機(jī)表示、分析與綜 合而是更廣泛地被實(shí)踐應(yīng)用于機(jī)械制造、影視制作、建筑業(yè)、虛擬場(chǎng)景生 成、網(wǎng)絡(luò)傳輸、各種場(chǎng)合的可視化、甚至?xí)r裝工業(yè)等眾多領(lǐng)域。它推動(dòng)了許 多領(lǐng)域的技術(shù)革命，同時(shí)其自身的研究對(duì)象和方法又由于這些領(lǐng)域的發(fā)展而 被不斷更新和推進(jìn)。只要有新的造型理論或方法出現(xiàn)，就會(huì)立即產(chǎn)生相關(guān)的 應(yīng)用；而隨著應(yīng)用對(duì)象的日益復(fù)雜化，隨著實(shí)際應(yīng)用g 寸c a d c a m 系統(tǒng)的要 求日趨多樣化，作：為c a d c a m 系統(tǒng)理論基礎(chǔ)和技術(shù)關(guān)鍵的曲線曲面造型理 論和技術(shù)也相應(yīng)地得到了長(zhǎng)足的發(fā)展，并將繼續(xù)沿著不斷完善已有理論和技 術(shù)以及不斷開拓新的理論和方法的道路邁進(jìn)。曲面造型是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè) 計(jì)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的核心內(nèi)容 1 2 曲面造型的研究領(lǐng)域和研究方法 曲面造型是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，主要 研究在計(jì)算機(jī)圖像系統(tǒng)的環(huán)境下對(duì)曲線、曲面和實(shí)體的表示、設(shè)計(jì)、顯示和 分析。它起源于船舶、汽車、飛機(jī)等的外形放樣工藝，后由c o o n s 、b e z i e r 等 大師于二十世紀(jì)六十年代奠定其理論基礎(chǔ)。經(jīng)過近半個(gè)世紀(jì)的發(fā)展，曲面造 型技術(shù)經(jīng)歷了從二維線框繪圖，到三維實(shí)體造型再到特征、參數(shù)化建模的 逐步完善的過程。耳前已形成了以有理b 樣條參數(shù)化特征設(shè)計(jì)和隱式代數(shù)曲 面表示這兩類方法為主體，以插值、擬合和逼近這三種手段為骨架的理論體 系 曲面造型的核心問題是計(jì)算機(jī)表示，描述形狀信息的數(shù)學(xué)方法既要適合 計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)和處理，又要有效地滿足形狀表示與幾何設(shè)計(jì)的具體要求，以及 2 0 0 7 年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 第一幸c a g d 中曲線曲面造型方法的概速 1 2 曲面違型的研究領(lǐng)域和研究方法 便于形狀信息傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換等。隨著計(jì)算機(jī)圖形顯示對(duì)于真實(shí)性、實(shí) 時(shí)性和交互性要求的目益增強(qiáng)，隨著幾何設(shè)計(jì)對(duì)象向著多樣性、特殊性和拓 撲結(jié)構(gòu)復(fù)雜性靠攏的趨勢(shì)的日益明顯，隨著圖形工業(yè)和制造工業(yè)邁向一體 化、集成化和網(wǎng)絡(luò)化步伐的日益加快，隨著激光測(cè)距掃描等三維數(shù)據(jù)采樣技 術(shù)和硬件設(shè)備的日益完善，曲線曲面造型技術(shù)在近幾年來(lái)得到了長(zhǎng)足的發(fā) 展這些發(fā)展主要表現(xiàn)在研究領(lǐng)域的急劇擴(kuò)展和表示方法的開拓創(chuàng)新上 從研究領(lǐng)域來(lái)看，曲線曲面造型技術(shù)已從傳統(tǒng)的研究曲線曲面的表示、 求交和拼接，擴(kuò)充到曲線曲面的變形、重建、簡(jiǎn)化、形式轉(zhuǎn)換以及等距性等 闖題。 曲面變形( d e f o r m a t i o no rs h a p eb l e n d i n g ) ：傳統(tǒng)的非均勻有理b 樣 條( n u r b s ) 曲面模型，僅允許調(diào)整控制頂點(diǎn)或權(quán)因子來(lái)局部改變曲面形狀， 至多利用層次細(xì)化模型在曲面特定點(diǎn)進(jìn)行直接操作；一些簡(jiǎn)單的基于參數(shù)曲 線的曲面設(shè)計(jì)方法，如掃掠法( s w e e p i n g ) ，蒙皮法( s k i n n i n g ) ，旋轉(zhuǎn)法和拉伸 法。也僅允許調(diào)整生成曲線來(lái)改變曲面形狀。計(jì)算機(jī)動(dòng)畫業(yè)和實(shí)體造型業(yè)迫 切需要發(fā)展與曲面表示方式無(wú)關(guān)的變形方法或形狀調(diào)配方法，于是產(chǎn)生了自 由變形( f f d ) 法，基于彈性交形或熱彈性力學(xué)等物理模型( 原理) 的變形法， 基于求解約束的變形法，基于幾何約束的變形法等曲面變形技術(shù)和基于多面 體對(duì)應(yīng)關(guān)系或基于圖象形態(tài)學(xué)中m i n k o w s k i 和操作的曲面形狀調(diào)配技術(shù) 曲面重建( r e c o n s s r u c t i o n ) ：是從曲面上的部分采樣信息來(lái)恢復(fù)原始 曲面的幾何模型，按重建曲面的形式，分為函數(shù)型和離散型曲面重建。采樣 用的工具為：激光測(cè)距掃描器，醫(yī)學(xué)成像儀，接觸探測(cè)數(shù)字轉(zhuǎn)換器，雷達(dá)或 地震勘探儀器等 曲面簡(jiǎn)化( s i m p l i f i c a t i o n ) ：是從三維重建后的離散曲面或造型軟件 的輸出結(jié)果中去除冗余信息而又保證模型的準(zhǔn)確度，以利于圖形顯示的實(shí)時(shí) 性、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的經(jīng)濟(jì)性和數(shù)據(jù)傳輸?shù)目焖傩浴＞唧w的方法有；網(wǎng)格頂點(diǎn)剔除 法，網(wǎng)格邊界刪除法，網(wǎng)格優(yōu)化法，最大平面逼近多邊形法以及參數(shù)化重新 采樣法。 曲面轉(zhuǎn)換( c o n v e r s i o n ) ：一張曲面可以表為不同的數(shù)學(xué)形式。在同一c a d 系統(tǒng)中，有時(shí)只需要一種形式，因此。考慮曲面之間的轉(zhuǎn)換是非常必要的 曲面位差( o f f s e t ) ：也稱為曲面等距性，從數(shù)學(xué)表達(dá)式容易看出，一條 平面參數(shù)曲線的等距曲線不再是有理曲線，這就越出了通用的n u r b s 系統(tǒng) 2 0 0 7 年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 3 第一章c a g d 中曲線曲面造型方法的概速1 。2 曲面違型的研究領(lǐng)域和研究方法 的使用范圍，造成了軟件設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和數(shù)值計(jì)算的不穩(wěn)定尋找具有精確 有理等距曲線的某種參數(shù)曲線是一個(gè)重要問題。 從表示方法來(lái)看，曲面造型中的曲面主要有多邊形網(wǎng)格、隱式曲面、參 數(shù)曲面等表示方法以阿洛表示、細(xì)分( s u b d i v i s i o n ) 等為特征的離散造型 與這些傳統(tǒng)的連續(xù)造型相比，大有后來(lái)居上之勢(shì)，這類造型方法在生動(dòng)逼真 的特征動(dòng)畫和雕塑曲面的設(shè)計(jì)加工中如魚得水得到了高度的運(yùn)用。 多邊形網(wǎng)格表示方法 此方法是最直接的表示方法，在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)誕生之時(shí)就已開始使用， 其最大優(yōu)點(diǎn)是造型速度快，它直接使用點(diǎn)、直線段和平面面片來(lái)逼近真實(shí)的 形體，因此便于顯示、可以表示任意拓?fù)?。但該方法表示的曲面精度、曲?光順性及可修改性不及參數(shù)曲面方法，從而限制了它的應(yīng)用范圍 參數(shù)曲面表示方法 參數(shù)化表示方法由來(lái)已久，是曲線曲面造型技術(shù)的一種重要方法，也是 傳統(tǒng)的c a d c a m 系統(tǒng)采用的標(biāo)準(zhǔn)表示方法。 因?yàn)槎囗?xiàng)式作為插值或逼近函數(shù)具有一定的局限性，人們開始研究所 謂的分段多項(xiàng)式。在1 9 4 6 年，樣條函數(shù)的創(chuàng)始人s c h o e n b e r g 提出了b 樣條理 論。這種方法可方便地用來(lái)構(gòu)造整體達(dá)到一定光滑連續(xù)的曲線和曲面。后 來(lái)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的初具規(guī)模，樣條函數(shù)開始 被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)擬合、函數(shù)逼近、曲線曲面造型等領(lǐng)域，并在理論上逐 步得到完善。1 9 6 8 年，美國(guó)波音公司的f e r g u s o n 首先提出了將曲線曲面表示 為參數(shù)的矢函數(shù)方法，他引入了三次參數(shù)樣條曲線，并構(gòu)造t f e r g n s o n 雙三 次曲面片，用以解決自由型曲線曲面的表示和設(shè)計(jì)問題。1 9 6 4 年，美國(guó)麻省 理工學(xué)院的c o o n s 給定圍成封閉曲線的四條邊界就可以定義一張曲面片( 稱 為c o o n s 曲面) ，c o o n s 雙三次曲面片在實(shí)踐中應(yīng)用廣泛。但這兩種方法都存 在形狀控制與連接問題，不利于交互設(shè)計(jì)和整體造型。而在法國(guó)，雪鐵龍汽 車公司的d ed e c a s t e l j a n 于1 9 5 9 年和雷諾汽車公司的b 白i e r 于1 9 6 2 年分別獨(dú) 立地發(fā)展了后來(lái)被稱為b d z i e r 曲線的參數(shù)曲線表示方法后來(lái)又陸續(xù)得到了 矩形域上的張量積b & i e r 抽面和三角域上的b d , z i e r 曲面等表示形式。b d z i e r 方 法簡(jiǎn)單易用，而且具有很好的交互性，漂亮地解決了整體形狀控制問題，把曲 線曲面的設(shè)計(jì)向前推進(jìn)了一大步，為自由曲線曲面造型的進(jìn)一步發(fā)展奠定了 堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但是，b d z i e r 方法仍然存在拼接問題和局部修改問題。1 9 7 2 年d e 2 0 0 7 年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文4 第一章c a g d 中曲線曲面造型方法的概速i 2 曲面追型的研寬領(lǐng)域和研覽方法 b o o r 、c , o x 和m a n s f i e l d 分別獨(dú)立地給出了計(jì)算b 樣條的標(biāo)準(zhǔn)算法即d eb o o r 遞 推公式，該方法使b 樣條的計(jì)算簡(jiǎn)便而穩(wěn)定1 9 7 4 年，g o r d o n 和r i e s e n f e l d 發(fā) 現(xiàn)d eb o o r 遞推算法是d ec a s t e l j a u 算法的自然推廣，將b 樣條函數(shù)推廣到參 數(shù)形式的b 樣條曲線曲面。b 樣條方法幾乎繼承了b 6 z i e r 方法的一切優(yōu)點(diǎn)，同 時(shí)克服了b 6 z i e r 方法存在的一些缺點(diǎn)，較成功地解決了局部控制問題，并在 參數(shù)連續(xù)性基礎(chǔ)上解決了連接問題，從而使自由型曲線曲面形狀的描述問題 得到了較好解決。但它卻不能精確( 只能近似) 表示除拋物線和拋物面外的二 次曲線曲面。1 9 7 5 年，v e r s p r i u e 提出了有理b 樣條方法?？朔松鲜鋈毕荨：?來(lái)在p e g e l 和t i l l e r 等學(xué)者的努力下，在上世紀(jì)8 0 年代后期發(fā)展起來(lái)非均勻有 理b 樣條( n u r b s ) 的一整套方法，把有理和非有理b 也z i e r 曲線曲面與b 樣條 曲線曲面以及圓錐曲線和初等解析曲面統(tǒng)一于一種表示，最終使n u r b s 方 法成為現(xiàn)代幾何造型中最為廣泛流行的技術(shù) 瞎式曲面表示方法 隱式曲面是通過隱函數(shù)定義的曲面。相對(duì)于傳統(tǒng)的參數(shù)曲線曲面表示方 法，隱式曲面具有眾多優(yōu)點(diǎn)：很容易判斷給定的點(diǎn)與曲線曲面的位置關(guān)系。 隱式曲線曲面在求交、求并、o f f s e t 等幾何操作之后仍為隱式曲線曲面，這 樣就可以由一些相對(duì)簡(jiǎn)單的體素構(gòu)成較為復(fù)雜的形體隱式曲面簡(jiǎn)單靈活 的表達(dá)形式，更易于表示立體形狀，理論上隱式曲面可以用于表示任何形體， 而且對(duì)于用有理參數(shù)表示的代數(shù)次數(shù)很高的曲線和曲面，通?？梢杂梅制?次代數(shù)曲面去研究來(lái)避免高次給造型帶來(lái)的困難。在插值或逼近給定點(diǎn)和 曲線時(shí)，隱式曲線曲面較之參數(shù)表示更加方便和自然，并且在b - b 表示下代 數(shù)曲面的b 包i e r 縱標(biāo)對(duì)曲面形狀的控制很直觀 細(xì)分方法 細(xì)分方法是把參數(shù)曲面的逐片構(gòu)造方法推廣到任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)格模 型，克服了參數(shù)曲面處理任意拓?fù)淝鏁r(shí)存在的困難。與其它方法相比，細(xì) 分方法具有如下特點(diǎn)：表示的一致性：傳統(tǒng)的造型方法，其曲面表示要么 是多邊形網(wǎng)格，要么是參數(shù)曲面。而細(xì)分曲面既可以看作是由控制網(wǎng)格定義 的連續(xù)曲面。又可以看作是離散網(wǎng)格曲面?？缮炜s?。杭?xì)分方法是基于遞 歸細(xì)化控制網(wǎng)格，這使得細(xì)分曲面本身具有多分辨性質(zhì)，使其在編輯、顯示、 月格傳輸方面具有其它造型技術(shù)和曲面表示方法所無(wú)法比擬的優(yōu)勢(shì)。簡(jiǎn) 潔、高效性：常用的細(xì)分方法所定義的細(xì)分規(guī)則都很少，而且規(guī)則比較簡(jiǎn)單， 細(xì)分計(jì)算只是反復(fù)迭代，可以高效地計(jì)算出新的頂點(diǎn)。仿射不變性：如對(duì) 2 0 0 7 年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 5 第一章c a g d 中曲線曲面違型方法的概速1 2 曲面造型的研究頓域和研克方法 初始控制網(wǎng)格做線性變換，如平移、縮放或者旋轉(zhuǎn)等，所得的細(xì)分曲線或者 曲面也會(huì)做相應(yīng)的變換任意拓?fù)溥m應(yīng)性：能夠建立任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的曲面。 任意拓?fù)洳粌H指網(wǎng)格的虧格和相應(yīng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是任意的，而且由網(wǎng)格的頂點(diǎn) 和邊所構(gòu)成的圖形是任意的。目邑夠很好的解決任意拓?fù)鋯栴}是細(xì)分方法獲得 廣泛應(yīng)用的最主要原因之一 而且還出現(xiàn)了一些新的曲面造型方法，比如： 基于物理模型的造型方法 該類方法與建立在純數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的傳統(tǒng)方法大相徑庭，它基于物理 模型( 而不是單純的幾何體) 對(duì)變形曲面進(jìn)行仿真或構(gòu)造光順曲面，具有以 下特點(diǎn)( 見文獻(xiàn)1 2 1 ，2 8 1 ) ：曲面形狀的改變服從物理準(zhǔn)則，在計(jì)算機(jī)模擬過 程中，可以一種自然、可預(yù)測(cè)的方式對(duì)模型施加仿真外力進(jìn)行變形，而且可 以動(dòng)態(tài)地顯示模型在外力作用下的變形；模型的平衡狀態(tài)是模型在外力和 約束條件作用下的具有勢(shì)能最小的狀態(tài)，可以建立滿足局部或整體設(shè)計(jì)要求 的勢(shì)能函數(shù)和規(guī)定與形狀設(shè)計(jì)有關(guān)的幾何約束；能量模型建立在傳統(tǒng)的標(biāo) 準(zhǔn)純幾何模型的基礎(chǔ)上，這樣就可以同時(shí)應(yīng)用傳統(tǒng)的幾何造型和基于物理的 造型兩類方法去設(shè)計(jì)曲面形狀。 基于偏微分方程( p d e ) 的曲面造型方法 p d e 曲面是由一組橢圓偏微分方程生成的，它的形狀由邊界條件和所選 擇的偏微分方程確定。其思想起源于將過渡面的構(gòu)造看作一個(gè)偏微分方程的 邊值問題，面后發(fā)現(xiàn)該方法可以方便地構(gòu)造大量實(shí)際問題中的曲面形體。該 方法具有以下特點(diǎn)( 見文獻(xiàn)【2 j ) ：構(gòu)造過渡面簡(jiǎn)單易行，只需給出過渡線并 計(jì)算該處的跨界導(dǎo)矢；所得曲面自然光順，但是曲面由超越函數(shù)表示而 不是簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式；可通過修改邊界曲線和跨界導(dǎo)矢即方程中的一個(gè)物理 參數(shù)來(lái)調(diào)整曲面形狀；便于功能曲面的設(shè)計(jì)；用戶的輸入工作量較小， 確定一張曲面只需少量的參數(shù)。 流曲線曲面造型 該方法是一種以流體力學(xué)為背景的流藍(lán)線曲面的造型方法。由流體力學(xué) 理論可知，流曲線曲面上任一點(diǎn)的切線與該點(diǎn)的水流或氣流的流動(dòng)矢量方向 吻合，因此用流曲線曲面設(shè)計(jì)的外型具有良好的物理性能，同時(shí)外型也十 分美觀。該方法的思想以流體力學(xué)中的平面定常理想不可壓縮無(wú)旋動(dòng)為力學(xué) 背景，將流體力學(xué)中流函數(shù)的概念引人到c a d 中，從而建立流曲線曲面的數(shù) 2 0 0 7 年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 6 第一章c a g d 中曲線曲面造型方法的概述1 3 本文主要內(nèi)客 學(xué)模型 另外，還有許多其他的造型方法，如教亂點(diǎn)的曲線曲面的造型方法、小 波曲線曲面的造型方法等，這里不再贅述。 = 十世紀(jì)八十年代，d ec a s t l j a u 在文獻(xiàn)【4 】中和r a m s h a w ；在文獻(xiàn)f 2 2 _ 2 4 1 中提出了一種研究樣條曲線的新方法- - b l o s s o m i n g 方法。它的基本思想 可以追溯到代數(shù)幾何中的極形式( p o l a rf o r m ) 這種方法成功的再建和拓寬 了單變量樣條的理論，在曲線造型中的應(yīng)用已經(jīng)比較成熟f 1 ，9 ，1 0 ，1 4 ，2 4 ， 2 5 1 。b l o s s o m i n g 方法在曲面造型中的應(yīng)用仍需要迸一步的研究。之后g o l - d m a n 在文獻(xiàn)【1 1 1 中探討了負(fù)指數(shù)b e m s t a i n 基的性質(zhì)和相應(yīng)的多仿射b l o s s o - m i n g ，以及在文獻(xiàn)1 2 。1 3 1 中將b l o s s o m i n g 從多項(xiàng)式擴(kuò)展到解析函數(shù)，s e i d e l 在 文獻(xiàn) 2 6 1 中引進(jìn)了多變量多項(xiàng)式b l o s s o m i n g 的概念。 1 3 本文主要內(nèi)容 本文主要討論b l o s s o m i n g 方法在曲面轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用。矩形片和三角片 是b d z i e r 曲面的兩種主要表示形式它們有著很多共同的性質(zhì)，例如角點(diǎn)插 值性、凸包性、仿射不變性等，但這兩種形式的曲面有著不同的基函數(shù)和不 同的幾何拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，又由于在同一c a d 系統(tǒng)中。常常僅包含某一種表達(dá)形 式，這就有必要從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式。b & i e r 矩形片與三角片之間 的相互轉(zhuǎn)換方法已有不少工作。 本文是利用b l o s s o m i n g ，y 法實(shí)現(xiàn)了有理b d z i e r 矩形曲面片和三角曲面片 之間的相互轉(zhuǎn)換。一方面，將有理b d z i e r 三角片轉(zhuǎn)換為有理b d z i e r 矩形片，首 先對(duì)一個(gè)n 次有理b d z i e r 三角片轉(zhuǎn)換為三個(gè)非退化的( n ，n ) 次有理b 鐋e r 矩形 片的情況進(jìn)行了討論，是將給定的有理b d z i e r 三角片的定義域剖分為三個(gè)四 邊形，再將三角片限制在這三個(gè)四邊形上的曲面片重新參數(shù)化得到所求的矩 形片；其次，由同樣的理論推導(dǎo)過程將一個(gè)n 次有理b & i e r = 角片轉(zhuǎn)換為一個(gè) 退化的( n ，n ) 次有理b d z i e r 矩形片。本文利用有理b d z i e r 三角片的b l o o m i n g 形 式直接生成所求有理b d z i e r 矩形片的控制頂點(diǎn)另一方面，將一個(gè)( m ，n ) 次 有理b z i e r 矩形片轉(zhuǎn)換為兩個(gè)m + 禮次有理b d z i e r - - 角片，通過連接四邊形 對(duì)角線的方式把有理b 6 z i e r 矩形片的定義域化成兩個(gè)三角形，然后給出有 理b b z i e r 三角片控制頂點(diǎn)的計(jì)算公式。本文利用b l o s s o m i n g 方法得到了相互 轉(zhuǎn)換的公式，給出了轉(zhuǎn)換算法。并且用數(shù)值例子表明了算法的有效性。 第二章曲面b l o s s o m i n g 的定義及其性質(zhì) 2 1 一元多項(xiàng)式b l o s s o m i n g 的定義及其齊次化 2 1 1 一元多項(xiàng)式b l o s s o m i n g 的定義及其表示 本節(jié)介紹b l o s s o m i n g 的定義和一些基本性質(zhì)，這些可在文獻(xiàn)1 7 ，8 ，2 4 r p 發(fā)現(xiàn)。設(shè)b 為一向量空間，i i ，i ( t ) 為不超過n 次的單變量多項(xiàng)式的全體。 定義2 1 。l 設(shè)p o ) m ( t ) t r e 的一元多項(xiàng)式，把個(gè)變量的對(duì)稱、仿射 且滿足對(duì)角性質(zhì)的多項(xiàng)式i k 酬( t l ，u n ) ：r n e 稱為多項(xiàng)式p ( t ) 的肋船一 o m i n g 其中對(duì)稱是指對(duì)t l ，n ) 上任一置換排列一有 玩糾( 玨i ，) = & 嘲0 一( 1 ) ，玨一m ) ) ， 仿射是指對(duì)所有的咄，i = 1 ，幾都是一次的，即滿足 取糾( 讓1 ，t “一l l ( 1 一a ) 讓+ a v ，地+ l ，t ，i ) = ( 1 一a ) 鼠糾( 讓1 ，啦- i ，缸，t 1 ，) + a 點(diǎn)k 糾( t l ，m 一1 ，撕+ l ，) ， 對(duì)角性質(zhì)是指當(dāng)t l = = ；t 時(shí)有 b 。 p l ( t ，t ) = v ( t ) 性質(zhì)2 1 2 定叉2 1 j 中的b l o s s o n v i n g b n 洲( u l ，) 是唯一存在的。 性質(zhì)2 1 3 設(shè)定，淮f 0 ，1 _ k b g z i e r 曲線c ( 讓) = 只霹( u ) ，其日沁鯽砌礎(chǔ)的 i ；0 對(duì)偶泛函性為 只= 鼠舊蛐掣， n - i 從而得到 圾f 霹( ”) 】也二二三2 二o 。& ， ( 2 1 ) in - k 其中= j ：埠。f f i i , 7 2 0 0 7 年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文8 第二章曲面b 1 瑚眥i n g 的定義及其性質(zhì)2 1 一元多項(xiàng)點(diǎn)b l o s s o m l u g 的定史及其齊次化 給定p ( t ) 風(fēng)( t ) ，它的b l o s s o m i n g b n p ( u x ，) 有不同的表示形式， 下面介紹三種應(yīng)用最廣泛的顯式表示形式( 見文獻(xiàn)f 2 7 ) 性質(zhì)2 i 4 甩時(shí)稱的初等函數(shù)表示： n 設(shè)( t ) = 啦驢，刖它b l o s s o m i n g 為 i = o 風(fēng)嘲( ，) = 砉毗鼠“”) q ) ，i = 0 、。7 其中最( u 1 ，t ，1 ) =砰睹，0 o ，l ，為a q - u ”。u n 的 第女個(gè)初等函數(shù)。 例如，當(dāng)p ( 幻= c 3 廬一c 2 鏟+ c i t + 印，其中c f r 或c i e ， 島糾( t l ，砌，撕) 2c 3 讓l t 2 鋤一；餳1 忱+ t l 地+ t 2 鈞) + ；c l ( u 1 + v a + u 3 ) + c o uu 性質(zhì)2 1 5 用d eb o o r - f i x 公式表示： 設(shè)p ( t ) r 1 ( d ，并且m ( t ) = ( 讓l 一力( t h t ) ，則的b l o s s o m i n g $ 風(fēng)m ( u ”，) = n _ _ l 卜、n - k p ( r ) 皿協(xié) 且上式右邊不依賴于r 若已知p ( t ) 的根及它的最高次的系數(shù)，即 北) = 學(xué)”小噸_ t ) ， 那么就可以用矩陣的積和式來(lái)表示p ( t ) 的b 1 0 8 珀i n g 。 下面先給出積和式的定義： 定義2 1 6 謾壇。= ( 豫，) 為死階方陣，則稱 p e r m ( m ) ：= m 1 n ，h h ， 為矩陣 f 的積和式，簡(jiǎn)記為p e r m ( m ) ，其中口是1 ，2 ，n 的置換排列。 性質(zhì)2 , 1 7 用多項(xiàng)如( t ) u s 根表示： 2 0 0 7 年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文9 第二章曲面b 1 0 s m g 的定義及其性質(zhì)2 1 一元多項(xiàng)式b 1 0 酗o m i n g 的定義及其齊旋舶 尾糾( t l i ，) = ( - 可1 ) - 礦p c - ) ( o p e r m ( r 一吩) ， &rm純一蚴，=鳧啪(三二-1：1：?1二-：“2；!：二rl二-蘭 b l o s s o m i n g 的齊次化： n i 殳p ( t ) = ea k t ，記它的b l o s s o m i n g 為鼠腳( 亂“，) ，對(duì)該b l o s s o m i n g 的 k = o 齊次化是對(duì)每個(gè)變量分別齊次化，表示形式為 鼠嘲( ( 讓z ，v 1 ) ，) ) ，( 2 2 ) 易知( 2 2 ) 式的每一項(xiàng)中關(guān)于因子鍬，譏只能有一個(gè)，即關(guān)于每一對(duì)變量( 饑，強(qiáng)) 都是一次的t 從而既糾( ( 亂- ，v 1 ) ，c ( u k ，譏) ，( t ，i ，) ) 是多線性的，有 島糾( ( 口- ) ，c ( u k ，仇) ，( 釷。，) ) = c 晶剴( ( l ，u 1 ) ，( u b 饑) ，( ，) ) 令地= 1 ，后= 1 ，n 可將( 2 2 ) 式去齊次化，即 風(fēng)塒( ( 釷l ，1 ) ，1 ) ) = 風(fēng)m ( u l ，“d 齊次化的b l o s s o m i n g ： 是指先將p ( t ) 齊次化再進(jìn)彳 y b l o s s o m i n g 。p ( t ) 的齊次化形式為 n p ( t ，”) = g t k 如j j n - k - = - - o 當(dāng)t = 1 時(shí)p ( t ，伽) 還原為p ( t ) 。即p ( t ，1 ) = p ( t ) 2 0 0 7 年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 0 第二幸曲面b l 唧m i n g 的定義夏其性質(zhì)2 2 多元多項(xiàng)式b l 8 曲虹n g 的定叉及其表示 定義齊次多項(xiàng)式p ( t ，w ) 的b l o s s o m i n g 是唯一的、對(duì)稱且多線性的多項(xiàng)式， 記為日捌( ( ”- ， ) ，( ，) ) ，并且滿足對(duì)角性質(zhì)風(fēng)嘲( ( t ，塒) ，( t ，伽) ) = p ( t ，加) 多線性是指多項(xiàng)式風(fēng)糾( ( t l ，仇) ，( t ，) ) 關(guān)于每對(duì)變量( i ，他) 七= l ，璐5 是線性函數(shù)g 口有 晶嘲( ( u l ，饑) ，( ，) + 以，鞏) ，( ，) ) = & 嘲( ( 暫l ，t ，1 ) ，o , k ，) ，( ，) ) + 最嘲( ( “l(fā) ，u 1 ) ，以，s k ) ，( u 。，) ) ， 風(fēng)糾( ( t 1 ，仇) ，c ( 釷i ，v k ) ，) ) = c 且k 馴( ( 讓l ，v 1 ) ，( u ，) ，( u 。，) ) 2 2 多元多項(xiàng)式b l o s s o m i n g 的定義及其表示 2 2 1多元多項(xiàng)式b l o s s o m i n g 的定義 由于單變量多項(xiàng)式的b l o s s o m i n g ) j - 法為樣條曲線及多項(xiàng)式曲線的研究提 供了一種非常有效的、快捷的工具。很自然地，希望將其推廣到多變量多項(xiàng) 式的情形，文獻(xiàn)【2 6 1 中，引進(jìn)了多變量多項(xiàng)式b l o s s o m i n g 的概念。文獻(xiàn)f 5 1 介 紹了定義在單形上的多元多項(xiàng)式b l o s s o m i n g 的表示形式和性質(zhì)。對(duì)于多元樣 條。借助于b l o s s o m i n g 方法進(jìn)行研究也已取得了部分成果( 見文獻(xiàn)【6 ，1 9 】) ?，F(xiàn) 仍處于不斷發(fā)展之中下面我們對(duì)多變量多項(xiàng)式的b l o s s o m i n g 做一下總結(jié)。 首先介紹一些記號(hào)， 對(duì)任何的多重指標(biāo)a ： 口：= ( o l ，m ) z ? ， j a i ：= o l + + n h ， 口! ：= 口l ! b m ! ， x a ：= z ；1 z 靜，x = ( x i ) i m l r m 對(duì)多重指標(biāo)口，反它們的二項(xiàng)式系數(shù)定義為： 鏟鏟四：東三 2 0 0 7 年 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文1 1 簍三圭皇苧至里竺鎏! 竺壘蘭圣苧蘭堡! ! 量耋壟蘭矍塑壁竺堡! 竺蘭蘭壘叁查重 特別地，記 ：；j f i = 1 黔a j 設(shè)i i ，i ( r 4 ) ：= 所有次數(shù)不超過n 的m 元多項(xiàng)式的全體 定義2 2 1 設(shè)p ( 甸。( r ，) 為r ，一e 的多項(xiàng)式，若存在一個(gè)禮仿射的，對(duì) 稱的多項(xiàng)式風(fēng)糾( d ”，扣) ，其中捌r 仇， = 1 ，t i ，且滿足對(duì)角性 質(zhì)，t t f b 糾( 為，磅= p ( 動(dòng)，茁艫，弼稱b 。剜( d ”，列) 為p ( 動(dòng)的b ： s o m i n g 其中對(duì)稱是指對(duì)f l ，2 ，n ) 上的任一置換排列，有 晶溯( x ，x 似) = 且k 糾( x p ( 1 ) ) ，x p 加) ) ， n _ 仿射是指對(duì)任意l t s n ，有 島糾( x ( ，x a 一1 1 ，( 1 一c ) x + c y ，x o + t ) ，x n ) = ( 1 一c ) b 。嘲( x n ，x “一n ，x ，x 0 + ，x ( ”) ) + c b 矗【翻( x ( ，x “一n ，y ，x 0 + ，x ( 砷) ， 而對(duì)角性質(zhì)指，當(dāng)x ( ) = x ，1 i n 時(shí)，有 晶糾( x ，x ) = p ( x ) 性質(zhì)2 2 。2 定義2 ，2 j 中多元多項(xiàng)式的8 如s 卯仍鋼& 嘲( g ”，) 是唯一 存在的 類似2 1 1 節(jié)，同樣有多變量對(duì)稱初等函數(shù)的表示 ( x o ，x ) ：= ( x ( 1 ) 小，( x 加) ”， l + + e h _ 4 其中n ，a z ? ，e o ：= 0 釅，1 s l 訊，是r ，中的單位向量。 記 d ：= ( 去，擊) ：= ( 去) “( 去) “， 由多元多項(xiàng)式的t a y l o r 公式，有 p ( x ) = 擊d 印( o ) x 口 0 1 4 e f - z $ “ 2 0 0 7 年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 2 苧量童竺重呈! ! 竺些! 絲墨蘭壘塞蘭絲! ! ：! 蘭壟蘭堡查型! ! ! 竺墊! 篁奎叁圣蘭叁重 所以p ( x ) 的b l o o m i n g 為 風(fēng)嘲( x ( ”，如) = 三芻。勺( 。) ( ：) 一“( x ( ”- ，如) ) i 例如設(shè)二元二次多項(xiàng)式p 2 ( ，) 為 忱仕，暑，) = a o + 口l + 0 2 可+ d 3 + a 4 x y + a s y 2 ， 其b l o s s o m i n g 為 島矧( ( 釷，譏) ，( t 2 ，忱) ) = d o + n l 竺! 音絲+ n 2 塑音旦+ 。3 u ，坳+ 弛絲! 蘭；! 絲+ 口s ”- 忱 2 2 2 m 維單骺上多元b b 多項(xiàng)式b l o s s o m i n g 的表示 設(shè) ：= ：= a ：o ，；1 、t = lt = l 7 為標(biāo)準(zhǔn)m 維單形，其頂點(diǎn) ( ”，口( ，口1 ) r m 定義在標(biāo)準(zhǔn)m 維單形上的次數(shù)不超過n 的多元b b 多項(xiàng)式為 p ( x ) = ：c 。磁( a ) = ( e 1 a l + + + 1 k + l r c o ， l a l = “ 其中壤( a ) ：= 等艫，a z ? + 1 ，且a ；( , h i ，k + 1 ) 是x 關(guān)于的重心坐 標(biāo)，即x = 口( i ) ，丸= 1 性質(zhì)2 2 3 設(shè)( 動(dòng)是m 維單形上的次數(shù)不超過n 的多元b 占多項(xiàng)式，且圾嘲 ( d ”，矗”) ) 是p ( 動(dòng)b l o s s o m i n g ，其中 ( 盯i 舢，積1 ) 滿足熏| l 蠢肺：1 ， ：1 ，2 ，n ) 是d ) 關(guān)于幺的重心坐 = l 標(biāo)，則 最捌( o ”，) ，) = ( 書目+ 毋易+ + 堪。風(fēng)+ - ) c d = l 其中置龜= c 口+ 一，i = 1 ，2 ，m + 1 因而此日? d 鯽o m 譏9 即是將口b 多項(xiàng)式 曲面片的全字塔算法的每一層用不同的參數(shù)) 代替弘 ” 斟 蠢 州：l = 知 彩 2 0 0 7 年 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文 1 3 量三童皇重塞竺矍竺墊! 竺奎蘭圣叁絲絲! ! 星蘭壟蘭堡苧絲查竺呈窒矍竺! 查重 性質(zhì)2 2 4 對(duì)偶泛函性? 設(shè)n z r l ，i 口i = n ，則 風(fēng)糾( ! 竺：1 9 2 竺：! ! = ：，- ：蘭= ! ：! 竺：) = 島 口i口2 + 1 性質(zhì)2 2 5m 雛單形上多元口b 多項(xiàng)式p ( 磅的肋卵o ，l 鋤7 尻酬( d ”，。m ) 是唯一存在的。 2 3 多元多項(xiàng)式微商的b l o s s o m i n g 表示 2 3 1 m 維單形上b b 多項(xiàng)式微商的b 1 0 8 s o n l i n g 表示 記m 維單形上b b 多項(xiàng)式為 p ( x ) = p ( a 1 ，a m + 1 ) = ( j a a l + + 五1 m + 1 凡。+ 1 ) ”c o ， 其中九并不是獨(dú)立的自變量，真正獨(dú)立的自變量r m - i - 。不失一般性，不妨 設(shè)九( 1 i m ) 是獨(dú)立的自變量，因= 1 知，凡l = 1 一a 1 一k 所以對(duì)1 s m 有 裊= 付( e z a l + + l k l ) ”1 慨一+ 1 ) c 0 ， d p ( i - ，k + t ) = 石芒齋a l + + 蜀五t a 葉，) ”慨一+ z ) c o ， 。啊( b ，k + 1 ) = 石南a - + _ + e 時(shí)t k + 1 ) 叫1 1 垂( 島一晶+ 1 ) m c o 因?yàn)?= 爭(zhēng)至耍g ) 垂釋，鼢量m c o 2 薹( 砷刊c t ， 其中u = 0 l ，i ，y 一可i ) ，目= ( ，7 l ，) ，7 = h ，) ，由上式及多 元多項(xiàng)式的對(duì)偶泛函性質(zhì)2 2 4 ，可得m 維單形上& b 多項(xiàng)式p ( x ) 的1 7 l 階導(dǎo)數(shù) 饑 o 一 日 m “ 2 0 0 7 年 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)碩士學(xué)位論文1 4 董三蘭竺里曼窒些竺壘蘭壘叁蘭矍l ! 量蘭童蘭堡苧絲童竺壘竺塑查重 為 叻( n ，k - ) 2 若薹眠+ + k 一飛叫卜州c u = 志善晶嘲唏警p ， 芝竺生t j 竺! ( m + n 卅( m + 1 ( 2 3 ) 、- - v - - 、- _ - - - _ ，v _ 二_ _ 7 由