（計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）狀態(tài)受限最優(yōu)控制問題的譜方法.pdf

d i ss e r t a t i o nf o r d o c t o rd e g r e e ，2 0 l 巾 i i l lll 1 iti l ll lll l u l y 18 4 712 4 s c h 0 0 lc o d e ：10 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 2 0 7 0 6 0 l o l 4 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y t h e s p e c t r a lm e t h o d s f o ro p t i m a l c o n t r o ip r o b l e m sw i t hc o n s t r a in t so n s t a t e d e p a r t m e n t ： m a t h e m a t i c s m a j o r ： s u b j e c t ： t u t o r ： a n t h o r ： n u m e r i c a lm a t h e m a t i c s n u m e r i c a la n a l y s i sf o rp d e s p r o f d a n p i n gy a n g j i a n w e iz h o u jl a n w e l1 1 0 u s e p t e m b e r2 0 10 s h a n g h a i 華東師范大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 鄭重聲明：本人呈交的學(xué)位論文狀態(tài)受限最優(yōu)控制問題的譜方法，是在華 東師范大學(xué)攻讀碩士恁( 請(qǐng)勾選) 學(xué)位期間，在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作 及取得的研究成果除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不包含其他個(gè)人已經(jīng)發(fā) 表或撰寫過的研究成果對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中作 了明確說明并表示謝意 作者簽名：! 塾坦日期：砷年 ， 月7 1 ，日 華東師范大學(xué)學(xué)位論文著作權(quán)使用聲明 狀態(tài)受限最優(yōu)控制問題的譜方法系本人在華東師范大學(xué)攻讀學(xué)位期間在 導(dǎo)師指導(dǎo)下完成的碩士搏( 請(qǐng)勾選) 學(xué)位論文，本論文的研究成果歸華東師范 大學(xué)所有本人同意華東師范大學(xué)根據(jù)相關(guān)規(guī)定保留和使用此學(xué)位論文，并向主管 部門和相關(guān)機(jī)構(gòu)如國(guó)家圖書館、中信所和“知網(wǎng)”送交學(xué)位論文的印刷版和電子 版；允許學(xué)位論文進(jìn)入華東師范大學(xué)圖書館及數(shù)據(jù)庫被查閱、借閱；同意學(xué)校將學(xué) 位論文加入全國(guó)博士、碩士學(xué)位論文共建單位數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，將學(xué)位論文的標(biāo)題 和摘要匯編出版，采用影印、縮印或者其它方式合理復(fù)制學(xué)位論文 本學(xué)位論文屬于。( 請(qǐng)勾選) () 1 經(jīng)華東師范大學(xué)相關(guān)部門審查核定的“內(nèi)部”或“涉密學(xué)位論文木， 于年月日解密，解密后適用上述授權(quán) 本人簽名：! 必 仞厶年i 月；日 事“涉密”學(xué)位論文應(yīng)是已經(jīng)華東師范大學(xué)學(xué)位評(píng)定委員會(huì)辦公室或保密委員會(huì)審定過 的學(xué)位論文( 需附獲批的華東師范大學(xué)研究生申請(qǐng)學(xué)位論文“涉密”審批表方為有效) ，未 經(jīng)上述部門審定的學(xué)位論文均為公開學(xué)位論文此聲明欄不填寫的，默認(rèn)為公開學(xué)位論文，均適 用上述授權(quán)) 周建偉博士學(xué)位論文答辯委員會(huì)成員名單 姓名職稱單位備注 馬和平教授上海大學(xué)主席 陳文斌教授復(fù)旦大學(xué) 王元明教授華東師范大學(xué) ，自、職教授華東師范大學(xué) 劉永明教授華東師范大學(xué) 摘要 摘要 偏微分方程最優(yōu)控制問題的理論分析和數(shù)值方法一直是一個(gè)非?；钴S的研究 領(lǐng)域雖然關(guān)于采用有限元方法分析控制變量受限的最優(yōu)控制問題已經(jīng)有了大量很 好的成果，但是，目前關(guān)于控制變量受限最優(yōu)控制問題采用譜方法進(jìn)行分析的研究 工作還很少，文獻(xiàn) 3 2 】就控制變量積分受限型最優(yōu)控制問題的譜方法分析進(jìn)行了討 論最近，一些學(xué)者開始考慮狀態(tài)變量受限的最優(yōu)控制問題這類最優(yōu)控制問題在實(shí) 際問題中會(huì)經(jīng)常遇到，但是非常難處理目前，大多文獻(xiàn)都是采用有限元方法分析狀 態(tài)變量受限的最優(yōu)控制問題就作者所知，目前關(guān)于狀態(tài)變量受限最優(yōu)控制問題譜 方法分析的研究工作還很少 本文研究了狀態(tài)變量積分受限最優(yōu)控制問題的譜方法分析為了能在形式上便 于說明我們的方法和技巧，我們僅選擇了以p o i s s o n 方程和雙調(diào)和方程為狀態(tài)方程 的兩大類，當(dāng)然，本文的方法和結(jié)論可以推廣到一般的模型問題文章討論了先驗(yàn)誤 差估計(jì)和后驗(yàn)誤差估計(jì)，給出了有效的梯度投影算法，并證明了其收斂性 文中通過利用l e g e n d r e 多項(xiàng)式的正交性就一維p o i s s o n 方程模型給出了較 3 8 】改 進(jìn)型的后驗(yàn)誤差估計(jì)子，我們推導(dǎo)出該后驗(yàn)誤差估計(jì)子的顯式表達(dá)式，這樣為工程 問題中的實(shí)際應(yīng)用提供了極大的便利特別地，我們給出的后驗(yàn)誤差估計(jì)子中不包 含數(shù)值解的信息，只依賴于模型問題中方程的右端項(xiàng)按照l e g e n d r e 多項(xiàng)式展開系數(shù) 中的兩項(xiàng)，并構(gòu)造了p 一有限元方法的離散格式和相應(yīng)的后驗(yàn)誤差估計(jì)子 采用相似的技巧和方法，根據(jù)二維離散空間基函數(shù)的特點(diǎn)，我們同樣得到了二 維空間中p o i s s o n 方程的顯式后驗(yàn)誤差估計(jì)子，在該后驗(yàn)誤差估計(jì)子的顯式表達(dá)式 中，僅包含模型問題狀態(tài)方程的右端項(xiàng)按照l e g e n d r e 多項(xiàng)式展開系數(shù)中的四項(xiàng)( 事 實(shí)上，因?yàn)閷?duì)稱性只是三項(xiàng)) ，并就二維空間q b p o i s s o n 方程的p 一有限元方法給出了 離散格式及顯式后驗(yàn)誤差估計(jì)子 由于最優(yōu)控制問題日益得到重視，其中大多數(shù)的文獻(xiàn)都是采用有限元方法進(jìn)行 分析如果模型問題的解具有任意光滑性，通過選擇適當(dāng)?shù)淖V方法就可以得到”譜精 度”，因此，我們研究了最優(yōu)控制問題的譜方法分析我們給出了一維空間中狀態(tài)變 量積分受限最優(yōu)控制問題的譜方法分析，得到了狀態(tài)變量積分受限最優(yōu)控制問題的 最優(yōu)性條件，討論了相應(yīng)的先驗(yàn)誤差估計(jì)和后驗(yàn)誤差估計(jì)，構(gòu)造了近似等價(jià)的后驗(yàn) 誤差估計(jì)子，并得到其顯式的表達(dá)式 摘要 在工程應(yīng)用中，有很多的模型方程可以用雙調(diào)和方程來描述，因此，對(duì)于以雙調(diào) 和方程為狀態(tài)方程的狀態(tài)變量積分受限最優(yōu)控制問題如何采用譜方法來離散是我 們必須考慮的問題，利用k k t 條件，我們證明了該模型問題的最優(yōu)性條件此外，在 討論了相應(yīng)的先驗(yàn)誤差估計(jì)的同時(shí)，我們構(gòu)造了有效的梯度投影算法，并證明了該 算法的收斂性 同樣地，在很多的控制問題模型中，我們經(jīng)常會(huì)遇到包含狀態(tài)變量的二階導(dǎo)數(shù) 項(xiàng)的目標(biāo)泛函，因此，如何保證得到該項(xiàng)的高精度逼近在狀態(tài)方程的數(shù)值模擬中顯 得尤為重要混合有限元方法是通過引入中間變量來提高梯度項(xiàng)的逼近精度，類似 地，我們?cè)谶M(jìn)行譜方法分析的過程中也引進(jìn)輔助變量來構(gòu)造混合元譜方法從而，我 們采用混合元譜方法分析以雙調(diào)和方程為狀態(tài)方程的狀態(tài)變量積分受限最優(yōu)控制 問題，我們得到了相應(yīng)的最優(yōu)性條件及先驗(yàn)誤差估計(jì)，并構(gòu)造有效的梯度投影算法， 討論了該算法的收斂速度 我們通過具體的數(shù)值算例驗(yàn)證了上述理論的正確性 關(guān)鍵詞：譜方法，l e g e n d r e 多項(xiàng)式，最優(yōu)控制問題，狀態(tài)受限，先驗(yàn)誤差估計(jì)，梯度投 影算法，后驗(yàn)誤差指示子 a b s t r a c t a b s t r a c t t h e mi sa r ta c t i v ea n da t t r a c t i v ea r e ao ft h er e s e a r c ha b o u tt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n d n u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sg o v e r n e d b yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a l t h o u g ht h e r ea r el o t so fr e s e a r c ha b o u tt h ec o n t r o lc o n s g a i n e do p t i m a lc o n t r o l p r o b l e m sw i t hf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，n o tw i t ht h es p e c t r a lm e t h o d s i n 【3 2 ，t h ea u t h o r s i n v e s t i g a t e dt h ec o n t r o li n t e g r a lc o n s t r a i n e do p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s r e c e n t l y , m a n yr e - s e a r c h e r sc o n c e r na b o u tt h es t a t ec o n s t r a i n e do p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s ，w h i c ha r em e ti n a p p l i c a t i o n s ，b yt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s h o w e v e r ，t ot h ea u t h o r sk n o w l e d g e ，i ts e e m s t h a tt h e r ea r ef e ww o r k sh a v eb e e nm a d et os y s t e m a t i c a l l yd i s c u s ss p e c t r a lm e t h o d sf o r t h e s ep r o b l e m s t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h es t a t ec o n s t r a i n e do p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sw i t hs p e c t r a lm e t h o d s f o rs i m p l i c i t y , w ec h o o s et h ep o i s s o ne q u a t i o na n dt h ef i r s tb i h a r m o n i c e q u a t i o na st h es t a t ee q u a t i o n s o b v i o u s l y , t h es a m et e c h n i q u e sa n dc o n c l u s i o n sc a nb e e x p a n d e dt og e n e r a lm o d e lp r o b l e m s w ef o c u so nt h ea p r i o r ie r r o re s t i m a t e sa n da p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t e s ，s p e c i a l l y ，ag r a d i e n tp r o j e c t i o na l g o r i t h ma n di t sc o n v e r g e n t p r o p e r t ya r ei n v e s t i g a t e d w i t ht h eo r t h o g o n a lp r o p e r t yo ft h el e g e n d r ep o l y n o m i a l s ，w eg e ta ni m p r o v e da p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o rt o 【3 8 1 ，w h i c hi sg i v e nw i t he x p l i c i tf o r m u l a t i o n s t h e n ，t h ee x p l i c i te r r o re s t i m a t o ri sc o n v e n i e n tf o re n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s e s p e c i a l l y , t h ei m p r o v e d a p o s t e r i o r ie l t o re s t i m a t o ro n l yd e p e n d so nt h ef i g h th a n ds i d ei t e mi nt h es t a t ee q u a t i o n i nf a c t ，t h e r ea r et h et w oc o e f f i c i e n t so ft h el e g e n d r ee x p a n s i o n s i m i l a r l y , w ed i s c u s s t h ep 。v e r s i o nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n di t sa p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o r a c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t yo ft h e b a s i sf o rt w o d i m e n s i o na n dt h eo r t h o g o n a lp r o p e r t y o fl e g e n d r ep o l y n o m i a l s ，w es t u d yt h ep o i s s o ne q u a t i o ni nt w o d i m e n s i o na n dd e d u c et h e e x p l i c i tap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o r , w h i c hd e p e n d so nf o u ri t e m so ft h ec o e f f i c i e n t sf o r t h el e g e n d r ee x p a n s i o n ( w i t ht h es y m m e t r i cp r o p e r t y , t h e r ea r eo n l yt h r e ei t e m s ) e a s i l y , w eg e tt h ed i s c r e t ef o r m u l a t i o nf o rp - v e r s i o nf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa n dt h ee x p l i c i t f o r m u l a t i o nf o rt h eap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o ri nt w o d i m e n s i o n a ld o m a i n 。 t h e r ea r el o t so fw o r k sa p p l y i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o d st oa p p r o x i m a t et h ef a s h i o n a b l eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s o b v i o u s l y , i ft h ei n i t i a ld a t aa r es u f f i c i e n ts m o o t h ，w ec a l l c h o o s es u i t a b l es p e c t r a lm e t h o d st oo b t a i n s p e c i a la c c u r a c y ”s o ，w ei n v e s t i g a t et h e 一1 1 1 a b s t r a c t o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sw i t hs p e c t r a lm e t h o d s f i r s t l y , w es y s t e m a t i c a l l ya n a l y z es t a t e i n t e g r a lc o n s t r m n e do p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m si no n e - d i m e n s i o n w ed e d u c et h eo p t i m a l c o n d i t i o n s ，t h eap r i o r ie r r o re s t i m a t e sa n dt h ea p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o rw i t he x p l i c i t f o r m u l a t i o n s i ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s ，t h es t a t ee q u a t i o n sc a nb ed e s c r i b e db yt h ef i r s tb i h a r m o n i ce q u a t i o n s s o ，i ti st h ep o i n tf o ru st o i n v e s t i g a t es t a t ei n t e g r a lc o n s t r m n e d o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m ss u b j e c t i n gt ot h ef i r s tb i h a r m o n i ce q u a t i o n s w i t ht h eh e l po f k k tc o n d i t i o n s ，w ed e c l a r et h eo p t i m a lc o n d i t i o n se a s i l y m o r e o v e r , w ei n v e s t i g a t et h ea p r i o r ie r r o re s t i m a t e sa n dd e r i v ea ne f f i c i e n tp r o j e c t i o ng r a d i e n ta l g o r i t h m ，s p e c i a l l y , w e d i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h m i nm a n y o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s ，t h eo b j e c t i v ef u n c t i o n si n c l u d et w o o r d e rd e r i v a - t i v eo ft h es t a t ev a r i a b l e s t h e n ，h o wt oe n s u r eah i g ha c c u r a c yo ft h i si t e mi st h ek e y p o i n ti nn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o nf o rt h es t a t ee q u a t i o n s a sw ea l lk n o w n ，t h em i x e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d si n t r o d u c ea l li n t e r v e n i n gv a r i a b l et oe n h a n c et h ea c c u r a c yo f 印一 p r o x i m a t i o nf o rg r a d i e n ti t e m f o l l o w i n gt h es a m ei d e a l s ，w ei n t r o d u c ea l la u x i l i a r yv a r i a b l et oc o n s t r u c tm i x e ds p e c t r a lm e t h o d st oi n v e s t i g a t es t a t ei n t e g r a lc o n s t r a i n e do p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m sw i t ht h ef i r s tb i h a r m o n i ce q u a t i o n w ed e r i v et h eo p t i m a lc o n d i t i o n s ，a p r i o r ie r r o re s t i m a t e sa n da ne f f i c i e n tg r a d i e n tp r o j e c t i o na l g o r i t h m ，e s p e c i a l l y , w eo b t a i n t h ec o n v e r g e n tr a t eo ft h ea l g o r i t h m ： w e p e r f o r mn u m e r i c a le x a m p l e st oc o n f i r mo u rt h e o r e t i c a lr e s u l t s k e yw o r d s ：s p e c t r a lm e t h o d s ，l e g e n d r ep o l y n o m i a l ，o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m ，s t a t e c o n s t r a i n e d ，ap r i o r ie r r o re s t i m a t e ，g r a d i e n tp r o j e c t i o na l g o r i t h m ，ap o s t e r i o r ie r r o re s t i - m a t o r l v i：l，if 目錄 目錄 摘要 i a b s t r a c t i i i 目錄v i 第一童前言1 1 1 研究背景和現(xiàn)狀1 1 2 基石 b 知識(shí)4 1 3 本文的結(jié)構(gòu)及創(chuàng)新點(diǎn)j 6 第二章一維p o i s s o n 方程的譜方法和p 一有限元方法 8 2 1 模型問題和g a l e r k i n 潛方法離散8 2 2 改進(jìn)型后驗(yàn)誤差估計(jì)1 0 2 3 p 一有限元方法o 一1 5 2 4 數(shù)值算例：1 7 2 5 結(jié)論一1 8 第三章一維狀態(tài)積分受限最優(yōu)控制問題的譜方法1 9 3 。l 模型問題的最優(yōu)性條件和譜方法離散1 9 3 2 先驗(yàn)誤差估計(jì)2 2 3 3 后驗(yàn)誤差f l i 計(jì)2 8 3 4 數(shù)值算例3 6 3 5 結(jié)論3 7 第四章二維p o i s s o n 方程的譜方法3 8 4 1 模型問題及g a l e r k i n 譜離散3 8 4 2 后驗(yàn)誤差估計(jì)3 9 4 3 p 一有限鄉(xiāng)方法4 3 4 4 數(shù)值算例4 5 4 5 結(jié)論4 6 第五章雙調(diào)和方程狀態(tài)變量積分受限最優(yōu)控制問題的譜方法4 7 5 1 最優(yōu)控制問題模型及其譜方法離散4 7 5 2 模型問題的最優(yōu)性條件5 l 5 3 先驗(yàn)誤差估計(jì)5 3 一v 一 目錄 5 4 梯度投影算法5 6 5 5 數(shù)值算例6 1 5 6 結(jié)論6 4 第六章雙調(diào)和方程狀態(tài)變量積分受限最優(yōu)控制問題的混合元譜方法6 5 6 1 最優(yōu)控制問題模型及其混合元譜方法分析6 5 6 2 梯度投影算法7 2 6 3 先驗(yàn)誤差估計(jì)7 9 6 4 數(shù)值算例8 9 6 5 結(jié)論9 2 參考文獻(xiàn)9 3 在學(xué)期間的研究成果1 0 2 致 射1 0 3 第一章前言 第一章前言弟一早刖百 1 1 研究背景和現(xiàn)狀 數(shù)學(xué)的一個(gè)主要任務(wù)就是對(duì)各個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域中出現(xiàn)具體的問題給出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué) 模型，通過設(shè)計(jì)高效的數(shù)值算法去求解給定的模型問題顯然，對(duì)特定的模型問題， 選擇什么樣的數(shù)值方法能達(dá)到最好的效果是我們必須考慮的事情 近年來，譜方法、有限差分法和有限元方法一起成為偏微分方程數(shù)值求解 的重要方法譜方法從出現(xiàn)到現(xiàn)在已經(jīng)走了很長(zhǎng)的旅途早在1 8 2 0 年，n a v i e r 就 運(yùn)用雙重三角級(jí)數(shù)求解彈性薄板問題( 四邊鉸支的長(zhǎng)方形薄板問題) ，當(dāng)時(shí)稱 之為”n a v i e r 方法”但是，長(zhǎng)期以來，它卻沒有得到大范圍的推廣和使用，主要 原因是：( 1 ) 計(jì)算量大；( 2 ) 基函數(shù)難構(gòu)造直至u 1 9 6 5 年出現(xiàn)了計(jì)算離散f o u r i e r 變 換的高效算法快速f o u r i e r 變換( f f t ) ，才給譜方法帶來了生機(jī)7 0 年代初，出現(xiàn) 了很多研究譜方法計(jì)算、應(yīng)用和算法穩(wěn)定性的工作到了8 0 年代以后，q u a r - t e r o n i 、c a n u t o 、f u n a r o 、g u o 、h u s s a i n i 、m a d a y 等人對(duì)譜方法從理論上做了系統(tǒng) 的研究和分析( 見 2 7 ，3 0 ，3 6 ，4 1 ，3 9 ，8 5 】) ，對(duì)各類投影算子、插值算子給出了在多種 范數(shù)意義下的誤差估計(jì)，并把這些理論應(yīng)用到一系列的偏微分方程分析中，得到了 較好的結(jié)果 最近，g u o ，s h e n ，w a n g 就有界區(qū)域以j a c o b i 多項(xiàng)式為基函數(shù)的譜方法給出了 詳細(xì)的理論分析和證明( 見【4 “5 】) ，對(duì)于無界區(qū)域的情況，g u o ，m a ，w a n g 和z q w a n g 在文獻(xiàn) 4 6 ，6 8 1 q b 采用l a g u e r r e 多項(xiàng)式給出了相應(yīng)譜方法分析h u a ，m a ，l i 給 出了采用多種譜方法離散微分方程的最優(yōu)階誤差估計(jì)及奇異微分方程譜配點(diǎn)法 的收斂性分析( 見 5 3 - 5 5 ，6 9 - 7 1 ) x u 給出了譜方法及譜元法在流體方程中的應(yīng) 用( 見 1 0 3 1 0 5 ) 在大量的實(shí)際應(yīng)用中，均說明了譜方法是一種高效的數(shù)值方法近半個(gè)世紀(jì)以 來，譜方法得到了蓬勃發(fā)展，不僅被廣泛地應(yīng)用于物理、力學(xué)、大氣、海洋等領(lǐng)域 的數(shù)值計(jì)算，而且它的理論分析也不斷得到發(fā)展 不同于有限元方法，譜方法取全局區(qū)域上的無窮可微函數(shù)作為試探函數(shù)( 一 般是奇異s t u r m l i o u v i l l e 問題的特征函數(shù)) 根據(jù)選擇的檢驗(yàn)函數(shù)空間，譜方法分 為g a l e r k i n 譜方法( 譜方法) 、t a u 方法和配點(diǎn)法( 擬譜方法) g a l e r k i n 譜方法的檢驗(yàn)函 數(shù)空間和試探函數(shù)空間取為相| 一的離散空間，并且要求相應(yīng)的基函數(shù)滿足原問題 的邊界條件；t a u 方法對(duì)檢驗(yàn)函數(shù)空間的基函數(shù)不要求滿足原問題的邊界條件，而是 利用原問題的邊界條件引入相應(yīng)的方程；配點(diǎn)法的檢驗(yàn)函數(shù)取為以配置點(diǎn)為中心 第一章前言 的j 函數(shù)，僅要求原問題在配置點(diǎn)上精確成立 按照原問題是否具有周期性，又把譜方法分為以下幾類：如果原問題是 周期的，則稱為f o u r i e r 譜方法，并以三角函數(shù)為基函數(shù)；如果原問題不具有周 期性，根據(jù)基函數(shù)的選擇可分為c h e b y s h e v 譜方法( 以c h e b y s h e v 多項(xiàng)式為基函 數(shù)) 、l e g e n d r e 譜方法( 以l e g e n d r e 多項(xiàng)式為基函數(shù)) 、h e r m i t e 譜方法( 以h e r m i t e 多 項(xiàng)式為基函數(shù)) 、l a g u e r r e ( 以l a g u e r r e 多項(xiàng)式為基函數(shù)) 等由于研丌技術(shù)的出現(xiàn) 和c h e b y s h e v 多項(xiàng)式與三角函數(shù)間的關(guān)系，人們對(duì)更傾向于c h e b y s h e v 譜方法的研究 但是，其權(quán)函數(shù)的弱奇性不利于理論分析 譜方法的最大魅力是它具有”無窮階”的收斂性，即：如果原方程的解無窮光滑， 那么用適當(dāng)?shù)淖V方法所求得的數(shù)值解將以- 1 的任意冪次速度收斂到精確解，這里 的為所選取離散空間基函數(shù)的個(gè)數(shù)這一優(yōu)點(diǎn)是有限差分法和有限元方法無法比 擬的，眾多的實(shí)際應(yīng)用和數(shù)值算例也證實(shí)了該方法的有效性，因此，譜方法日益得到 人們的重視 為了能得到無窮階的收斂速度，就需要原問題的解充分光滑，這又使得譜方法 具有很大的局限性其不足之處體現(xiàn)在：( 1 ) 要求原問題解具有高正則性；( 2 ) 要求區(qū) 域較規(guī)則，通常是乘積型區(qū)域有很多的文獻(xiàn)在討論如何克服這些難題，并得到了一 些較好的結(jié)果，如文獻(xiàn) 7 8 】對(duì)于非光滑初值進(jìn)行了分析和研究，文獻(xiàn) 1 3 1 將有限元方 法與譜方法結(jié)合提出了譜元素方法，這樣也削弱了對(duì)區(qū)域的要求，還有很多學(xué)者把 區(qū)域分解方法和譜方法結(jié)合，都得到了較好的結(jié)果 目前，譜方法雖然在理論研究方面已經(jīng)取得了一些新的進(jìn)展，但還不是很完善， 還有很多的問題需要進(jìn)一步地研究 最優(yōu)控制是使控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的方法，可概括為：對(duì)一個(gè)受控 的系統(tǒng)，從已有的控制方案中找出一個(gè)最優(yōu)的控制方案，使給定的系統(tǒng)從初始狀態(tài) 變化到給定狀態(tài)后，性能指標(biāo)值達(dá)到最優(yōu)從經(jīng)濟(jì)意義上理解，是在一定的條件下， 使經(jīng)濟(jì)效益達(dá)到最大( 如產(chǎn)值、利潤(rùn)) ，或者在完成規(guī)定的生產(chǎn)或任務(wù)下，使投入的 資源最少這類問題大量的存在于科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域和現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，如晶體生長(zhǎng)、材料 設(shè)計(jì)、航天器飛行軌道及著陸和最優(yōu)形狀設(shè)計(jì)等等 以偏微分方程為狀態(tài)方程的最優(yōu)控制問題是指給定的某一個(gè)優(yōu)化系統(tǒng)必須滿 足指定的偏微分方程，用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，很多的工程問題，如環(huán)境科學(xué)，地球科學(xué)， 醫(yī)藥學(xué)，大氣科學(xué)等等，都能用以某個(gè)偏微分方程為狀態(tài)方程的最優(yōu)控制問題來描 述 我們可以通過設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去描述航天、金融、工程、醫(yī)藥等應(yīng)用領(lǐng) 域中的問題，但是，在要求遵循人們?cè)O(shè)定模式前提下如何選擇最優(yōu)的途徑去實(shí)現(xiàn)，成 一2 一 第章前言 為我們不得不面對(duì)的問題 從數(shù)學(xué)意義上說，最優(yōu)化方法是一種求極值的方法，即在一組約束為等式或不 等式的條件下，使系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)( 泛函) 達(dá)到最值( 最大值或最小值) 以偏微分方程 為狀態(tài)方程的最優(yōu)化問題是指我們的極小化模型系統(tǒng)滿足給定的偏微分方程 在近三十年來，最優(yōu)控制問題的數(shù)值方法一直是一個(gè)非常吸引人的研究領(lǐng)域， 關(guān)于這個(gè)問題可以參閱相關(guān)的專著 5 2 ，6 3 ，7 9 1 雖然關(guān)于采用有限元方法分析控制 變量受限的最優(yōu)控制問題已經(jīng)有了大量很好的成果，但是，目前關(guān)于控制變量受限 最優(yōu)控制問題采用譜方法進(jìn)行分析的研究工作還很少，最近，文獻(xiàn) 3 2 】就控制變量 積分受限型最優(yōu)控制問題的譜方法分析進(jìn)行了討論由于狀態(tài)變量受限的最優(yōu)控制 問題在實(shí)際模型中經(jīng)常出現(xiàn)，所以一些學(xué)者開始考慮這類問題目前，大多采用有限 元方法分析狀態(tài)變量受限的最優(yōu)控制問題，其中包括狀態(tài)變量點(diǎn)態(tài)受限問題，該問 題的約束形式：y 7 ，相關(guān)的細(xì)節(jié)請(qǐng)參閱 1 8 ，2 1 ，2 4 ，3 4 ，c a s a s 在 2 1 】中證明了在一 定條件下，l a g r a n g e 乘子在測(cè)度意義下的存在性：對(duì)于單純的狀態(tài)變量受限問題，乘 子是一個(gè)r a d o n 鋇l j 度 然而在實(shí)際的工程應(yīng)用問題中，人們更關(guān)心如何控制狀態(tài)變量的平均值或者能 量范數(shù)，例如，在流體力學(xué)中，我們希望控制流體的濃度或者流體的動(dòng)能在數(shù)學(xué)上 來說，本質(zhì)上是對(duì)狀態(tài)變量提積分類型的約束條件，類似地，也存在很多其它類型的 約束條件，如l 2 一范數(shù)約束，日l _ 范數(shù)約束等等 近些年來，一些學(xué)者在關(guān)注這類狀態(tài)變量受限最優(yōu)控制問題問題的數(shù)值方法 在 9 7 】中，t i b a 和t r o l t z s c h 使用不精確的罰方法研究了以拋物方程為狀態(tài)方程，狀 態(tài)變量積分受限的最優(yōu)控制問題對(duì)于以半線性的橢圓方程作為狀態(tài)方程，在有限 個(gè)狀態(tài)變量約束下的最優(yōu)控制問題，c a s a s 給出了有限元逼近的收斂性證明【2 2 】隨 后c a s a s 和m a t e o s 在 2 3 】中擴(kuò)展了結(jié)論：降低了對(duì)狀態(tài)變量的正則性要求，并且也對(duì) 半線性分布和邊界控制問題的有限元逼近給出了收斂性證明 本篇論文將對(duì)幾類全局型狀態(tài)變量受限的最優(yōu)控制問題采用譜方法離散給出 系統(tǒng)的研究就作者所知，目前關(guān)于積分或l 2 范數(shù)意義下狀態(tài)變量受限最優(yōu)控制問 題譜方法分析的研究工作還很少 在現(xiàn)有的科學(xué)文獻(xiàn)中，已經(jīng)有大量關(guān)于最優(yōu)控制問題的快速數(shù)值算法的研究 主要有兩種方法：一種是著眼于最優(yōu)性條件，直接求解最優(yōu)性條件，這種方法通常需 要求解一組偏微分方程另外一種是直接離散原優(yōu)化問題，使其轉(zhuǎn)化成一個(gè)有限維 的問題，然后可以用現(xiàn)有的優(yōu)化軟件求解基于優(yōu)化算法的思想，我們給出一個(gè)簡(jiǎn)單 有效的梯度投影算法，并且我們證明了該算法的收斂性 一3 一 rr，i 第一一章前言 1 2 基礎(chǔ)知識(shí) 對(duì)于譜方法來說，我們通常選擇適當(dāng)?shù)膕 t u r m l i o u v i l l e i h 題的特征函數(shù)來展開 模型問題所謂s t u r m - l i o u v i l l e 問題是指如下的特征值問題： il “= - ( p u ) + q u = a c l j m ，工( - 1 ，1 ) ， i+ u 的適當(dāng)邊界條件， 系數(shù)p ，q ，山是給定的三個(gè)實(shí)函數(shù)，其中u 是權(quán)函數(shù)，它們分別滿足：p 是連續(xù)可微的， 在( 一1 ，1 ) 中有正下界，在工= 1 處連續(xù)；q 在( 一1 ，1 ) 中是連續(xù)的、非負(fù)的、有界的； u 在( 一l ，1 ) 上是連續(xù)的、非負(fù)的、可積的為了尋找到能使得無窮光滑函數(shù)按照其 展開時(shí)獲得譜精度的基函數(shù)，我們通過對(duì)s t u r m - l i o u v i l l e 問題的研究發(fā)現(xiàn)，這類基函 數(shù)恰恰是特殊s t u r m l i o u v i l l e 問題的特征函數(shù) 正如 4 7 】中的注解，并不是所有的s t u r m - l i o u v i l l e i h 3 題的特征函數(shù)都能保證譜 精度下面給出一個(gè)反例： l 一“ = , t u ，x ( 一l ，1 ) ， iu 7 ( 土1 ) = 0 ， 其相應(yīng)的特征值為 = ( 粵) 2 ，對(duì)應(yīng)的特征值函數(shù)為咖( 力= c o s ! 雩掣，但是一個(gè)光滑 函數(shù)在( 一i ，1 ) 上按照余弦函數(shù)展開得到譜精度的必要條件是它的所有奇數(shù)階導(dǎo)數(shù) 在x = 1 處為零 用正交函數(shù)系來逼近任意一個(gè)函數(shù)是數(shù)值計(jì)算中常常采用的逼近方法，其中有 兩個(gè)指標(biāo)值得關(guān)注，那就是逼近的精度和是否便于程序中的實(shí)現(xiàn)對(duì)充分光滑的非 周期函數(shù)，只要選擇適當(dāng)?shù)恼归_函數(shù)就能達(dá)到譜精度，當(dāng)然，這需要我們選擇的展開 函數(shù)滿足特定的邊值條件 如果p 在兩邊界點(diǎn)中的一點(diǎn)上為零，那么我們稱s t u r m - l i o u v i l l e 問題為奇異的 顯然，如果s t u r m l i o u v i l l e 問題是奇異的，其特征函數(shù)就能保證展開式的譜精度，即 對(duì)于任意光滑的函數(shù)在按照奇異s t u r m l i o u v i l l e 的特征函數(shù)展開后能達(dá)到譜精度， 并且不需要邊界限制值得慶幸的是，奇異s t u r m - l i o u v i l l e 問題的特征函數(shù)是多項(xiàng) 式，這使得進(jìn)行數(shù)值積分時(shí)十分方便，在程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)容易得到高精度的數(shù)值積分 在實(shí)際計(jì)算中，我們通過函數(shù)在某些特殊點(diǎn)上的函數(shù)值與有限展開系數(shù)建立聯(lián) 系，并且我們常常把這些特殊的點(diǎn)取為滿足高精度數(shù)值求積公式的節(jié)點(diǎn)對(duì)某些常 一4 一 第一章前言 用的正交函數(shù)系( j z h f o u r i e r 系統(tǒng)、c h e b y s h e v 系統(tǒng)等) 離散變換可以通過快速算法來 實(shí)現(xiàn)，對(duì)一維情形，其計(jì)算量為d l 0 9 2 ) ，其中表示多項(xiàng)式的次數(shù)按照矩陣與 向量相乘的規(guī)則，則計(jì)算量應(yīng)為d ( 臚) ，所以快速算法要節(jié)約很大的計(jì)算量 下面我們給出本文中用的l e g e n d r e 多項(xiàng)式：當(dāng)p 1 - 1 一x 2 ，q = 0 ，叫= 1 時(shí)，顯 然此時(shí)p ( 士1 ) = 0 ，對(duì)應(yīng)的奇異s t u r m l i o u v i l l e f 司題的特征函數(shù)是l e g e n d r e 多項(xiàng)式，記 為 厶( 曲 薔當(dāng)f 是偶數(shù)時(shí)，厶( x ) 是偶函數(shù)；當(dāng)f 是奇數(shù)時(shí)，厶( 工) 是奇函數(shù)，并滿足： l i + 1 ( 力= 等圳壚麗i 如l ( 曲， 其中島( 曲= 1 ，l l ( x ) = 五l e g e n d r e 霧；項(xiàng)式具有以下特性： i l i ( 圳 l l 掣，趣刪， ) _ ( 毗馳1 ) - ( 1 ) 半， 工：l z ( x ) 島( 工) 出= ( f + 三) 一1 妨， ( 2 i + 1 ) l i ( x ) = l ，+ l ( 曲一l i t _ l ( 力，i 0 ，l - i ( x ) = 0 對(duì)于任意“l(fā) 2 ( j f ) ，記z l 關(guān)于 厶( 曲 薔的展開式為 礎(chǔ))=藝i旭(曲，拈(f+矩刪緗溉=0 一u l g a u s s l o b a t t o 求積公式的求積節(jié)點(diǎn)與權(quán)： x o = - 1 ，x n = 1 ，碥( x j ) = 0 ( j = 1 ，2 ，n 一1 ) ， t o j = 而k l ，j f ：0 1 ，( l而n ( x j ) ) 2 ，2 u 1 那么，對(duì)y p 致l ，數(shù)值積分精確成立 在本文中，我們考慮狀態(tài)變量積分受限的最優(yōu)控制問題的模型如下： 一5 一 ，r ，地 2 r厶l 竺列訛 + 嘰 、， m 卸 1 一 曠 yr如g 1 2 n l i i y ： j = “ y m 緲 彩 第一章前言 其中a 表示微分算子目標(biāo)泛函，度量了從初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)的變化，正常數(shù)( 罰參 數(shù)) a 用來調(diào)整目標(biāo)泛函中兩項(xiàng)的比重，第二項(xiàng)表征了成本的大小 狀態(tài)變量空間記為y ，控制變量空間記為【，假設(shè)對(duì)所有的u u ，狀態(tài)方程存在 唯一解y = y ( u ) v 記s ：“( u ) 卜y ( e1 , d 為原狀態(tài)方程的解算子，i 故y ( u ) = s ( “) 文中討論的最優(yōu)控制問題概述為：在所有的( 1 l ，y ) xk 中，尋找最優(yōu)的u ， 使得( 礦，y ( u + ) ) 能使得目標(biāo)泛函j ：uxvhr 極小，cu 是控制變量的約束集， kcv 是狀態(tài)變量的約束集從而，最優(yōu)控制問題即可描述為： ( 汐) y ) m i u n x y 地_ ) ，) 砒 y = s u ，( “，y ) k 我們討論狀態(tài)變量受限的最優(yōu)控制問題，那么我們定義問題( 汐) 的約束集為： 呸玩耐圭 “u a a ：y = s u k 另外，我們可以利用狀態(tài)方程把狀態(tài)變量用控制變量表示：y = s u ，那么狀態(tài)變量受 限的最優(yōu)控制問題就可以轉(zhuǎn)化為控制變量受限的最優(yōu)控制問題： ( 汐) m i n 反“) ， “z 鈿 其中只h ) 圭j ( u ，s u ) 我們始終假設(shè)銘d 非空，即 蜘使得如= s 蜘， 且是u 中的閉凸集因此，如果解算子s 具有適當(dāng)?shù)男再|(zhì)，并且目標(biāo)泛 函以“) 在上是強(qiáng)制的，則最優(yōu)控制問題( 汐) 存在唯一解，證明過程詳見【5 9 】 1 3 本文的結(jié)構(gòu)及創(chuàng)新點(diǎn) 本篇論文主要是對(duì)幾類全局型狀態(tài)變量受限的最優(yōu)控制問題及狀態(tài)方程采用 譜方法離散給出系統(tǒng)的研究本論文共分為六章 第