概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后答案.doc

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課后答案(概率統(tǒng)計(jì)第三分冊(cè)) 完整的答案 完整的答案隱藏 窗體頂端窗體底端習(xí) 題 一 1.寫出下列事件的樣本空間： (1) 把一枚硬幣拋擲一次； (2) 把一枚硬幣連續(xù)拋擲兩次； (3) 擲一枚硬幣，直到首次出現(xiàn)正面為止； (4) 一個(gè)庫(kù)房在某一個(gè)時(shí)刻的庫(kù)存量(假定最大容量為 M). 解 (1) =正面，反面 正，反 (2) =(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反) (3) =(正)，(反，正)，(反，反，正)， (4) =x；0 x m. 2.擲一顆骰子的試驗(yàn)，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，事件 A“偶數(shù)點(diǎn)”， B“奇數(shù)點(diǎn)”，C“點(diǎn)數(shù)小于 5”，D“小于 5 的偶數(shù)點(diǎn)”，討論上述 各事件間的關(guān)系. = ,2,3,4,5,6, A = 2,4,6, B = ,3,5, C = ,2,3,4, D = 2,4. 1 1 1 解 A 與 B 為對(duì)立事件，即 B A ；B 與 D 互不相容；A ? D，C ? D. 3. 事件 Ai 表示某個(gè)生產(chǎn)單位第 i 車間完成生產(chǎn)任務(wù)，i1，2，3，B 表示至少 有兩個(gè)車間完成生產(chǎn)任務(wù)，C 表示最多只有兩個(gè)車間完成生產(chǎn)任務(wù)，說明事 件 B 及 BC 的含義，并且用 Ai(i1，2，3)表示出來(lái). 解 B 表示最多有一個(gè)車間完成生產(chǎn)任務(wù)，即至少有兩個(gè)車間沒有完成生產(chǎn)任 務(wù). BC 表示三個(gè)車間都完成生產(chǎn)任務(wù) 4. 如圖 11，事件 A、B、C ABC，ACB，CAB 用 解 A + B = A + AB 圖 11 B = A1 A2 + A2 A3 + A1 A3 B = A1 A2 A3A1 A2 A3A1 A2 A3A1 A2 A3 C = A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 都相容，即 ABC，把事件 AB， 一些互不相容事件的和表示出來(lái). A + B + C = A + AB + A BC B ? C = A1 A2 A3 AC + B = B + ABC 5.兩個(gè)事件互不相容與兩個(gè)事件對(duì)立的區(qū)別何在，舉例說明. 解 兩個(gè)對(duì)立的事件一定互不相容，它們不可能同時(shí)發(fā)生，也不可能同時(shí)不發(fā) 生；兩個(gè)互不相容的事件不一定是對(duì)立事件，它們只是不可能同時(shí)發(fā)生，但不 一定同時(shí)不發(fā)生. 在本書第 6 頁(yè)例 2 中 A 與 D 是對(duì)立事件， 與 D 是互不相容事 C 件. 6.三個(gè)事件 A、B、C 的積是不可能事件，即 ABC，問這三個(gè)事件是否一定 互不相容?畫圖說明. 解 不一定. A、B、C 三個(gè)事件 互不相容是指它們中任何兩個(gè) 事件均互不相容， 即兩兩互不相 容.如圖 12，事件 ABC， 但是 A 與 B 相容. AB，DA+B，F(xiàn)AB. 說明事7. 事件 A 與 B 相容，記 C 圖 12 件 A、C、D、F 的關(guān)系. C ? AB = A BC + ABC + ABC 2 解 由于 AB ? A ? A+B， AB ? A ? A+B， 與 AB 互不相容， AAB(AB). 因 AB 且 此有 AC+F，C 與 F 互不相容， 8. 袋內(nèi)裝有 5 個(gè)白球，3 個(gè)黑球，從中一次任取兩個(gè)，求取到的兩個(gè)球顏色不 同的概率. 解 記事件 A 表示“取到的兩個(gè)球顏色不同”. 則有利于事件 A 的樣本點(diǎn)數(shù)目 2 A C51C31 .而組成試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù)為 C5+3 ，由古典概率公式有 D ? A ? F，A ? C. P(A) # A = #? 1 1 C5C3 15 = C82 28 (其中A， 分別表示有利于 A 的樣本點(diǎn)數(shù)目與樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)， 余下同) 9. 計(jì)算上題中取到的兩個(gè)球中有黑球的概率. 解 設(shè)事件 B 表示“取到的兩個(gè)球中有黑球”則有利于事件 B 的樣本點(diǎn)數(shù)為 B = C52 . P( B) = 1P( B) = 1 ? C52 9 = 2 C8 14 10. 拋擲一枚硬幣，連續(xù) 3 次，求既有正面又有反面出現(xiàn)的概率. “三次中既有正面又有反面出現(xiàn)” 則 A 表示三次均為正面或 , 解 設(shè)事件 A 表示 三次均為反面出現(xiàn). 而拋擲三次硬幣共有 8 種不同的等可能結(jié)果，即8， 因此 P ( A) = 1 ? P( A) = 1 ? A 2 3 = 1? = #? 8 4 11. 10 把鑰匙中有 3 把能打開一個(gè)門鎖，今任取兩把，求能打開門鎖的概率. 解 設(shè)事件 A 表示 “門鎖能被打開” 則事件 A 發(fā)生就是取的兩把鑰匙都不能打 . 開門鎖. P( A) = 1 ? P( A) = 1 ? C2 8 A = 1 7 = 2 ? C10 15 從 9 題11 題解中可以看到，有些時(shí)候計(jì)算所求事件的對(duì)立事件概率比較 方便. 12. 一副撲克牌有 52 張，不放回抽樣，每次一張，連續(xù)抽取 4 張，計(jì)算下列事 件的概率： (1)四張花色各異； (2)四張中只有兩種花色. 解 設(shè)事件 A 表示“四張花色各異” B 表示“四張中只有兩種花色”. ； # 4 1 1 1 1 = C52， A = C13C13C13C13， # 2 1 3 1 2 2 # B = C（C 2 C13C13C13C13 ） 4 P( A) = P( B) = # A 134 = 4 = 0.105 # C52 # B 6 74366048 （ ） = = 0 . 300 4 # C52 13. 口袋內(nèi)裝有 2 個(gè)伍分、3 個(gè)貳分，5 個(gè)壹分的硬幣共 10 枚，從中任取 5 枚， 3 解 求總值超過壹角的概率. 設(shè)事件 A 表示“取出的 5 枚硬幣總值超過壹角”. # 1 = C 10 ， C 2 C83C 2 3 C5C 32 C52 ) #A (C 3 1 2 5 A 126 P( A) 0.5 252 14. 袋中有紅、黃、黑色球各一個(gè)，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下 列事件的概率： A“三次都是紅球” “全紅” B“全白” ， ， C“全黑” D“無(wú)紅” E“無(wú)白” ， ， ， F“無(wú)黑” G“三次顏色全相同” ， ， H“顏色全不相同” I“顏色不全相同”. ， 3 解 3 27，ABC1， DEF238， GABC3， H3！6，IG24 P ( A) = P ( B ) = P (C ) = P ( D) = P ( E ) = P ( F ) = 1 27 8 27 P(G ) = 3 1 6 2 24 8 = , P( H ) = = , P( I ) = = 27 9 27 9 27 9 15. 一間宿舍內(nèi)住有 6 位同學(xué)，求他們中有 4 個(gè)人的生日在同一個(gè)月份的概率. 解 設(shè)事件 A 表示“有 4 個(gè)人的生日在同一個(gè)月份”. 1 126，A C64C12112 P( A) = # A 21780 0.0073 # 12 6 16. 事件 A 與 B 互不相容，計(jì)算 P ( A + B) . 解 由于 A 與 B 互不相容，有 AB，P(AB)0 17. 證 P( A + B) = P( AB) = 1 ? P( AB) = 1. 設(shè)事件 B ? A，求證 P(B)P(A）. B ? A P(B-A)P(B) - P(A) P(B-A)0 P(B)P(A) 18. 已知 P(A)a，P(B)b，ab0 (b0.3a)， P(AB)0.7a，求 P(B+A)，P(B-A)，P( B A ). 解 由于 AB 與 AB 互不相容，且 A(A-B)AB，因此有 P(AB)P(A)-P(A-B)0.3a P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.7ab P(B-A)P(B)-P(AB)b-0.3a P( B A )1-P(AB)1-0.3a 19. 50 個(gè)產(chǎn)品中有 46 個(gè)合格品與 4 個(gè)廢品，從中一次抽取三個(gè)，計(jì)算取到廢品 的概率. ，則 A 表示沒有取到廢品，有利于事件 A 的樣本 解 設(shè)事件 A 表示“取到廢品” 4 3 點(diǎn)數(shù)目為 A C46 ，因此 P(A)1-P( A )1- A 1 C46 3 3 C50 0.2255 20. 已知事件 B ? A，P(A)lnb 0，P(B)lna，求 a 的取值范圍. 解 因 B ? A，故 P(B)P(A)，即 lnalnb, ? ab，又因 P(A)0，P(B)1， 可得 b1，ae，綜上分析 a 的取值范圍是： 1bae 21. 設(shè)事件 A 與 B 的概率都大于 0，比較概率 P(A)，P(AB)， P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等號(hào)把它們連接起來(lái)). 解 由于對(duì)任何事件 A，B，均有 AB ? A ? A+B 且 P(A+B)P(A)P(B)-P(AB)，P(AB)0，因此有 P(AB)P(A)P(A+B)P(A)P(B) 22. 一個(gè)教室中有 100 名學(xué)生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(設(shè)一 年以 365 天計(jì)算). 解 設(shè)事件 A 表示“100 名學(xué)生的生日都不在元旦” ，則有利于 A 的樣本點(diǎn)數(shù)目 為 A 3 6 4 1 0 0 ， 而 樣 本 空 間 中 樣 本 點(diǎn) 總 數(shù) 為 365100，所求概率為 P( A) = 1 ? P( A) = 1 ? #A 364100 = 1? #? 365100 = 0.2399 23. 從 5 副不同手套中任取 4 只手套，求其中至少有兩只手套配成一副的概率. 解 設(shè)事件 A 表示“取出的四只手套至少有兩只配成一副” ，則 A 表示“四只手 套中任何兩只均不能配成一副”. P ( A) = 1 1 1 1 # A C54C2C2C2C2 80 = = 4 # C10 210 24. 某單位有 92的職工訂閱報(bào)紙，93的人訂閱雜志，在不訂閱報(bào)紙的人中 仍有 85的職工訂閱雜志，從單位中任找一名職工求下列事件的概率： (1)該職工至少訂閱一種報(bào)紙或期刊； (2)該職工不訂閱雜志，但是訂閱報(bào)紙. 解 設(shè)事件 A 表示“任找的一名職工訂閱報(bào)紙” B 表示“訂閱雜志” ， ，依題意 P(A)0.92，P(B)0.93，P(B A )0.85 P(AB)P(A)P( A B)P(A)P( A )P(B A ) 0.920.080.850.988 P(A B )P(AB)-P(B)0.9880.930.058 25. 分析學(xué)生們的數(shù)學(xué)與外語(yǔ)兩科考試成績(jī)，抽查一名學(xué)生，記事件 A 表示數(shù)學(xué) 成績(jī)優(yōu)秀， 表示外語(yǔ)成績(jī)優(yōu)秀， P(A)P(B)0.4， (AB)0.28， P(A B 若 P 求 B)，P(BA)，P(AB). 解 P(AB) P( AB) = 0.28 = 0.7 P( B) 0 .4 P(BA) P( AB) = 0.7 P ( A) P ( A) = 1 ? P ( A) = 0.62 P(AB)P(A)P(B)-P(AB)0.52 26. 設(shè) A、B 是兩個(gè)隨機(jī)事件. 0P(A)1，0P(B)1， 5 P(AB)P( A B )1. 求證 P(AB)P(A)P(B). 證 P ( A B )P ( A B )1 且 P ( AB )P( A B )1 P ( AB )P (A B ) P ( AB ) P ( A B ) P ( A) ? P ( AB ) = = P( B) 1 ? P( B) P( B) P(AB)1-P(B)P( B)P( A)-P( AB)整理可得 P(AB)P( A) P( B) 27. 設(shè) A 與 B 獨(dú)立，P( A)0.4，P( AB)0.7，求概率 P (B). 解 P( AB)P(A)P( A B)P( A)P( A ) P( B) ? 0.70.40.6P( B ) ? P( B )0.5 28. 設(shè)事件 A 與 B 的概率都大于 0，如果 A 與 B 獨(dú)立，問它們是否互不相容，為 什么? 解 因 P ( A )，P ( B )均大于 0，又因 A 與 B 獨(dú)立，因此 P ( AB )P ( A ) P ( B )0，故 A 與 B 不可能互不相容. 29. 某種電子元件的壽命在 1000 小時(shí)以上的概率為 0.8，求 3 個(gè)這種元件使用 1000 小時(shí)后，最多只壞了一個(gè)的概率. ， 解 設(shè)事件 Ai 表示“使用 1000 小時(shí)后第 i 個(gè)元件沒有壞” i1，2，3，顯然 A1，A2，A3 相互獨(dú)立，事件 A 表示“三個(gè)元件中最多只壞了一 個(gè)” 則 AA1A2A3 A1 A2A3A1 A2 A3A1A2 A3 ， ， 上面等式右邊是四個(gè)兩兩互不相容事 件的和，且 P(A1)P(A2)P(A3)0.8 P( A) P( A1 )3 + 3P( A1 )2 P( A1 ) 0.8330.820.2 0.896 30. 加工某種零件，需經(jīng)過三道工序，假定第一、二、三道工序的廢品率分別 為 0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出現(xiàn)廢品與其他各道工序無(wú)關(guān)， 求零件的合格率. 解 設(shè)事件 A 表示“任取一個(gè)零件為合格品” ，依題意 A 表示三道工序都合格. P(A)(10.3)(10.2)(10.2)0.448 31. 某單位電話總機(jī)的占線率為 0.4，其中某車間分機(jī)的占線率為 0.3，假定二 者獨(dú)立，現(xiàn)在從外部打電話給該車間，求一次能打通的概率；第二次才能打 通的概率以及第 m 次才能打通的概率(m 為任何正整數(shù)). 解 設(shè)事件 Ai 表示“第 i 次能打通” i1，2，m，則 ， P(A1)(10.4)(10.3)0.42 P(A2)0.58 0.420.2436 P(Am)0.58m1 0.42 32. 一間宿舍中有 4 位同學(xué)的眼鏡都放在書架上，去上課時(shí)，每人任取一副眼 鏡，求每個(gè)人都沒有拿到自己眼鏡的概率. 解 設(shè) Ai 表示“第 i 人拿到自己眼鏡”，i1,2,3,4. P ( Ai ) 1 ，設(shè)事件 B 4 表示 “每個(gè)人都沒有拿到自己的眼鏡”. 顯然 B 則表示 “至少有一人拿到自己的 眼鏡”. 且 B A1A2A3A4. P( B )P(A1A2A3A4) 4 p( Ai ) ? P( Ai Ai ) + P( Ai A j Ak ) ? P( A1 A2 A3 A4 ) i =1 1ij 4 1ijk 4 6 P(AiAj) = P(Ai)P(AjAi) =11 = 4 3 1 (1 ij 4) 12 P(AiAjAk)=P(Ai)P(AjAi)P(AkAiAj) = 1 1 1 = 1 （1ijk4） P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(A4A1A2A3) 4 3 2 1 1 1 1 5 2 3 P ( B ) = 4 ? C 4 + C4 ? = 4 12 24 24 8 3 P( B) = 1 ? P( B) = 8 4 3 2 24 = 1 1 1 1 = 1 24 33. 在 1，2，3000 這 3000 個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，設(shè) Am“該數(shù)可以被 m 整 除”，m2，3，求概率 P(A2A3)，P(A2A3)，P(A2A3). 解 依題意 P(A2) 1 ，P(A3) 1 2 3 P(A2A3)P(A6) 1 6 P(A2A3)P(A2)P(A3)P(A2A3) 1+1?1 = 2 2 3 6 3 2 6 3 P(A2A3)P(A2)P(A2A3) 1 ? 1 = 1 34. 甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃練習(xí)，每人一次，如果他們的命中率分別為 0.8， 0.7，0.6，計(jì)算下列事件的概率： (1)只有一人投中； (2)最多有一人投中； (3)最少有一人投中. 解 設(shè)事件 A、B、C 分別表示“甲投中”“乙投中”“丙投中” 、 、 ，顯然 A、B、C 相互獨(dú)立.設(shè) Ai 表示“三人中有 i 人投中” i0,1,2,3,依題意， ， P( A0 ) = P( A B C ) = P( A) P( B ) P(C ) P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.80.70.6 = 0.336 P(A2)=P(AB C )P(A B C)P( A BC) =0.80.70.40.80.30.60.20.70.6 = 0.452 (1) P(A1)1P(A0)P(A2)P(A3) 10.0240.4520.3360.188 (2) P(A0A1)P(A0)P(A1)0.0240.1880.212 (3) P(ABC)P( A0 )1P (A0)0.976 35. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開始，假定他們的命中率分別為 0.4 及 0.5，問 誰(shuí)先投中的概率較大，為什么? 解 設(shè)事件 A2n-1B2n 分別表示“甲在第 2n1 次投中”與“乙在第 2n 次投中” ，顯然 A1，B2，A3，B4，相互獨(dú)立.設(shè)事件 A 表示“甲先投中”. P( A) = P( A1 ) + P( A1 B 2 A3 ) + P( A1 B 2 A3 B 4 A5 ) + = 0.40.6 0.5 0.4(0.6 0.5) 2 0.4 = 0.20.30.4 = 0.024 7 = 計(jì)算得知 P(A)0.5，P( A )0.5，因此甲先投中的概率較大. 36. 某高校新生中，北京考生占 30，京外其他各地考生占 70，已知在北京學(xué)生 中，以英語(yǔ)為第一外語(yǔ)的占 80，而京外學(xué)生以英語(yǔ)為第一外語(yǔ)的占 95， 今從全校新生中任選一名學(xué)生，求該生以英語(yǔ)為第一外語(yǔ)的概率. 解 設(shè)事件 A 表示“任選一名學(xué)生為北京考生” B 表示“任選一名學(xué)生，以英 ， 語(yǔ)為第一外語(yǔ)”. 依題意 P(A)0.3，P( A )0.7，P(BA)0.8，P(B A ) 0.95. 由全概率公式有 P(B)P(A)P(BA)P( A )P(B A ) 0.30.80.70.950.905 37. A 地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，該地共有南、北、中三個(gè)行政小區(qū)，其人口比為 9 : 7 : 4，據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲種疾病在該地三個(gè)小區(qū)內(nèi)的發(fā)病率依次為 4，2， 5，求 A 地的甲種疾病的發(fā)病率. 解 設(shè)事件 A1，A2，A3 分別表示從 A 地任選一名居民其為南、北、中行政小區(qū)， 易見 A1，A2，A3 兩兩互不相容，其和為 .設(shè)事件 B 表示“任選一名居民其患 有甲種疾病” ，依題意： P(A1)0.45，P(A2)0.35，P(A3)0.2， P(BA1)0.004，P(BA2)0.002，P(BA3)0.005 3 P( Ai ) P( B | Ai ) i =1 0 .4 4 = 1 ? 0 .3 7 0.45 0.004 + 0.35 0.002 + 0.2 0.005 0.0035 38. 一個(gè)機(jī)床有三分之一的時(shí)間加工零件 A，其余時(shí)間加工零件 B，加工零件 A 時(shí)，停機(jī)的概率為 0.3，加工零件 B 時(shí)停機(jī)的概率為 0.4，求這個(gè)機(jī)床停機(jī) 的概率. 解 設(shè)事件 A 表示“機(jī)床加工零件 A” ，則 A 表示“機(jī)床加工零件 B” ，設(shè)事件 B 表示“機(jī)床停工”. P ( B ) = P ( A ) P ( B | A) + P ( A ) P ( B | A) 1 2 = 0.3 + 0.4 = 0.37 3 3 39. 有編號(hào)為、的 3 個(gè)口袋，其中號(hào)袋內(nèi)裝有兩個(gè) 1 號(hào)球，1 個(gè) 2 號(hào) 球與 1 個(gè) 3 號(hào)球，號(hào)袋內(nèi)裝有兩個(gè) 1 號(hào)球和 1 個(gè) 3 號(hào)球，號(hào)袋內(nèi)裝有 3 個(gè) 1 號(hào)球與兩個(gè) 2 號(hào)球，現(xiàn)在先從號(hào)袋內(nèi)隨機(jī)地抽取一個(gè)球，放入與球 上號(hào)數(shù)相同的口袋中，第二次從該口袋中任取一個(gè)球，計(jì)算第二次取到幾 號(hào)球的概率最大，為什么? 解 設(shè)事件 Ai 表示“第一次取到 i 號(hào)球” Bi 表示第二次取到 i 號(hào)球，i1，2， ， 3.依題意，A1，A2，A3 構(gòu)成一個(gè)完全事件組. P ( A1 ) = 1 1 , P ( A2 ) = P ( A3 ) = 2 4 1 1 , P ( B2 | A1 ) = P ( B3 | A1 ) = 2 4 1 1 , P ( B2 | A2 ) = P ( B3 | A2 ) = 2 4 1 1 1 , P ( B2 | A3 ) = , P ( B3 | A3 ) = 2 3 6 P ( B1 | A1 ) = P ( B1 | A2 ) = P ( B1 | A3 ) = 8 應(yīng)用全概率公式 P( B j ) = P( Ai ) P( B j | Ai ) 可以依次計(jì)算出 P( B1 ) = 1 , 3 i =1 2 P ( B2 ) = 13 11 , P( B3 ) = 48 48 . 因此第二次取到 1 號(hào)球的概率最大. 40. 接 37 題，用一種檢驗(yàn)方法，其效果是：對(duì)甲種疾病的漏查率為 5(即一個(gè) 甲種疾病患者，經(jīng)此檢驗(yàn)法未查出的概率為 5)；對(duì)無(wú)甲種疾病的人用此 檢驗(yàn)法誤診為甲種疾病患者的概率為 1，在一次健康普查中，某人經(jīng)此檢 驗(yàn)法查為患有甲種疾病，計(jì)算該人確實(shí)患有此病的概率. 解 設(shè)事件 A 表示“受檢人患有甲種疾病” B 表示“受檢人被查有甲種疾病” ， ，由 37 題計(jì)算可知 P(A)0.0035，應(yīng)用貝葉斯公式 P( A | B) = P ( A) P ( B | A) P ( A) P ( B | A) + P ( A) P ( B | A) 0.0035 0.95 = 0.0035 0.950.9965 0.01 = 0.25 41. 甲、乙、丙三個(gè)機(jī)床加工一批同一種零件，其各機(jī)床加工的零件數(shù)量之比 為 5 : 3 : 2，各機(jī)床所加工的零件合格率，依次為 94，90，95， 現(xiàn)在從加工好的整批零件中檢查出一個(gè)廢品，判斷它不是甲機(jī)床加工的概 率. 解 設(shè)事件 A1，A2，A3 分別表示“受檢零件為甲機(jī)床加工”“乙機(jī)床加工”“丙 ， ， 機(jī)床加工” B 表示“廢品” ， ，應(yīng)用貝葉斯公式有 P( A1 | B) = P( A1 ) P( B | A1 ) i =1 P( Ai ) P( B | Ai ) = 3 0.5 0.06 3 = 0.5 0.060.3 0.10.2 0.05 7 4 P( A1 | B) = 1 ? P( A1 | B) = 7 42. 某人外出可以乘坐飛機(jī)、 火車、 輪船、 汽車 4 種交通工具， 其概率分別為 5， 15，30，50，乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為 100， 70，60與 90，已知該旅行者誤期到達(dá)，求他是乘坐火車的概率. 解 設(shè)事件 A1，A2，A3，A4 分別表示外出人“乘坐飛機(jī)”“乘坐火車”“乘坐輪 ， ， 船”“乘坐汽車” B 表示“外出人如期到達(dá)”. ， ， P( A2 | B) = P( A2 ) P( B | A2 ) P( Ai ) P( B | Ai ) i =1 4 = 0.15 0.3 0.05 0 + 0.15 0.3 + 0.3 0.4 + 0.5 0.1 =0.209 43. 接 39 題，若第二次取到的是 1 號(hào)球，計(jì)算它恰好取自號(hào)袋的概率. 解 39 題計(jì)算知 P(B1) 1 ，應(yīng)用貝葉斯公式 2 1 1 P( A1 ) P( B1 | A1 ) 2 2 1 P( A1 | B1 ) = = = 1 P( B1 ) 2 2 44. 一箱產(chǎn)品 100 件，其次品個(gè)數(shù)從 0 到 2 是等可能的，開箱檢驗(yàn)時(shí)，從中隨 機(jī)地抽取 10 件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收，若已 9 知該箱產(chǎn)品已通過驗(yàn)收，求其中確實(shí)沒有次品的概率. 解 設(shè)事件 Ai 表示一箱中有 i 件次品，i0, 1, 2. B 表示“抽取的 10 件中無(wú) 次品” ，先計(jì)算 P ( B ) 10 10 2 1 C99 C98 P ( B ) = P ( Ai ) P ( B | Ai ) = (1 + 10 + 10 ) i =0 3 C100 C100 1 P( A0 | B) = = 0.37 3P ( B ) 45. 設(shè)一條昆蟲生產(chǎn) n 個(gè)卵的概率為 pn = n n! e ? n=0, 1, 2, 其中 0，又設(shè)一個(gè)蟲卵能孵化為昆蟲的概率等于 p(0p1). 如果卵的 孵化是相互獨(dú)立的，問此蟲的下一代有 k 條蟲的概率是多少? 解 設(shè)事件 An“一個(gè)蟲產(chǎn)下幾個(gè)卵” n0，1，2.BR“該蟲下一代有 k 條 ， 蟲” k0，1，.依題意 ， P( An ) = pn = n n! e ? 0 ? P( Bk | An ) = ? k k n?k ?Cn p q kn 0k n 其中 q=1p. 應(yīng)用全概率公式有 P( Bk ) = P ( An ) P( Bk | An ) = P( An ) P( Bk | An ) n =0 n=k = n=l n! ? e p k q n?k n! k !( n ? k ) ! n (p ) k ? (q) n? k e k! n= k (n ? k ) ! 由于 (q) ( q ) n ? k = e q ，所以有 n = k ( n ? k ) ! n ? k =0 ( n ? k ) ! = n?k P( Bk ) = ( p ) k ? q ( p ) p ? p e e = e k! k k = 0, 1, 2,L 10 習(xí) 題 二 1. 已知隨機(jī)變量 X 服從 01 分布，并且 PX00.2，求 X 的概率分布. 解 X 只取 0 與 1 兩個(gè)值， X0PX0PX00.2， X11PX P P 00.8. 2. 一箱產(chǎn)品 20 件，其中有 5 件優(yōu)質(zhì)品，不放回地抽取，每次一件，共抽取兩 次，求取到的優(yōu)質(zhì)品件數(shù) X 的概率分布. 解 X 可以取 0, 1, 2 三個(gè)值. 由古典概型公式可知 C m C 2? m P X = m = 5 215 (m = 0, 1, 2) C20 依次計(jì)算得 X 的概率分布如下表所示： X P 0 21 38 1 15 38 2 2 38 3. 上題中若采用重復(fù)抽取，其他條件不變，設(shè)抽取的兩件產(chǎn)品中，優(yōu)質(zhì)品為 X 件，求隨機(jī)變量 X 的概率分布. 解 X 的取值仍是 0, 1, 2.每次抽取一件取到優(yōu)質(zhì)品的概率是 1/4，取到非優(yōu)質(zhì) 品的概率是 3/4,且各次抽取結(jié)果互不影響，應(yīng)用伯努利公式有 9 ?3? PX = 0 = ? ? = 4 ? 16 ? 6 1 ? 1 ? 3 ? P X = 1 = C 2 ? ? ? = 4 ? 4 ? 16 ? 1 ?1? P X = 2 = ? ? = 4 ? 16 ? 2 2 4. 第 2 題中若改為重復(fù)抽取，每次一件，直到取得優(yōu)質(zhì)品為止，求抽取次數(shù) X 的概率分布. 解 X 可以取 1, 2, 可列個(gè)值. 且事件X = n表示抽取 n 次，前 n1 次均 未取到優(yōu)質(zhì)品且第 n 次取到優(yōu)質(zhì)品，其概率為 ? 3 ? ? 1 . 因此 X 的概率分布為 ? ? n ?1 ?4? 4 1?3? P X = n = ? ? 4?4? n ?1 n = 1, 2, 5. 盒內(nèi)有 12 個(gè)乒乓球，其中 9 個(gè)是新球，3 個(gè)為舊球，采取不放回抽取，每次 一個(gè)直到取得新球?yàn)橹?，求下列隨機(jī)變量的概率分布. (1)抽取次數(shù) X； (2)取到的舊球個(gè)數(shù) Y . 解 (1)X 可以取 1, 2, 3, 4 各值. 3 3 9 9 P X =1 = P X = 2 = = 4 12 11 3 2 9 9 P X = 3 = = 12 11 10 220 44 11 P X = 4 = 3 2 1 9 1 = 12 11 10 9 220 (2) Y 可以取 0, 1, 2, 3 各值 . 3 P Y = 0 = P X =1 = 4 9 P Y =1 = P X = 2 = 44 9 P Y = 2 = P X = 3 = 220 1 P Y = 3 = P X = 4 = 220 6. 上題盒中球的組成不變， 若一次取出 3 個(gè)， 求取到的新球數(shù)目 X 的概率分布. 解 X 可以取 0, 1, 2, 3 各值. C33 1 P X = 0 = 3 = C12 1 9 220 P X = 1 = P X = 2 = P X = 3 = CC 27 = 3 C12 220 1 C92C3 108 = 3 220 C12 3 C9 84 = 3 C12 220 2 3 7. 已知 PXnpn，n1, 2, 3, , 求 p 的值. 解 根據(jù) P X = n 1 , 有 n =1 1 = Pn = n=1 p 1? p 解上面關(guān)于 p 的方程，得 p0.5. 8. 已知 PXn=pn， n2, 4, 6, ，求 p 的值. 2 解 p2 + p4 + p6 + = p 2 = 1 1? p 解方程，得 p= 2 /2 9. 已知 PXn=cn, n=1, 2, , 100, 求 c 的值. 100 解 1 = cn = c ( 1 + 2 + + 100 ) 5050 c n =1 解得 c1/5050 . 10. 如果 pncn2，n=1, 2, , 問它是否能成為一個(gè)離散型概率分布，為什么? 解 pn = c 12 , 由于級(jí)數(shù) 12 收斂, 若記 12 =a,只要取 c = 1 , 則有 pn =1, 且 n =1 n=1 n n =1 n n =1 n a n =1 pn0. 所以它可以是一個(gè)離散型概率分布. 11. 隨機(jī)變量 X 只取 1, 2, 3 共三個(gè)值，其取各個(gè)值的概率均大于零且不相等 并又組成等差數(shù)列，求 X 的概率分布. 解 設(shè) PX2a，PX1ad, PX=3=a+d. 由概率函數(shù)的和為 1，可知 a= 1 , 但是 ad 與 a+d 均需大于零, 3 因此d 1 , X 的概率分布為 3 X 1 2 3 12 P 1 d 3 1 3 3 1 +d 3 其中 d 應(yīng)滿足條件：0d 1 12. 已知 P X 解 m =1 = m = c ? ,m e m! m =1, 2, , 且 0, 求常數(shù) c. 1 = pX = m = cm ? e m =1 m ! = e 由于 m m =0 m ! = 1+ m , 所以有 m =1 m ! 13. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開始，直到有一人投中為止，假定甲、乙二人 投籃的命中率分別為 0.4 及 0.5，求： (1)二人投籃總次數(shù) Z 的概率分布； (2)甲投籃次數(shù) X 的概率分布； (3)乙投籃次數(shù) Y 的概率分布. 解 設(shè)事件 Ai 表示在第 i 次投籃中甲投中， 表示在第 j 次投籃中乙投中，=1, 3, j i 5, , j=2, 4, 6,且 A1, B2, A3, B4，相互獨(dú)立. (1) PZ = 2k ? 1 = pA1 B1 L A 2 k ?3 B 2 k ?2 A2 k ?1 = (0.60.5) k ?1 0.4 = 0.4(0.3) k ?1 k=1, 2, PZ = 2k = p( A1 B1 L A2 k ?3 B 2 k ? 2 A2 k ?1 B2 k ) k = 0.50.6(0.60.5) k ?1 =0.3 k=1, 2, (2) PX = n = pA1 B1 L A2 n?3 B 2n?2 A2 n?1 + p A1 B1 L A 2 n ?3 B 2 n ?2 A2 n?1 B2 n = (0.6 0.5) n?1 (0.4 + 0.6 0.5) = 0.7 0.3n?1 n = 1, 2, K (3) P Y = 0 = P( A1 ) = 0.4 P Y = n = P A1 B1 K A 2 n?1 B2 n + P A1 B1 K A 2 n?1 B 2 n A2 n+1 = (0.6 0.5) n?1 0.6 (0.5 + 0.5 0.4) = 0.42 0.3n?1 n = 1, 2， K cm ? 1 m ! e = c(e ? 1)e ? = c(1 ? e ? ) = 1 m= 1 解得 c= 1 ? e ? 14. 一條公共汽車路線的兩個(gè)站之間，有四個(gè)路口處設(shè)有信號(hào)燈，假定汽車經(jīng) 過每個(gè)路口時(shí)遇到綠燈可順利通過，其概率為 0.6，遇到紅燈或黃燈則停止 前進(jìn)，其概率為 0.4，求汽車開出站后，在第一次停車之前已通過的路口信 號(hào)燈數(shù)目 X 的概率分布(不計(jì)其他因素停車). 解 X 可以取 0, 1, 2, 3, 4 . P X0 0.4 P X1 0.60.40.24 2 P X2 0.6 0.40.144 P X3 0.630.40.0864 P X4 0.640.1296 15. ?sin x , f ( x) = ? ? 0, x a , b ， 其他 . 13 問 f(x)是否為一個(gè)概率密度函數(shù)，為什么?如果 (1) a = 0 , b = ; (2) a = 0 , b = ; (3) a = , b = 3 . 2 2 解 在0, 2 與0, 上，sinx0,但是 0 sin xdx 1, ? ? 上,sinx ? ? 3 2 0 sin xdx = 1, 而在 ?, ? 2 0.因此只有(1)中的 a, b 可以使 f (x)是一個(gè) 概率密度函數(shù). 16. ?x ? x , ? e 2c f ( x) = ? c ? 0, ? 2 x0 ， x 0. 其中 c0，問 f(x)是否為密度函數(shù)，為什么? 解 易見對(duì)任何 x( , ) , f ( x ) 0，又 + 0 x ? 2c e dx = 1 c x2 f(x)是一個(gè)密度函數(shù) . 17. 解 ?2 x , f ( x) = ? ? 0， ax a + 2. 其他 . 問 f ( x )是否為密度函數(shù)，若是，確定 a 的值；若不是，說明理由. 如果 f ( x )是密度函數(shù)，則 f ( x )0，因此 a0，但是，當(dāng) a0 時(shí)， 2 a +2 a 2 dx = x | a = 4 a + 4 4 a+2 由于 + f ? ( x) dx 不是 1，因此 f ( x )不是密度函數(shù). a x + , 其他 . 18. 設(shè)隨機(jī)變量 Xf ( x ) 2 ? , ? f ( x ) = ? ( 1 + x2 ) ? 0, ? 確定常數(shù) a 的值，如果 P a x b 0.5，求 b 的值. 解 + 2 2 2 dx = arctan x = ( ? arctan a) 2 a (1 + x ) a 2 2 ? ? 解方程 ? arctana ? =1 ?2 ? + 得 a = 0 b P 0 x b = 0 f ( x ) dx = 2 2 arctan x |b = arctan b 0 解關(guān)于 b 的方程： 2 arctanb=0.5 得 b=1. 19. 某種電子元件的壽命 X 是隨機(jī)變量，概率密度為 ?100 ? f ( x ) = ? x2 ? 0, ? x 100 , x100 . 3 個(gè)這種元件串聯(lián)在一個(gè)線路中，計(jì)算這 3 個(gè)元件使用了 150 小時(shí)后仍能使 線路正常工作的概率. 14 解 串聯(lián)線路正常工作的充分必要條件是 3 個(gè)元件都能正常工作. 而三個(gè)元件 的壽命是三個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，因此若用事件 A 表示“線路正常工 作” ，則 P ( A ) = P ( X 150) 3 2 + 100 P X 150 150 dx = 2 x 3 8 P( A)= 27 20. 設(shè)隨機(jī)變量 Xf ( x )，f ( x )Ae|x|，確定系數(shù) A；計(jì)算 P |X | 1 . 解 1 = ?+ Ae ? | x | dx = 2 A 0+ e ? x dx = 2 A 解得 A 1 2 1 ?1 1 1 ?| x| e dx = e ? x dx 0 2 P | X | 1 = 21. 設(shè)隨機(jī)變量 Y 服從0, 5上的均勻分布，求關(guān)于 x 的二次方程 4x2 4xY+Y+2=0 有實(shí)數(shù)根的概率. 解 4x2+4xY+Y+2=0. 有實(shí)根的充分必要條件是 b24ac =16Y216(Y+2)=16Y216Y320 設(shè)事件 P(A)為所求概率.則 P ( A) = P 16Y 2 ? 16Y ? 32 0 = P Y 2 + P Y ?1 =0.6 22. 設(shè)隨機(jī)變量 X f ( x )， ? c , ? f ( x) = ? 1 ? x 2 ? 0, ? | x | 1， 其他 . = 1 ? e ?1 0.632 確定常數(shù) c，計(jì)算 P ? | X | 1 ? . ? ? ? 2? 解 1 = ?1 1 c 1? x 2 dx = c arcsin x |1 1 = c ? c =1 1? 1 2 dx = arcsin x ? = 21 2 ? ? 2 1 ? x 2 1 1 2 0 ? P ? | X | ? = 1 3 23. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù) F ( x )為 ? 0, ? F ( x) = ? A x , ? 1, ? x0 ， 0x1 , x 1. 確定系數(shù) A，計(jì)算 P 0 X 0.25 ，求概率密度 f ( x ). 解 連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn) F (10)，有 A1. (1) 15 ? 1 , ? f ( x ) = ?2 x ? 0, ? 0x1 , 其他 . P 0 X 0.25 = F ( 0.25 ) ? F ( 0 ) = 0.5 24. 求第 20 題中 X 的分布函數(shù) F ( x ) . 解 F ( x ) = P X x = ?x 1 e ? | t | dt 2 當(dāng) t 0 時(shí)， F ( x ) = ? x 1 t 1 e dt = e x 2 2 當(dāng) t0 時(shí)， x 1 0 1 x1 F ( x ) = ? e ? | t | dt = ? e ?t dt + 0 e -t dt 2 2 2 1 1 1 ?x ?x = + (1 ? e ) = 1 ? e 2 2 2 25. 函數(shù)(1+x2)1 可否為連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，為什么? 解 不能是分布函數(shù)，因 F () 1 0. a ,確定 a 的值；求分布函數(shù) 26. 隨機(jī)變量 X f ( x )，并且 f ( x ) = 2 (1+ x ) F ( x )；計(jì)算 P | X | 1 . 解 1 = ? + a a dx = arctan x + = a ? ( 1+ x2 ) 因此 a =1 F ( x) = ? x 1 1 dt = arctan t ?x 2 ( 1+ t ) 1 1 = + arctan x 2 1 1 1 1 P | X | 1 = ?1 dx = 2 0 dx 2 ( 1+ x ) ( 1+ x2 ) 2 1 = arctan x 01 = 2 27. 隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù) F ( x ) 為： A ? , ?1 ? F ( x) = ? x 2 ? 0, ? x2 ， x 2. 確定常數(shù) A 的值，計(jì)算 P 0 X 4 . 解 由 F ( 20 )F ( 2 )，可得 1? A =0, 4 A=4 P 0 X 4 = P 0X 4 = F ( 4 ) ? F ( 0 ) = 0.75 f 28. 隨機(jī)變量 Xf ( x )， ( x ) A , 確定 A e x + e?x 的值； 求分布函數(shù) F ( x ) . 16 解 1 = ? 因此 A ex dx = A ? dx e x + e ?x 1 + e2x = A arctan e x = A ? 2 A 2 ， ? F (x)= 2 2 dt = arctan et ( et + e ?t ) 2 = arctan e x x x ? 29. 隨機(jī)變量 Xf ( x )， ? 2x ? , 0xa f ( x ) = ? 2 ? 0 , 其他 . 其他 ? 確定 a 的值并求分布函數(shù) F ( x ) . 解 1 = 0 a 2x x2 dx = 2 2 a