七年級數(shù)學競賽講座第12講線段和角(2)(含答案.doc

第12講 線段和角 知識梳理： 線段和角是最簡單、最基本的幾何圖形，與它們有關(guān)的概念、性質(zhì)以及它們的畫法和計算是研究平面幾何的基礎(chǔ) 要解決線段和角的計數(shù)、計算問題，首先應(yīng)掌握好線段和角的一些特點及基本性質(zhì)，其次要注意總結(jié)規(guī)律，靈活運用 例1 如圖，數(shù)出各條線上線段的總條數(shù)分析 要確定一條線段，就需要確定線段的兩端點，做到不重不漏在（1）中，先數(shù)以A為左端點的線段：AC、AB，2條；再數(shù)以C為端點的線段：CB，1條故（1）中共有3條線段同樣地，在圖（2）中有線段AC、AD、AB，3條；CD、CB，2條；DB，1條共計3+2+1=6條在（3）中有線段AC、AD、AE、AB；CD、CE、CB；DE、DB；EB共計4+3+2+1=10條從上面的分析可見，當線段上有n個點（包括兩端點）時，它上面的線段總共有（n-1）+（n-2）+2+1=（條） 練習1 1在直線L上順將取點A、B、C、D、E、F、M、N，則在A、N兩點之間共有線段_條（包括線段AN）2（1）數(shù)一數(shù)圖中的圖中共有_個角；圖中共有_角；圖中共有_角（2）從（1）中你找到一種數(shù)圖中角的個數(shù)的規(guī)律嗎？ 3如圖，圖中共有_條線段 例2 在圖中，若線段A1A2=a1，A2A3=a2，A3A4=a3，A4A5=a4，A5A6=a5，求出所有線段長的和 分析 要求出所有線段長的總和，可采用分類計數(shù)的方法，分別以A1、A2、A3、A4、A5為左端點，按5類分別計算長度，如： L1=A1A2+A1A3+A1A4+A1A5+A1A6 =a1+（a1+a2）+（a1+a2+a3）+（a1+a2+a3+a4）+（a1+a2+a3+a4+a5） =5a1+4a2+3a3+2a4+a5 同理：L2=4a2+3a3+2a4+a5， L3=3a3+2a4+a5 L4=2a4+a5 L5=a5 故所有線段的長度總和為： L=L1+L2+L3+L4+L5 =5a1+8a2+9a3+8a4+5a5 當本例從6個點推廣到n個點時，所有這些線段長的總和為： L=a1（n-1）1+a2（n-2）2+a3（n-3）3+an-22（n-2）+an-11（n-1） 練習21如圖1，B、C、D依次是線段AE上的點，已知AE=8.9cm，BD=3cm，則圖中從A、B、C、D、E這五個點為端點的所有線段的長度之和等于_ (1) (2) (3)2（1）如圖2，3個機器人A1、A2、A3排成一條線做流水作業(yè)，它們都要不斷從一個固定的零件箱中拿零件，則零件箱放在（ ）處最好（使得各機器人到零件箱的距離之和最小） AA1 BA2 CA3 DA1、A2之間或A2、A3之間的一點處（2）如圖3，若有4個機器人B1、B2、B3、B4，零件箱放在何處最好？ 3經(jīng)過直線L外一點P作長度為5cm的線段，使其另一端點在L上，這樣的線段可以作（ ）條A0或1 B1或2 C0或2 D0或1或2例3 如圖，已知C在線段AB上，且AC：BC=2：3，D在線段AB的延長線上，BD=AC，E為AD的中點，若AB=40cm，求CE的長 分析 由AC：BC=2：3及AB=40cm，可先求出AC、BC的長度，再由E為AD中點，可求出AE的長度，再由CE=AE-AC求出CE 解：設(shè)AC=2x，BC=3x，由題意得： 2x+3x=40，解得x=8 AC=16，BC=24，BD=AC=16 AD=AB+BD=40+16=56 E為AD中點， AE=AD=28CE=AE-AC=12（cm） 練習3 1三點A、B、C在同一直線上，若BC=2AB，且AB=a，則AC=_2如圖，C、D、E將線段AB分成四部分，且AC：CD：DE：EB=2：3：4：5，M、P、Q、N分別是AC、CD、DE、EB的中點，若MN=21，則PQ長為_3（1）如圖，已知AOB=90，BOC=30，OM平分BOC，求MON的度數(shù)；（2）如果（1）中AOB=，其他條件不變，求MON的度數(shù)；（3）如果（1）中，BOC=（為銳角），其它條件不變，求MON的度數(shù)（4）從（1）、（2）、（3）的結(jié)果中你可得出什么結(jié)論？（5）線段的計算與角的計算存在著密切的聯(lián)系，它們之間可以互相借鑒解法，請你模仿（1）（4）設(shè)計一道以線段為背景的計算題，寫出其中的規(guī)律并給出解答 例4 如圖，過點O任作7條直線求證：以O(shè)為頂點的角中必有一個小于26 分析 過點O的7條直線被點O分成14條射線，而相鄰的兩射線可組成14個角，而要證明以O(shè)為頂點的角中必有一個小于26，只要考慮這14個角即可 證明：設(shè)相鄰的射線組成的14個角為1、2、14， 則1+2+14=360 假設(shè)1+2+14都不小于26，則：1+2+14364 與1+2+14=360矛盾故1、214中必有一個角小于26 練習419點20分時，時針與分針所成的角是多少度？2如圖是一個33的正方形，則圖中1+2+3+9的度數(shù)是多少？3如圖，A1OA11是一個平角，A3OA2-A2OA1=A4OA3-A3OA2=A5OA4-A4OA3=A11OA10-A10OA9=2，求A11OA10的度數(shù) 例5 從縣城P出發(fā)的一條直線公路兩旁共有10個村需要安裝自來水（水從縣城引出），縣城與A村的距離為30千米，其余各村之間的距離如圖7-14所示，現(xiàn)有粗細不同的兩種水管可以選用，粗管是供給所有各村用水，細管只能供一個村用水安裝費用：粗管每千米8000元，細管每千米2000元把粗管和細管適當搭配、互相連接，可以降低工程總費用請你設(shè)計一種最節(jié)省的安裝方案，并求出所需的總費用 分析 顯然粗細管適當搭配較合適，由于粗管安裝費用是細管安裝費用的4倍，故需要用4根細管的路段采用粗管或細管所花費用相同，需要用多于4根細管的路段采用粗管較合算由縣城PABCDEF宜采用粗管，F(xiàn)G用粗管或細管均可，GH、GM、GN分別安裝一根細管總費用是：（30+5+2+4+2+3）8000+28000+22000+（2+2）2000+（2+2+5）2000=414000（元） 練習5 1如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們之間有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標注的數(shù)字表示該網(wǎng)絡(luò)單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，由單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為（ ）A19 B20 C24 D262甲和乙兩人同時從A、B兩地相向而行（如圖7-16），甲騎自行車，乙步行出發(fā)后30分鐘甲與乙在P1處相遇，然后甲、乙繼續(xù)前進，甲到B地后馬上折回向A騎行，從P1起30分鐘后，甲又在P2處追上乙，此后兩人繼續(xù)前進，甲從A地在返回B地的路上在P3處與乙相遇求證：P1、P2、P3是AB的四等分點3（1）現(xiàn)有一個19的“模板”（如圖），請你設(shè)計一種方法，只用這個“模板”和鉛筆在紙上畫出1的角來？（2）現(xiàn)有一個17的“模板”，能否只用這個“模板”和鉛筆在紙上畫出一個1的角來？（3）用一個21的“模板”與鉛筆，能否在紙上畫出一個1的角來？對于（2）、（3）兩問，如果能，請你簡述畫法步驟；如果不能，請你說明理由參考答案:練習1128 =282（1）3；6；10；（2）330如線段BE上有6條線段，故共有65=30條線段練習2141.6cm 其長度總和=4AB+6BC+6CD+4DE=4（AB+DE）+6（BC+CD）=4（AE-BC）+6BD=4AE+2BD=48.9+23=41.6cm2（1）A2處，故選B （2）若選在B1、B2之間，設(shè)此點為M1，則其和為：B1B4+B2B3+2B2M1；若選在B2、B3之間，設(shè)此點為M2，則其和為B1B4+B2B3；若選在B3、B4之間，設(shè)此點為M3，則其和為B1B4+B2B3+2B3M3，故選在B2、B3之間（包括（B2、B3處），其到機器人的距離和最短3選D若點P到L的距離d=5cm，則此點只有一個；若d5cm，不存在此點；若d5cm，則這樣的點有兩個，故選D練習31a或3a，若點B、C在點A的同側(cè)，則AC=3a；若點B、C在點A的異側(cè)，則AC=a27設(shè)AC=2k，則CD=3k，DE=4k，EB=5k，且MN=k，PQ=k，由MN=21，可知：k=2，故PQ=73（1）MON=45，MON=AOC+BOC=AOB=45 （2）MON= （3）MON=45 （4）分析（1）、（2）、（3）的結(jié)果和解題過程可知：MON的大小總等于AOB的一半，而與銳角BOC的大小無關(guān)（5）如圖7-1，B為線段AC上一點，AC=a，M、N分別為線段AB、BC的中點，求MN的長本題的規(guī)律是：MN=AC，而與BC的長度變化無關(guān)練習41160時鐘從表面12處順時針轉(zhuǎn)過（930）=280，分針從表面12處順時針轉(zhuǎn)過（206）=120，故時針與分針形成的角為1602405由圖知：3=5=7=45，1+9=90，2+6=90，4+8=90，1+2+9=405327將條件中的9個等式相加，得：A11OA10-A2OA1=92，即A11OA10=A2OA1+18，又A1OA11=A2OA1+A3OA2+A11OA10=（A2OA1+A11OA10）10=180，兩個方程聯(lián)立解得A11OA10=27練習51考察每條通道的最大信息量，四條通道在單位時間可同時通過的最大信息量為3、4、6、6，則（3+4）+（6+6）=19，選A2乙從B到P1用了30分鐘，由P1到P2也用了30分鐘，故有BP1=P1P2，因為甲從P1到B然后再到P2用了30分鐘，共行了3P1P2長的路程，所以甲的速度是乙速度的3倍再由第三次相遇知P2A+AP3=3P2P3，即P2P3+2AP3=3P2P3，則P2P3=AP3，再由第一次相遇知：AP1=3P1B，由此2P2P3+P1P2=3P1B，故P2P3=P1B，由此AP3=P2P3=P2P1=P1B故P1、P