機械系統(tǒng)動力學習題2010.pdf

解 設(shè)滑塊阻力產(chǎn)生的等效力矩為 ed M 由等效力矩公式 11 cos mn j k ekkj kj v MFM 可得 1 D edD V MF i 解 設(shè)工作阻力 C F產(chǎn)生的等效力矩為 ec M 集中質(zhì)量m產(chǎn)生的等效力矩為 em M 所以 1 c ecC V MF i 11 1 cos em l Mmg ii 機械系統(tǒng)動力學習題2010 解 設(shè)滑輪的半徑為 R 質(zhì)量 m 被位移的同時 滑輪轉(zhuǎn)過的角度為 a 滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為 J 選廣義坐標 m 的位移為 x 設(shè)滑輪中心位移為 y 則 x 2y 2Ra 向 m 上等效 222 2 1111 2222 e m xmxM yJ a 所以 3 8 e mmM 22 11 222 e x K xK 所以 4 e K K 所以 固有頻率 2 83 e n e KK w mmM 解 設(shè)圓盤轉(zhuǎn)過的角度為 a 圓盤中心移動的位移為 x 轉(zhuǎn)動慣量為 J 則 ra x 向圓盤上等效 222 111 222 e m xm xJ a 所以 3 2 e mm 22 11 22 e K xKx 所以 固有頻率 2 3 e n e KK w mm 解 設(shè) 1 mm與碰撞的時刻為0t 時刻 取 1 mm與及 K 組成的新系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標原點 1 mm與的位移 x 為廣義坐標 則新系統(tǒng)可視為單自由度無阻尼自由振動 故有一般運動方程 0 0cos sin nn n x xxtt 根據(jù)題設(shè)條件 質(zhì)量 m 從高度 h 處自由落下 落在 1 m上 由動能定理 有 2 1 2 mghmv 由動量定理 有 10 mvmm v 聯(lián)立上兩式 求得 1 mm與共有的初速度 00 0 2 m vghx mm 初始位移 1 0 0 mm x txg K 新系統(tǒng)固有頻率 1 n K mm 綜上 系統(tǒng)由此發(fā)生的無阻尼自由振動為 1 111 2 cossin n mghmmKK xgtt Kmmmmmm 解 扭轉(zhuǎn)剛度 p GJ K l 其中 p J為截面極慣性矩 44 322 p dr J 由上圖可知 軸 AB 與 BC 串聯(lián)后再與 DE 并聯(lián) 故等效剛度 ABBC eDE ABBC KK KK KK 依題 44949 0 040 02 80 100 0240 10 22 519409 0 60 6 stAl ABABAB KKK 同理 可得 16087 BC K 20117 DE K 所以 519409 16087 2011735720 519409 16087 e K 單位 N m radi 解 先廣義坐標為 1 m的位移為 x 則 2 m的位移為 y b x a 向 1 m上等效 2222 12 1111 2222 e m xm xIm y 因為搖桿的轉(zhuǎn)動角度 為小角度 有tan x a 聯(lián)立上兩式 得出 2 12 22 e Ib mmm aa 又 22 1 11 22 e K xK y 所以 2 1 2 e b KK a 所以固有頻率 2 1 22 12 e n e Kb K w ma mIb m 解 碰撞后質(zhì)量往 x 方向運動 取碰撞位置為原點 則有 m xC x Kx 可求得該方程的解為簡諧函數(shù) 所以設(shè)sin n xAw t 固有頻率 40820 4 5 2000 n k w m rad s 阻尼比 1960 0 108 22 200040820 c CC Cmk 小于 1 所以碰撞后的系統(tǒng)可視為低阻尼狀態(tài) 碰撞初始位置 0 0 0 0 xxv 所以 0 00 0 2 0 082 1 n d n xw xx Ax w w m 2 22 1 4 1 d d n T w w s 所以在相撞后的約0 35 4 d T s 達到最大振幅0 07 n w t Ae m 解 首先對單位進行統(tǒng)一 0 1 kfg9 81N F35 7 10486 115 4 N KN m CN s m i 取平衡位置為坐標原點 取向下為 x 軸 則有 m xF tKxC x 即 0 sinm x KxC xFwt i 解該方程 得sin xAwt 又 10 7980 15 2 45 4 n K w m rad s 當頻率比1 n w w 時 系統(tǒng)共振 所以共振頻率15 2 n ww rad s 共振振幅 0 222 0 02 F A KmwCw s 阻尼比0 0836 2 n C mw 所以動態(tài)放大因子 222 1 5 98 1 2 解 依題意 該系統(tǒng)為簡諧激勵下的振動系統(tǒng) 故有振動方程 0 sinm x cx kxFFt 該系統(tǒng)的瞬態(tài)響應為 sin nt d x tAet 其中 2 1 dn 2 n C m n K m 由初始條件 求解待定系數(shù) 0 0 x t 可以得出sin0A 0 0 x t 可以得出sincos0 nd AA 聯(lián)立上兩式 得出0 2 A 所以系統(tǒng)的瞬態(tài)響應為 0 x t 解 由題可知 激振函數(shù) 0 0 1 QQ 且系統(tǒng)為無阻尼單自由度系統(tǒng) 故響應 0 0 0 1 1 sin t n n QQxQtd m 聯(lián)立上兩式 即得 0 0 0 1 1 sin t n n x tQtd m 整理 求積分得 0 2 00 sin 1 cos n n nnn Qtt x tt m 當 0 tt 時 0 0 0 11 sinsin tt nn t nn xFtdFtd mm 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 11 sin0 sin sinsin cos tt nn t nn n n nn Q ttdtd mtm tttQ t mt 解 該隔振系統(tǒng)為被動融振 記地面簡諧振動方程為 3 2 10sinYt 則 3 2 10cosYt 由 3 2 100 1256Y 得出62 8Hz 頻率比 62 8 16 522 3 8 n 所以振動幅度非常小 所以 儀器的最大位移 即受迫振幅 22 22 222 1 2 1 2 16 520 125 20 03 1 16 25 20 125 16 52 1 2 100 1 0 015 100 98 5 r XYum 所以 隔振效率 1 T 解 依題 由牛頓定律可得 1121 2221 m xK xx m xK xx 整理得 1112 2212 0 0 m xKxKx m xKxKx 記 12 9 72 11 36 KK abcd mm 故系統(tǒng)的固有頻率 22 1 2 10 5410 54 22 nn adad bc 所以 12 0 4 59 nn 主振型 2 1 1 1 n a u b 2 2 2 1 16 n a u b 解 取質(zhì)量塊 M 與擺桿連接點為坐標原點 M 的位移 x 及擺桿的擺角 為廣義坐標 初始位置為 x 0 及0 則擺桿上的質(zhì)量 m 的任一時刻位置坐標為 sin cos xll 所以 系統(tǒng)的勢能為 2 1 1 cos 2 UKxmgl 系統(tǒng)的動能為 2 22 11 22 xy TM xm vv 其中 對 m 的坐標示求一次導數(shù) 即為 m 的速度 xy v v 即 cos sin x y vx l vl 故系統(tǒng)動能 22 2 11 cos 22 TMm xm xlml 拉氏函數(shù) 22 22 111 cos 1 cos 222 LTUMm xm xlmlKxmgl 所以 2 cos cos sinsin L Mm x ml x L Kx x L mlx ml L mlxmgl 代入 0 0 dLL dtx x dLL dt 得出 2 2 sincos0 cossinsinsin0 Mm x mlmlKx mlmlx mlxmlxmgl 因為是微小振動 所以sin cos1 可略去 2 sinml 項 故可得到系統(tǒng)的運動微分方程 2 0 0 Mm x mlKx ml x mlmgl 2 計算系統(tǒng)的固有頻率 設(shè)振動方程組的解為 sin sinxAtBt 將其代入微分方程 得 22 22 0 AMmKml Blg 并令 A B 的系數(shù)行列式為零 可得到頻率方程 42 0MlklMm gkg 整理 得 42 1 0 nn Mm gkg k MlMl 解 取質(zhì)量塊的位移 12 x x為廣義坐標 對 12 m m分別進行受力分析 根據(jù)牛頓定律 有 112211 1 2222132 m xKxxK x m xKxxK x 整理 得 1112122 2221232 0 0 m xKKxK x m xK xKKx 記 23 1222 1122 2 2 KKKKKKKKKK abcd mmmmmmmm 1 系統(tǒng)的固有頻率 22 1 2 33 222 nn adadK bc m 即 22 12 3333 22 nn KK mm 主振型 2 1 1 2 2 2 13 0 366 2 13 1 366 2 n n a u b a u b 振型圖如右圖所示 2 若在 2 m上作用簡諧力 20sin pPt 對 12 m m進行受力分析 有 1112122 222123220 0 sin m xKKxK x m xK xKKxpPt 令該微分方程組的解為 1122 sin sinxBt xBt 并代入上兩式 得 2 12 2 120 2 0 22 KmBkB KBKmBP 解該方程組 得 0 1 222 2 0 2 222 2 22 2 2 22 KP B KmKmK KmP B KmKmK 所以 受迫響應為 0 1 222 sin 2 22 KP xt KmKmK 及 2 0 2 222 2 sin 2 22 KmP xt KmKmK 解 取擺桿擺角 123 為廣義坐標 如上右圖所示 用速度合成法則 將該三級擺的三擺桿分別進行速度分析 圖解如下 對速度進行矢量和運算 即 11 2 21 3 32 vv vvl vvl 可得 22 1 1 22 2222222 1212121212 221 22222 33321 322321 2cos 2 2cos vl vlllll vvlv ll 因此 系統(tǒng)的動能為 2 2 22 112321 2 ml T 系統(tǒng)的勢能為 123 3 1 cos 2 1 cos 1 cos Umglmglmgl 所以拉氏函數(shù)為 22 22 112321 123 3 1 cos 2 1 cos 1 cos 2 ml LTUmglmglmgl 將拉氏函數(shù)代入分別以 123 為廣義坐標的拉格朗日方程 1 1 2 2 3 3 0 0 0 dLL dt dLL dt dLL dt 可以求得 3 個分別對應于 123 坐標的運動方程 222 123 1 222 123 2 222 123 3 323sin0 222sin0 sin0 mlmlmlmgl mlmlmlmgl mlmlmlmgl 該方程組即為該三級擺的運動方程 解 取系統(tǒng)在靜平衡位置作為廣義坐