基于廣場(chǎng)噴泉設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型.pdf

第二屆湖北省土木工程爭(zhēng)業(yè)大學(xué)生科技創(chuàng)新論壇論文集2 0 0 9 年6 月 基于廣場(chǎng)噴泉設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型 葉俊 劉豐 張俊峰 武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院土木工程 湖北武漢4 3 0 0 7 2 摘要 本文在露天廣場(chǎng)上的噴泉射出的水流會(huì)受風(fēng)影響的背景下討論了噴泉噴出水流的距離和高度與風(fēng)力強(qiáng)度 水管直徑 風(fēng)速計(jì)位置及水滴半徑之問的關(guān)系 首先從實(shí)際噴泉模型中抽象出一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式的噴泉模型 通過建 立的算法來調(diào)整水速防止水滴超出限定的范圍 關(guān)鍵詞 單噴流噴泉 豎直噴射 斜向噴射 1 引言 在寬闊的露天廣場(chǎng)上裝飾噴泉把水噴向高空 刮風(fēng)時(shí) 風(fēng)會(huì)把水花從噴泉吹向過路行人 在鄰近一 棟樓房的頂上安裝有一個(gè)風(fēng)速計(jì)用于測(cè)量風(fēng)的速 度和方向 與風(fēng)速計(jì)相連的一個(gè)機(jī)械裝置可控制噴 泉射出的水流 為行人在賞心悅目的景象和淋水浸 濕之間提供可以接受的平衡 即 風(fēng)刮得越猛 水 量和噴射高度就越低 從而較少的水花落在水池范 圍以外 要求運(yùn)用風(fēng)速計(jì)給出的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)一個(gè)算 法 隨著風(fēng)力條件的變化來調(diào)整由噴泉射出的水 流 2 模型建立 考慮到水在空氣中運(yùn)動(dòng)情況 將其運(yùn)動(dòng)的過程 分為上升和下降兩個(gè)階段 在上升階段 由于高處的 水柱速度小且其重力對(duì)下面部分的水柱有影響 水 的粘滯力足以使水結(jié)合在一起 故水一直呈柱狀 在最高點(diǎn)處 豎向速度變?yōu)? 水開始向下運(yùn)動(dòng) 經(jīng)過一小段距離后 由于水滴之間的粘滯力不足以 將水柱約束成一個(gè)整體 在重力的作用下 水柱迅 速地變?yōu)樗?假設(shè)每個(gè)水滴的大小都是一樣的 于是 在下降階段 認(rèn)為是水滴的運(yùn)動(dòng)過程 實(shí)際 上 水在從管口噴出來時(shí) 一方面要受管壁粘滯阻 力的作用 另一方面要受到空氣卷積的作用 這樣 不可避免地會(huì)形成水花 由于水花較少 忽略這一 部分的影響 另外 水柱在向下運(yùn)動(dòng)而形成小水滴 經(jīng)過的這部分距離由于很小 因此也忽略不計(jì) 即 認(rèn)為水柱到達(dá)最高點(diǎn)后就全部成了水滴 因此 在 下降階段 可以僅考慮一個(gè)水滴的運(yùn)動(dòng)情況 2 1 豎直噴射 此時(shí)的噴泉模擬圖如圖l 所示 圖1 噴泉模擬圖 1 上升階段 在上升階段 由于水柱重力的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)比空氣 阻力大 因此不考慮空氣阻力而僅僅考慮重力和風(fēng) 力的作用 現(xiàn)給出流體力學(xué)中的一個(gè)公式 流體 型阻力計(jì)算公式 根據(jù)流體力學(xué)理論 空氣作為一種特殊的流 體 運(yùn)動(dòng)在其中的物體所受的粘滯力滿足如下普遍 公式 1 D 寺白風(fēng) 1 2 彳 Z 其中 D 表示物體所受的粘滯力 C d 為型阻 系數(shù) 一般取為0 2 8 0 3 4 風(fēng)為空氣的密度 一 般情況下取1 2 9 k g m 3 表示運(yùn)動(dòng)的物體相對(duì)于 空氣的速度 A 表示物體運(yùn)動(dòng)時(shí)在風(fēng)的方向上的投 影面積 卜 斗 風(fēng)力 葉 o 圖2 水柱 元受力圖 作者簡(jiǎn)介 張俊 男 本科生 武漢大學(xué)土木建筑學(xué)院土木工程專業(yè) 通信聯(lián)系人 傅旭東 1 9 6 6 一 男 教授 垮士生導(dǎo)師 武漢大學(xué)土木工程建筑學(xué)院土木工程專業(yè) 2 0 0 9 年6 月第二屆湖北省土木工程專業(yè)大學(xué)生科技創(chuàng)新論壇論文集4 5 現(xiàn)截取水柱的一個(gè)長為d 微元作為研究對(duì) 象 設(shè)水在水平方向上任意時(shí)刻的加速度為a 在水平方向上任意時(shí)刻的速度為1 微單元的質(zhì) 量為 l l 迎風(fēng)的面積為彳 在豎直方向上由于忽 略了空氣阻力的作用 僅有重力起作用 于是設(shè)水 出管時(shí)的初速度為v o 運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)需要的時(shí)間為 t 最高點(diǎn)距噴水口為H 最高點(diǎn)水平速度為匕o 重力加速度用g 表示 于是在水平方向上單元體作 變加速運(yùn)動(dòng) 在豎直方向上作勻減速運(yùn)動(dòng) 其受力 如圖2 所示 利用牛頓第二定律 可以得到以下關(guān) 系 水平方向上 D j 1c 幾 v 叫 2A m a a x 魯 豎直方向上 f 一 一一 g 2 日 上L 其中 Kl f 0 0 C P w A 1 廠 V o 瓦 石再贏 o 現(xiàn)設(shè)水柱在上升階段水平位移為S l 于是有 島 J D g 叱 d t 小一石一卜 一場(chǎng) 哆 二 一 2 m l gC P w A n 警2 mg L j 這里 取一般情況下的數(shù)據(jù) 型阻系數(shù)C o 3 g 1 0 州j 2 p 1 0 0 0 k g l m 3 幾 1 2 9 k g m 3 由幾何關(guān)系 又可得到 彳 J 砂 瑪 氣1 呀鏟 砂 將以上數(shù)據(jù)代入方程 4 中 得到 s 業(yè)一4 0 58 d 1 l0 l n 三 蘭魚蘭 竺 生 5 d 2 下降階段 在下降階段 由于水滴的半徑通常很小 為 l m m 2 r a m 之間 空氣的阻力相對(duì)于重力和風(fēng) 力均不可忽略 為此取一個(gè)水滴作為研究對(duì)象 其 受力為重力 風(fēng)力 空氣阻力 設(shè)其質(zhì)量為m 引入符號(hào)Z 表示豎直方向上的空氣阻力 表示 在豎直方向上任意時(shí)刻的速度 a 表示豎直方向上 任意時(shí)刻的加速度 在水平方向上由于空氣阻力相 對(duì)于風(fēng)力很小 故可以忽略不計(jì) 水滴的受力如圖 3 所示 風(fēng)力 o 葉 由型阻公式可得豎直方向上的空氣阻力為 t i 1 c p v i A 根據(jù)水滴在豎直方向上的受力 運(yùn)用牛頓第二 定律有 研 口 加 g i 1c 尸 y 2 以 歷 d r 礦y研2 口 2 加2 9 i c 尸w 叫 y 以 歷2 礦 6 又水滴從上升到的最高點(diǎn)H 開始下落 故 日 r r 翁 聯(lián)立 6 7 可得 4 6 J J E 十 I 1 k Z 2 0 0 9 H 哮卜I1 麓 m 2 x 1 cP v 一v 1 2 9 舭 r 一 2a t 劉十小水珠 其半往為r 則 t Pz 一 一 z 2 代入 9 式 于 4 z2 巧而i 2 帝 南 3 式和 1 0 式 可得 r 叫p A 一吁 1 nov 弛g b 型l 3 cp t l 3 式巾的t o 由 8 式?jīng)Q定 帶八柞個(gè)數(shù)據(jù)并用 m a t l a b 求觶得到 一 笪生 聯(lián)血 5 和 i2 式 得到水滴運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn) 距離為 5 B v V o 一4 0 5 8d 5 2 置 是2 1 0 1 n 2 4 6 x l O J S v o v f 13 d 6 1 0 6 v gv 考慮到接近地面的風(fēng)受到障礙物和地表粗糙 性的影響會(huì)減緩風(fēng)速 在距離地晰5 公里芹右的犬 氣層中 風(fēng)速就不受地球表面障礙物和粗糙性的影 響了 舟十兩層之間的空問 風(fēng)速隨著高度的變化 而變化 這種現(xiàn)象被稱為垂直風(fēng)剪切面 風(fēng)速分布 示意胃如圖4 所示 通過海爾曼的潛能公式可以計(jì)算不周高度上 的風(fēng)速 v 其中 h 是噴泉所在位置的高度 v 是h 高度L 的平均M 速 h f 是風(fēng)向計(jì)的高度 v m 是高度 h 處的風(fēng)向計(jì)測(cè)樽的平均風(fēng)速 d 足高度變化指 這樣 通過簿爾曼的潛能公式就將側(cè)風(fēng)儀測(cè)得 的樓頂?shù)腗 迷轉(zhuǎn)化成了噴泉處的風(fēng)速 考慮到要保持噴泉的美觀性 因此應(yīng)使噴泉射 出的水流在落在水池范幽內(nèi)的前提F 雎可能的高 則目標(biāo)函數(shù)為 m a xH 為了使行 不被噴泉淋濕 應(yīng)談使噴泉射山的 水流的水托落地的昂遠(yuǎn)點(diǎn)s 在水池的半徑R 以內(nèi) 閉 此得到約束條件為 S R 綜上可以得到豎直噴射情況的口標(biāo)函數(shù)為 l 2 0 0 9 年6 月第二屆湖北省土木工程專業(yè)大學(xué)生科技創(chuàng)新論壇論文集 4 7 m a xH s 1 s 二叢一4 0 5 8 d 1 0 1 2 4 6 x 1 0 巧v o v ll m 一 d 6 x 1 0 巧v v H 笪 3 模型求解和結(jié)果分析 對(duì)豎直噴射情況的求解 根據(jù)前面 1 3 式中S 與v o 的關(guān)系可以畫出兩 者的關(guān)系曲線如圖5 所示 圖5 風(fēng)速與出口水速的關(guān)系 考慮到模型中有水滴半徑 水管直徑 風(fēng)速計(jì) 高度和風(fēng)速計(jì)測(cè)得的風(fēng)速四個(gè)變量 每次取其中一 個(gè)變量進(jìn)行討論 得到當(dāng)噴射距離剛好為水池半徑 時(shí) 不同的變量與噴泉的水流初速和高度之間的關(guān) 系 假定噴水池的半徑為5 m 則分以下四種情況討 論當(dāng)噴射距離達(dá)到5 m 時(shí)各個(gè)量之間的關(guān)系 1 取水管直徑為變量 得到結(jié)果如表一所示 表一水管直徑為變量時(shí)的結(jié)果 水滴半徑r m 0 10 0 0 l0 l 水管直徑嘶m O 0 1 5O 0 l O0 5 風(fēng)速計(jì)高度 o m 1 01 01 0 風(fēng)速計(jì)測(cè)得風(fēng)速吁o m s 1 01 01 0 噴水池半徑R m 555 風(fēng)速吩 m s 1 0 1 01 0 水流初速度 m s 6 7 1 5 4 l3 7 2 噴泉高度H m 2 2 61 4 70 6 9 噴泉噴射距離s I n 555 從表一可以看出 當(dāng)水滴半徑 風(fēng)速計(jì)高度和 風(fēng)速計(jì)測(cè)得的風(fēng)速一定時(shí) 水管直徑越大 要達(dá)到 5 m 的噴射距離所需的水流的初速度越大 噴泉能達(dá) 到的高度越高 2 取水滴半徑為變量 得到結(jié)果如表二所示 衰二水滴半徑為變量時(shí)的結(jié)果 水滴半徑r m 0 l O o o l 50 2 水管直徑d m 0 0 1 50 0 1 5O 0 1 5 風(fēng)速計(jì)高度以o m l O1 01 0 風(fēng)速計(jì)測(cè)得風(fēng)速v l o m s 5 5 5 噴水池半徑R m 555 風(fēng)速v l m s 555 水流初速度v o r r 以 1 3 4 31 6 2 4 1 8 5 5 噴泉高度H 9 0 21 3 1 91 7 2 0 噴泉噴射距離S 55 從表二可以看出 當(dāng)水管直徑 風(fēng)速計(jì)高度和 風(fēng)速計(jì)測(cè)得的風(fēng)速一定時(shí) 水滴半徑越大 要達(dá)到 5 m 的噴射距離所需的水流的初速度越大 噴泉能達(dá) 到的高度越高 3 取風(fēng)速計(jì)的高度為變量 得到結(jié)果如表三 所示 表三風(fēng)速計(jì)的高度為變量時(shí)的結(jié)果 水滴半徑 m O 0 0 1 O 0 0 10 0 0 l 水管直徑d m O 0 1 50 0 1 50 0 1 5 風(fēng)速計(jì)高度 o m 1 0 1 5 2 0 風(fēng)速計(jì)測(cè)得風(fēng)速v o m s 1 01 01 0 噴水池半徑R m 55 5 風(fēng)速v m s 1 0 9 4 4 8 2 9 0 7 5 2 水流初速度1 I D m s 6 7 l7 1 17 4 0 噴泉高度H 2 2 62 5 32 7 4 噴泉噴射距離s m 555 從表三可以看出 當(dāng)水滴半徑 水管直徑和風(fēng) 速計(jì)測(cè)得的風(fēng)速一定時(shí) 風(fēng)速計(jì)高度越高 要達(dá)到 1 旦 6一 豫 驢 腿 4 8第二屆湖北省土木工程專業(yè)大學(xué)生科技創(chuàng)新論壇論文集2 0 0 9 年6 月 5 m 的噴射距離所需的水流的初速度越大 噴泉能達(dá) 到的高度越高 4 取風(fēng)速計(jì)測(cè)得的風(fēng)速為變量 得到結(jié)果如 表四所示 表四風(fēng)速計(jì)測(cè)得的風(fēng)速為變量時(shí)的結(jié)果 水滴半徑如 0 l0 l0 l 水管直徑d m O 0 1 5O 0 1 50 0 1 5 風(fēng)速計(jì)高度 o m 1 01 0l O 風(fēng)速計(jì)測(cè)得風(fēng)速v 0 m s 1 053 噴水池半徑R m 555 風(fēng)速吁 m s l O53 水流初速度V o m s 6 7 l1 3 4 42 2 4 0 噴泉高度H m 2 2 69 0 22 5 0 7 噴泉噴射距離S m 555 從表四可以看出 當(dāng)水滴半徑 水管直徑和風(fēng) 速計(jì)的高度一定時(shí) 風(fēng)速計(jì)高度越大 要達(dá)到5 m 的 噴射距離所需的水流的初速度越小 噴泉能達(dá)到的 高度越低 根據(jù)以上從四個(gè)不同的角度對(duì)水流初速度的 影響的分析發(fā)現(xiàn)所得的結(jié)果與所建立的模型一致 4 模型評(píng)價(jià)與推廣 本文在單噴流噴泉的模型上 綜合考慮多方面 的因素建立了風(fēng)力與噴泉受力關(guān)系的模型 并分析 討論了各因素與噴泉水流初速度及噴泉高度之間 的關(guān)系 最后根據(jù)建立的模型 選取了合理的數(shù)據(jù) 對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證 結(jié)果所得到的結(jié)論與所建立的模型 一致 參考文獻(xiàn) 王保國 劉淑艷 黃偉光 氣體動(dòng)力學(xué) M 北京 北 京理工大學(xué)出版社 2 0 0 5 8 郭烈錦 兩相與多相流體動(dòng)力學(xué) M 西安 西安交通 大學(xué)出版社 2 0 0 2 1 2 s a l c h J M 流體流動(dòng)手冊(cè) M 1 北京 中國石化出版社 2 0 0 4 陳懋章 粘性流體動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ) M 北京 高等教育出 版社 2 0 0 6 董志勇 射流力學(xué) M 北京 科學(xué)出版社 2 0 0 5 李大美 流體力學(xué) M 武漢 武漢大學(xué)出版社 2 0 0 4 M a t h e m a t i c a lm o d e lb a s e do nt h ed e s i g no fs q u a r e f o u n t a i n Y EJ u L I UF e n g Z H A N GJ u n f e n g C i v i lE n g i n e e r i n ga n dA r c h i t e c t u r eI n s t i t u t e W u h a nU n i i v e r s i t y W u h a n 躬0 0 7 2 C h i n a A b s t r a c t I nt h i sp a p e r w ed e v i s eaf o u n t a i nc o n t r o la l g o f i t h mt om o n i t o rw i n dc o n d i t i o n sa n de n s u r et h a ta f o u n t a i na tt h et m n t e ro fap l a z af i r e sw a t e rh i g he n o u g ht ob ed a