【志鴻全優(yōu)設(shè)計】高中數(shù)學(xué) 第二章2.2.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)講解與例題 新人教A版選修21.doc

2.2.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)一、橢圓的簡單幾何性質(zhì)活動與探究1求橢圓25x216y2400的長軸長、短軸長、離心率、焦點坐標(biāo)和頂點坐標(biāo)遷移與應(yīng)用1橢圓6x2y26的長軸的端點坐標(biāo)是()a(1,0)，(1,0)b(6,0)，(6,0)c(，0)，(，0)d(0，)，(0，)2已知橢圓1的離心率e，求m的值1根據(jù)橢圓的方程計算橢圓的基本量時，關(guān)鍵是將所給方程正確化成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點在哪個坐標(biāo)軸上，從而準(zhǔn)確求出a，b，進而求出橢圓的其他有關(guān)性質(zhì)2在橢圓的諸多基本量中，有些是與焦點所在的坐標(biāo)軸無關(guān)的，如：長軸長、短軸長、焦距、離心率；而有些則是與焦點所在坐標(biāo)軸有關(guān)的，如：頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)等，在計算時應(yīng)注意確定焦點位置二、利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的方程活動與探究2求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)與橢圓4x29y236有相同的焦距，且離心率為；(2)已知橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸，o為坐標(biāo)原點，f是一個焦點，a是一個頂點，橢圓的長軸長是6，且cosofa遷移與應(yīng)用1若橢圓的短軸長為4，它的一個焦點是(0,2)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_2求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)橢圓的長軸長是短軸長的2倍，且過p(2，6)；(2)橢圓過p(3,0)，且e1利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程，通常采用待定系數(shù)法，其步驟一般是首先確定焦點位置，其次根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求得參數(shù)2在求橢圓方程時，要注意根據(jù)題目條件判斷焦點所在的坐標(biāo)軸，從而確定方程的形式，若不能確定焦點所在坐標(biāo)軸，則應(yīng)進行討論一般地，已知橢圓的焦點坐標(biāo)時，可以確定其所在的坐標(biāo)軸；而已知橢圓的離心率、長軸長、短軸長、焦距時，則不能確定焦點的位置三、直線與橢圓的位置關(guān)系活動與探究3已知橢圓1和點p(4,2)，直線l經(jīng)過點p且與橢圓交于a，b兩點(1)當(dāng)直線l的斜率為時，求線段ab的長度；(2)當(dāng)p點恰好為線段ab的中點時，求l的方程遷移與應(yīng)用1直線yx1被橢圓1所截得線段的中點的坐標(biāo)是()a bc d2已知橢圓1的弦ab的中點m的坐標(biāo)為(2,1)，求直線ab的方程1求直線與橢圓相交所得弦長問題，通常解法是將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，然后消去y(或x)得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，根據(jù)兩點間的距離公式以及根與系數(shù)的關(guān)系求解2解決直線與橢圓相交弦的中點有關(guān)的問題時，通常有兩種方法：方法一：由直線的方程與橢圓的方程組成的方程組消去y后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，運用中點坐標(biāo)公式建立方程組求解方法二：通過弦ab的端點的坐標(biāo)是橢圓的方程的解，得到兩個“對稱方程”，然后將兩個方程相減，再變形運算轉(zhuǎn)化為直線的斜率公式，這種方法通常稱為“點差法”答案：課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】111axa，bybbxb，ayaa1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)，b1(b,0)，b2(b,0)2a2bf1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)2cx軸和y軸原點e預(yù)習(xí)交流1：提示：把已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1，這里a5，b4，c3因此，橢圓的長軸長為2a10，短軸長為2b8，離心率為e，焦點坐標(biāo)為f1(3,0)，f2(3,0)，橢圓的四個頂點坐標(biāo)分別為a1(5,0)，a2(5,0)，b1(0，4)，b2(0,4)2e預(yù)習(xí)交流2：提示：可以，利用或，對橢圓的扁平程度進行刻畫課堂合作探究【問題導(dǎo)學(xué)】活動與探究1：思路分析：結(jié)合題目給出的已知條件，先把方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，求出a，b的值，然后寫出相關(guān)性質(zhì)解：將方程變形為1，得a5，b4，所以c3故橢圓的長軸長和短軸長分別為2a10和2b8，離心率e，焦點坐標(biāo)為f1(0，3)，f2(0,3)，頂點坐標(biāo)為a1(0，5)，a2(0,5)，b1(4,0)，b2(4,0)遷移與應(yīng)用：1d2解：當(dāng)焦點在x軸上時，a25，b2m，c2a2b25m又e，2，m3當(dāng)焦點在y軸上時，a2m，b25，c2a2b2m5又e，2，m故m3或m活動與探究2：思路分析：根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，正確運用a，b，c，e四個參數(shù)之間的相互關(guān)系，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：(1)把方程4x29y236化成1，則其焦距為2由題意知，而c，a5，b2a2c252520所求橢圓的方程為1或1(2)橢圓的長軸長是6，cosofa，點a不是長軸的端點(是短軸的端點)|of|c，|af|a3c2，b232225橢圓的方程是1或1遷移與應(yīng)用：11解析：依題意橢圓的焦點在y軸上，且c2，又知2b4，所以b2，于是a4，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是12解：(1)設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1(ab0)由已知得a2b橢圓過p(2，6)，1或1由得a2148，b237或a252，b213故所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1(2)當(dāng)焦點在x軸上時，過p(3,0)，a3又，cb2a2c23此時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，當(dāng)焦點在y軸上時，過p(3,0)，b3又，a227此時橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1活動與探究3：思路分析：對于(1)，可先寫出直線l的方程，再與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)兩點間距離公式以及根與系數(shù)的關(guān)系求解；對于(2)，可設(shè)出直線l的斜率得到直線的方程，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系或“點差法”求解解：(1)由已知可得直線l的方程為y2(x4)，即yx由可得x2180，若設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x20，x1x218于是|ab|63所以線段ab的長度為3(2)方法一：設(shè)l的斜率為k，則其方程為y2k(x4)聯(lián)立消去y得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0若設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2，由于ab的中點恰好為p(4,2)，所以4，解得k這時直線的方程為y2(x4)，即yx4方法二：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則有兩式相減得0由于p(4,2)是ab的中點，x1x28，y1y24，從而(x2x1)2(y2y1)0，kab，于是直線ab的方程為y2(x4)，即yx4遷移與應(yīng)用：1c解析：聯(lián)立方程消去y得3x24x20設(shè)交點為a(x1，y1)，b(x2，y2)，中點m(x0，y0)，x1x2，x0，y0x01所求中點的坐標(biāo)為2解：方法1：易知直線斜率k存在設(shè)所求直線的方程為y1k(x2)，由得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1、x2是上述方程的兩根，于是x1x2又m為ab的中點，2，解得k，且滿足0故所求直線的方程為x2y40方法2：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)m(2,1)為ab的中點，x1x24，y1y22又a，b兩點在橢圓上，則x4y16，x4y16，兩式相減，得(xx)4(yy)0，于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，即kab故所求直線的方程為x2y40方法3：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為a(x，y)，由于ab的中點為m(2,1)，則另一個交點為b(4x，2y)a，b兩點都在橢圓上，,，得x2y40顯然a點的坐標(biāo)滿足這個方程，代入驗證可知b點的坐標(biāo)也滿足這個方程，而過a，b的直線只有一條，故所求直線的方程為x2y40當(dāng)堂檢測1橢圓9x2y236的短軸長為()a2 b4 c6 d12答案：b解析：原方程可化為，于是b24，b2，從而短軸長為2b42中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是()a bc d答案：a解析：由已知得2a18,2c6，a9，c3從而b2a2c272，又焦點在x軸上，所求橢圓的方程為3曲線與曲線 (0k9)的關(guān)系是()a有相等的焦距，相同的焦點b有相等的焦距，不同的焦點c有不等的焦距，不同的焦點d以上都不對答案：b解析：0k9，曲線是焦點在y軸上的橢圓c2(25k)(9k)16又是焦點在x軸上的橢圓且c225916，因此兩曲線有相等的焦距，但焦點不相同4已知焦點在x軸上的橢圓的離心率為，則m_答案：解析：由題意知a22，b2m，c22m，5已知橢圓4x2y21及直線yxm(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點時，求實數(shù)m的取值范圍；答案：解：由得5x22mxm210因為直線與橢圓有公共點，所以4m220