計算方法簡明教程習(xí)題全集及解析.doc

例1 已知數(shù)據(jù)表xk10111213f(xk)2.302 62.397 92.484 92.564 9試用二次插值計算f(11.75)(計算過程保留4位小數(shù))并回答用線性插值計算f(11.75)，應(yīng)取哪兩個點(diǎn)更好？解 因?yàn)?1.75更接近12，故應(yīng)取11，12，13三點(diǎn)作二次插值先作插值基函數(shù)已知x0=11, y0=2.397 9，x1=12, y1=2.484 9 ，x2=13, y2=2.564 9P2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)P2(x)= f(11.75)?P2(11.75)= =2.463 8 若用線性插值，因?yàn)樗簏c(diǎn)x11.75在11與12之間，故應(yīng)取x=11,x=12作線性插值合適注：在作函數(shù)插值時，應(yīng)根據(jù)要求，使所求位于所取的中央為好，任意取點(diǎn)一般近似的效果差些第五章插值與最小二乘法5.1插值問題與插值多項(xiàng)式ex實(shí)際問題中若給定函數(shù)是區(qū)間上的一個列表函數(shù)，如果,且f(x)在區(qū)間上是連續(xù)的，要求用一個簡單的，便于計算的解析表達(dá)式在區(qū)間上近似f(x)，使 (5.1.1)就稱為的插值函數(shù)，點(diǎn)稱為插值節(jié)點(diǎn)，包含插值節(jié)點(diǎn)的區(qū)間稱為插值區(qū)間.通常，其中是一組在上線性無關(guān)的函數(shù)族，表示組成的函數(shù)空間表示為 (5.1.2)這里是(n+1)個待定常數(shù)，它可根據(jù)條件(5.1.1)確定.當(dāng)時，表示次數(shù)不超過n次的多項(xiàng)式集合，此時 (5.1.3)稱為插值多項(xiàng)式，如果為三角函數(shù)，則為三角插值，同理還有分段多項(xiàng)式插值，有理插值等等.由于計算機(jī)上只能使用+、-、運(yùn)算，故常用的就是多項(xiàng)式、分段多項(xiàng)式或有理分式，本章著重討論多項(xiàng)式插值及分段多項(xiàng)式插值，其他插值問題不討論.從幾何上看，插值問題就是求過n+1個點(diǎn)的曲線，使它近似于已給函數(shù)，如圖5-1所示.插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，它來自生產(chǎn)實(shí)踐.早在一千多年前，我國科學(xué)家在研究歷法時就應(yīng)用了線性插值與二次插值，但它的基本理論卻是在微積分產(chǎn)生以后才逐步完善的，其應(yīng)用也日益廣泛.特別是由于計算機(jī)的使用和航空、造船、精密機(jī)械加工等實(shí)際問題的需要，使插值法在理論上和實(shí)踐上得到進(jìn)一步發(fā)展.尤其是近幾十年發(fā)展起來的樣條(Spline)插值，獲得了極為廣泛的應(yīng)用，并成為計算機(jī)圖形學(xué)的基礎(chǔ).本章主要討論如何求插值多項(xiàng)式、分段插值函數(shù)、三次樣條插值、插值多項(xiàng)式的存在唯一性及誤差估計等.此外，還討論列表函數(shù)的最小二乘曲線擬合問題與正交多項(xiàng)式.講解：插值多項(xiàng)式就是根據(jù)給定n+1個點(diǎn) ，求一個n次多項(xiàng)式：使即這里是n+1個待定系數(shù)，根據(jù)n+1個條件得到的方程組是關(guān)于參數(shù)的線性方程組。當(dāng)節(jié)點(diǎn)互異時由于系數(shù)行列式所以解是存在唯一的。但直接求解較復(fù)雜，也得不到統(tǒng)一的表達(dá)式。所以通常求插值多項(xiàng)式不用這種方法，而使用下節(jié)給出的基函數(shù)方法。5.2Lagrange插值5.2.1線性插值與二次插值最簡單的插值問題是已知兩點(diǎn)及，通過此兩點(diǎn)的插值多項(xiàng)式是一條直線，即兩點(diǎn)式 (5.2.1)顯然，滿足插值條件，所以就是線性插值.若記則稱為與的線性插值基函數(shù).如圖5-2所示.于是當(dāng)n=2，已給三點(diǎn), 稱為關(guān)于點(diǎn)的二次插值基函數(shù)，它滿足 (5.2.2)的圖形見圖5-3.它們是滿足(5.2.2)的二次插值多項(xiàng)式.滿足條件的二次插值多項(xiàng)式可表示為 (5.2.3)的圖形是通過三點(diǎn)的拋物線.5.2.2Lagrange插值多項(xiàng)式將n=1及n=2的插值推廣到一般情形，考慮通過(n+1)個點(diǎn)，的插值多項(xiàng)式,使 (5.2.4)用插值基函數(shù)方法可得 (5.2.5)其中 (5.2.6)稱為關(guān)于的n次插值基函數(shù)，它滿足條件 顯然(5.2.5)得到的插值多項(xiàng)式滿足條件(5.2.4)，則稱為Lagrange(拉格朗日)插值多項(xiàng)式.引入記號 (5.2.7)則于是由(5.2.6)得到的可改寫為從而(5.2.4)中的可改為表達(dá)式 (5.2.8)并有以下關(guān)于插值多項(xiàng)式的存在唯一性結(jié)論.定理2.1滿足條件(5.2.4)的插值多項(xiàng)式是存在唯一的.證明存在性已由(5.2.5)給出的證明，下面只需證明唯一性.用反證法，假定還有另一個使成立，于是有且，它表明n次多項(xiàng)式有n+1個根這與代數(shù)基本定理n次多項(xiàng)式只有n個根矛盾，故.證畢.5.2.3插值余項(xiàng)與誤差估計若插值區(qū)間為,在上有插值多項(xiàng)式，則稱為插值余項(xiàng).定理2.2設(shè)(表示f(x)在上(n+1)階導(dǎo)數(shù)連續(xù))，且節(jié)點(diǎn)，則滿足條件(5.2.4)的插值多項(xiàng)式對有 (5.2.9)這里是(5.2.7)所定義的.證明由插值條件(5.2.4)可知，故對任何x有 (5.2.10)其中K(x)是依賴于x的待定函數(shù).將x看做區(qū)間上任一固定點(diǎn)，作函數(shù)，顯然，且，它表明在上有n+2個零點(diǎn)及x，由Rolle定理可知在上至少有n+1個零點(diǎn).反復(fù)應(yīng)用Rolle定理，可得在上至少有一個零點(diǎn),使即代入(5.2.10)則得余項(xiàng)表達(dá)式(5.2.9).證畢.注意定理中依賴于x及點(diǎn)，此定理只在理論上說明存在，實(shí)際上仍依賴于x，即使x固定，也無法確定.因此，余項(xiàng)表達(dá)式(5.2.9)的準(zhǔn)確值是算不出的，只能利用(5.2.9)式做截斷誤差估計，由可得誤差估計 (5.2.11)當(dāng)n=1時可得線性插值的誤差估計 (5.2.12)當(dāng)n=2時有二次插值的誤差估計 (5.2.13)利用余項(xiàng)表達(dá)式(5.2.9)，當(dāng)時，由于，于是有即 (5.2.14)它表明當(dāng)時，插值多項(xiàng)式就是它自身，(5.2.14)也給出了插值基函數(shù)的性質(zhì)，特別當(dāng)k=0時有例5.1 已給，用線性插值及二次插值計算sin 0.336 7的近似值并估計誤差.解由題意知被插函數(shù)為，給定插值點(diǎn)為，.由(5.2.1)知線性插值函數(shù)為當(dāng)x=0.336 7時其截斷誤差由(5.2.12)得其中.因f(x)=sin x,f(x)=-sin x，故于是若用二次插值，在(5.2.3)中取n=2，則得這個結(jié)果與6位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣.其截斷誤差由(5.2.13)得其中 于是例5.2設(shè)，試證解由于的線性插值于是例5.3證明,其中是關(guān)于點(diǎn)5的插值基函數(shù).解講解：當(dāng)n=1及n=2得到的是線性插值和拋物線插值，對于一般情形給定被插值函數(shù)的n+1個點(diǎn)，要求可通過n+1個點(diǎn)的插值基函數(shù)得到，其中就是由（5.2.6）給出的，它在點(diǎn)的初值為1，其余點(diǎn)上為0，于是有 （5.2.5）它顯然滿足條件就是Legrange插值多項(xiàng)式。在區(qū)間上用它的余項(xiàng)為（5.2.9）這里是依賴于和插值點(diǎn)，實(shí)際是給不出來的。所以也不可能精確得到，但當(dāng)在區(qū)間上有最大值，則得誤差估計利用余項(xiàng)表達(dá)式（5.2.9），令則得到插值基函數(shù)得一個重要性質(zhì)（5.2.14）特別當(dāng)K0有用這一性質(zhì)可以證明例5.3得等式。5.3均差與Newton插值公式5.3.1均差及其性質(zhì)利用插值基函數(shù)求出Lagrange插值多項(xiàng)式(5.2.8)，在理論上是很重要的，但用計算f(x)近似值卻不大方便，特別當(dāng)精度不夠，需增加插值節(jié)點(diǎn)時，計算要全部重新進(jìn)行.為此我們可以給出另一種便于計算的插值多項(xiàng)式，它表達(dá)為(5.3.1)其中為待定常數(shù).顯然，它可根據(jù)插值條件 (5.3.2)直接得到，例如當(dāng)時，得；當(dāng)時，由(5.3.1)得，得.實(shí)際上就是直線方程的點(diǎn)斜式.，.為了給出的系數(shù)的表達(dá)式，先引進(jìn)以下定義.定義3.1記為f的零階均差，零階均差的差商記為稱為函數(shù)關(guān)于點(diǎn)的一階均差.一般地，記(k-1)階均差的差商為(5.3.3)稱為f關(guān)于點(diǎn)的k階均差.均差有以下重要性質(zhì)：(1) 均差對稱性.k階均差可表示為函數(shù)值的線性組合，即(5.3.4)這個性質(zhì)可用歸納法證明，見3.(5.3.4)表明均差與節(jié)點(diǎn)排列次序無關(guān)，稱為均差對稱性.(2) 如果是x的m次多項(xiàng)式，則是x的(m-1)次多項(xiàng)式.證明由均差定義可知 右端分子為x的m次多項(xiàng)式，且當(dāng)時，此式為零，所以分子含有的因子，與分母相約后得到(m-1)次多項(xiàng)式.(3) 若，并且互異，則有,其中 (5.3.5)這公式可直接由Rolle定理證明(略).其他均差性質(zhì)可作為習(xí)題自己證明.均差可列均差表，見表51 5.3.2Newton插值根據(jù)均差定義，把x看成上一點(diǎn)，可得只要把后一式代入前一式，就得到其中(5.3.6)(5.3.7)是由(5.2.7)定義的.由(5.3.6)確定的多項(xiàng)式顯然滿足插值條件，且次數(shù)不超過n，它就是形如(5.3.1)的多項(xiàng)式，其系數(shù)為我們稱為Newton均差插值多項(xiàng)式.系數(shù)就是均差表5-1中加橫線的各階均差，它比Lagrange插值的計算量少，且便于程序設(shè)計.(5.3.7) 為插值余項(xiàng)，由插值多項(xiàng)式的唯一性可知，它與(5.2.9)是等價的.事實(shí)上，利用均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系式(5.3.5)，可由(5.3.7)推出(5.2.9).但(5.3.7)更有一般性，它對f是由離散點(diǎn)給出的情形或f導(dǎo)數(shù)不存在時均適用.例5.4給出f(x)的函數(shù)表(見表5-2)，求四次牛頓插值多項(xiàng)式，并由此計算f(0.596)的近似值.從均差表看到四階均差已近似于常數(shù).故取四次插值多項(xiàng)式做近似即可.于是 截斷誤差這說明截斷誤差很小，可忽略不計.講解：均差即差為函數(shù)值之差商比相應(yīng)自變量之差。K階均差是K1階均差的均差。由（5.3.3）給出，它有很多性質(zhì)，其中（5.3.4）及（5.3.5）最重要，利用均差定義則可推出Newton均差插值公式，從而得到Newton均差插值多項(xiàng)式及均差形式的余項(xiàng)表達(dá)式（5.3.7），實(shí)際上當(dāng)則的極限就是函數(shù)在處的Taylor多項(xiàng)式。余項(xiàng)極限就是Taylor多項(xiàng)式。Newton插值多項(xiàng)式有點(diǎn)是計算簡單。且增加一個插值點(diǎn)就增加一項(xiàng)。前面計算都是有效的。注意，由于插值點(diǎn)固定時插值多項(xiàng)式是存在唯一的。因此Newton插值多項(xiàng)式與Lagrange插值多項(xiàng)式只是形式不同，它們都是同一個多項(xiàng)式。5.4差分與Newton前后插值公式5.4.1差分及其性質(zhì)當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)為等距節(jié)點(diǎn)時，稱h為步長，此時均差及Newton均差插值多項(xiàng)式(5.3.6)均可簡化.定義4.1設(shè)，記(5.4.1)(5.4.2)分別稱為在處以h為步長的一階向前差分及一階向后差分.符號及分別稱為向前差分算子及向后差分算子.利用一階差分可定義二階差分為（二階向前差分）（二階向后差分）一般地，可定義m階向前差分及m階向后差分為 此外還可定義不變算子I及位移算子E為：(5.4.3)于是，由,可得 同理可得.由差分定義并應(yīng)用算子符號運(yùn)算可得下列基本性質(zhì).性質(zhì)1各階差分均可用函數(shù)值表示.例如(5.4.4)(5.4.5)其中為二項(xiàng)式展開系數(shù).性質(zhì)2可用各階差分表示函數(shù)值.例如，可用向前差分表，因?yàn)?于是 (5.4.6)性質(zhì)3均差與差分有的關(guān)系.由定義可知，向前差分 一般地有 (5.4.7)同理，對向后差分有 (5.4.8)利用(5.4.7)及(5.3.5)又可得到 (5.4.9)其中，這就是差分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.差分的其他性質(zhì)從略.計算差分可列差分表，表5-3是向前差分表.表535.4.2等距節(jié)點(diǎn)插值公式將牛頓均差插值多項(xiàng)式(5.3.6)中各階均差用相應(yīng)差分代替，就可得到各種形式的等距節(jié)點(diǎn)插值公式.這里只推導(dǎo)常用的前插與后插公式.如果有節(jié)點(diǎn)，要計算附近點(diǎn)x的函數(shù)f(x)的值，可令，于是將此式及(5.4.7)代入(5.3.6)，則得(5.4.10)稱為Newton前插公式，其余項(xiàng)由(5.2.9)得(5.4.11)如果要用函數(shù)表示附近的函數(shù)值f(x)，此時應(yīng)用牛頓插值公式(5.3.6)，插值點(diǎn)應(yīng)按的次序排列，有 作變換，并利用公式(5.4.8)，代入上式得(5.4.12)稱為Newton后插公式，其余項(xiàng)(5.4.13)例5.5 設(shè)，給出在的值.試用三次等距節(jié)點(diǎn)插值公式求f(1.01)及f(1.28)的近似值.解本題只要構(gòu)造出f的差分表，再按Newton前插公式及后插公式計算即可.的差分表如下所示.計算f(1.01)可用Newton前插公式(5.4.10)，此時用到差分表中的上半部分劃波紋線的各階差分值.計算f(1.28)要用Newton后插公式(5.4.12)，它用到差分表下部分的差分(即下劃直線的). f(1.01)與f(1.28)的7位有效數(shù)字分別為，可見計算結(jié)果已相當(dāng)精確.講解：實(shí)際使用時給定的函數(shù)表常常是等距節(jié)點(diǎn)的情形，這時只需考察函數(shù)值之差 。于是均差變成了差分，相應(yīng)的Newton均差插值變成Newton前插與后插公式，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)由小到大排列得到的是前插公式，反之，插值點(diǎn)由大到小排列得到的是后插公式，而利用插值計算f(x)的值時如果只用到函數(shù)表中的部分值。那么計算x0附近點(diǎn)x的函數(shù)值就用前插公式，而計算xn附近的函數(shù)值f(x),就用后插公式。5.5Hermite插值不少問題不但要求在插值節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且還要求節(jié)點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)值相等，有的甚至要求高階導(dǎo)數(shù)值也相等，滿足這種要求的插值多項(xiàng)式稱為Hermite插值多項(xiàng)式.若給出的插值條件有(m+1)個則可造出m次插值多項(xiàng)式.建立Hermite插值多項(xiàng)式的方法仍可采用插值基函數(shù)和均差插值的方法，較常見的一類帶導(dǎo)數(shù)插值的問題，是在給出節(jié)點(diǎn)上已知要求，使 (5.5.1)若用基函數(shù)方法表示可得 (5.5.2)其中及是關(guān)于點(diǎn)的(2n+1)次Hermite插值基函數(shù)，它們?yōu)?2n+1)次多項(xiàng)式且滿足條件 (5.5.3)若f(x)在上存在(2n+2)階導(dǎo)數(shù)，則其插值余項(xiàng)為 (5.5.4)其中與x有關(guān)，由(5.2.7)表示.下面只對n=1的情形給出的表達(dá)式.若插值節(jié)點(diǎn)為及，要求，使 (5.5.5)相應(yīng)插值基函數(shù)為,它們滿足條件根據(jù)給出條件可令顯然再由及解得于是可得 (5.5.6)同理，可求得 (5.5.7)于是滿足條件(5.5.5)的Hermite插值多項(xiàng)式為(5.5.8)它的插值余項(xiàng)為，在與之間(5.5.9)下面再給出一個典型的例子.例5.6求,使及的插值多項(xiàng)式及其余項(xiàng)表達(dá)式.解這里給出了四個條件故可造三次插值多項(xiàng)式,由，可用Newton均差插值，令(5.5.10)顯然它滿足條件，為待定參數(shù).由可得解得(5.5.11)于是得到的插值多項(xiàng)式為(4.8)的p(x)，其中由(5.5.11)給出，它的余項(xiàng)表達(dá)式是(5.5.12)其中在與之間，而.講解：帶有導(dǎo)數(shù)條件的插值統(tǒng)稱Hermite插值，構(gòu)造Hermite插值多項(xiàng)式原理與Lagrang插值相同，如果給定m+1個條件，則可構(gòu)造次數(shù)不超過m次的插值多項(xiàng)式，構(gòu)造原則是什么方法最簡單就用什么方法。 這里我們?nèi)允褂昧嘶瘮?shù)方法和均差插值方法。具體用哪種方法原則是使構(gòu)造的多項(xiàng)式中待定參數(shù)盡量少。例如求時，由于已知xk+1為二重零點(diǎn),故含因子，可令 ,b為待定參數(shù)，可由另兩個條件及確定，再如對，由條件知為二重零點(diǎn)，而是單重零點(diǎn)，故可令只有一個待定參數(shù)A，由另一條件可立即求得A1。而例5.6則直接利用了均差值給出了的表達(dá)式，它只有一個待定參數(shù)A至于導(dǎo)數(shù)插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)表達(dá)式也是很有規(guī)律的，如果給出的插值條件是m+1個，則有，其中指數(shù)，如果點(diǎn)有0階至階導(dǎo)數(shù)條件則有因子顯然Taylor多項(xiàng)式是在點(diǎn)處具有0到n階導(dǎo)數(shù)值均相等的Hermite插值，其余項(xiàng)為根據(jù)這規(guī)律，例5.6中點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)條件，而及點(diǎn)只給出函數(shù)值相等條件，故一共有4個條件，即m=3,余項(xiàng)表達(dá)式就是（5.5.12）。5.6分段低次插值5.6.1多項(xiàng)式插值的收斂性問題若在上任給一組插值節(jié)點(diǎn)，假定，按條件(5.2.4)造出Lagrange插值多項(xiàng)式，若極限 (5.6.1)就稱插值多項(xiàng)式收斂于.但實(shí)際上甚至對各階導(dǎo)數(shù)均存在的也不能保證(5.6.1)成立，也就是插值多項(xiàng)式序列收斂性不成立，下面給出一個不收斂的例子.例5.7設(shè)在-5,5上取(n+1)個等距節(jié)點(diǎn)，可造插值多項(xiàng)式記，表5-4列出n=2,4,20的的計算結(jié)果及在處的誤差.表5-4可以看出隨n的增加幾乎成倍增加，這說明在-5,5上并不收斂.當(dāng)n=10時，從的圖形(見圖5-4)也可看出它不收斂.這個例子是Runge于1901年首先給出的，故把插值多項(xiàng)式不收斂的現(xiàn)象稱為Runge現(xiàn)象.Runge還證明了此例中時,，但在 時發(fā)散.由于高次插值收斂性沒有保證，實(shí)際的計算穩(wěn)定性也沒保證.因此當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)n較大時通常不采用高次多項(xiàng)式插值，而改用低次分段插值.5.6.2分段線性插值設(shè)已知節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值為，若一折線函數(shù)滿足條件(1) ；(2) ；(3) 在每個小區(qū)間上為線性函數(shù).則稱為分段線性插值函數(shù)，在每個小區(qū)間上表示為(5.6.2)在區(qū)間上可表示為(5.6.3)其中定理5.1若，則當(dāng)h0時一致收斂于f(x).若，則余項(xiàng)有估計式 (5.6.4)5.6.3分段三次Hermite插值設(shè)函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值為，一階導(dǎo)數(shù)值為，若滿足條件(1)；(2)；(3) 在每個子區(qū)間上是次數(shù)不大于3的多項(xiàng)式.則稱是f(x)的分段三次Hermite插值函數(shù).在每個子區(qū)間上的表達(dá)式為(5.6.5)在上用插值基函數(shù)表示為 (5.6.6)其中可以證明，若，則當(dāng)h0時一致收斂于f(x).講解：由例5.7看到插值多項(xiàng)式次數(shù)增加時誤差可能更大，它說明高次插值收斂性沒有保證，因此當(dāng)插值點(diǎn)較多時，為了求在區(qū)間上的近似值，通常采用分段插值若在上節(jié)點(diǎn)為，分段線性插值就是用折線近似曲線，它在每個小區(qū)間上的方程（5.6.2）就是前面介紹的線性插值，余項(xiàng)也是線性插值余項(xiàng)。分段線性插值雖然當(dāng)時，。但它的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，且誤差較大。5.7三次樣條插值5.7.1三次樣條函數(shù)分段低次插值的優(yōu)點(diǎn)是具有收斂性與穩(wěn)定性，缺點(diǎn)是光滑性較差，不能滿足實(shí)際需要.例如高速飛機(jī)的機(jī)翼形線、船體放樣形值線、精密機(jī)械加工等都要求有二階光滑度，即二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，通常三次樣條(Spline)函數(shù)即可滿足要求.定義7.1設(shè)上給出一組節(jié)點(diǎn)，若函數(shù)s(x)滿足條件(1) ；(2) s(x)在每個小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式.則稱s(x)是節(jié)點(diǎn)上的三次樣條函數(shù).若s(x)在節(jié)點(diǎn)上還滿足插值條件(3) (5.7.1)則稱s(x)為上的三次樣條插值函數(shù). 例5.8設(shè)是以0，1，2為節(jié)點(diǎn)的三次樣條函數(shù)，則,b,c應(yīng)取何值?解因,故在處由及連續(xù)，可得 解得=-2,b=3,c=-1.此時s(x)是0,2上的三次樣條函數(shù).由定義7.1可知s(x)在每個小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式，它有四個待定系數(shù)，中共有n個小區(qū)間，故待定的系數(shù)為4n個，而由定義給出的條件，在這(n-1)個內(nèi)點(diǎn)上應(yīng)滿足 (5.7.2)它給出了3(n-1)個條件，此外由插值條件(5.7.1)給出了(n+1)個條件，共有(4n-2)個條件，求三次樣條插值函數(shù)s(x)尚缺兩個條件.為此要根據(jù)問題要求補(bǔ)充兩種邊界條件，它們分別是問題 (5.7.3)問題 (5.7.4)問題當(dāng)f(x)為周期函數(shù)，因，此時，且，.這時s(x)稱為周期樣條函數(shù).由此看到針對不同類型問題，補(bǔ)充相應(yīng)邊界條件后完全可以求得三次樣條插值函數(shù)s(x).下面我們只就問題及問題介紹三彎矩方程及其解法.5.7.2彎矩方程設(shè)s(x)在節(jié)點(diǎn)上的二階導(dǎo)數(shù)值，在上是三次多項(xiàng)式，故s(x)在上是一次函數(shù)，可表示為對此式積分兩次，并利用可確定積分常數(shù)，從而得到 (5.7.5)這里是未知量，但它可利用條件(5.7.2)中得到關(guān)于的方程組，由(5.7.5)對s(x)求導(dǎo)得 (5.7.6)由此可得(5.7.7)當(dāng)，類似(5.7.6)可得 于是 (5.7.8)由，可得到(5.7.9)其中 (5.7.10)(5.7.9)是關(guān)于的(n-1)個方程，對問題，可由(5.7.3)補(bǔ)充兩個方程，它們可由(5.7.7)當(dāng)i=0時及(5.7.8)當(dāng)i=n時得到，即 (5.7.11)將(5.7.9)與(5.7.11)合并則得到關(guān)于的線性方程組，用矩陣形式表示為(5.7.12)這是關(guān)于的三對角方程組.對于問題，可直接由條件(5.7.4)得到將它代入(5.7.9)，并用矩陣形式表示為(5.7.13)它是關(guān)于的三對角方程組，不論是(5.7.12)還是(5.7.13)，它們中每個方程只與三個相鄰的相聯(lián)系，而在力學(xué)上表示細(xì)梁在上的截面彎矩，故稱(5.7.12)及(5.7.13)為三彎矩方程.方程(5.7.12)及(5.7.13)的系數(shù)矩陣都是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，它們可用追趕法求解.得到后，代入(5.7.5)，則得到上的三次樣條插值函數(shù)s(x).例5.9設(shè)f(x)為定義在0，3上的函數(shù)，插值節(jié)點(diǎn)為，且，.當(dāng)時，試求三次樣條插值函數(shù)s(x)，使其滿足問題的邊界條件(5.7.3).解根據(jù)三彎矩方程(5.7.12)，首先要求系數(shù)矩陣及右端項(xiàng)，由(5.7.10)及(5.7.11)可得 于是由(5.7.12)得三彎矩方程為(5.7.14)解此方程時可先消去得解得，代入(5.7.14)得.將的值代入(5.7.5)可得三次樣條函數(shù)的圖形見圖5-5.圖5-55.7.3三次樣條插值收斂性定理7.1設(shè)為問題或問題的三次樣條函數(shù)，則有估計式(5.7.15)其中，.定理證明見3.定理表明當(dāng)h0(n)時，分別一致收斂于.講解：分段三次樣條插值（簡稱Spline插值）是通過形值點(diǎn)的一條光滑曲線，從數(shù)學(xué)上表示就是由定義7.1所給出的三條件得到的，它在區(qū)間上是二階連續(xù)的，在每個小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式并通過給定點(diǎn)，若補(bǔ)充上相應(yīng)的邊界條件，問題或問題，就可求得，通過解三彎矩方程（5.7.12）或（5.7.13）就可得到（5.7.5）所表示的。求三次樣條插值函數(shù)有現(xiàn)成軟件，但對三次樣條插值定義及其條件一定要掌握好。5.8曲線擬合的最小二乘法在科學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中，往往要根據(jù)一組給定的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求出自變量x與因變量y的函數(shù)關(guān)系，這是為待定參數(shù)，由于觀測數(shù)據(jù)總有誤差，且待定參數(shù)ai的數(shù)量比給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量少(即nm)，因此它不同于插值問題.這類問題不要求通過點(diǎn)，而只要求在給定點(diǎn)上的誤差的平方和最小.當(dāng)時，即 (5.8.1)這里是線性無關(guān)的函數(shù)族，假定在上給出一組數(shù)據(jù)，以及對應(yīng)的一組權(quán)，這里為權(quán)系數(shù)，要求使最小，其中 (5.8.2)這就是最小二乘逼近，得到的擬合曲線為y=s(x)，這種方法稱為曲線擬合的最小二乘法.(5.8.2)中實(shí)際上是關(guān)于的多元函數(shù)，求I的最小值就是求多元函數(shù)I的極值，由極值必要條件，可得 (5.8.3)根據(jù)內(nèi)積定義(見第三章)引入相應(yīng)帶權(quán)內(nèi)積記號(5.8.4)則(5.8.3)可改寫為這是關(guān)于參數(shù)的線性方程組，用矩陣表示為 (5.8.5)(5.8.5)稱為法方程.當(dāng)線性無關(guān)，且在點(diǎn)集上至多只有n個不同零點(diǎn)，則稱在X上滿足Haar條件，此時(5.8.5)的解存在唯一(證明見3).記(5.8.5)的解為 從而得到最小二乘擬合曲線 (5.8.6)可以證明對，有故(5.8.6)得到的即為所求的最小二乘解.它的平方誤差為 (5.8.7)均方誤差為在最小二乘逼近中，若取，則，表示為 (5.8.8)此時關(guān)于系數(shù)的法方程(5.8.5)是病態(tài)方程，通常當(dāng)n3時都不直接取作為基，其具體方法下節(jié)再討論，下面只給出n=1的例子.例5.10已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表所示.試求最小二乘擬合曲線.解將所給數(shù)據(jù)在坐標(biāo)紙上標(biāo)出，如圖5-6所示，說明它可用線性函數(shù)作曲線擬合，即選擇形如作為擬合曲線.這里，故圖5-6于是由(5.8.5)得法方程解得 于是所求的最小二乘擬合曲線為 均方誤差為.使用最小二乘逼近時，模型的選擇是很重要的，通常模型y=s(x)是由物理規(guī)律或數(shù)據(jù)分布情況確定的，不一定都是形如(5.8.1)的線性模型，但有的模型經(jīng)過變換可化為線性模型，這些也應(yīng)按線性模型處理，例如它是指數(shù)函數(shù)，關(guān)于系數(shù)，b并非線性，但對上式兩端取對數(shù)得到 令，則上式轉(zhuǎn)化為，它是線性模型，仍可按上面介紹的方法求y=s(x).例5.11給定數(shù)據(jù)如下：求的最小二乘擬合曲線.解不是多項(xiàng)式，但兩端取對數(shù)得.若令，則有，它是線性最小二乘擬合問題.可取，為求得A，b,先將化為.轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)表為根據(jù)最小二乘原理先求法方程系數(shù)故有法方程解得，于是得最小二乘擬合曲線 講解：曲線擬合的最小二乘法是處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)一種經(jīng)常使用的方法，它與插值不同，一是數(shù)據(jù)本身有誤差，二是反映實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，需要確定的待定參數(shù)個數(shù)較少，通常比m小得多，且一般不通過，而只要求在給定點(diǎn)處誤差平方和最小。這是關(guān)于參數(shù)的多元函數(shù)求極值問題。在最小二乘法重確定數(shù)學(xué)模型是很重要的，一種是根據(jù)物理規(guī)律給定的，一種是由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)描圖選定的，但這里我們只討論關(guān)于參數(shù)為線性的模型，即（5.8.1）所示，或通過變換能化為線性的模型，如例5.11給出的模型，當(dāng)s(x)為多項(xiàng)式時則得到的法方程是病態(tài)方程組，求得的解誤差較大，一般在 時應(yīng)該改用關(guān)于給定節(jié)點(diǎn)正交的多項(xiàng)式組才能算出正確結(jié)果。5.9正交多項(xiàng)式及其在最小二乘的應(yīng)用5.9.1內(nèi)積與正交多項(xiàng)式將空間向量的內(nèi)積定義推廣到連續(xù)函數(shù)空間，就有定義9.1設(shè)是上的權(quán)函數(shù)記 (5.9.1)稱為函數(shù)f(x)與g(x)在上的帶權(quán)內(nèi)積.內(nèi)積有以下性質(zhì)：(1) ；(2) ；(3) ；(4) (f,f)0，當(dāng)且僅當(dāng)f0時等號成立.定義9.2設(shè)為上的權(quán)函數(shù)，若則稱f(x)與g(x)在上帶權(quán)(x)正交.若函數(shù)序列在上兩兩正交，即 則稱為正交函數(shù)族.例 5.12三角函數(shù)族1，在-，上是正交函數(shù)族(權(quán)(x)1).實(shí)際上，而 定義9.3設(shè)是首項(xiàng)系數(shù)的n次多項(xiàng)式，如果多項(xiàng)式序列滿足 (5.9.2)則稱多項(xiàng)式序列為在上帶權(quán)(x)的正交多項(xiàng)式族，稱為上帶權(quán)(x)的n次正交多項(xiàng)式.只要給定區(qū)間及權(quán)函數(shù)(x)，均可由線性無關(guān)的一組基1,x,x2,xn,，利用正交化構(gòu)造出正交多項(xiàng)式(5.9.3)這樣構(gòu)造的正交多項(xiàng)式有以下性質(zhì)：(1) 是最高項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式；(2) 任何n次多項(xiàng)式,均可表示為的線性組合；(3) 當(dāng)nm時，且與任一次數(shù)小于n的多項(xiàng)式正交；(4) 遞推關(guān)系(5.9.4)其中 這里.(5) 設(shè)是在上帶權(quán)(x)的正交多項(xiàng)式序列，則的n個根都是單重實(shí)根，且都在區(qū)間內(nèi).以上性質(zhì)的證明見4.下面給出常見的而又十分重要的正交多項(xiàng)式.5.9.2Legendre多項(xiàng)式在區(qū)間-1，1上權(quán)函數(shù)(x)=1的正交多項(xiàng)式稱為Legendre多項(xiàng)式，其表達(dá)式為(5.9.5)的首項(xiàng)的系數(shù)為，記(5.9.6)則是首項(xiàng)系數(shù)為1的Legendre多項(xiàng)式.Legendre多項(xiàng)式有許多重要性質(zhì)，其中較重要的有：(1) 正交性(5.9.7)只要令，則且.設(shè)多項(xiàng)式，用分部積分得當(dāng)Q(x)為次數(shù)不超過(n-1)時，于是有 當(dāng)，則，于是 這就證明了(5.9.7)的正確性.(2) 遞推公式(5.9.8)圖5-7其中.此公式可直接利用正交性證明.由(5.9.8)可得 圖5-7給出了的圖形.(3) 奇偶性5.9.3Chebyshev多項(xiàng)式在區(qū)間-1，1上權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式稱為Chebyshev多項(xiàng)式，它可表示為 (5.9.9)若令，則，這是的參數(shù)表示.利用三角公式可將展成的一個n次多項(xiàng)式，故(5.9.9)可視為x的n次多項(xiàng)式.下面給出的主要性質(zhì)：(1) 正交性 (5.9.10)只要對積分做變換x=，利用三角公式即可得到(5.9.10)的結(jié)果.(2) 遞推公式 (5.9.11)其中.由用三角公式則得(5.9.11).由(5.9.11)可推出到如下： 圖5-8給出了的圖形.圖5-8(3) 奇偶性(4)在(-1，1)內(nèi)的n個零點(diǎn)為，在-1，1上有(n+1)個極點(diǎn).(5) 的最高次冪的系數(shù)為5.9.4其他正交多項(xiàng)式除上述兩個最常用的正交多項(xiàng)式外，較重要的還有無窮區(qū)間的正交多項(xiàng)式，它們是：(1) Laguerre多項(xiàng)式在區(qū)間0,)上，權(quán)函數(shù) 的正交多項(xiàng)式稱為Laguerre多項(xiàng)式，其表達(dá)式為(5.9.12)它的遞推公式為(5.9.13)其中.正交性為(2) Hermite多項(xiàng)式在區(qū)間(-,)上，帶權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式稱為Hermite多項(xiàng)式，其表達(dá)式為 (5.9.14)它的遞推公式為 (5.9.15)其中.正交性為5.9.5用正交多項(xiàng)式作最小二乘擬合在最小二乘擬合中若，模型取為(5.8.8)時，由于法方程是病態(tài)方程，因此使用時應(yīng)取為關(guān)于給定點(diǎn)的正交多項(xiàng)式，可避免求解病態(tài)方程組.類似定義9.3給出以下定義.定義9.4設(shè)給定擬合數(shù)據(jù)及權(quán)可構(gòu)造多項(xiàng)式，其中，且(5.9.16)則稱是關(guān)于點(diǎn)集.帶權(quán)的正交多項(xiàng)式族，為k次正交多項(xiàng)式.根據(jù)定義，若令.由遞推關(guān)系得 (5.9.17)利用正交性 求得及為(5.9.18)令，由法方程(5.8.5)可求得解(5.9.19)從而得到最小二乘擬合曲線 (5.9.20)它仍然是多項(xiàng)式函數(shù)，即.用計算機(jī)計算時求系數(shù)及與求系數(shù)可同時進(jìn)行.當(dāng)k=0,1,n時若有時，計算停止，此時即為所求.講解： 將向量空間中兩向量正交（即垂直）的概念推廣到連續(xù)函數(shù)空間，任兩函數(shù)，內(nèi)積就稱它們?yōu)檎?，函?shù)序列兩兩正交，稱為正交函數(shù)族，若為n次多項(xiàng)式，則當(dāng)它滿足（5.9.2）就稱為正交多項(xiàng)式。正交多項(xiàng)式有很多重要性質(zhì)，其中以正交性，遞推關(guān)系和在區(qū)間a,b上有n個單實(shí)根的三個性質(zhì)最重要。最常用也是最重要的正交多項(xiàng)式是Legendre多項(xiàng)式和Chebyshev多項(xiàng)式，它們是函數(shù)逼近的重要工具，在數(shù)值積分中也有重要應(yīng)用，Legendre多項(xiàng)式是區(qū)間-1,1上權(quán)函數(shù) 的正交多項(xiàng)式，其正交性由（5.9.7）式給出，遞推關(guān)系式（5.9.8）都有具體應(yīng)用是必須知道的。而Chebyshev 多項(xiàng)式是區(qū)間-1,1上，權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式。它表示為由此表達(dá)式直接利用三角公式則可具體得到正交性（5.9.10）和遞推關(guān)系（5.9.11）及其他重要性質(zhì)。 用正交多項(xiàng)式作最小二乘擬合，應(yīng)根據(jù)給定數(shù)據(jù)及權(quán)定義關(guān)于離散點(diǎn)集帶權(quán)的正交多項(xiàng)式它本質(zhì)上與在區(qū)間-1,1上定義的正交多項(xiàng)式相似，只是把積分變成求和，再以所得到關(guān)于點(diǎn)集正交的多項(xiàng)式作基求最小二乘的擬合曲線，這就避免了用一般多項(xiàng)式擬合出現(xiàn)解法方程的病態(tài)問題，當(dāng)然這種做法通常都在計算機(jī)上計算，不必記公式，只要能利用已有軟件算出擬合曲線即可?！颈菊滦〗Y(jié)】1.根據(jù)給定條件求插值多項(xiàng)式并由此計算 的近似值和估計誤差是本章的重點(diǎn)。由于n次多項(xiàng)式有n+1個待定參數(shù)，故需要給出n+1個條件才能唯一確定n次插值多項(xiàng)式。求插值多項(xiàng)式有兩種方法，一種是基函數(shù)方法，求Lagrange插值多項(xiàng)式；一種是用均差方法求Newton插值多項(xiàng)式。原則上只要滿足插值條件，不論用何種方法求插值多項(xiàng)式均可，但應(yīng)以簡單方便為宜。（1）基函數(shù)方法理論上很重要，它便于理論分析。要掌握好插值基函數(shù)(i=0.1，n)的性質(zhì)，它本身是一種特殊的插值多項(xiàng)式。特別注意當(dāng)f(x)為次數(shù)不超過超過n的多項(xiàng)式時，從而有.但在計算上Lagrange插值多項(xiàng)式并不方便，特別在增加插值點(diǎn)時要重新計算，不如Nerton插值方便。在有關(guān)插值的證明問題中常用基函數(shù)性質(zhì)加以論證。（2）Nerton插值便于計算，每增加1個插值點(diǎn)只增加 1 項(xiàng)，前面結(jié)果仍然有效，便于在計算過程中根據(jù)精度要求確定插值多項(xiàng)式次數(shù)。Newton均差插值多項(xiàng)式形式上與函數(shù)Taylor展開相似，實(shí)際上當(dāng)n+1個節(jié)點(diǎn)趨于同一點(diǎn)，即為Taylor展開多項(xiàng)式。掌握均差與差分定義及其性質(zhì)，并由此得到Newton均差插值、Newton前插與后插公式，利用它們計算函數(shù)近似值也是重要的。注意當(dāng)為n次多項(xiàng)式時，其n階均差與差分均為常數(shù)，而n+1階均差與差分為零。一般的也可利用它們與導(dǎo)數(shù)關(guān)系計