高中數(shù)學(xué)1.2.1平面的基本性質(zhì)及推論1教案北師大必修2

2015年高中數(shù)學(xué) 1.2.1 平面的基本性質(zhì)及推論1教案 北師大版必修2二. 教學(xué)目的1、了解平面的基本性質(zhì)與推論，并能運(yùn)用這些公理及推論去解決有關(guān)問題，會(huì)用集合語言來描述點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系以及圖形的性質(zhì)。2、以所學(xué)過的作為推理依據(jù)的一些公理和定理為基礎(chǔ)，通過直觀感知，操作確認(rèn)，思辨論證，歸納出空間中線、面平行的有關(guān)判定定理和性質(zhì)定理。能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)【重點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)與推論以及它們的應(yīng)用；線線平行及平行線的傳遞性和面面平行的定義與判定。【難點(diǎn)】自然語言與數(shù)學(xué)圖形語言和符號(hào)語言間的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用；如何由平行公理以及其他基本性質(zhì)推出空間線、線，線、面和面、面平行的判定和性質(zhì)定理，并掌握這些定理的應(yīng)用。四. 知識(shí)分析（一）平面的基本性質(zhì)與推論1. 平面的基本性質(zhì)（1）關(guān)于公理1三種數(shù)學(xué)語言表述：文字語言表述：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。圖形語言表述：如圖1所示 圖1符號(hào)語言表述： 內(nèi)容剖析：公理1的內(nèi)容反映了直線與平面的位置關(guān)系，條件“線上兩點(diǎn)在平面內(nèi)”是公理的必須條件，結(jié)論“線上所有點(diǎn)都在面內(nèi)”。這個(gè)結(jié)論闡述兩個(gè)觀點(diǎn)，一是整個(gè)直線在平面內(nèi)，二是直線上所有點(diǎn)都在平面內(nèi)。公理（1）的作用：既可判定直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)，又可用直線檢驗(yàn)平面。（2）關(guān)于公理2公理2的三種數(shù)學(xué)語言表述：文字語言表述：過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。圖形語言表述：如圖2所示 圖2符號(hào)語言表述：A、B、C三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面，使.內(nèi)容剖析：公理2的條件是“過不在同一直線上的三點(diǎn)”，結(jié)論是“有且只有一個(gè)平面”。條件中的“三點(diǎn)”是條件的骨干，不會(huì)被忽視，但“不在同一直線上”這一附加條件則易被遺忘，如舍之，結(jié)論就不成立了，因此絕對(duì)不能遺忘同時(shí)還應(yīng)認(rèn)識(shí)到經(jīng)過一點(diǎn)、兩點(diǎn)或在同一直線上的三點(diǎn)可有無數(shù)個(gè)平面；過不在同一直線上的四點(diǎn)，不一定有平面，因此要充分重視“不在同一直線上的三點(diǎn)”這一條件的重要性。公理2中的“有且只有一個(gè)”含義要準(zhǔn)確理解。這里的“有”是說圖形存在。“只有一個(gè)”是說圖形惟一，本公理強(qiáng)調(diào)的是存在和惟一兩個(gè)方面。因此“有且只有一個(gè)”必須完整的使用，不能僅用“只有一個(gè)”來替代“有且只有一個(gè)”，否則就沒有表達(dá)存在性?！按_定一個(gè)平面”中的“確定”是“有且只有”的同義詞，也是指存在性和惟一性這兩方面的，這個(gè)術(shù)語今后也會(huì)常常出現(xiàn)，要理解好。公理2的作用： 作用一是確定平面；作用二是可用其證明點(diǎn)、線共面問題。（3）關(guān)于公理3 公理3的三種數(shù)學(xué)語言表述：文字語言表述：如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。 圖形語言表述：如圖3所示。圖3符號(hào)語言表述： 公理3的剖析： 公理3的內(nèi)容反映了平面與平面的位置關(guān)系。公理2的條件簡言之是“兩面共一點(diǎn)”，結(jié)論是“兩面共一線，且過這一點(diǎn)，線惟一”。對(duì)于本公理應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)于不重合的兩個(gè)平面，只要它們有公共點(diǎn)，它們就是相交的位置關(guān)系，交集是一條直線。公理3的作用：其一它是判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)，只要兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，就可以判定這兩個(gè)平面必相交于過這點(diǎn)的一條直線；其二它可以判定點(diǎn)在直線上，點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，線是這兩個(gè)平面的公共交線，則這點(diǎn)在交線上。2. 平面的基本性質(zhì)的推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。請同學(xué)們想一想：三個(gè)推論的圖形語言如何表示呢？三個(gè)推論的符號(hào)語言如何表述呢？三個(gè)推論有何作用呢？推論2的證明推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。已知：直線求證：經(jīng)過直線a、b有且只有一個(gè)平面?！咀C明】（1）如圖4所示，在直線a,b上分別取不同于點(diǎn)A的點(diǎn)C、B，得不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C，過這三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面（公理2）。圖4又（公理1）平面是過相交直線a，b的平面。（2）如果過直線a和b還有另一平面，那么A,B,C三點(diǎn)也一定都在平面內(nèi)，這樣過不在一條直線上的三點(diǎn)A,B,C就有兩個(gè)平面 、了，這與公理3矛盾。所以過直線a，b的平面只有一個(gè)。綜上知，過直線a、b有且只有一個(gè)平面。3. 用集合語言來描述點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系以及圖形的性質(zhì)（1）點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作A；點(diǎn)A不在內(nèi)，記作； （2）直線與平面的位置關(guān)系：直線 m 在平面內(nèi)，記作 ;直線 m 不在平面內(nèi)，記作；（3）平面與平面 相交于直線a，記作 ；（4）直線 m 和 n 相交于點(diǎn)A，記作。4. 學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意的幾個(gè)問題學(xué)習(xí)本節(jié)課要注意正確的作圖，恰當(dāng)?shù)淖鲌D有利于培養(yǎng)我們的空間想象能力在平面幾何中，輔助線一般要畫成虛線，而立體幾何中則不同，一般是將看不見的線畫成虛線，與它是否是輔助線無關(guān)，這一點(diǎn)同學(xué)們一定要注意。在平時(shí)的訓(xùn)練中要養(yǎng)成多動(dòng)手、勤畫圖的習(xí)慣，必須熟練掌握空間圖形的直觀圖的畫法斜二測畫法。要注意重視幾何語言的訓(xùn)練和書寫，盡可能熟記有關(guān)公理及推論的幾何語言的敘述。5. 幾種常見題型的解法（1）證明直線在平面內(nèi)的方法：證明直線上有兩點(diǎn)在平面內(nèi)。（2）證明直線共面的方法：先證明其中兩條直線確定一個(gè)平面，再證明其余直線都在這個(gè)平面內(nèi)。（3）證明點(diǎn)在直線上的方法：首先確定這條直線是哪兩個(gè)平面的交線，然后證明這個(gè)點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)。（二）平面中的平行關(guān)系1. 平行直線（1）空間兩條直線的位置關(guān)系相交：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。（2）初中幾何中的平行公理： 過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和這條直線平行。 【說明】此結(jié)論在空間中仍成立（3）公理4（空間平行線的傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行即：如果直線a / b,c / b，那么a / c。 【說明】此公理是判定兩直線平行的重要方法：尋找第三條直線分別與前兩條直線平行。2. 等角定理 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。 需要說明的是：對(duì)于等角定理中的條件：“方向相同”。 |m （1）若僅將它改成“方向相反”，則這兩個(gè)角也相等。 （2）若僅將它改成“一邊方向相同，而另一邊方向相反”，則這兩個(gè)角互補(bǔ)。此定理及推論是證明角相等問題的常用方法。3. 空間圖形的平移 如果空間圖形F的所有點(diǎn)都沿同一方向移動(dòng)相同的距離到F的位置，則說圖形F在空間做了一次平移。 注意：圖形平移后與原圖形全等，即對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)間的距離保持不變。 圖形平移有如下性質(zhì)： （1）平移前后的兩個(gè)圖形全等； （2）對(duì)應(yīng)角的大小平移前后不變； （3）對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的距離平移前后不變； （4）對(duì)應(yīng)兩平行直線的位置關(guān)系在平移前后不變； （5）對(duì)應(yīng)兩垂直直線的位置關(guān)系在平移前后不變。4. 證明空間兩直線平行的方法 （1）利用定義5. 直線與平面平行（1）直線和平面的位置關(guān)系有三種，用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)歸納為（2）線面平行的判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。符號(hào)表示為：（）該定理常表述為：“線線平行，則線面平行。”（）用該定理判斷直線a和平面平行時(shí)，必須具備三個(gè)條件：直線a不在平面內(nèi)，即 。直線b在平面內(nèi)，即。兩直線a、b平行，即a / b。這三個(gè)條件缺一不可。m（3）線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和兩平面的交線平行。符號(hào)表示：若 ,則a / b, 即“線面平行，則線線平行”?！菊f明】a. 此定理可以作為直線與直線平行的判定定理b. 定理中有3個(gè)條件：直線a和平面平行，即a /；平面、相交，即b；直線a在平面內(nèi)，即 。三者缺一不可。 （4）線面平行定理的應(yīng)用應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行，關(guān)鍵是找到平面內(nèi)與平面外相互平行的直線。應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理解題的關(guān)鍵是利用已知條件作輔助平面，然后把已知中的線面平行轉(zhuǎn)化為直線和交線平行。6. 兩個(gè)平面的位置關(guān)系同平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系相類似；可以從有無公共點(diǎn)來區(qū)分： 如果兩個(gè)平面有不共線的三個(gè)公共點(diǎn)，那么由公理3可知：這兩個(gè)平面必然重合； 如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么由公理2可知：這兩個(gè)平面相交于過這個(gè)點(diǎn)的一條直線； 如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)平面相互平行。由此可知兩個(gè)不重合的平面的位置關(guān)系：（1）平行沒有公共點(diǎn)； （2）相交至少有一個(gè)公共點(diǎn)（或有一條公共直線）。 7. 面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。 已知：、，（如圖所示） 求證： 證明：用反證法 假設(shè) ， 同理有 由公理4知，這與相矛盾。 注意：（1）此定理用符號(hào)表示為 （2）應(yīng)用本定理的關(guān)鍵是：要證面面平行，轉(zhuǎn)化為證線面平行，即在內(nèi)找兩條相交直線、都平行于。 （3）這個(gè)定理有推論：“若一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行?！?8. 面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。 已知：，平面，（如圖所示） 求證： 證明： 沒有公共點(diǎn)，而，、沒有公共點(diǎn) 又、， 注意：（1）本定理可作為線線平行的判定定理使用。 （2）面面平行的性質(zhì)還有： 這條性質(zhì)同時(shí)是線面平行的一種判定方法。 夾在兩平行平面間的兩條平行線段相等。 對(duì)三個(gè)平面 這是平面平行的傳遞性。 9. 兩平面平行問題常常轉(zhuǎn)化為線面平行，而線面平行又可以轉(zhuǎn)化為線線平行。所以注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，兩平面平行的性質(zhì)定理是證明空間兩直線平行的重要依據(jù)，故應(yīng)切實(shí)掌握好?！镜湫屠}】 例1. 用符號(hào)表示下列語句，并畫出圖形。 （1）三個(gè)平面相交于一點(diǎn)P，且平面與平面交于PA，平面與平面交于PB，平面與平面交于PC。 （2）平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC交于AC。 （3）直線a和b相交于平面內(nèi)一點(diǎn)M。 解析：（1）符號(hào)語言表示： ， 圖形表示：如圖 （2）符號(hào)語言表示： 平面ABD平面BDC=BD， 平面ABC平面ADC=AC 圖形表示：如圖 （3）符號(hào)語言表示：，。圖形表示：（如下圖中三個(gè)圖）。 點(diǎn)評(píng)：理解數(shù)學(xué)符號(hào)的含義，學(xué)會(huì)并養(yǎng)成用符號(hào)語言和圖形語言表示文字?jǐn)⑹稣Z句的習(xí)慣，這在解題中會(huì)帶來許多方便。 例2. 一條直線與三條平行直線都相交，求證：這四條直線共面。 解析： 已知：， 求證：直線，共面。 方法一：，、確定一個(gè)平面 ， ，故 又，、確定一個(gè)平面，同理可證 且， 過兩條相交直線、有且只有一個(gè)平面，故與重合 即直線，共面。 方法二：由方法一得，共面，也就是說在、確定的平面內(nèi) 同理可證在、確定的平面內(nèi) 過和只能確定一個(gè)平面 ，共面 點(diǎn)評(píng)：先將已知和求證改寫成符號(hào)語言，要證明諸線共面，一種方法是先由、確定一個(gè)平面，由公理1證明、也在此平面內(nèi)；另一種方法是先由、確定一個(gè)平面，、確定另一平面，再證兩平面重合。 ， 是平面與平面ABC的交線， ， 且平面ABC， ，P，Q，R三點(diǎn)共線。 點(diǎn)評(píng)：要證明P，Q，R三點(diǎn)共線，只需證明P，Q，R三點(diǎn)在平面和平面ABC的交線上，可先用任意兩點(diǎn)確定交線所對(duì)應(yīng)的直線，再證明第三點(diǎn)也在該直線上。 例4. 如圖，兩個(gè)三角形ABC和的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線、交于同一點(diǎn)O，且 （1）求證：，； （2）求的值。 解析：用平面幾何知識(shí)可以證明兩條直線平行；用等角定理可以證明兩個(gè)角相等，從而可以證明兩個(gè)三角形相似。 （1）與交于點(diǎn)O，且 同理 ， （2），且和、和方向相反 同理 因此 ，且 點(diǎn)評(píng)：判斷或證明線線平行常用的方法有： （1）用平面幾何中證明兩條直線平行的方法； （2）利用公理4（若ac，cb，則ab）； （3）利用線面平行性質(zhì)定理（若，則ab）； （4）利用面面平行的性質(zhì)定理（若，則ab）。 例5. 已知四面體ABCD中，M、N分別是和的重心。 求證：（1）面ABD；（2）面CMN 分析：首先根據(jù)條件畫出圖形，如圖所示，證明線面平行最常用的方法是利用判定定理，利用反推的思想，要證面ABD，只要證明MN平行于面ABD內(nèi)的某一條直線即可。根據(jù)M、N分別為的重心的條件，連接CM、CN并延長分別交AB、AD于G、H，連接GH。若有，則結(jié)論可證，或連接AM、AN并延長交BC、CD于E、F，連接EF，若有，結(jié)論可證。 解析：（1）如圖所示，連接CM、CN并延長分別交AB、AD于G、H，連接GH、MN M、N分別為的重心 MNGH 又面ABD，面ABD MN面ABD （2）連接AM、AN并延長分別交BC、CD于E、F，連結(jié)EF 同理MNEF 又E、F分別為BC、CD的中點(diǎn) BDEF BDMN 又面CMN，CMN BD面CMN 點(diǎn)評(píng)：證明線面平行的常用方法有兩種，其一是利用定義，一般借助反證法去完成；其二是利用判定定理，思路一般是從結(jié)論入手，用反推的思想方法分析出解題思路，然后完成證明過程。 例6. 已知AB、CD是夾在兩個(gè)平行平面、之間的線段，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)。 求證：平面 解析：分AB、CD是否共面兩種情況。 （1）若AB、CD在同一平面內(nèi)，則平面ABCD與、的交線分別為BD、AC 又因?yàn)椋?。又M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)， 所以，又平面，所以平面。 （2）若AB、CD不共面，如圖，過A作交于E，取AE中點(diǎn)P，連接MP、PN、BE、ED。 因?yàn)?，所以AE、CD確定平面AEDC 則平面AEDC與、的交線分別為ED、AC 因?yàn)?，所?又P、N分別為AE、CD中點(diǎn) 所以，從而 同理可證 ，所以 所以平面 又平面MPN，所以 點(diǎn)評(píng)：（1）本題容易疏忽AB、CD是否共面，把AB、CD看成同一平面內(nèi)的線段，直接用平面幾何知識(shí)得證。 （2）本題是平面幾何中梯形中位線在空間的推廣。 例7. 如圖，在正方體中，M、N、E、F分別是棱、的中點(diǎn)。 求證：平面平面。 解析：連接MF 因?yàn)镸、F分別是、的中點(diǎn)，且四邊形是正方形 所以， 又， 所以四邊形AMFD是平行四邊形 所以AMDF 因?yàn)槠矫鍱FDB，平面EFDB 所以AM平面EFDB 同理可證：AN平面EFDB 又AM、AN平面AMN， 所以平面AMN平面EFDB 點(diǎn)評(píng)：證明面面平行的關(guān)鍵是在一個(gè)平面里找到都與另一個(gè)平面平行的兩條相交直線?！灸M試題】1. 直線a、b、c交于一點(diǎn)，經(jīng)過這3條直線的平面（ ）A. 有0個(gè) B. 有1個(gè)C. 有無數(shù)個(gè) D. 可以有0個(gè)，也可以有1個(gè)2. 過不共面的4個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)的平面共有（ ） A. 0個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 無數(shù)個(gè)3. 下列推理，錯(cuò)誤的是（ ）A. B. C. D. 線與重合4. 空間兩個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)平行，其中一個(gè)角等于60，則另一個(gè)角的大小為（ ） A. 60 B. 120 C. 30 D. 60或1205. 下列說法正確的是（ ）A. 直線m平行于平面內(nèi)的無數(shù)直線，則m /B. 若直線則a /C. 若直線a / b，b，則a /D. 若直線a / b，b，直線a就平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線6. 在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB和BC上的點(diǎn)，若AEEBCFFB13，則對(duì)角線AC和平面DEF的位置關(guān)系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 直線在平面內(nèi) D. 不能確定7. 下列命題中正確的是（ ）A. B. C. 平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D. 平面