數(shù)值分析計(jì)算方法.doc

計(jì)算方法實(shí)驗(yàn)內(nèi)容一實(shí)驗(yàn)一：用兩種不同的順序計(jì)算，分析其誤差的變化。1. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^正序反序兩種不同的順序求和，比較不同算法的誤差；了解在計(jì)算機(jī)中大數(shù)吃小數(shù)的現(xiàn)象，以后盡量避免；體會(huì)單精度和雙精度數(shù)據(jù)的差別。2. 算法描述：累加和s=0； 正序求和： 對(duì)于n=1,2,3,.,10000 s+=1.0/(n*n); 反序求和： 對(duì)于n=10000,9999,9998,.,1 s+=1.0/(n*n);3. 源程序：#雙精度型#includecvoid main()double s=0;int n;for(n=1;n=1;n-)s+=1.0/(n*n);printf(反序求和結(jié)果是:%lfn,s);#單精度型#includevoid main()float s=0;int n;for(n=1;n=1;n-)s+=1.0/(n*n);printf(反序求和結(jié)果是:%fn,s);4. 運(yùn)行結(jié)果：雙精度型運(yùn)行結(jié)果：單精度型運(yùn)行結(jié)果：5. 對(duì)算法的理解與分析：舍入誤差在計(jì)算機(jī)中會(huì)引起熟知的不穩(wěn)定，算法不同，肯結(jié)果也會(huì)不同，因此選取穩(wěn)定的算法很重要。選取雙精度型數(shù)據(jù)正反序求和時(shí)結(jié)果一致，但選用單精度型數(shù)據(jù)時(shí)，求和結(jié)果不一致，明顯正序求和結(jié)果有誤差，所以第一個(gè)算法較為穩(wěn)定可靠。二實(shí)驗(yàn)二：1、拉格朗日插值按下列數(shù)據(jù)x-3.0-1.01.02.03.0y1.01.52.02.01.0作二次插值，并求x=-2，x=0，x=2.75時(shí)的函數(shù)近似值2牛頓插值按下列數(shù)據(jù)x0.300.420.500.580.660.72y1.044031.084621.118031.156031.198171.23223作五次插值，并求x=0.46，x=0.55，x=0.60時(shí)的函數(shù)近似值.1.實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^拉格朗日插值和牛頓插值的實(shí)例，了解兩種求解方法，并分析各自的優(yōu)缺點(diǎn)。2.算法描述：3.源程序：拉格朗日插值：#include#define k 2void main() double L,Y,a;double x3;double y3;for(int p=0;p=2;p+)scanf(%lf%lf,&xp,&yp);for(int q=0;q=2;q+)Y=0;scanf(%lf,&a);for(int j=0;j=k;j+)L=1;for(int i=0;i=k;i+)if(i!=j)L*=(a-xi)/(xj-xi);Y+=L*yj;printf(x=%lf的函數(shù)值是:%lfn,a,Y);牛頓插值：#includevoid main()int i,j;double a66,y,s,x;for(j=0;j=1;j+)for(i=0;i6;i+)scanf(%lf,&aij);for(j=2;j=5;j+)for(i=j-1;i=5;i+)aij=(aij-1-ai-1j-1)/(ai0-ai-j+10); for(int k=0;k3;k+)scanf(%lf,&x);y=0;for(i=0;i=0;j-)s*=x-aj0;y+=s;printf(結(jié)果是：%lfn,y);4. 運(yùn)行結(jié)果：拉格朗日運(yùn)行結(jié)果：牛頓插值運(yùn)行結(jié)果：5. 對(duì)算法的理解與分析：（1）拉格朗日插值：該公式是對(duì)一系列點(diǎn)加權(quán)求和。內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇的區(qū)間包括x，插值效果越好，高次插值通常優(yōu)于低次插值，但并不是意味著插值次數(shù)越高越好。優(yōu)點(diǎn)：編程容易實(shí)現(xiàn)。缺點(diǎn)：如果發(fā)現(xiàn)當(dāng)前的插值方法 不夠精確，就要增加插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。拉格朗日基函數(shù)每一個(gè)都要重新計(jì)算，效率低。 （2） 牛頓插值：優(yōu)點(diǎn)：如果當(dāng)前插值方法不穩(wěn)定，需要增加插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，只需要計(jì)算新家節(jié)點(diǎn)所增加的差商即可，之前的計(jì)算結(jié)果可以被復(fù)用，比拉格朗日插值節(jié)省計(jì)算量，效率高，精度高，更為穩(wěn)定。三實(shí)驗(yàn)三：分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛卜生公式計(jì)算f(x)=sin(x)/x的積分，并與準(zhǔn)確值比較判斷精度。1.實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^實(shí)例體會(huì)各種算法的精度。熟練掌握復(fù)化梯形，復(fù)化辛普森，復(fù)化柯特斯求積方法的程序。2.算法描述：復(fù)化梯形：fc(x)=sinx/x,N等分,a,b是積分區(qū)間;令s=fc(a)+fc(b),對(duì)于i=a+1.0/N,a+2.0/N,.(ib) s+=2*fc(i);s*=double(b-a)/(2*N);輸出s;復(fù)化辛普森：fc(x)=sinx/x,N等分,a,b是積分區(qū)間;令s=fc(a)+fc(b),對(duì)于i=a+1.0/N,a+2.0/N,.(ib) s+=2*fc(i);對(duì)于i=a+0.5/N,a+1.5/N,.(ib) s+=4*fc(i);s*=double(b-a)/(6*N);輸出s；復(fù)化柯特斯：fc(x)=sinx/x,N等分,a,b是積分區(qū)間;令s=fc(a)+fc(b),對(duì)于i=a+1.0/(4*N),a+2.0/(4*N),.(ib) s+=32*fc(i);對(duì)于i=a+2.0/(4*N),a+6.0/(4*N),.(ib) s+=12*fc(i);對(duì)于i=a+1.0/N,a+2.0/N,.(ib) s+=14*fc(i);s*=double(b-a)/(90*N);輸出s;3. 源程序：#include#include#define N 8#define a 0#define b 1double fc(double x)double y;y=sin(x)/x;return y;void tx() double s,i;s=fc(a)+fc(b);for(i=a+1.0/N;ib;i+=1.0/N)s+=2*fc(i);s*=double(b-a)/(2*N);printf(復(fù)合梯形8等分求積結(jié)果是：%lfn,s);void xps() double s,i;s=fc(a)+fc(b);for(i=a+1.0/N;ib;i+=1.0/N)s+=2*fc(i);for(i=a+0.5/N;ib;i+=1.0/N)s+=4*fc(i);s*=double(b-a)/(6*N);printf(復(fù)合辛普森8等分求積結(jié)果是：%lfn,s);void kts() double s,i;s=fc(a)+fc(b);for(i=a+1.0/(4*N);ib;i+=2.0/(4*N)s+=32*fc(i);for(i=a+2.0/(4*N);ib;i+=1.0/N)s+=12*fc(i);for(i=a+1.0/N;ib;i+=1.0/N)s+=14*fc(i);s*=double(b-a)/(90*N);printf(復(fù)合柯特思斯8等分求積結(jié)果是：%lfn,s); void main()char d;scanf(%c,&d);if(d=t)tx();if(d=x)xps();if(d=k)kts();4.運(yùn)行結(jié)果：5.對(duì)算法的理解與分析：他們都適用于求數(shù)值積分，而且都能提高計(jì)算的精度，他們都是在每個(gè)小區(qū)間上在使用梯形，辛普森，柯特斯求積公式，其中復(fù)化辛普森和復(fù)化柯特斯的收斂速度較快。四實(shí)驗(yàn)四：用改進(jìn)歐拉方法解初值問題y=x+y; y(0)=1。0x1,取步長h=0.1計(jì)算，并與準(zhǔn)確值 y=-x-1-2ex相比較。（p141習(xí)題第二題2）1.實(shí)驗(yàn)?zāi)康模菏煜こＮ⒎址匠坛踔祮栴}的求解方法；熟悉其算法；2.算法描述：3.源程序：4.運(yùn)行結(jié)果：5.對(duì)算法的理解與分析：5 實(shí)驗(yàn)五：分別用下列方法求f(x)=x3-3x-1=0在x0=2附近的根。根的準(zhǔn)確值為x*=1.87938524，要求準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字，并對(duì)比各種算法的計(jì)算量。（1）二分法；（2）簡單迭代法；（3）牛頓迭代法1.實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^對(duì)二分法，簡單迭代法和牛頓迭代法的編程和上機(jī)實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步體會(huì)他們在方程求根中的不同特點(diǎn)；比較三者的計(jì)算速度和計(jì)算精度。2.算法描述：二分法：給定區(qū)間a,b,e=pow(10,-4)*0.5(1)令c=(a+b)/2,保持b-ae;(2)如果f(c)*f(a)=0,輸出c;如果f(c)*f(a)0,b=c,執(zhí)行（1）否則a=c,執(zhí)行（1）簡單迭代法：3. 源程序：二分法：#include#includedouble fc(double x)double y;y=x*x*x-3*x-1;return y;void main(void) double fa=fc(1),fb=fc(3),a=1,b=3,f,x0;int k=0;for(;ba&b-a=pow(10,-4)*0.5;)f=fc(a+b)/2);if(f=0)x0=(a+b)/2;break;elseif(fa*f0)b=(a+b)/2;elsea=(a+b)/2;k+;x0=(a+b)/2;printf(近似根是：%lf 準(zhǔn)確根是：1.87938524n,x0);printf(迭代次數(shù)是：%dn,k); 簡單迭代法：#include#includedouble Iterate1(double x)double y;y=pow(3*x+1),1.0/3);return y;double Derivative1(double x)double y;y=pow(3*x+1),-2.0/3);return y;double Iterate2(double x)double y;y=(1-x*x*x)/3.0;return y;double Derivative2(double x)double y;y=-x*x;return y;double Iterate3(double x)double y;y=(3*x+1)/(x*x);return y;double Derivative3(double x)double y;y=(-3*x-2)/(x*x*x);return y;void main(void)double x2=2.0,x1;int k=0;double a1=Derivative1(x2);if(fabs(a1)=pow(10,-4)*0.5); printf(近似根是：%lf 準(zhǔn)確根是：1.87938524n,x1); printf(迭代次數(shù)是：%dn,k);double a2=Derivative2(x2);if(fabs(a2)=pow(10,-4)*0.5); printf(近似根是：%lf 準(zhǔn)確根是：1.87938524n,x1); printf(迭代次數(shù)是：%dn,k);double a3=Derivative3(x2);if(fabs(a3)=pow(10,-4)*0.5); printf(近似根是：%lf 準(zhǔn)確根是：1.87938524n,x1); printf(迭代次數(shù)是：%dn,k);牛頓迭代法：#include#includedouble Iterate(double x)double y;y=x*x*x-3*x-1;return y;double Derivative(double x)double y;y=3*x*x-3;return y;void main()double x0=2.0,x1;double f0,f01,f1,f11;f0=Iterate(x0);f01=Derivative(x0);int k=