圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案例設(shè)計(jì).doc

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案例設(shè)計(jì)一. 設(shè)計(jì)思想 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程處于數(shù)學(xué)必修2中的最后一章的第一節(jié)，是本章的核心概念,也是解析幾何中的基本概念。圓的方程是在第三章直線方程結(jié)束后進(jìn)行的，所以本節(jié)課從溫故知新入手，以直線方程為背景，按照“溫故-知新-練習(xí)-應(yīng)用-小結(jié)”的順序結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)聯(lián)系以前的知識(shí)，數(shù)學(xué)地提出、分析、解決新知識(shí)，在應(yīng)用時(shí)以生活中的實(shí)例為背景，進(jìn)一步讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)是有用的。二教學(xué)目標(biāo)：1知識(shí)與技能 通過(guò)本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，我們將通過(guò)圓的本身特性，用代數(shù)的語(yǔ)言描述它，用代數(shù)的工具解決它的問(wèn)題。進(jìn)一步體現(xiàn)解析幾何的思想和待定系數(shù)法的應(yīng)用。2過(guò)程與方法 本節(jié)內(nèi)容通過(guò)對(duì)直線的方程的回憶基礎(chǔ)上，引導(dǎo)我們用方程語(yǔ)言刻畫(huà)圓的特征，然后通過(guò)具體例題，思考、探究、練習(xí)中的問(wèn)題，再用所學(xué)的知識(shí)解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。做到學(xué)以致用。3情感、態(tài)度與價(jià)值觀 通過(guò)本節(jié)知識(shí)的學(xué)習(xí)，將培養(yǎng)我們聯(lián)系舊知識(shí)、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的探究能力，進(jìn)一步培養(yǎng)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。三重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：1.對(duì)圓的方程的理解；2.待定系數(shù)法求圓的方程。難點(diǎn)：待定系數(shù)法的掌握和應(yīng)用。四教學(xué)過(guò)程1、溫故：前一章我們主要學(xué)習(xí)了直線的方程，它的各種形式，以及直線處于不同位置時(shí)直線方程所滿足的條件。那我們首先來(lái)回憶一下，我們是怎樣將直線和方程建立起聯(lián)系的，一個(gè)方程滿足什么條件時(shí)，我們稱之為這個(gè)直線的方程？學(xué)生答：直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）都滿足這個(gè)方程；且滿足這個(gè)方程的（x,y）都在這個(gè)直線上，這時(shí)我們稱這個(gè)方程為這個(gè)直線的方程。 那么，我們今天的任務(wù)是學(xué)習(xí)圓的方程，你在學(xué)習(xí)圓的方程之前能否說(shuō)出，什么樣的方程才能稱之為圓的方程嗎？學(xué)生答：圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）都滿足這個(gè)方程；且滿足這個(gè)方程的（x,y）都在這個(gè)圓上。那我們就可以從這兩點(diǎn)出發(fā)，找出圓的方程。2、知新首先第一步圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)都要滿足這個(gè)方程，也就是說(shuō)這個(gè)方程就是圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)都滿足的式子。那我們首先要給出一個(gè)圓，我們想得到一個(gè)圓，要知道哪些條件？（圓心和半徑）（1）先看一個(gè)特殊情況：已知圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓，那么它上面的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足什么條件？任一點(diǎn)（x,y）到圓心的距離都等于2也就是：或者（2）再一般點(diǎn)，已知圓心在(a,b)，半徑為r的圓上的坐標(biāo)滿足什么條件？（x,y）到（a,b）的距離等于r 寫(xiě)成式子就是：或者這個(gè)式子具有代表性，任一個(gè)圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)都可以表示成這種形式。其次再來(lái)考慮第二個(gè)條件，滿足這個(gè)方程的（x,y）是否一定在這個(gè)圓上呢？答：只要（x,y）滿足這個(gè)方程，則(x,y)到（a,b）的距離就等于r，則這個(gè)點(diǎn)就一定在該圓上。通過(guò)以上兩點(diǎn)的考證，我們非常順利地得出了圓的方程：圓心在(a,b)，半徑為r的圓的方程： 這種形式的圓的方程我們稱之為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。與直線方程類似，我們接下來(lái)還要學(xué)習(xí)圓的其他形式的方程。觀察這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程，總結(jié)一下它的特點(diǎn)：（1）有兩個(gè)變量x,y，形式都是與某個(gè)實(shí)數(shù)差的平方；（2）兩個(gè)變量的系數(shù)都是1；（3）方程的右邊是某個(gè)實(shí)數(shù)的平方，也就是一定為正數(shù)。3、練習(xí)我們對(duì)于剛才的結(jié)論做一些相應(yīng)的練習(xí)，加深影響：練習(xí)1：根據(jù)已知條件寫(xiě)出下列圓的方程：（1） 圓心坐標(biāo)為（-2，1），半徑為3；（2） 圓心為（2，-1），且過(guò)點(diǎn)（3，3）；（3） 圓心為（3，1），且與直線3x-4y-6=0相切。練習(xí)2：根據(jù)下列方程，指出圓的圓心位置以及半徑：（1）（2）注意：這里的a，并不一定是半徑，半徑應(yīng)該是|a|.練習(xí)3：判斷下列點(diǎn)是否在圓上：（1）A（3，0） （2）B（1,1） (3)C(2,-2)再問(wèn)：不在圓上的點(diǎn)是在圓內(nèi)還是圓外？如何判定？要時(shí)刻注意圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式是有其重要的幾何意義的，它的左邊就表示到圓心距離的平方，所以，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，如果坐標(biāo)等于右邊，則在圓上，若左邊大于右邊，則說(shuō)明距離原點(diǎn)的距離大于半徑，一定是在圓外，若左邊小于右邊，則在圓內(nèi)，即：點(diǎn)（x,y）在圓上；點(diǎn)（x,y）在圓外；點(diǎn)（x,y）在圓內(nèi)。4、思考如何確定一個(gè)圓？除了剛才所說(shuō)的一個(gè)圓心和半徑，還有什么？幾個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓？三個(gè)不在同一條直線上的點(diǎn)可以確定一個(gè)圓。那么給出三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)：例1：已知A(5,1),B(7,-3)，C(2,8)，則寫(xiě)出過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的圓的方程。分析：相當(dāng)于求三角形ABC的外接圓的方程。要想寫(xiě)出方程，必須知道圓心和半徑。如何求圓心和半徑呢？根據(jù)外接圓的性質(zhì)，圓心應(yīng)該是三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，所以可以根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出垂直平分線的方程，在求出平分線的交點(diǎn)坐標(biāo)即圓心坐標(biāo)，在根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求半徑的長(zhǎng)度。當(dāng)然這樣做雖然很麻煩，但畢竟我們用我們以前所學(xué)的知識(shí)找到了解決問(wèn)題的辦法。那么現(xiàn)在再想想，有沒(méi)有別的出路？要求圓的方程，不如先設(shè)出它的方程來(lái)，再解出未知數(shù)。設(shè)該圓的方程為：，根據(jù)條件，三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足該方程，列出式子，解出未知數(shù)：a,b,r即可。解：設(shè)該圓的方程為，則解出：a=2,b=-3,r=5所以：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：這種方法在數(shù)學(xué)中很常見(jiàn)，叫做待定系數(shù)法。就是要求什么就把未知數(shù)先設(shè)出來(lái)，然后根據(jù)條件列方程解出未知數(shù)來(lái)?？偨Y(jié)就是三步：設(shè)、列、解。這種方法易于思考，易于列式子，難點(diǎn)就是解未知數(shù)時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到困難，這就需要同學(xué)們有扎實(shí)的計(jì)算和觀察能力，也需要同學(xué)們平時(shí)多多練習(xí)，數(shù)學(xué)總是熟能生巧的。再來(lái)思考一道更加復(fù)雜一些的題目：例2：已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)和B(2,-2)且圓心C在直線L:x-y+1=0上，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。分析：1、利用圖像的性質(zhì)，圓心一定在線段AB的垂直平分線上，又已知在直線L上，所以先求出AB的垂直平分線方程，和直線L的方程聯(lián)立，解出圓心坐標(biāo)，在計(jì)算出半徑，即可寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。這叫數(shù)形結(jié)合法。 2、那么利用我們剛才所學(xué)的待定系數(shù)法可以解決問(wèn)題嗎？設(shè)出圓的方程，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得到兩個(gè)方程，又將圓心代入直線L的方程列一個(gè)方程，三個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)，解出即可。5、應(yīng)用下面我們來(lái)看一個(gè)實(shí)際的問(wèn)題，大家都知道我國(guó)著名的趙州橋，建于1500年，單圓拱石橋，全長(zhǎng)64.4米，最大圓拱跨徑37.4米，拱高7.2米。設(shè)計(jì)思想和建造工藝事世界石拱橋的卓越典范，它的建造是中國(guó)古代數(shù)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)的結(jié)晶，體現(xiàn)了中國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧和力量。你能確定圓拱所屬圓的圓心和半徑嗎？我們把它抽象成簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型：在此基礎(chǔ)上建立坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件可以得到A,B,C,D點(diǎn)的坐標(biāo)，則利用待定系數(shù)法便可解出未知數(shù)，求出圓心坐標(biāo)以及半徑。6、小結(jié)我們今天主要學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及如何判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，如何根據(jù)已知條件求出圓的方程，在練習(xí)過(guò)程中我們還學(xué)習(xí)到了一種常用的數(shù)學(xué)方法：待定系數(shù)法，并通過(guò)練習(xí)感受到了它的作用。五作業(yè)設(shè)計(jì)課本134頁(yè)習(xí)題4.1中A組題的2，3，4，6。六教后反思通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生們對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握還是達(dá)到目標(biāo)的，對(duì)于待定系數(shù)法的應(yīng)用，還需要進(jìn)一步的練習(xí)才能熟練掌握，另外對(duì)于含