離散傅里葉變換DFT 總結(jié)PPT課件

1、6 DFT的實(shí)際應(yīng)用問題7 FFT典型用法5 DFT的性質(zhì)4 DFT-有限長序列的離散頻域表示2 周期序列的DFS3 DFS的性質(zhì)1 傅氏變換的幾種可能形式第1頁/共44頁二.DFT是現(xiàn)代信號(hào)處理橋梁 DFT要解決兩個(gè)問題：一是離散與量化，二是快速運(yùn)算。信號(hào)處理DFT(FFT)傅氏變換離散量化第2頁/共44頁連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率傅里葉變換傅里葉變換連續(xù)時(shí)間、離散頻率連續(xù)時(shí)間、離散頻率傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)離散時(shí)間、連續(xù)頻率離散時(shí)間、連續(xù)頻率序列的傅里葉變換序列的傅里葉變換離散時(shí)間、離散頻率離散時(shí)間、離散頻率離散傅里葉變換離散傅里葉變換時(shí) 域頻 域第3頁/共44頁 這是連續(xù)時(shí)間，非

2、周期信號(hào)x(t)的傅里葉變換。它得到連續(xù)的、非周期的頻譜密度函數(shù)X(j )。 dtetxjXtj)()( dejXtxtj)(21)(時(shí)域連續(xù)時(shí)域連續(xù)頻域非周期頻域非周期時(shí)域時(shí)域非周期非周期頻域頻域連續(xù)連續(xù)第4頁/共44頁 這是連續(xù)時(shí)間，周期信號(hào)x(t)的傅立葉變換。它得到離散的、非周期的頻譜密度函數(shù)X(j )。例如信號(hào)x(t)=sin100 t只有一個(gè)頻率分量。 2/2/00000)(1)(TTtjkdtetxTjkX ktjkejkXtx0)()(000022TF 其中，其中，X(jK 0)是頻譜相鄰兩譜線間角頻率的間隔，K為諧波序號(hào)。時(shí)域時(shí)域周期周期頻域頻域離散離散第5頁/共44頁 nn

3、jjenxeX)()( deeXnxnjj)(21)( 時(shí)域離散，將導(dǎo)致頻域周期化，時(shí)域離散，將導(dǎo)致頻域周期化，且這個(gè)周期是且這個(gè)周期是 s s。時(shí)域離散時(shí)域離散頻域周期頻域周期第6頁/共44頁 上面所講的三種傅里葉變換至少在一個(gè)域內(nèi)是連續(xù)的，不適于計(jì)算機(jī)運(yùn)算。最好是時(shí)域和頻域均為離散的，才方便用計(jì)算機(jī)運(yùn)算。思路：從序列的傅里葉變換出發(fā)，若時(shí)域?yàn)殡x散的序列，則頻思路：從序列的傅里葉變換出發(fā)，若時(shí)域?yàn)殡x散的序列，則頻 域是連續(xù)周期的；若此時(shí)我們對頻域的連續(xù)信號(hào)抽樣，域是連續(xù)周期的；若此時(shí)我們對頻域的連續(xù)信號(hào)抽樣， 人為的使其離散化，這樣，頻域的離散又導(dǎo)致時(shí)域的周人為的使其離散化，這樣，頻域的離散

4、又導(dǎo)致時(shí)域的周 期化。于是有：期化。于是有：時(shí)域時(shí)域離散、離散、周期周期頻域頻域周期、離散周期、離散第7頁/共44頁各種形式的傅里葉變換 xa(t)txp(t)ootTpx(nT)oN點(diǎn)xp(n)oN點(diǎn)nTn(a)(b)(c)(d)|Xa( j)|10o0|Xp( jk)|ok|X( ej)|1/T|X( ejk)|sooN點(diǎn)sT時(shí)域函數(shù)頻域函數(shù)頻域函數(shù)變換類型變換類型傅里葉變換(FT)傅里葉級數(shù)(FS)序列傅里葉變換(DTFT)離散傅里葉變換(DFT)連續(xù)和非周期連續(xù)和周期非周期和連續(xù)非周期和離散離散和非周期周期和連續(xù)離散和周期周期和離散第8頁/共44頁 卷積特性卷積特性時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積

5、定理頻域卷積定理頻域卷積定理第9頁/共44頁 1.在一個(gè)域的相乘(卷積)等于另一個(gè)域的卷積(相乘)2.與脈沖函數(shù)的卷積，在每個(gè)脈沖的位置上將產(chǎn)生一個(gè)波形的鏡像。第10頁/共44頁FS連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)問題：計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理，所以需要將原模擬信號(hào)在時(shí)域離散化，即辦法：時(shí)域采樣第11頁/共44頁問題：怎樣時(shí)域采樣呢？離散和周期周期和離散DFT辦法：時(shí)域相乘，頻域卷積第12頁/共44頁DTFT時(shí)域相乘頻域卷積離散和非周期周期和連續(xù)問題：依然不能被計(jì)算機(jī)處理辦法：頻率采樣第13頁/共44頁離散和周期周期和離散IDFT問題：怎樣頻域采樣呢？辦法：頻域相乘，時(shí)域卷積第14頁/共44頁DFT

6、時(shí)域卷積頻域相乘離散和周期周期和離散IDFT計(jì)算機(jī)能夠處理問題解決！第15頁/共44頁問題：(9)和(5)不同呢？Answer：周期延拓第16頁/共44頁旋轉(zhuǎn)因子W WN N的性質(zhì)NjNeW2)(rNnNnNWW*)(nNnNWW011)(110)(10*NnnkmNNnmnNknNWNWWNkmkm第17頁/共44頁例1 設(shè) 為周期脈沖串)(nx)()(rNnnxr（3-8） 因?yàn)閷τ?nN-1，, 所以利用式（2-6）求出 的DFS系數(shù)為 )()(nnx)(nx1)()()(1010nkNNnnkNNnWnWnxkX（3-9） 在這種情況下，對于所有的k值 均相同。于是，將式（3-9）代入

7、式（3-7）可以得出表示式 )(kX1021011)()(NknkNjnkNNkreNWNrNnnx（3-10） 第18頁/共44頁 例2 已知周期序列 如圖3-2所示，其周期N=10, 試求解它的傅里葉級數(shù)系數(shù) 。 )(kX)(kX圖3-2 例3-2的周期序列 （周期N=10） )(nx100 1 2 3 4 5 6 7 8 910n)(nx第19頁/共44頁由式（3-6） 40102101100)()(nnkjnkneWnxkX（3-11） 這一有限求和有閉合形式 40102101100)()(nnkjnkneWnxkX（3-12） 圖 3-3 圖3-2所示序列的傅里葉級數(shù)系數(shù) 的幅值 )

8、(kX10 1 2 3 4 5 6 7 8 9101520k| )(|kx5第20頁/共44頁 有限長序列離散傅里葉變換（DFT）DFT的定義 上一節(jié)我們討論的周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義， 因而它和有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。本節(jié)將根據(jù)周期序列和有限長序列之間的關(guān)系，由周期序列的離散傅里葉級數(shù)表示式推導(dǎo)得到有限長序列的離散頻域表示即離散傅里葉變換（DFT）。 設(shè)x(n)為有限長序列，長度為N，即x(n)只在n=0到N-1點(diǎn)上有值，其他n時(shí)，x(n)=0。即 nNnnxnx其他010)()(第21頁/共44頁 為了引用周期序列的概念，我們把它看成周期為N的周期序列 的一個(gè)周期，而把 看成

9、x(n)的以N為周期的周期延拓， 即表示成:)(nx)(nxnNnnxnx其他010)()(rrNnxnx)()( 這個(gè)關(guān)系可以用圖2-8來表明。通常把 的第一個(gè)周期n=0 到n=N-1 定義為“主值區(qū)間”， 故x(n)是 的“主值序列”，即主值區(qū)間上的序列。而稱為x(n)的周期延拓。對不同r值x(n+rN)之間彼此并不重疊，故上式可寫成 )(nx)(nx)(nxNnxNnxnx)()mod()(第22頁/共44頁圖2-80N1n)(nx N0N1n主值區(qū)間x(n)第23頁/共44頁 用(n)N表示（n mod N），其數(shù)學(xué)上就是表示“n對N取余數(shù)”， 或稱“n對N取模值”。 令 mNnn10

10、n1N-1, m為整數(shù) 則n1為n對N的余數(shù)。 例如， 是周期為N=9的序列，則有： )(nx)8()1() 1()4()22()22()4()13()13()8()8()8(9999xxxxxxxxxxxx第24頁/共44頁利用前面的矩形序列RN(n)，式可寫成 )()()(nRnxnxN 同理，頻域的周期序列 也可看成是對有限長序列X(k)的周期延拓，而有限長序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列，即: )(kX)(kX)()()()()(kRkXkXkXkXNN我們再看表達(dá)DFS與IDFS： 1010)(1)()()()()(NknkNNnnkNWkXNkXIDFSnxWnxnxDFS

11、kX第25頁/共44頁 這兩個(gè)公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0 到N-1 的主值區(qū)間進(jìn)行，它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可以得到有限長序列的離散傅里葉變換的定義: 1010)(1)()()()()(NknkNNnnkNWkXNkXIDFTnxWnxnxDFTkX0kN-1 0nN-1 第26頁/共44頁 x(n)和X(k)是一個(gè)有限長序列的離散傅里葉變換對。我們稱上面第一式為x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換(DFT), 稱式第二式為X(k)的N點(diǎn)離散傅里葉反變換(IDFT)。已知其中的一個(gè)序列，就能唯一地確定另一個(gè)序列。這是因?yàn)閤(n)與X(k)都是點(diǎn)數(shù)為N的序列，都

12、有N個(gè)獨(dú)立值（可以是復(fù)數(shù)），所以信息當(dāng)然等量。 此外，值得強(qiáng)調(diào)得是，在使用離散傅里葉變換時(shí)，必須注意所處理的有限長序列都是作為周期序列的一個(gè)周期來表示的。 換句話說，離散傅里葉變換隱含著周期性。 第27頁/共44頁 例1 已知序列x(n)=(n)，求它的N點(diǎn)DFT。 解 單位脈沖序列的DFT很容易由DFT的定義式（2-30）得到： 1001)()(NnNnkNWWnkX k=0, 1, , N-1 (n)的X(k)如圖2-9。這是一個(gè)很特殊的例子，它表明對序列(n)來說，不論對它進(jìn)行多少點(diǎn)的DFT，所得結(jié)果都是一個(gè)離散矩形序列。 第28頁/共44頁圖2-9 序列(n)及其離散傅里葉變換 10n

13、(n)X(k)10 12N1k第29頁/共44頁 例 2 已知x(n)=cos(n/6)是一個(gè)長度N=12的有限長序列， 求它的N點(diǎn)DFT。 解 由DFT的定義式（2-30） 110)1(122110)1(122110122661211021216cos)(nknjnknjnnkjnjnjnkneeeeeWnkX 利用復(fù)正弦序列的正交特性，再考慮到k的取值區(qū)間，可得 11, 0,011, 16)(kkkkX其他第30頁/共44頁圖 2-10 有限長序列及其DFT0 1 211x(n)n01X(k)11n第31頁/共44頁)10()()()(10 NkWnxnxDFTkXNnnkN)30()(3

14、04 kWnxnnk)30(432134244 kWWWkkk1043214321)0(040404 WWWXjWWWWWWX222243214321)1(141414342414 26443214321)2(242424644424 WWWWWWXjXX22)1()3(* 例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3 (n-2)+4 (n-3) 的4點(diǎn)DFT。第32頁/共44頁例 2-8 一個(gè)有限長序列為 )5(2)()(nnnx（1） 計(jì)算序列x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換。 （2） 若序列y(n)的DFT為 )()(1022kXekYkj式中，X(k)是x(n)的10點(diǎn)離散傅里

15、葉變換，求序列y(n)。 第33頁/共44頁 解 （1） 由式（2-30）可求得x(n)的10點(diǎn)DFT kkjknkNnnnkNeWWnnWnxkX) 1(212121)5(2)()()(510251010101100 （2）X(k)乘以一個(gè)WNkm形式的復(fù)指數(shù)相當(dāng)于是x(n)圓周移位m點(diǎn)。 本題中m=-2, x(n)向左圓周移位了2點(diǎn)， 就有 y(n)=x(n+2)10R10(n)=2(n-3)+(n-8) 第34頁/共44頁 （1）混迭 對連續(xù)信號(hào)x(t)進(jìn)行數(shù)字處理前，要進(jìn)行采樣 采樣序列的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期延拓，周期為fs，如采樣率過低，不滿足采樣定理，fs2fh，則導(dǎo)致頻譜混迭

16、，使一個(gè)周期內(nèi)的譜對原信號(hào)譜產(chǎn)生失真，無法恢復(fù)原信號(hào)，進(jìn)一步的數(shù)字處理失去依據(jù)。nanTttxnTx)()()(DFT實(shí)際問題第35頁/共44頁 （2） 泄漏 處理實(shí)際信號(hào)序列 x（n）時(shí)，一般總要將它截?cái)酁橐挥邢揲L序列，長為N點(diǎn)，相當(dāng)于乘以一個(gè)矩形窗 w(n)=RN(n)。 矩形窗函數(shù)，其頻譜有主瓣，也有許多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，當(dāng)窗口趨于無窮大時(shí)，就是一個(gè)沖擊函數(shù)。 我們知道，時(shí)域的乘積對應(yīng)頻域的卷積，所以，加窗后的頻譜實(shí)際是原信號(hào)頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜的卷積，卷積的結(jié)果使頻譜延伸到了主瓣以外，且一直延伸到無窮。當(dāng)窗口無窮大時(shí)，與沖擊函數(shù)的卷積才是其本身，這時(shí)無畸變，否則就有畸變。第36

17、頁/共44頁 例如，信號(hào)為 ，是一單線譜，但當(dāng)加窗后，線譜與抽樣函數(shù)進(jìn)行卷積，原來在0處的一根譜線變成了以0為中心的，形狀為抽樣函數(shù)的譜線序列，原來在一個(gè)周期（s）內(nèi)只有一個(gè)頻率上有非零值，而現(xiàn)在一個(gè)周期內(nèi)幾乎所有頻率上都有非零值，即 的頻率成份從0處“泄漏”到其它頻率處去了。 考慮各采樣頻率周期間頻譜“泄漏”后的互相串漏，卷積后還有頻譜混迭現(xiàn)象產(chǎn)生。nTje0Tjex第37頁/共44頁第38頁/共44頁 （3）柵欄效應(yīng) N點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間 0，2 上對信號(hào)頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，得到的是若干個(gè)離散的頻譜點(diǎn) X（k），且它們限制在基頻的整數(shù)倍上，這就好像在柵欄的一邊通過縫隙看另一邊的景象一

18、樣，只能在離散點(diǎn)處看到真實(shí)的景象，其余部分頻譜成分被遮擋， 所以稱之為柵欄效應(yīng)。 減小柵欄效應(yīng)方法：尾部補(bǔ)零，使譜線變密，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)，原來漏掉的某些頻譜分量就可能被檢測出來。第39頁/共44頁(4) DFT的分辨率 填補(bǔ)零值可以改變對DTFT的采樣密度，人們常常有一種誤解，認(rèn)為補(bǔ)零可以提高DFT的頻率分辨率。事實(shí)上我們通常規(guī)定DFT的頻率分辨率為 ，這里的N是指信號(hào)x(n)的有效長度，而不是補(bǔ)零的長度。不同長度的x(n)其DTFT的結(jié)果是不同的；而相同長度的x(n)盡管補(bǔ)零的長度不同其DTFT的結(jié)果應(yīng)是相同的，他們的DFT只是反映了對相同的DTFT采用了不同的采樣密度。 Nfs/第40頁/共44頁參數(shù)選擇的一般原則： (1)若已知信號(hào)的最高頻率 ，為防止混疊，選定采樣頻率 ；(2)根據(jù)頻率分辯率 ，確定所需DFT的長度(3) 和N確定以后，即可確定相應(yīng)模擬信號(hào)的時(shí)間長度這里T是采樣周期。maxfmax2ffsfffNs