第三節(jié)函數(shù)的極限

1、.xxxsin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù)播放播放一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限問題問題: :函數(shù)函數(shù))(xfy 在在 x的的過程中過程中, 對對應(yīng)函數(shù)值應(yīng)函數(shù)值)(xf無限無限趨近于趨近于確定值確定值 a. ;)()(任意小任意小表示表示axfaxf .xxx的過程的過程表示表示 . 0sin)(,無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:問題問題: 如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”.定義定義 1 1 如果對于任意給定

2、的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么不論它多么小小),),總存在著正數(shù)總存在著正數(shù)x, ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式xx 的的一切一切x, ,所對應(yīng)的函數(shù)值所對應(yīng)的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 axf)(, , 那末常數(shù)那末常數(shù)a就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)x時的極限時的極限, ,記作記作 )()()( xaxfaxflimx當(dāng)當(dāng)或或 :. 1 定義定義定定義義x .axf,xx,x, )(00恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng) axflimx)(:x.情形情形 02.axf,x|x|,x, )(00恒恒有有時時使使當(dāng)當(dāng):x.情形情形01axfx )(lim.a)x(f,xx,

3、x, 恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)00axflimx )(2.另兩種情形另兩種情形: axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limaxfaxfxx 且且xxysin 3.幾何解釋幾何解釋: x x.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時時或或當(dāng)當(dāng) ayxfyxxxxaaxflimx )(xxysin 例例1. 0sinlim xxx證明證明證證xxxxsin0sin x1 , , 0 ,1 x取取時恒有時恒有則當(dāng)則當(dāng)xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線的圖形的水平漸近線是函數(shù)是

4、函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfycycxfx 二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過過程程中中,對對應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 a.;)()(任意小任意小表示表示axfaxf x0 x 0 x 0 x ,0鄰域鄰域的去心的去心點點 x.xx程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)0 .xxxx的過程的過程表示表示00 0 :. 1 定義定義定義定義 .)(,0, 0, 00 axfxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)2.幾何解釋幾何解釋:)(xfy aaa0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的

5、帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時域時鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點點函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,就就有有無無窮窮多多個個后后找找到到一一個個顯顯然然 例例2).( ,lim0為常數(shù)為常數(shù)證明證明cccxx 證證axf )(cc ,成立成立 , 0 任給任給0 .lim0ccxx , 0 任取任取,00時時當(dāng)當(dāng) xx例例3.lim00 xxxx 證明證明證證,)(0 xxaxf , 0 任給任給, 取取,00時時當(dāng)當(dāng) xx0)(

6、xxaxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例4. 211lim21 xxx證明證明證證211)(2 xxaxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時時當(dāng)當(dāng) xx函數(shù)在點函數(shù)在點x=1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx例例5.lim00 xxxx 證證0)(xxaxf , 0 任給任給,min00 xx取取,00時時當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ,)( axf要使要使,0 xx就有就有,00 xxx .00且且不不取取負(fù)負(fù)值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 時時當(dāng)當(dāng)證明證明3.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,

7、. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近; 00 xx記作記作,0 xx從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近; 00 xx記作記作yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0, 000 axfxxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 axfxxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000axfaxfxxxx 或或記作記作.)0()(lim0)(000axfaxfxxxx 或或記作記作.)0()0()(lim:0

8、00axfxfaxfxx 定理定理.lim0不存在不存在驗證驗證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x例例7. 4lim22 xx證明證明證證4)(2 xaxf, 0 任給任給,5 取取,00時時當(dāng)當(dāng) xx4)(2 xaxf有有,成立成立 4lim22 xx,22 xx, 31 x限制限制,2522 xxx 4)(2xaxf要使要使,25 x只需只需三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性有界性定理定理 若當(dāng)若當(dāng)0 xx 時時)(

9、xf有極限有極限, ,則存在則存在0 x的一個鄰域的一個鄰域)(00 xu, ,在此在此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi))(xf有界有界. . 2.唯一性唯一性定理定理 若若)(limxf存在存在,則極限唯一則極限唯一.xfxf,xux,aa,axflimxx)0)(0)()(0),0(0)(000 或或時時當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若 定理定理).0(0,)(lim),0)(0)(,),(, 0000 aaaxfxfxfxuxxx或或則則且且或或時時當(dāng)當(dāng)若若 推論推論3.保號性保號性4. 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系(海涅定理海涅定理).)(lim ,lim,)(lim000axfxxxxaxfnn

10、nnnxx 則有則有且且數(shù)列數(shù)列若若定理定理例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnnxy1sin 例例7.1sinlim0不存在不存在證明證明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 四、小結(jié)四、小結(jié);)(limanfn ;)(limaxfx

11、 ;)(limaxfx ;)(limaxfx ;)(lim0axfxx ;)(lim0axfxx .)(lim0axfxx 思考題思考題試試問問函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當(dāng)當(dāng)0 x時時，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.01. 01_131222 yzxzxxyx，

12、必有，必有時，只要時，只要取取，問當(dāng)，問當(dāng)時，時，、當(dāng)、當(dāng).001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要時，時，取取，問當(dāng)，問當(dāng)時，時，、當(dāng)、當(dāng) 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二、用函數(shù)極限的定義一、填空題一、填空題:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、練練 習(xí)習(xí) 題題.)(:0極限各自存在并且相等極限各自存在并且相等必要條件是左極限、右必要條件是左極限、右時極限存在的充分時極限存在的充分當(dāng)當(dāng)函數(shù)函數(shù)三、試證三、試證xxxf?0)(存存在在時時的的極極限限是是否否在在四四、討討論論：函函數(shù)數(shù) xxxx 一一、1 1、0 0. .0 00 00 02 2；

13、2 2、397. .四四、不不存存在在. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮