ch74向量的概念和運(yùn)算

1、三、向量及向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示三、向量及向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示 一、向量的概念一、向量的概念二、向量的運(yùn)算二、向量的運(yùn)算 7.4 7.4 向量的概念和運(yùn)算向量的概念和運(yùn)算 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1m為起點(diǎn)，為起點(diǎn)，2m為終點(diǎn)的有向線段為終點(diǎn)的有向線段.1m2m a21mm模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為1 1的向量的向量. .21mm| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：?jiǎn)挝幌蛄浚阂?、向量的概念一、向量的概念或或或或|a零向量：零向量：模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為0 0的向量的向量. . 0零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的向徑：向徑： 起點(diǎn)在坐

2、標(biāo)原點(diǎn)的向量起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的向量. . 自由向量：自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量不考慮起點(diǎn)位置的向量. . 可以平行移動(dòng)可以平行移動(dòng). .負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a a相等向量：相等向量：ab大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .平行向量：平行向量：方向相同或者相反的兩個(gè)向量（方向相同或者相反的兩個(gè)向量（共線共線）. .ba/向量共面：向量共面：設(shè)有設(shè)有 k（k）個(gè)向量，當(dāng)把它們的起點(diǎn)）個(gè)向量，當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，如果放在同一點(diǎn)時(shí)，如果 k 個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上，則稱這在一個(gè)平面上，則稱這 k 個(gè)向量

3、個(gè)向量共面共面. ., 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 類似地，可定義類似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角.特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 空間兩向量的夾角空間兩向量的夾角oab當(dāng)當(dāng) 時(shí)，稱時(shí)，稱 規(guī)定零向量與任意向量垂直規(guī)定零向量與任意向量垂直.2 非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角方向角. .,0 ,0 .0 方向角與方向余弦方向角與方向余弦非零向量

4、非零向量 的的方向角方向角：a 、 、 xyzo 1m 2m 方向角的余弦稱為向量的方向角的余弦稱為向量的方向余弦方向余弦. .方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向. . 加法：加法：cba abc（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）特殊地：若特殊地：若abac|bac 分為同向和反向分為同向和反向ac|bac （三角形法則）（三角形法則）二、向量的運(yùn)算二、向量的運(yùn)算、向量的加法、向量的加法abcbb向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cbacba )().(cba （3）. 0)(

5、 aaabcba cba bc 減法減法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab2、向量的減法、向量的減法.baba 三角不等式, 0)1( a 與與a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa a2a21 3、向量與數(shù)的乘法、向量與數(shù)的乘法a同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設(shè)設(shè)aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)一個(gè)與原向量同方向的單位向量與原向量同方向的單位向量.數(shù)

6、與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(0.ababa 設(shè)設(shè)向向量量，那那么么向向量量平平行行于于 的的充充分分必必要要條條件件是是：存存在在唯唯一一的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) ，使使定定理理兩個(gè)向量的平行關(guān)系兩個(gè)向量的平行關(guān)系證證充分性顯然，下證必要性充分性顯然，下證必要性.ab設(shè)設(shè)ab 取取.取正值，取正值，同向時(shí)同向時(shí)與與，當(dāng)，當(dāng) ba.abba 取取負(fù)負(fù)值值，即即有有反反向向時(shí)時(shí)與與當(dāng)當(dāng).baabaa 同向，且同向，且與與因?yàn)榇藭r(shí)因?yàn)榇藭r(shí)ab 再證唯一性再證唯一性，設(shè)設(shè)ab

7、，又設(shè)又設(shè)ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即例例1 1 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例2 2 試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形必是平行四邊形四邊形必是平行四邊形.證證ammc bmmd ad am mdmc bmbc ad與與 平行且相等平行且相等,bc結(jié)論得證結(jié)論得證.abcdmab例例3 3 試用向量方法證明：空間四邊形相鄰各邊試用向量方法證明：空間四邊形相鄰各邊中點(diǎn)的連線構(gòu)成平行四邊形中點(diǎn)的連線構(gòu)成平行四邊形.證證: 只要證只要

8、證 hgef abcdefgh111222efebbfabbcac hgef 111222hghddgaddcac 解答解答bcad am md).(21ba dc ab am mb).(21ba abcdmab練習(xí)練習(xí)已知平行四邊形已知平行四邊形abcd的對(duì)角線的對(duì)角線ac,a bdb 試用試用 表示平行四邊形四邊上表示平行四邊形四邊上對(duì)應(yīng)的向量對(duì)應(yīng)的向量.ba, cos|sfw (其中其中 為為f與與s的夾角的夾角)啟示啟示向量向量a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積為為ba cos|baba 實(shí)例實(shí)例兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.定義定義4 4、兩向量的數(shù)量積

9、、兩向量的數(shù)量積ab 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積點(diǎn)積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 ).0, 0(|arccos),()3( babababa數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù)： ),()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).()

10、()(baba u mm 向量在軸上的投影向量在軸上的投影.軸軸確定確定及單位向量及單位向量設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)ueoo e r向量投影的性質(zhì)向量投影的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 性質(zhì)性質(zhì)2 .prpr)(prbjajbajuuu 性質(zhì)性質(zhì)3 .pr)(prajajuu 性質(zhì)性質(zhì)4；，則，則若若ajbbabbpr|0 .pr|0bjabaaa ，則，則若若.,cospr軸的夾角軸的夾角與與為向量為向量其中其中uaaaju 證證cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(. 5例例.pr,pr,3),(, 1, 2,3,32ajbjbababababbaaba 求求設(shè)

11、設(shè) .解解.3128pr,3728pr,31,3728376)3()32(2222 bbaajababjbbbaaabbaababababaaba u22:()0,.baab aa ab ab aubaaa 即即0, auauabuaub垂直于垂直于 例例6 設(shè)以向量設(shè)以向量 和和 為邊做平行四邊形，求平行為邊做平行四邊形，求平行四邊形中垂直于四邊形中垂直于 邊的高線向量邊的高線向量.aba:解解則則設(shè)高線為設(shè)高線為 ,u|foqm sin|fop 實(shí)例實(shí)例5、兩向量的向量積、兩向量的向量積lfpqo sin|bac (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)定義定義向量積也稱為向量積也稱為“叉積

12、叉積”、“外積外積”.abc 關(guān)于向量積的說(shuō)明：關(guān)于向量積的說(shuō)明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( baabc )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin ,0 或或 )(0sin . 0sin| baba證證ba/ba/或或0 向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）反交換律反交換律.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(bababa |ba 表表示示以以 a和和 b為為鄰鄰邊邊 的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積. abbac 向量積的幾何意義向量積的幾何意義解解),si

13、n(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依題題意意知知nm 與與p同同向向， (1) 向量混合積的幾何意義：向量混合積的幾何意義： 向量的混合積向量的混合積cbacba )(是這樣是這樣的一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表的一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表示以向量示以向量a、b、c為棱的為棱的平行六面體的體積平行六面體的體積.acbba 關(guān)于混合積的說(shuō)明：關(guān)于混合積的說(shuō)明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac . 0 cba(輪換對(duì)稱性)6.6.向量的混合積向量的混合積定義定義 已知已知2 cba， 計(jì)算計(jì)算)()()(accbba .解解)()()(

14、accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例8x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系ijk三、向量及向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示三、向量及向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示.,稱為基本單位向量稱為基本單位向量表示表示以以一個(gè)單位向量一個(gè)單位向量沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向各取沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向各取在空間直角坐標(biāo)系中，在空間直角坐標(biāo)系中，kji1.1.向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示,oroqopampaopomr ),(zyxm xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0

15、(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb), 0 ,(zxc, rommr ，使使，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)有有點(diǎn)點(diǎn)任任給給向向量量則則，設(shè)設(shè),kzorj yoqi xop. kzj yi xomr r.向向量量沿沿三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸方方向向的的分分稱稱為為向向量量、的的坐坐標(biāo)標(biāo)分分解解式式，上上式式稱稱為為向向量量rkzj yi xr.kzj yi xomr 之之間間有有一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)關(guān)關(guān)系系、與與三三個(gè)個(gè)有有序序數(shù)數(shù)、向向量量點(diǎn)點(diǎn)zyxrm).,(zyxkzj yi xomrm );,(zyxr 記作記作.的的坐坐標(biāo)標(biāo)一一致致的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示式式與與其其終終點(diǎn)點(diǎn)向向徑徑momr

16、 有序數(shù)有序數(shù) x 、y 、z 稱為稱為向量向量 r 的坐標(biāo)的坐標(biāo),),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 2. 向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的

17、坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( ( 行列式計(jì)算見(jiàn)行列式計(jì)算見(jiàn) 附錄附錄3 ) 3. 其它坐標(biāo)表示其

18、它坐標(biāo)表示),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ba.,zzyyxxbababa 222|zyxaaaa 0a. 0, 0, 0 zyxaaa222222),cos(zyxzyxzzyyxxbbbaaababababa 0222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式1coscoscos222 xyzo 1m 2m xxabyyabzzabba/ ba0 zzyyxxbababa共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa).cos,cos,(cos

19、特殊地：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟樘厥獾兀簡(jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟閨0aaa 解解),(111zzyyxxam ),(222zzyyxxmb 設(shè)設(shè)),(zyxm為直線上的點(diǎn)，為直線上的點(diǎn)，abmxyzo由題意知：由題意知：mbam ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzm為中點(diǎn)時(shí)，為中點(diǎn)時(shí)，,221xxx ,221yyy .221zzz 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c.5152 kj|0ccc abc解解d)3,

20、4 , 0( ac)0 , 5, 4( ab三角形三角形abc的面積為的面積為|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)3(422 |21bdacs |521225bd . 5| bd內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)1. 向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba混合積:2. 向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)設(shè)計(jì)算計(jì)算并求并求夾角夾角 的正弦與余弦的正弦與余弦 .(1,1, 3) 1cos,2 3 11sin12 答案答案: :2. 2. 用向量方法證明正弦定理用向量方法證明正弦定理: :sinsinsinabcabc,a b1,a bab 2,aijk bij ,a bab及及babcac證證: : 由三角形面積公式由三角形面積公式sinb ca sinc absin