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文檔簡介
1、實用文檔 文案大全 2013年上海市高考數(shù)學試卷(理科) 參考答案與試題解析 一、填空題(本大題共有14題,滿分56分)考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果,每個空格填對得4分,否則一律得零分 1(4分)(2013? 上海)計算:= 考點: 數(shù)列的極限 專題: 計算題 分析: 由 數(shù)列極限的意義即可求解 解答: 解:=, 故答案為: 點評: 本題考查數(shù)列極限的求法,屬基礎題 2(4分)(2013?上海)設mR,m2+m2+(m21)i是純虛數(shù),其中i是虛數(shù)單位,則m= 2 考點: 復數(shù)的基本概念 專題 : 計算題 分析: 根據(jù)純虛數(shù)的定義可得m21=0,m210,由此解得實數(shù)m的值 解答
2、: 解:復數(shù)z=(m2+m2 )+ (m1)i為純虛數(shù), m2+m2=0,m210,解得m=2, 故答案為:2 點評: 本題主要考查復數(shù)的基本概念,得到 m2+m2=0,m210,是解題的關鍵,屬于基礎題 3(4分)(2013?上海)若=,x+y= 0 考點: 二階行列式的定義 專題: 常規(guī)題型 分析: 利用行列式的定義,可得等式,配方即可得到結論 解答: 解:=, x2+y2=2xy (x+y)2=0 實用文檔 文案大全x+y=0故答案0 點評: 本題考查二階行列式的定義,考查學生的計算能力,屬于基礎題 4(4 分)( 2013? 上海)已知ABC的內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,若
3、3a2+2ab+3b23c2=0,則角C的大小是 考弦定理 專題: 解三角形 分析: 把式子3a2+2ab+3b23c2=0變形為,再利用余弦定理即可得出 解答: 解:3a2+2ab+3b23c2=0, = C= 故答案為 點評: 熟練掌握余弦定理及反三角函數(shù)是解題的關鍵 5(4分)(2013?上海)設常數(shù)aR,若的二項展開式中x7項的系數(shù)為10,則a= 2 考點: 二項式系數(shù)的性質 專題: 計算題 分析: 利用二項展開式的通項公式求得二項展開式中的第r+1項,令x的指數(shù)為7求得x7的系數(shù),列出方程求解即可 解答: 解:的展開式的通項為Tr+1=C5rx102r()r=C5rx103rar 令
4、103r=7得r=1, x7的系數(shù)是aC51 x7的系數(shù)是10, aC51=10, 解得a=2 故答案為:2 點評: 本題主要考查了二項式系數(shù)的性質二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具 實用文檔 文案大全 6(4分)(2013? 上海)方程+=3x1 的實數(shù)解為 log34 考數(shù)的零點專數(shù)的性質及應用 分析: 化簡方程+=3x1為 =3x1,即(3x4)(3x+2)=0,解得 3x=4,可得x的值 解答: 解:方程+=3x1,即 =3x1,即 8+3x=3x1( 3x+13), 化簡可得 32x2 ?3x 8=0,即(3x4)(3x+2)=0 解得 3x =4,或 3x=2(
5、舍去), x=log34, 故答案為 log34 點評: 本題主要考查指數(shù)方程的解法,指數(shù)函數(shù)的值域,一元二次方程的解法,屬于基礎題 7(4分) ( 2013? 上海)在極坐標系中,曲線=cos+1與cos=1的公共點到極點的距離為 考點: 點的極坐標和直角坐標的互化;兩點間的距離公式 專題: 計算題 分析: 聯(lián)立=cos+1與cos=1消掉即可求得,即為答案 解答: 解:由=cos+1得,cos=1,代入cos=1得(1)=1, 解得=或=(舍), 所以曲線=cos+1與cos=1的公共點到極點的距離為, 故答案為: 點評: 本題考查兩點間距離公式、極坐標與直角坐標的互化,屬基礎題 8(4分
6、)(2013?上海)盒子中裝有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九個球,從中任意取出兩個,則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是 (結果用最簡分數(shù)表示) 考點: 古典概型及其概率計算公式 專題: 概率與統(tǒng)計 分析: 利用組合知識求出從1,2,3,4,5,6,7,8,9九個球中,任意取出兩個球的取法種數(shù),再求出從5個奇數(shù)中任意取出2個奇數(shù)的取法種數(shù),求出取出的兩個球的編號實用文檔 文案大全 之積為奇數(shù)的概率,利用對立事件的概率求出取出兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率解答解:3 ,4,5, 6,7,8 , 9 九個球中,任意取出兩個球的取法種數(shù)為種 取出的兩個球的編號之積為奇數(shù)的方法種數(shù)為種 則取
7、出的兩個球的編號之積為奇數(shù)的概率為 所以取出兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是 故答案為 點評: 本題考查了古典概型及其概率計算公式,考查了簡單的排列組合知識,考查了對立事件的概率,解答的關鍵是明確取到的兩數(shù)均為奇數(shù)時其乘積為奇數(shù),是基礎題 9(4分)(2013?上海)設AB是橢圓 的長軸,點C在上,且CBA=,若AB=4, BC=,則 的兩個焦點之間的距離為 考圓的標準方程;橢圓的簡單性質專錐曲線的定義、性質與方程分析 由題意畫出圖形,設橢圓的標準方程為,由條件結合等腰直角三角形的邊角關系解出C的坐標,再根據(jù)點C在橢圓上求得b值,最后利用橢圓的幾何性質計算可得答案 解答: 解:如圖,設橢圓的標準
8、方程為, 由題意知,2a=4,a=2 CBA=,BC=,點C的坐標為C(1,1), 因點C在橢圓上, b2=, c2=a2b2=4=,c=, 則的兩個焦點之間的距離為 故答案為: 實用文檔 文案大全 點評: 本題考查橢圓的定義、解三角形,以及橢圓的簡單性質的應用 10(4分)(2013?上海)設非零常數(shù)d是等差數(shù)列x1,x2,x19的公差,隨機變量 等可能地取值x1,x2,x19,則方差D= 30d2 考差、方差與標準差 專題: 概率與統(tǒng)計 分析: 利用等差數(shù)列的前n項和公式可得x1+x2+x19=和數(shù)學期望的計算公式即可得出E,再利用方差的計算公式即可得出D=即可得出 解答: 解:由題意可得
9、E=x1+9d xnE=x1+(n1)d(x1+9d)=(n10)d, D=+(d)2+0+d2+(2d)2+(9d)2 = = =30d2 故答案為:30d2 點評: 熟練掌握等差數(shù)列的前n項和公式、數(shù)學期望和方差的計算公式是解題的關鍵 11(4分)(2013?上海)若cosxcosy+sinxsiny=,sin2x+sin2y=,則sin(x+y)= 考點: 三角函數(shù)的和差化積公式;兩角和與差的余弦函數(shù) 專題: 三角函數(shù)的求值 分析: 利用兩角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny=,可得cos(xy)=,再利用和差化實用文檔 文案大全 積公sin2x+sin2y,得2six+c
10、o,即可得six+ 解答: 解:cosxcosy+sinxsiny=,cos(xy) = sin2x+sin2y=, sin(x+y)+(xy)+sin(x+y)(xy)=, 2sin(x+y)cos(xy)=, , sin(x+y)= 故答案為 點評: 熟練掌握兩角和差的正弦余弦公式及和差化積公式是解題的關鍵 12(4分)(2013?上海)設a為實常數(shù),y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x0時,f(x) =9x+7若f(x)a+1對一切x0成立,則a的取值范圍為 考點: 函數(shù)奇偶性的性質;基本不等式 專題: 函數(shù)的性質及應用 分析: 先利用y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)求出x0時函數(shù)的解
11、析式,將f(x)a+1對一切x0成立轉化為函數(shù)的最小值a+1,利用基本不等式求出f(x)的最小值,解不等式求出a的范圍 解答: 解:因為y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù), 所以當x=0時,f(x)=0; 當x0時,則x0,所以f(x)=9x+7 因為y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù), 所以f(x)=9x+7; 因為f(x)a+1對一切x0成立, 所以當x=0時,0a+1成立, 所以a1; 當x0時,9x+7a+1成立, 只需要9x+7的最小值a+1, 因為9x+72=6|a|7, 實用文檔 文案大全 所6|aa+解故答案點評題考查函數(shù)解析式的求法;考查解決不等式恒成立轉化成求函數(shù)的最值;利用基
12、本不等式求函數(shù)的最值 13(4分)(2013?上海)在xOy平面上,將兩個半圓?。▁1 )2+y2=1(x 1)和(x3) 2+y2 =1(x3),兩條直線y=1和y=1圍成的封閉圖形記為D,如圖中陰影部分,記D繞y軸旋轉一周而成的幾何體為過(0,y)(|y|1)作的水平截面,所得截面積為4+8試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體,得出的體積值為 22+16 考點: 進行簡單的合情推理 專題: 計算題;壓軸題;閱讀型 分析: 由題目給出的的水平截面的面積,可猜想水平放置的圓柱和長方體的量,然后直接求出圓柱的體積與長方體的體積作和即可 解答: 解:因為幾何體為的水平截面的截面積為4+8,該
13、截面的截面積由兩部分組成, 一部分為定值8,看作是截一個底面積為8,高為2的長方體得到的,對于4,看作是把一個半徑為1, 高為2的圓柱平放得到的,如圖所示, 這兩個幾何體與放在一起,根據(jù)祖暅原理,每個平行水平面的截面積相等,故它們的體積相等, 即的體積為?12?2+2?8=22+16 故答案為22+16 實用文檔 文案大全點評題考查了簡單的合情推理解答的關鍵是由幾何的水平截面面積想到水平放置的圓柱和長方體的有關量,是中檔題 14(4分)(2013?上海)對區(qū)間I上有定義的函數(shù)g(x),記g(I)=y|y=g(x),xI已知定義域為0,3的函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)y=f1(x),且f1(0,1)
14、=1,2),f1( (2,4)=0,1)若方程f(x)x=0有解x0,則x0= 2 考函數(shù);函數(shù)的零點專軸題;函數(shù)的性質及應用分析據(jù)互為反函數(shù)的兩函數(shù)定義域、值域互換可判斷:)時)的值域,進而可判斷此=無解;)在定義上存在反數(shù)可知時)的取值集合,再根據(jù)方=有解即可得值解答:因=y|y=I=所以對于函(x), 當x0,1)時,f(x)(2,4,所以方程f(x)x=0即f(x)=x無解; 當x1,2)時,f(x)0,1),所以方程f(x)x=0即f(x)=x無解; 所以當x0,2)時方程f(x)x=0即f(x)=x無解, 又因為方程f(x)x=0有解x0,且定義域為0,3, 故當x2,3時,f(x
15、)的取值應屬于集合(,0)1,2(4,+), 故若f(x0)=x0,只有x0=2, 故答案為:2 點評: 本題考查函數(shù)的零點及反函數(shù),考查學生分析解決問題的能力,屬中檔題 二、選擇題(本大題共有4題,滿分20分)每題有且只有一個正確答案,考生應在答題紙的相應編號上,將代表答案的小方格涂黑,選對得5分,否則一律得零分 15(5分)(2013?上海)設常數(shù)aR,集合A=x|(x1)(xa)0,B=x|xa1,若AB=R,則a的取值范圍為( ) A (,2) B (,2 C (2,+) D 2,+) 考點: 集合關系中的參數(shù)取值問題;并集及其運算;一元二次不等式的解法 專題: 不等式的解法及應用;集
16、合 分析: 當a1時,代入解集中的不等式中,確定出A,求出滿足兩集合的并集為R時的a的范圍;當a=1時,易得A=R,符合題意;當a1時,同樣求出集合A,列出關于a的不等式,求出不等式的解集得到a的范圍綜上,得到滿足題意的a范圍 解答: 解:當a1時,A=(,1a,+),B=a1,+), 若AB=R,則a11, 1a2; 當a=1時,易得A=R,此時AB=R; 當a1時,A=(,a1,+),B=a1,+), 若AB=R,則a1a,顯然成立, a1; 綜上,a的取值范圍是(,2 故選B 實用文檔 文案大全點評題考查了并集及其運算,二次不等式,以及不等式恒成立的條件,熟練掌握并集的定義是解本題的關鍵
17、 16(5分)(2013?上海)錢大姐常說“便宜沒好貨”,她這句話的意思是:“不便宜”是“好貨”的( ) A 充分條件 B 必要條件 C 充分必要條件 D 既非充分又非必要條件考要條件、充分條件與充要條件的判斷 分析: 因為“好貨不便宜”是“便宜沒好貨”的逆否命題,根據(jù)互為逆否命題的真假一致得到:“好貨不便宜”是真命題再據(jù)命題的真假與條件的關系判定出“不便宜”是“好貨”的必要條件 解答: 解:“好貨不便宜”是“便宜沒好貨”的逆否命題, 根據(jù)互為逆否命題的真假一致得到:“好貨不便宜”是真命題 所以“好貨”?“不便宜”, 所以“不便宜”是“好貨”的必要條件, 故選B 點評: 本題考查互為逆否命題的
18、真假一致;考查據(jù)命題的真假判定條件關系,屬于基礎題 17(5分)(2013?上海)在數(shù)列(an)中,an=2n1,若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素cij=ai?aj+ai+aj(i=1,2,7;j=1,2,12),則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為( ) A 18 B 28 C 48 D 63 考點: 數(shù)列的函數(shù)特性 專題: 壓 軸題 分析: 由于該矩陣的第i行第j列的元素cij=ai?aj+ai+aj=(2i1)(2j1)+2i1+2j1=2i+j1(i=1,2,7;j=1,2,12),要使aij=amn(i,m=1,2,7;j,n=1,2,12) 則滿足2i+j1=2m+n1,
19、得到i+j=m+n,由指數(shù)函數(shù)的單調性可得:當i+jm+n時,aijamn,因此該矩陣元素能取到的不同數(shù)值為i+j的所有不同和,即可得出 解答: 解:該矩陣的第i行第j列的元素cij=ai?aj+ai+aj=(2i1)(2j1)+2i1+2j1=2i+j1(i=1,2,7;j=1,2,12), 當且僅當:i+j=m+n時,aij=amn(i,m=1,2,7;j,n=1,2,12), 因此該矩陣元素能取到的不同數(shù)值為i+j的所有不同和,其和為2,3,19,共18個不同數(shù)值 故選A 點評: 由題意得出:當且僅當i+j=m+n時,aij=amn(i,m=1,2,7;j,n=1,2,12)是解題的關鍵
20、 18(5分)(2013?上海)在邊長為1的正六邊形ABCDEF中,記以A為起點,其余頂點為終點的向量分別為、;以D為起點,其余頂點為終點的向量分別為、實用文檔 文案大全 、 、 、若m、M 分別為( + +)? ( + +)的最小值、最大值,其中i,j,k?1,2,3,4,5,r,s,t?1,2,3,4,5,則m、 M滿足( ) A m=0,M0 B m 0 ,M 0 C m 0, M=0 D m 0,M 0考面向量數(shù)量積的運算;進行簡單的合情推理專軸題;平面向量及應用分析利用向量的數(shù)量積公式,可知只,其余數(shù)量積均小于等從而可結論解答解:由題意,A 為起點,其余頂點為終點的向量分別為、;以D
21、為起點,其余頂點為終點的向量分別為、, 利用向量的數(shù)量積公式,可知只有,其余數(shù)量積均小于等于0, m、M分別為(+)?(+)的最小值、最大值, m0,M0 故選D 點評: 本題考查向量的數(shù)量積運算,考查學生分析解決問題的能力,分析出向量數(shù)量積的正負是關鍵 三、解答題(本大題共有5題,滿分74分)解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟 19(12分)(2013?上海)如圖,在長方體ABCDABCD中,AB=2,AD=1,AA=1證明直線BC平行于平面DAC,并求直線BC到平面DAC的距離 考點: 點、線、面間的距離計算;直線與平面平行的判定 專題: 空間位置關系與距離 分析:
22、 解法一:證明ABCD為平行四邊形,可得BCAD,再利用直線和平面平行的判定定理證得直線BC平行于平面DAC 所求的距離即點B到平面DAC的距離,設為h,再利用等體積法求得h的值 解法二:建立空間直角坐標系,求出平面DAC的一個法向量為=(2,1,2),再根據(jù) =0,可得 ,可得直線BC平行于平面DAC求出點B到實用文檔 文案大全 平A的距d的值,即為直B到平A的距離解答:解法一:因ABC為長方體,AAB=AB為平行四邊形,BA,顯B不在平A內于是直B平行于平A直B到平A的距離即為到平A的距離,設考慮三棱AB的體積,AB為底面,可得三棱AB的體積VA中AC=CA,CA的底A上的高CA的面CA所
23、以Vh,即直B到平A的距解法二:所在的直線軸,所在的直線軸,所在的直軸建立空間直角坐標系則由題意可得,設平A的一個法向量,則,v=,可u=w,可由(,再B不在平A內,可得直B平行于平A由,可得到平A的距d故直B到平A的距點評題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用,利用向量法證明直線和平面平行,求直線到平面的距離的方法,體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想,屬于中檔題 實用文檔 文案大全 20(14分)(2013?上海)甲廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10),每小時可獲得的利潤是100(5x+1)元 (1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元,求x的取值范圍; (2)要使生
24、產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,問:甲廠應該選取何種生產(chǎn)速度?并求此最大利潤 考數(shù)模型的選擇與應用專用題分析: ( 1)求出生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤,建立不等式,即可求x的取值范圍; (2)確定生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤函數(shù),利用配方法,可求最大利潤 解答: 解:(1)生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤為100(5x+1)×2=200(5x+1) 根據(jù)題意,200(5x+1)3000,即5x214x30 x3或x 1x10,3x10; (2)設利潤為 y元,則生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤為y=100(5x+1)× =90000()=9×104 + 1 x 10,
25、x=6時,取得最大利潤為=457500元 故甲廠應以6千克/小時的速度生產(chǎn),可獲得最大利潤為457500元 點評: 本題考查函數(shù)模型的建立,考查解不等式,考查函數(shù)的最值,確定函數(shù)的模型是關鍵 21(14分)(2013?上海)已知函數(shù)f(x)=2sin(x),其中常數(shù)0 (1)若y=f(x)在,上單調遞增,求的取值范圍; (2)令=2,將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個單位,再向上平移1個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,區(qū)間a,b(a,bR,且ab)滿足:y=g(x)在a,b上至少含有30個零點在所有滿足上述條件的a,b中,求ba的最小值 考點: 正弦函數(shù)的單調性;根的存在性及根的個數(shù)判斷;函
26、數(shù)y=Asin(x+)的圖象變換 專題: 三角函數(shù)的圖像與性質 分析: (1)已知函數(shù)y=f(x)在上單調遞增,且0,利用正弦函數(shù)的單調性可得,且,解出即可; 實用文檔 文案大全 )利用變換法左加右減,上加下即可得=令 g(x)=0,即可解出零點的坐標,可得相鄰兩個零點之間的距離若ba最小,則a和b都是零點,此時在區(qū)間a,m+a(mN*)恰有2m+1個零點,所以在區(qū)間a,14+a是恰有29個零點,從而在區(qū)間(14+a,b至少有一個零點,即可得到a,b滿足的條件進一步即可得出ba的最小值 解答: 解:(1)函數(shù)y=f(x)在上單調遞增,且0, ,且, 解得 (2)f(x)=2sin2x,把y=f
27、(x)的圖象向左平移個單位,再向上平移1個單位,得到, 函數(shù)y=g(x)=, 令g(x)=0,得,或x=(kZ) 相鄰兩個零點之間的距離為或 若ba最小,則a和b都是零點,此時在區(qū)間a,+a,a,2+a,a,m+a(mN*)分別恰有3,5,2m+1個零點, 所以在區(qū)間a,14+a是恰有29個零點,從而在區(qū)間(14+a,b至少有一個零點, 另一方面,在區(qū)間恰有30個零點, 因此ba的最小值為 點評: 本題綜合考查了三角函數(shù)的單調性、周期性、函數(shù)的零點等基礎知識與基本技能,考查了分析問題和解決問題的能力、推理能力和計算能力 22(16分)(2013?上海)如圖,已知雙曲線C1:,曲線C2:|y|=
28、|x|+1,P是平面內一點,若存在過點P的直線與C1,C2都有公共點,則稱P為“C1C2型點” (1)在正確證明C1的左焦點是“C1C2型點“時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證); (2)設直線y=kx與C2有公共點,求證|k|1,進而證明原點不是“C1C2型點”; (3)求證:圓x2+y2=內的點都不是“C1C2型點” 實用文檔 文案大全 考線與圓錐曲線的關系;點到直線的距離公式;雙曲線的簡單性質專軸題;新定義;圓錐曲線的定義、性質與方程分析)由雙曲線方程可知,雙曲線的左焦點為,當過左焦點的直線的率不存在時滿足左焦點型當斜率存在時要保證斜率的絕對值大于于該焦
29、點與)連線的斜率)由直y=k有公共點聯(lián)立方程組有實數(shù)解得|k,分過原點的直線率不存在和斜率存在兩種情況說明過遠點的直線不可能同時有公共點)由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直y=y之間,進而說明|k時過內的點且斜率的直線無公共點,|k時,過內的點且斜率的直線有公共點再由圓心到直線的距離小于半列式得的范圍,結果|k矛盾從而證明了結論解答)解的左焦點為,寫出的直線方程可以是以下形式,)證明:因為直y=k有公共點所以方程有實數(shù)解,因|kx|=|x|+若原點型,則存在過原點的直線都有公共點考慮過原點有公共點的直x=y=k|顯然直x=無公共點如果直線y=k|k,則由方程,矛盾 所以直線y=kx(|k|1)與C1也無公共點 因此原點不是“C1C2型點” (3)證明:記圓O:,取圓O內的一點Q,設有經(jīng)過Q的直線l與C1,C2都有公共點,顯然l不與x軸垂直, 故可設l:y=kx+b 若|k|1,由于圓O夾在兩組平行線y=x±1與y=x±1之間,因此圓O也夾在直線y=kx±1與y=kx±1之間
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