整式的乘除與因式分解復習1

1、整式的乘除與因式分解一、學習目標：1.掌握與整式有關的概念；2.掌握同底數(shù)冪、冪的乘法法則，同底數(shù)冪的除法法則，積的乘方法則；3.掌握單項式、多項式的相關計算；4.掌握乘法公式：平方差公式，完全平方公式。5.掌握因式分解的常用方法。二、知識點總結：1、單項式的概念： 由數(shù)與字母的乘積構成的代數(shù)式叫做單項式。單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式。單項式的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，字母指數(shù)和叫單項式的次數(shù)。如：2a2 bc 的 系數(shù)為2 ，次數(shù)為40，單獨的一個非零數(shù)的次數(shù)是。2、多項式： 幾個單項式的和叫做多項式。多項式中每個單項式叫多項式的項，次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)。如： a 22ab x

2、 1 ，項有 a 2、 2ab 、 x 、 1，二次項為 a2、 2ab ，一次項為x ，常數(shù)項為1，各項次數(shù)分別為 2， 2， 1，0，系數(shù)分別為 1， -2， 1， 1，叫二次四項式。3、整式： 單項式和多項式統(tǒng)稱整式。注意：凡分母含有字母代數(shù)式都不是整式。也不是單項式和多項式。4、多項式按字母的升（降）冪排列：如： x32x 2 y 2xy2 y 31按 x 的升冪排列：12 y 3xy2x2 y 2x3按 x 的降冪排列： x32x 2 y 2xy 2y 31按 y 的升冪排列：1x3xy2x 2 y 22 y3按 y 的降冪排列：2y32x2 y 2xyx 3 15mnmnaaa（

3、m,n 都是正整數(shù)）、同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。注意底數(shù)可以是多項式或單項式。如： (a b)2 (ab)3(ab)56(a)amn （ m,n 都是正整數(shù)）、冪的乘方法則：mn冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。如：( 35 )2 310冪的乘方法則可以逆用：即a mn(a m ) n(an )m1/13如： 46(42)3(43) 27、積的乘方法則：(ab) nan b n （ n 是正整數(shù)）積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積。如：（2x3 y 2 z)5 = (2)5(x 3 ) 5( y 2 ) 5z532x15 y10 z58、同底數(shù)冪的除法法則：a ma na m

4、 n（ a0,m, n 都是正整數(shù)，且 m n)同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。如：( ab) 4(ab) (ab) 3a 3b 39、零指數(shù)和負指數(shù)；a 01 ，即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1。ap1（ a0, p 是正整數(shù)），即一個不等于零的數(shù)的p 次方等于這個數(shù)的p 次方ap的倒數(shù)。如：23(1) 312810、單項式的乘法法則：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。注意：積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，先確定符號，再計算絕對值。相同字母相乘，運用同底數(shù)冪的乘法法則。只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作

5、為積的一個因式單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣適用。單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式。如：2x 2 y 3 z3xy11、單項式乘以多項式，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，即 m(abc)mambmc ( m, a,b, c 都是單項式 )注意：積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。運算時要注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。在混合運算時，要注意運算順序，結果有同類項的要合并同類項。如： 2x( 2x3y)3 y( xy)12、多項式與多項式相乘的法則；多項式與多項式相乘，先用多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所的的積相加。(3a2b)

6、( a3b)如：(x5)( x6)2/1313、平方差公式： (ab)( ab)a 2b2 注意平方差公式展開只有兩項公式特征：左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)。右邊是相同項的平方減去相反項的平方。如： (xyz)( xyz)14、完全平方公式：(ab)2a 22abb 2公式特征：左邊是一個二項式的完全平方，右邊有三項，其中有兩項是左邊二項式中每一項的平方，而另一項是左邊二項式中兩項乘積的2 倍。注意：a 2b 2(ab) 22ab(a b)22ab( ab)2(ab) 24ab( ab) 2(ab) 2(ab) 2 (a b) 2 (ab) 2(a

7、b) 2完全平方公式的口訣：首平方，尾平方，加上首尾乘積的2 倍。15、三項式的完全平方公式：( ab c) 2a 2b 2c 22ab2ac 2bc16、單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。注意：首先確定結果的系數(shù)（即系數(shù)相除），然后同底數(shù)冪相除，如果只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式如： a 2 b4 m49a 2 b717、多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，在把所的的商相加。即： (ambmcm)mammbmmcmmabc18、因

8、式分解：常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法 三、知識點分析：1.同底數(shù)冪、冪的運算：mnm+na ·a =a( m， n 都是正整數(shù) ).例題 1. 若 2 a 264 ，則 a=；若 273n( 3)8 ，則 n=.例題 2. 若 52 x 1125，求 (x2)2009 x 的值。3/13例題 3.計算3 n2 mx 2 y2 y x練習1.若 a2 n3，則 a 6n =.xy-1yx-12.設 4 =8,且 9 =27,則 x-y 等于。2.積的乘方(ab)n =anbn(n 為正整數(shù) ). 積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.例題 1.

9、計算：n m3pmn n mp 43. 乘法公式平方差公式： ab aba 2b 2完全平方和公式：完全平方差公式：a b a b2a22abb 22a22abb2例題 1. 利用平方差公式計算：2009×2007 20082例題 2.利用平方差公式計算：2007200820072200620072例題 3.利用平方差公式計算：200620081例題 4.（ a2b 3c d）（ a 2b 3c d）變式練習1廣場內有一塊邊長為2aM 的正方形草坪，經統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短3M ，東西方向要加長3M ，則改造后的長方形草坪的面積是多少？4/1324） （32008+1）34016

10、2.（ 3+1 ）（ 3 +1）（3 +1212,求 x213. 已知 xx2 的值x4、已知( x y)216, (x)24，求 xy 的值y5.如果 a 2 b 2 2a 4b 5 0 ，求 a、 b 的值6.試說明（1）兩個連續(xù)整數(shù)的平方差必是奇數(shù)（2）若 a 為整數(shù)，則a3a 能被 6 整除7.一個正方形的邊長增加4cm ，面積就增加56cm ，求原來正方形的邊長5/134. 單項式、多項式的乘除運算（1）（ a 1 b）（ 2a 1 b）（ 3a2 1 b2）；6312（ 2） （ a b）（ a b） 2÷（ a2 2ab b2 ） 2ab（ 3）已知 x2 x 1 0，

11、求 x3 2x2 3 的值5. 因式分解：1.提公因式法：式子中有公因式時，先提公因式。例 1 把 2ax10ay5bybx 分解因式分析： 把多項式的四項按前兩項與后兩項分成兩組，并使兩組的項按x 的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式2a 與b ，這時另一個因式正好都是x5 y ，這樣可以繼續(xù)提取公因式解： 2ax10 ay5bybx2a( x5 y)b( x5 y)(x5 y)(2 ab)說明： 用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法本題也可以將一、四項為一組，二、三項為一組，同學不妨一試例 2 把 ab( c2d 2 )(a2b2 )cd 分解因式分析

12、： 按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式解： ab(c2d 2 )(a2b2 )cd abc2abd2a2 cd b2 cd(abc2a2cd )(b2 cdabd 2 )ac(bcad )bd (bcad ) (bc ad )(acbd )說明： 由例 3、例 4 可以看出，分組時運用了加法結合律，而為了合理分組，先運用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運用了分配律由此可以看出運算律在因式分解中所起的作用2. 公式法： 根據平方差和完全平方公式例題 1 分解因式 9x225 y23.配方法：例 1 分解因式 x26x 166/13解： x26x 16

13、x22 x 3 323216 ( x 3)252(x 35)( x 3 5)(x 8)( x 2)說明： 這種設法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項式化為兩個平方式，然后用平方差公式分解當然，本題還有其它方法，請大家實驗4.十字相乘法：（ 1） x2( pq) xpq 型的因式分解這類式子在許多問題中經常出現(xiàn)，其特點是：(1) 二次項系數(shù)是1； (2) 常數(shù)項是兩個數(shù)之積；(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和x2( pq)xpqx2pxqxpqx( xp)q( xp)(xp)( xq)因此， x2( pq) xpq( xp)( xq)運用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1

14、的二次三項式分解因式例 1 把下列各式因式分解：(1)x27 x6(2) x213x 36解： (1)6(1) (6),( 1) ( 6)7x27x6 x(1) x ( 6)( x1)(x6) (2)3649,4913x213x36( x 4)(x 9)說明： 此例可以看出，常數(shù)項為正數(shù)時，應分解為兩個同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)的符號相同例 2 把下列各式因式分解：(1) x25x24(2) x22x 15解： (1)24(3)8,(3)85x25x24 x(3)( x8)(x3)(x8)(2)15( 5)3,(5)32x22x15 x(5)( x3)(x5)(x3)說明： 此例可以看出

15、，常數(shù)項為負數(shù)時，應分解為兩個異號的因數(shù)，其中絕對值較大的因數(shù)與一次項系數(shù)的符號相同7/13例 3 把下列各式因式分解：(1) x2xy6 y2(2)( x2x)28( x2x)12分析：(1)把 x2xy6 y2 看成x 的二次三項式，這時常數(shù)項是6y2 ，一次項系數(shù)是y ，把6y2 分解成3y 與2 y的積，而3y( 2 y)y ，正好是一次項系數(shù)(2) 由換元思想，只要把 x2 x 整體看作一個字母 a ，可不必寫出，只當作分解二次三項式 a2 8a 12 解： (1) x2xy 6y 2x2yx62(x3y)(x2 y)(2) ( x2x)28(x2x)12( x2x6)( x2x 2

16、)( x 3)( x2)( x2)( x 1)（ 2）一般二次三項式ax2bxc 型的因式分解大家知道， ( a xc )( a xc )a a x2(a ca c ) xc c 112212122112反過來，就得到：a1a2 x2(a1c2a2 c1 )xc1 c2( a1 xc1 )(a2 x c2 )我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)a 分解成a1a2 ，常數(shù)項c 分解成 c1c2 ，把 a1 , a2 , c1 , c2寫成a1c1 ， 這 里 按 斜 線 交 叉 相 乘 ， 再 相 加 ， 就 得 到 a1 c2a2 c1， 如 果 它 正 好 等 于a2c2ax 2bx c 的一次項系數(shù)b ，

17、那么 ax2bx c 就可以分解成( a1 x c1 )( a2 x c2 ) ，其中a1 ,c1 位于上一行，a2 , c2 位于下一行這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經過多次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解例 4 把下列各式因式分解：(1) 12x25x2(2)5x26xy8 y2解： (1)12x25x2(3x2)(4x1)32418/13(2) 5x2 6xy 8 y2 (x12 y2 y)(5x 4 y) 54 y1” ” ” ” ” ” 12x y1xy22x 4 y

18、 3x3 y 432xy( x2) 2( y1)24xy提高練習12x2 4x 10xy ÷ 1x 15y222x y 8 x2y2 4x2 y2 _34x2 3mx 9m _4a 1a 1a2 1A a4 1B a4 1 C a4 2a2 1D 1 a45a b 10 ab 24a2 b2A148B76C58D5262x3y2x3y22x22x1x22x1447111 1111111223242921028x1 2x21x41xx 2x49/13229已知（ a 1）（ b 2） a（ b 3） 3，求代數(shù)式ab ab 的值22223項，求 p、 q 的值10若（ x pxq）（ x 2x3）展開后不含x ，x整式的乘除與因式分解單元試卷一、選擇題：（每小題3 分，共 18 分）1、下列運算中，正確的是()236B.(a3 a3 3a a a2D.（ ）25A.x ·x=xb) = bC.3 +2 =5x3 = x2、下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（）（A）（ B）（C）（ D）3、下列各式是完全平方式的是（）A、B、C、D、4、下列多項式中能用平方差公式分解因式的是（）（A）（ B）（ C）（D）5、如 (x+m) 與 (x+3) 的乘積中不含x 的一次項，則m的值為（）A. 3B.3C.0D.110/136 、一