專題17：全等三角線中的輔助線做法及常見題型之雙等腰旋轉(zhuǎn)-備戰(zhàn)2022中考數(shù)學(xué)解題方法系統(tǒng)訓(xùn)練（全國(guó)通用）

1、專題17：第三章 全等三角形中的輔助線的做法及常見題型之雙等腰旋轉(zhuǎn)一、單選題1如圖，在等腰中，點(diǎn)在上，以為邊向右作等腰，連接，若，則的長(zhǎng)為（ ）a2bcd42在rtabc中，ac=bc，點(diǎn)d為ab中點(diǎn)gdh=90°，gdh繞點(diǎn)d旋轉(zhuǎn)，dg，dh分別與邊ac，bc交于e，f兩點(diǎn)下列結(jié)論：ae+bf=ab；ae2+bf2=ef2；s四邊形cedf=sabc；def始終為等腰直角三角形其中正確的是( )abcd3如圖，與的平分線相交于點(diǎn)，于點(diǎn)，為中點(diǎn)，于，下列說法正確的是()；若，則abcd4如圖，已知abc中，ab=ac，bac=90°，直角epf的頂點(diǎn)p是邊bc中點(diǎn)，兩邊pe

2、、pf分別交ab、ac于點(diǎn)e、f，當(dāng)epf在abc內(nèi)繞頂點(diǎn)p旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)e不與a、b重合），給出以下四個(gè)結(jié)論：ae=cf；epf是等腰直角三角形；四邊形aepf的面積=abc的面積的一半，當(dāng)ef最短時(shí)，ef=ap，上述結(jié)論始終正確的個(gè)數(shù)為（）a1b2c3d4二、填空題5如圖，和都是等腰直角三角形，則_度6如圖，在中，點(diǎn)p在斜邊上，以為直角邊作等腰直角三角形，則三者之間的數(shù)量關(guān)系是_7兩塊等腰直角三角形紙片aob和cod按圖1所示放置，直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)o處，ab13，cd7保持紙片aob不動(dòng)，將紙片cod繞點(diǎn)o逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（090°），如圖2所示當(dāng)bd與cd在同一直線上（如圖3）時(shí)，則a

3、bc的面積為_三、解答題8已知rtoab和rtocd的直角頂點(diǎn)o重合，aob=cod=90°，且oa=ob，oc=od（1）如圖1，當(dāng)c、d分別在oa、ob上時(shí)，ac與bd的數(shù)量關(guān)系是ac bd（填“>”，“<”或“=”）ac與bd的位置關(guān)系是ac bd（填“”或“”）；（2）將rtocd繞點(diǎn)o順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)d在oa上，如圖2，連接ac，bd，求證：ac=bd；（3）現(xiàn)將rtocd繞點(diǎn)o順時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，如圖3，連接ac，bd，猜想ac與bd的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并給出證明9在rtabc中,ab=ac,d為bc邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)b,c重合),將線段ad繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90&

4、#176;得到ae.(1)連接ec，如圖，試探索線段bc，cd，ce之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)連接de，如圖，求證：bd2+cd2=2ad2(3)如圖,在四邊形abcd中，abc=acb=adc=45°，若bd=，cd=1，則ad的長(zhǎng)為 .(直接寫出答案）10已知acb為等腰直角三角形，點(diǎn)p在bc上，以ap為邊長(zhǎng)作正方形apef，（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)p在bc上時(shí)，求ebp；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)p在bc的延長(zhǎng)線上時(shí)，求ebp11如圖，中，在ab的同側(cè)作正、正和正，求四邊形pcde面積的最大值12如圖，aob和cod均為等腰直角三角形，aobcod90°，點(diǎn)c、d分別在

5、邊oa、ob上的點(diǎn)連接ad，bc，點(diǎn)h為bc中點(diǎn)，連接oh（1）如圖1，求證：ohad，ohad；（2）將cod繞點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時(shí)，中結(jié)論是否仍成立？若成立，證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由參考答案1c【解析】【分析】連接ce，根據(jù)題意可證得，所以，所以，在等腰，根據(jù)，可求出，在中，所以，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得出關(guān)于的方程，解出即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接ce，在與中，；在等腰，在中，設(shè)，則，解得：，；故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形以及勾股定理解特殊直角三角形；題中如果出現(xiàn)兩個(gè)等腰三角形，頂角相等且重合，則可以考慮手拉手證明全等三角形，題中如果出現(xiàn)等腰直角三角形或者含

6、有的直角三角形，可利用這兩種特殊三角形邊之間的關(guān)系，已知一邊長(zhǎng)度，即可求出其他兩條邊的長(zhǎng)度.2d【解析】【分析】連接cd根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出adecdf，就可以得出ae=cf，進(jìn)而得出ce=bf，就有ae+bf=ac，由勾股定理就可以求出結(jié)論【詳解】連接cd，ac=bc，點(diǎn)d為ab中點(diǎn)，acb=90°，ad=cd=bd=aba=b=acd=bcd=45°，adc=bdc=90°ade+edc=90°，edc+fdc=gdh=90°，ade=cdf在ade和cdf中，adecdf（asa），ae=cf，de=df，sade=scdf

7、ac=bc，ac-ae=bc-cf，ce=bfac=ae+ce，ac=ae+bf=de=df，gdh=90°，def始終為等腰直角三角形ce2+cf2=ef2，ae2+bf2=ef2s四邊形cedf=sedc+sedf，s四邊形cedf=sedc+sade=sabc正確的有故選d【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵是證明adecdf3c【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，即可判斷正確性；根據(jù)等角的余角相等可知，再由角平分線的定義與等量代換可知，即可判斷正確性；通過面積

8、的計(jì)算方法，由等底等高的三角形面積相等，即可判斷正確性；通過角度的和差計(jì)算先求出的度數(shù)，再求出，再由三角形內(nèi)角和定理及補(bǔ)角關(guān)系即可判斷是否正確【詳解】中，abcd，bac與dca的平分線相交于點(diǎn)g，agcg，則正確；中，由得agcg，根據(jù)等角的余角相等得，ag平分，則正確；中，根據(jù)三角形的面積公式，為中點(diǎn)，af=cf，與等底等高，則正確；中，根據(jù)題意，得：在四邊形gech中，又，cg平分ech，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，得.，則錯(cuò)誤.故正確的有，故選：c【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，涉及到三角形面積求解，三角形的內(nèi)角和定理，補(bǔ)角余角的計(jì)算，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

9、以及等量代換等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握相關(guān)角度的和差倍分計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.4d【解析】【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得bap=c=45°，ap=cp，根據(jù)等角的余角相等求出ape=cpf，然后利用“角邊角”證明aep和cpf全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得ae=cf，pe=pf，全等三角形的面積相等求出s四邊形aepf=sapc，然后解答即可【詳解】ab=ac，bac=90°，abc是等腰直角三角形點(diǎn)p為bc的中點(diǎn)，bap=c=45°，ap=cpepf是直角，ape+apf=cpf+apf=90°，ape=cpf在aep和cpf中，aepcpf（as

10、a），ae=cf，pe=pf，sape=scpf，s四邊形aepf=sapc，s四邊形aepf=sabc，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，ef=pe，所以，ef隨著點(diǎn)e的變化而變化，只有當(dāng)點(diǎn)e為ab的中點(diǎn)時(shí)，ef=pe=ap，此時(shí)，ef最短；故正確故選d【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵5132【解析】【分析】先證明bdcaec，進(jìn)而得到角的關(guān)系，再由ebd的度數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后利用三角形的內(nèi)角和即可得到答案【詳解】解：，在和中，故答案為132【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)

11、鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題6pa2+pb2=2pc2【解析】【分析】把a(bǔ)p2和pb2都用pc和cd表示出來，結(jié)合rtpcd中，可找到pc和pd和cd的關(guān)系，從而可找到pa2，pb2，pc2三者之間的數(shù)量關(guān)系；【詳解】解：過點(diǎn)c作cdab，交ab于點(diǎn)dacb為等腰直角三角形，cdab，cd=ad=db，pa2=（ad-pd）2=（cd-pd）2=cd2-2cdpd+pd2，pb2=（bd+pd）2=（cd+pd）2=cd2-2cdpd+pd2，pa2+pb2=2cd2+2pd2=2（cd2+pd2），在rtpcd中，由勾股定理可得pc2=cd2+pd2，pa2+pb2=2pc2，故答案為pa

12、2+pb2=2pc2.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是作出輔助線，利用三線合一進(jìn)行論證.730【解析】【分析】設(shè)ao與bc的交點(diǎn)為點(diǎn)g，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證aocbod，進(jìn)而得出abc是直角三角形，設(shè)acx，bc=x+7，由勾股定理求出x，再計(jì)算abc的面積即可【詳解】解：設(shè)ao與bc的交點(diǎn)為點(diǎn)g，aobcod90°，aocdob，在aoc和bod中，aocbod（sas），acbd，caodbo，dboogb90°，ogbagc，caoagc90°，acg90°，cgac，設(shè)acx，則bd=ac=x，bc=x+7，b

13、d、cd在同一直線上，bdac，abc是直角三角形，ac2bc2ab2，,解得x=5，即ac=5，bc=5+7=12，在直角三角形abc中，s= ，故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題8（1）=； （2）見解析 （3）ac=bd且acbd；證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)可得ac與bd的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)aob=cod=90°，可證ac與bd的位置關(guān)系；（2）證明ocaodb，即可得到ac=bd；（3）證明ocaodb，可得ac=bd，bdo=ac

14、o，進(jìn)而可證def=90°【詳解】解：（1）oa=ob，oc=odoa-oc=ob-od，ac=bdaob=cod=90°，aobo，c、d分別在oa、ob上，acbd；（2）在oca和odb中，ocaodb，ac=bd；（3）ac=bd，acbd理由：aob=cod=90°，aob+aod=cod+aod，aoc=bod，在oca和odb中，ocaodb，ac=bd，bdo=aco，aco+cfo=90°，cfo=dfe，bdo+dfe=90°，def=180°-90°=90°，acbd【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性

15、質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握全等三角形的判定方法（即sss、sas、asa、aas和hl）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵9（1）bc=dc+ec，理由見解析；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)本題中的條件證出badcae（sas）, 得到bd=ce,再根據(jù)條件即可證出結(jié)果.（2）由（1）中的條件可得dce=ace+acb=90°, 所以ce2+cd2=ed2,可推出bd2+cd2=,再根據(jù)勾股定理可得出結(jié)果.（3）作aead,使ae=ad，連接ce,de,可推出badcae（sas）,所以bd=ce=

16、,再根據(jù)勾股定理求得de.【詳解】解：（1）結(jié)論：bc=dc+ec理由：如圖中,bac=dae=90°,bac-dac=dae-dac，即bad=cae,在bad和cae中,badcae（sas）;bd=ce,bc=bd+cd=ec+cd,即：bc=dc+ec.（2）bd2+cd2=2ad2,理由如下：連接ce,由（1）得，badcae,bd=ce，ace=b,dce=ace+acb=90°,ce2+cd2=ed2,即：bd2+cd2=ed2;在rtade中,ad2+ae2=ed2,又ad=ae,ed2=2ad2;bd2+cd2=2ad2;（3）ad的長(zhǎng)為(學(xué)生直接寫出答案

17、）.作aead,使ae=ad,連接ce,de,bac+cad=dae+cad,即bad=cae,在bad與cae中,ab=ac，bad=cae，ad=ae.badcae（sas）,bd=ce=,adc=45°,eda=45°,edc=90°,de2=ce2-cd2=（）2-12=12,de=2,dae=90°,ad2+ae2=de2,ad=.【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題10（1）135°；（2）

18、45°【解析】【分析】（1）過e作cb垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)m，可證acppem，得出em=pc，ac=pm，得出bm=em，得出ebm=45°，求得ebp；（2）類比（1）的方法同樣過e作cb垂線，垂足m，最后得出bm=em，得出ebm=45°得出結(jié)論【詳解】（1）如圖，過e作cb垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)m，四邊形apef是正方形，ape=90°，ap=pe，apc+pac=apc+epm=90°，pac=epm，在acp和pem中，acppem，ac=mp，pc=em，ac=bc，bc=mp，pc=bm，bm=em，ebm=45°，ebp=

19、135°（2）如圖，作emcb，垂足為m，四邊形apef是正方形，ape=90°，ap=pe，apc+pac=apc+epm=90°，pac=epm，在acp和pem中，acppem，ac=mp，pc=em，ac=bc，bc=mp，pc=bm，bm=em，ebm=45°【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線，利用三角形全等的證明方法得出三角形全等是解決問題的關(guān)鍵11四邊形pcde面積的最大值為1  【解析】【分析】先延長(zhǎng)ep交bc于點(diǎn)f，得出，再判定四邊形cdep為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出：四邊形cdep的面積，最后根據(jù)，判斷的最大值即可【詳解】延長(zhǎng)ep交bc于點(diǎn)f，平分，又，設(shè)中，則，和都是等邊三角形，同理可得：，四邊形cdep是平行四邊形，四邊形cd