第13章 矩陣位移法

1、1 基本要求：熟練掌握兩種坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣、 結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣、等效結(jié)點 荷載的形成，已知結(jié)點位移求單 元桿端力的計算方法，整體剛度 矩陣和結(jié)構(gòu)結(jié)點荷載的集成過程。理解單元剛度矩陣中和整體剛度矩陣中的 元素的物理意義。了解不計軸向變形時矩形剛架的整體分析.MATRIX DISPLACEMENT METHOD213-1 概述 矩陣位移法以傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)作為理論基礎(chǔ)，以矩陣作為數(shù)學(xué)表達(dá)形式，以電子計算機(jī)作為計算手段，三位一體的方法。 手算與電算的不同：手算：怕繁，討厭重復(fù)性的大量運算，追求機(jī)靈的計算技巧， 運算次數(shù)較少的方法。電算：怕亂，討厭頭緒太多，零敲碎打的算法，追求計算過 程程序化，

2、通用性強的方法。矩陣位移法（有限單元法finite element method）的基本思路是： 先將結(jié)構(gòu)離散成有限個單元，然后再將這些單元按一定條件集合成整體。這樣，就使一個復(fù)雜結(jié)構(gòu)的計算問題轉(zhuǎn)化為有限個簡單單元的分析與集成問題。有限單元法的兩個基本環(huán)節(jié)：1）單元分析：建立單元剛度方程，形成單元剛度矩陣(物理關(guān)系)2）整體分析：由單元剛度矩陣形成整體剛度矩陣，建立結(jié)構(gòu)的 位移法基本方程(幾何關(guān)系、平衡條件)3 單元剛度矩陣是用來表示桿端力與桿端位移之間的物理關(guān)系的，不是新東西，但有幾點新考慮：重新規(guī)定正負(fù)規(guī)則，以矩陣的形式表示，討論桿件單元的一般情況。桿端局部編碼與局部坐標(biāo)系桿端局部編碼與局

3、部坐標(biāo)系eE，A，Il局部坐標(biāo)系中的桿端位移分量1u2u1v2v2q1q2M2Y2X1X1M1Y局部坐標(biāo)系中的桿端力分量 = F222111MYXMYXee222111qqvuvue= De12yx13-2 單元剛度矩陣（局部坐標(biāo)系） (element stiffness matrix)4單元剛度方程單元剛度方程FD方程1q 1u1v2v2q 2u1X1Y1M2X2Y2M)(,1221uulNXNX-=D=-=llEAND=)(),(212211uulEAXuulEAX-=-=由虎克定律：由轉(zhuǎn)角位移方程，并考慮：2QYBA=1,QYAB-=12,vv -=D()212212212)(6vvlE

4、IlEIY-+-=qq()212212112)(6vvlEIlEIY-+=qq()212212642vvlEIlEIlEIM-+=qq()212211624vvlEIlEIlEIM-+=qq5222111MYXMYXe222111qqvuvue-lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323= kee（135）單元剛度方程（136）單元剛度矩陣單元剛度矩陣的性質(zhì)單元剛度矩陣的性質(zhì) 1）單元剛度矩陣是桿端力用桿端位移來表達(dá)的聯(lián)系

5、矩陣。 2）其中每個元素稱為單元剛度系數(shù)，表示由于單位桿端位移引起的桿端力。63k如 第 個桿端位移分量 =1時引起的第 個桿端力2M1q三六ijkji jDjiijkk=?反力互等定理212221121121DD=kkkkFFD= kF6 3）單元剛度矩陣是對稱矩陣。 4）第k列元素分別表示當(dāng)?shù)趉個桿端位移=1時引起的六個桿端力分量。 5）一般單元的單元剛度矩陣是奇異矩陣。 不存在逆矩陣0=k De Fe正問題力學(xué)模型將單元視為“兩端有六個人工控制的附加約束的桿件” De控制附加約束加以指定。解的性質(zhì)為任何值時， De Fe 都有唯一的解答。且總是一個平衡力系，不可能是不平 衡力系。 De

6、Fe反問題將單元視為“兩端自由的桿件”。 Fe直接加在自由端作為指定的桿端力 Fe 為不平衡力系時 沒有靜力解。 De Fe 為平衡力系時 有無窮多組解。 De1X1Y1M2X2Y2M1X1Y1M2X2Y2MD= kF72v=10312lEI312lEI-EI26l-EI26l-01v=10312lEI312lEI-EI26lEI26l0-=lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000222323222323e 第二列元素第二列元素變符號即第五列

7、變符號即第五列 第一列元素第一列元素變符號即第四列變符號即第四列 第二行元素第二行元素變符號即第五行變符號即第五行 第一行元素第一行元素變符號即第四行變符號即第四行8特殊單元特殊單元單元的某個或某些桿端位移的值已知為零。如梁單元、柱單元。特殊單元的單元剛度矩陣，可由一般單元的單元剛度矩陣刪除 與零桿端位移對應(yīng)的行和列得到。02211=vuvu-lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEA460260612061200000260460612061200000222323222323 =lEIlEIlEIlEIk4224

8、為了使計算過程程序化、標(biāo)準(zhǔn)化、自動化，只采用一般單元 的剛度矩陣作為標(biāo)準(zhǔn)形式。各種特殊單元的剛度矩陣有計算 機(jī)程序去自動形成。某些特殊單元的剛度矩陣是可逆的。121q2q122M1M9選局部坐標(biāo)系推導(dǎo)單元剛度矩陣方便且單元剛度矩陣的形式簡單。選整體坐標(biāo)系是為進(jìn)行整體分析。按一個統(tǒng)一的坐標(biāo)系來建立各 單元的剛度矩陣單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣1X1Y1M2X2Y2Myx1X1Y1M2X2Y2Myxyxyx11111111cossinsincosMMYXYYXX=+-=+=13-3 單元剛度矩陣（整體坐標(biāo)系）22222222cossinsincosMMYXYYXX=+-=+=局部坐標(biāo)系中的桿端

9、力整體坐標(biāo)系中的桿端力10=222111MYXMYX222111MYXMYX-1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T是一正交矩陣。TTT1=-同理：整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣D= kF設(shè)：將（a）、（b）代入（a）（b）D=TkFTD=TkTFTTTTFTF=FTFT=D=DTD=DTTD= kF =T111）ijk 表示在整體坐標(biāo)系第j個桿端位移分量=1時引起的第i個桿端力分量。 2）k 是對稱矩陣。3）一般單元的k是奇異矩陣。 例13-1 求圖示剛架中各單元在整體標(biāo)系中的單元剛度矩

10、陣。設(shè)各桿的幾何尺寸相同。l=5m，A=0.5m2, I=1/24m4E=3107kN/m2441025,10300=lEIlEA21與 比較 D= kFD=TkTFTTTT I k，k 同階,性質(zhì)類似：=0000221122211211221122211211TTkkkkTTkkkkTT12解：（1）求kek1k2=503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104（2）求 ke kkIT=,11單元 =9021單元 =0 -=100000001000010000000100000001000010Tk2=

11、500300300030012-1000300300030012-500300300030012-100030030003012104-=100001010100300301200030010000101011111111TkTkT13結(jié)點力、結(jié)點位移、形成總剛度矩陣結(jié)點力、結(jié)點位移、形成總剛度矩陣(傳統(tǒng)位移法傳統(tǒng)位移法)123F1F2F3123F1F2F31=11K11K21K31 K12 K22K32 2=12K13 K23K33 3=13333232131332322212123132121111D+D+D=D+D+D=D+D+D=KKKFKKKFKKKFF = KK 為整體剛度矩陣，簡

12、稱總剛。13-4 連續(xù)梁的整體分析assembly analysis of continuous beam14整體剛度矩陣(assembled stiffniss matrix)的性質(zhì) 1）總剛是結(jié)點力用結(jié)點位移來表達(dá)的聯(lián)系矩陣。 2）K中的元素Kij表示第j個結(jié)點位移分量j=1（其它結(jié)點 位移分量=0）時所產(chǎn)生的第i個結(jié)點力。 3）K是對稱矩陣。 4）如果引入支承條件，K是可逆矩陣。形成整體剛度矩陣形成整體剛度矩陣2=1K12 K22K32 112=D112k121k221211=D2k112k212結(jié)點發(fā)生單位位移桿端發(fā)生單位位移變形協(xié)調(diào)條件產(chǎn)生附加約束中約束力(總剛元素)產(chǎn)生桿端力(單剛

13、元素)平衡條件總剛元素是由單剛元素集合而成K22k221k112k212K32 綜上所述，直接剛度法是根據(jù)單元的結(jié)點位移分量的直接剛度法是根據(jù)單元的結(jié)點位移分量的局部碼和總碼之間的對應(yīng)關(guān)系，由單元剛度矩陣集成結(jié)構(gòu)局部碼和總碼之間的對應(yīng)關(guān)系，由單元剛度矩陣集成結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣。整體剛度矩陣。15直接剛度法形成總剛(剛度集成法) 首先要注意同一個結(jié)點位移在整體中與在各單元中兩種編碼不同。單元結(jié)點位移總碼按局部碼順序排列而成的向量稱為“單元定位向量” (element localization vector) 。e單元對應(yīng)關(guān)系：局部碼總碼單元定位向量e12A （1） 1B （2） 2 =112B （

14、1） 2C （2） 3 =223 將各單元的單剛的行列局部碼（i）、（j）換成對應(yīng)的結(jié)點位移總碼i、 j，按此行列總碼將單剛元素送入總剛。即:k(i)(j)jiK2112213ABC(1)(2) (1)(2)整體分析用總碼，單元分析用局部碼整體分析用總碼，單元分析用局部碼16例13-2 試求圖示連續(xù)梁的整體剛度矩陣K。i1i2i31230123解：1）編碼凡給定 為零的結(jié)點位移分 量,其總碼均編為零。 =112 =2232）單元定位向量 =3303）求單剛并集成總剛(1) (2)1 2 =K1 2 31 23在給節(jié)點位移編碼時已經(jīng)考慮了支承條件。(先處理法) k=4i12i12i14i14i1

15、2i12i14i1 k=4i22i22i24i2(1) (2)2 34i22i22i24i2+ k=4i32i32i34i3(1) (2)3 04i3+171n2312n+1對于n跨連續(xù)梁，有n+1個節(jié)點，不難導(dǎo)出整體剛度矩陣如下：4i12i12i14(i1+ i2)02i24(i1+ i2)02i22i3002in-14(In-1+ in) 2in2in4in000K=Kn+1，n+1是稀疏矩陣和帶狀矩陣。) 1, 3 , 2(2), 3 , 2(44,4,411111, 1111+ = =+=-+njiKKnjiiKiKiKjjjjjjjjjnnn1n23181）結(jié)點位移分量增加到三個；2

16、）各桿方向不盡相同，要進(jìn)行坐標(biāo)變換；3）除了剛結(jié)點，還要考慮鉸結(jié)點等其它情況。1、結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼總碼yx000123040結(jié)點位移列陣:=1 2 3 4T =uA vA A CT結(jié)點力列陣:F=F1 F2 F3 F4T2、單元定位向量211(1)(2)(3)(4)(6) (5)2(1)(2)(3)(5)(4)(6) =11 2 3 0 0 4T =21 2 3 0 0 0TACB13-5 剛架的整體剛度矩陣(assembly analysis of frame)情況復(fù)雜：193、單元集成過程K=1 2 3 4104503003012000300-10030030120003005030

17、03012000300-1003003012000300-104 1 2 3 0 0 430012301003010050305030k =11 2 3 0 0 0 k2=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-100030030003012104+1230+30030+100201）結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼總碼 鉸結(jié)點處的兩桿端結(jié)點應(yīng)看 作半獨立的兩個結(jié)點（C1和 C2） 它們的線位移相同， 角位移不同，00012321A C1B D000456475C234、鉸結(jié)點、鉸結(jié)點(hinge joint)的處理的處理線位移采用同碼，角位移采

18、用異碼。2）單元定位向量： =11 2 3 4 5 6T =21 2 3 0 0 0T =34 5 7 0 0 0T3）按次序進(jìn)行單元集成：21503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104k =1 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 7300500-3010030000-30000 01230 0-12300301000-30500-12-30012-30K=104 -30000300001 2 3 0 0 0k2=500300300030012-1000300300030012-500300

19、300030012-100030030003012104+12+030+0+300+030+0+100k3=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-1000300300030121044 5 7 0 0 0 +12+030+0+300+030+0+10030?221、整體剛度方程、整體剛度方程 F=K （a） 表示由表示由F結(jié)點力結(jié)點力的關(guān)系式。反映了結(jié)構(gòu)的剛度性質(zhì)，的關(guān)系式。反映了結(jié)構(gòu)的剛度性質(zhì)， 不涉及結(jié)構(gòu)上的實際荷載。不涉及結(jié)構(gòu)上的實際荷載。2、位移法基本方程、位移法基本方程 在給結(jié)點位移分量編總碼時，已考慮了結(jié)構(gòu)的支承連接情況，

20、在給結(jié)點位移分量編總碼時，已考慮了結(jié)構(gòu)的支承連接情況， K是非奇異矩陣。是非奇異矩陣。 如果已知結(jié)構(gòu)上的結(jié)點荷載如果已知結(jié)構(gòu)上的結(jié)點荷載P，（，（a）就是求結(jié)點位移）就是求結(jié)點位移 的位移法基本方程的位移法基本方程。P=K（b）注：結(jié)點力與結(jié)點荷載的不同。結(jié)點力是發(fā)生給定的結(jié)點位移，注：結(jié)點力與結(jié)點荷載的不同。結(jié)點力是發(fā)生給定的結(jié)點位移， 在結(jié)點上所需施加的力，它與體系的剛度有關(guān)，由剛度方在結(jié)點上所需施加的力，它與體系的剛度有關(guān)，由剛度方 程確定。而結(jié)點荷載是給定的程確定。而結(jié)點荷載是給定的,與體系無關(guān)。由結(jié)點荷載與體系無關(guān)。由結(jié)點荷載 產(chǎn)產(chǎn) 生的未知結(jié)點位移由位移法基本方程求解。生的未知結(jié)點

21、位移由位移法基本方程求解。3、等效結(jié)點荷載、等效結(jié)點荷載 平衡方程的荷載平衡方程的荷載P是作用在結(jié)點上的集中荷載，當(dāng)荷載不是作用在結(jié)點上的集中荷載，當(dāng)荷載不是結(jié)點集中荷載時，應(yīng)化成等效結(jié)點荷載。是結(jié)點集中荷載時，應(yīng)化成等效結(jié)點荷載。13-6 等效結(jié)點荷載(equivalent joint load)23123FP2FP1FP3P2P1P3結(jié)點約束力FP =-FP2 =-FP1-FP3=1323=2=1等效結(jié)點荷載P=FPv除了結(jié)點位移外，等效結(jié)點荷載與原荷載產(chǎn)生的其它位移除了結(jié)點位移外，等效結(jié)點荷載與原荷載產(chǎn)生的其它位移 和內(nèi)力并不相同。和內(nèi)力并不相同。v等效結(jié)點荷載為位移法基本體系附加約束中

22、約束力的負(fù)值。等效結(jié)點荷載為位移法基本體系附加約束中約束力的負(fù)值。 而約束力為各固端力之和。所以求結(jié)構(gòu)等效結(jié)點荷載應(yīng)該而約束力為各固端力之和。所以求結(jié)構(gòu)等效結(jié)點荷載應(yīng)該 先求出單元的等效結(jié)點荷載，它是單元固端力的負(fù)值。先求出單元的等效結(jié)點荷載，它是單元固端力的負(fù)值。0=+PFP位移法方程：位移法方程：由由 求得求得D= KP注意：注意：v非結(jié)點荷載與等效結(jié)點荷載等效的條件是，兩者產(chǎn)生相同非結(jié)點荷載與等效結(jié)點荷載等效的條件是，兩者產(chǎn)生相同 結(jié)點位移。在基本體系上產(chǎn)生相同的結(jié)點約束力。結(jié)點位移。在基本體系上產(chǎn)生相同的結(jié)點約束力。244、按單元集成法求整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載、按單元集成法求整體結(jié)構(gòu)的

23、等效結(jié)點荷載 局部坐標(biāo)系中的單元固端約束力PFe整體坐標(biāo)系中的單元等效結(jié)點荷載 PTFTP-=ee整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載P 由各單元P 中的元素按在P中進(jìn)行定位并累加。e等效結(jié)點荷載與直接結(jié)點荷載疊加，即得結(jié)構(gòu)的結(jié)點荷載。4.8kN/m2.5m2.5m5m8kN12yx例13-3 求圖示結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載P. PFe解:1)求單元,.10120111mkNMkNYXPPP-=-=mkNMkNYXPPP.10120222=-=單元,.540111mkNMkNYXPPP=mkNMkNYXPPP.540222-= TPF1012010120-= TPF540540-=252)求 PTFTP-=單元的

24、傾角1=01 2 3 0 0 4單元的傾角2=90123000P=123401210-10+4 +05 -=-=-=504504540540100000001000010000000100000001000010PTFTP TPPTFIFTP1012010120-=-=-=4 125-10 TPF1012010120-= TPF540540-=261）整理原始數(shù)據(jù)，進(jìn)行局部編碼和整體編碼。2）用式（13-6）形成局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣3）用式（13-21）形成整體坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣4）用單元集成法形成整體剛度矩陣K5）形成整體結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點荷載6）解方程K=P， 求出結(jié)點位移。7）求各

25、桿桿端力123FP2FP1FP3P2P1P3 =-FP2 =-FP1-FP3=1323=2=1固端力FP桿端位移產(chǎn)生的桿端力PkkFDkPFkF+D=計算步驟13-7 計算步驟和算例27000123000456例13-4:求內(nèi)力。橫梁b1h1=0.5m 1.26m,立柱b2h2=0.5m 1m.6m12m1kN/m213xy.1031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132,103 .83,1094. 6, 6,241, 5 . 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA柱.1058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132

26、,105 .52,1094. 6,12,121,63. 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA梁解:1)原始數(shù)據(jù)及編碼28.1031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132,103 .83,1094. 6, 6,241, 5 . 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA柱-=lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000222323222323e=8 .2794. 609

27、4. 631. 20003 .83kk139 .1394. 6094. 631. 20003 .83-8 .2794. 609 .1394. 6094. 631. 2094. 631. 20003 .83003 .83-.1058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132,105 .52,1094. 6,12,121,63. 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA梁103-=8 .2747. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .5

28、28 .2747. 3047. 358. 00005 .52k21032)形成k293) 形成k 單元、(=90o)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為 -=100000001000010000000100000001000010T-=1000010108 .2794. 6094. 631. 20003 .8310000101011111111TkTkT-=8 .27094. 603 .83094. 6031. 2kk131039 .13094. 603 .83094. 6031. 2-8 .27094. 69 .13094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 2-單元(=0o

29、)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為單位矩陣所以:kk=224) 形成K=00032112=654321=0006543+11k+11k=22211211kkkkK30-=6 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.549 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .526 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.54K1035) 求等效節(jié)點荷載P=3-30330F:P固端力1=-=3033-03PPTFT11單元在整體坐標(biāo)系中的等效節(jié)點荷載000321集 成 等效 節(jié) 點荷載=0003-03P31

30、6) 解基本方程-=DDDDDD-0003036 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.549 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .526 .5547. 394. 647. 388.83094. 6081.54106543213-=DDDDDD5 .9613. 58244 .2813. 584765432132=00032112=654321=0006543-=DDDDDD5 .9613. 58244 .2813. 5847654321-=D5 .9613. 58244 .2813. 58477

31、) 求桿端力 單元T0004 .2813. 5847-=D1=+D= PFTkF-=-+-49. 876. 443. 009. 224. 143. 03303300004 .2813. 58471000000010000100000001000000010000108 .2794. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .838 .2794. 6094. 631. 20003 .83103=+D= PFTkF-=-04. 343. 024. 109. 243. 024. 15 .96

32、13. 58244 .2813. 58478 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .5210333=00032112=654321=0006543-=DDDDDD5 .9613. 58244 .2813. 5847654321=D0005 .9613. 5824=+D= PFTkF-=-38. 424. 143. 004. 324. 143. 00005 .9613. 582410000000100001000

33、00001000000010000108 .2794. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .838 .2794. 6094. 631. 20003 .83103T38. 424. 143. 004. 324. 143. 0-TF04. 343. 024. 109. 243. 024. 1 -=TF49. 876. 443. 009. 224. 143. 0-=8.492.093.044.38M圖(kN.m)4.761.240.43 1.241.24Q圖(kN)N=0.43N=1.

34、24N=0.43N圖(kN)341）結(jié)點位移分量的統(tǒng)一編碼總碼 在剛結(jié)點A鉸結(jié)點C1和C2處， 豎向位移均為零，故其編碼 也應(yīng)為零，另外它們的水平 位移分量都相等，因此它們 的水平位移應(yīng)采用同碼。00010221A C1B D000103140C232）單元定位向量： =11 0 2 1 0 3T =21 0 2 0 0 0T =31 0 4 0 0 0T3）按次序進(jìn)行單元集成：13-8 忽略軸向變形時矩形剛架的整體分析35503003012000300-1003003012000300503003012000300-1003003012000300-104k =1 1 0 2 1 0 31

35、2 3 4 1234102103300030001000 +050300+0+300+0050+01001 0 2 0 0 0k2=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-1000300300030121041020000 0 00 100 500 50 100+123030+100k3=500300300030012-1000300300030012-500300300030012-1000300300030121041 0 4 0 0 0104000+123030+100K=104 36例13-5:求內(nèi)力。橫梁b1h1=0.5m 1

36、.26m,立柱b2h2=0.5m 1m 忽略軸向變形的影響。.6m12m1kN/m.1031. 212,1094. 66,108 .274,109 .132,103 .83,1094. 6, 6,241, 5 . 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA柱.1058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132,105 .52,1094. 6,12,121,63. 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA梁解:1)原始數(shù)據(jù)及編碼000102000103213xy37.1031. 212,1094. 66,108 .274,1

37、09 .132,103 .83,1094. 6, 6,241, 5 . 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA柱-=lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAk460260612061200000260460612061200000222323222323e=8 .2794. 6094. 631. 20003 .83kk139 .1394. 6094. 631. 20003 .83-8 .2794. 609 .1394. 6094. 631. 2094. 631. 20003 .83003

38、 .83-.1058. 012,1047. 36,108 .274,109 .132,105 .52,1094. 6,12,121,63. 0:33323333-=lEIlEIlEIlEIlEAlEIlIA梁103-=8 .2747. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .529 .1347. 3047. 358. 00005 .528 .2747. 3047. 358. 00005 .52k21032)形成k383) 形成k 單元、(=90o)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為 -=100000001000010000000100000001000010T

39、-=1000010108 .2794. 6094. 631. 20003 .8310000101011111111TkTkT-=8 .27094. 603 .83094. 6031. 2kk131039 .13094. 603 .83094. 6031. 2-8 .27094. 69 .13094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 2-單元(=0o)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為單位矩陣所以:kk=224) 形成K=00020112=301201=000301339 1 0 2 0 0 0-=-8 .27094. 69 .13094. 603 .83003 .83094

40、. 6031. 294. 6031. 29 .13094. 68 .27094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 2103k1020002.316.9427.86.94-=-8 .27094. 69 .13094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 29 .13094. 68 .27094. 603 .83003 .83094. 6031. 294. 6031. 2103k 1 0 3 0 0 0103000+2.316.946.9427.8-=-8 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047

41、. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .52103k 1 0 2 1 0 3102103+52.5 52.5+0+0+52.552.5+0+27.8+013.9+0+0+013.9+27.8+0 4.62 6.94 6.946.94 55.6 13.96.94 13.9 55.61 2 3 123K=103405) 求等效節(jié)點荷載P=3-30330F:P固端力1=-=3033-03PPTFT11單元在整體坐標(biāo)系中的等效節(jié)點荷載000201集 成 等效 節(jié) 點荷載=03-3P6)

42、 解基本方程=-=-9 .971 .26838:0336 .559 .1394. 69 .136 .5594. 694. 694. 662. 4103BAABAAuuqqqq解得41=D9 .9708381 .2608387) 求桿端力 單元T0001 .260838=D1=+D= PFTkF-=-+-41. 875. 4009. 225. 103303300001 .2608381000000010000100000001000000010000108 .2794. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094.

43、 631. 20003 .838 .2794. 6094. 631. 20003 .83103=+D= PFTkF-=-09. 343. 0009. 243. 009 .9708381 .2608388 .2747. 309 .1347. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .529 .1347. 308 .2747. 3047. 358. 0047. 358. 00005 .52005 .5210342=D0009 .970838=+D= PFTkF-=-47. 425. 1009. 325. 100009 .970838100000001000010000

44、0001000000010000108 .2794. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .839 .1394. 6094. 631. 20003 .838 .2794. 6094. 631. 20003 .83103T47. 425. 1009. 325. 10-TF09. 343. 0009. 243. 00-=TF41. 875. 4009. 225. 10-=8.412.093.094.47M圖(kN.m)4.751.250.43 1.251.25Q圖(kN)N=0.43N=1.25N=0.43N圖(kN) 由單元剛度方程求出的桿

45、端軸 力為零。為什么？ 根據(jù)節(jié)點平衡由剪力求軸力。TF04. 343. 024. 109. 243. 024. 1 -=TF49. 876. 443. 009. 224. 143. 0-=TF38.424.143.004.324.143.0-= 軸向變形影響不大。43單元的剛度方程(局部坐標(biāo)）u1u2X1X2e12)(),(212211uulEAXuulEAX-=-=-=21211111uulEAXXX1X2Y2Y1X1X2yxx-=221122110000010100000101vuvulEAYXYX -=cossin00sincos0000cossin00sincosT注意：桁架單元的結(jié)點

46、轉(zhuǎn)角不是基本未知量。無須求等效結(jié)點荷載。桿端力是由結(jié)點位移產(chǎn)生的。D=TkF13-9 桁架及組合結(jié)構(gòu)的整體分析坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣單元的剛度方程(整體坐標(biāo)）44 3ll 10kN10kN例13-6 求圖示桁架內(nèi)力(EA=常數(shù))。解：1、編碼如圖 ；124002、形成k6 , 5,000001010000010124 , 3 , 2 , 1,0000010100000101=-=-=lEAklEAk3、形成kk=k=k=k單元=90-=011011Tk=k=lEA-=01100001011011111111lEATkTkT1000-1000-1000100045單元=45-=11112111Tk=lEA

47、22- -=1111000111112211111111lEATkTkT1111-11111111-1111單元=135-=11112111Tk=lEA22-=1111000111112211111111lEATkTkT1111-1111-1111-1111- 3ll 10kN10kN124004、集成總剛KTT4321 ,0021 =TT00000043=TT00430021 =lEAK-=35. 135. 00035. 035. 1010035. 135. 00135. 035. 15、節(jié)點荷載T0010-10=P46-=-00101035. 135. 00035. 035. 101003

48、5. 135. 00135. 035. 1DDCCvuvulEA6、解基本方程lEAvuvuDDCC-=58. 536.2142.1494.267、桿端力計算=D.-=-=D=042.14042.140042.1494.2601001000000100100000010100000101TkF-=-=D=058. 5058. 558. 536.2142.1494.2610000100001000010000010100000101TkF0021lEA-=D0042.1494.26 4321.=D lEA-=D58. 536.2142.1494.2647節(jié)點位移分量自由節(jié)點位移分量(基本未知量，

49、相應(yīng)的節(jié)點荷載已知)受約束的位移分量(已知量，相應(yīng)的約束反力未知)先處理法1、節(jié)點位移分量中不含受約束的支座位移，節(jié)點力分量中不 含未知的支座反力。2、由單剛考慮邊界條件K3、對于具有非剛性連接、支承節(jié)點較多且分散、不考慮軸向 變形的結(jié)構(gòu)最為方便。可減少內(nèi)存，提高計算速度。但要 對各節(jié)位移進(jìn)行統(tǒng)一編碼，形成各單元的定位向量。后處理法1、節(jié)點位移分量中含有受約束的支座位移，節(jié)點力分量中含 有未知的支座反力。2、由單剛考慮邊界條件KK(原始剛度矩陣,奇異)3、每個節(jié)點位移分量數(shù)相同， 的階數(shù)是節(jié)點總數(shù)乘節(jié)點位 移 分量數(shù)，整個分析過程便于編制通用程序。適用于節(jié)點 多支座約束少，考慮軸向變形的結(jié)構(gòu)。

50、但占用內(nèi)存大。K48后處理法邊界條件的處理 在后處理法中，由于沒有考慮邊界條件，由k集成的 是奇異矩陣，由單元集合成的體系是自由體，具有剛體位移。 KPK=D沒有確定的位移解。位移邊界條件處理的三種方法：1、劃行劃列法 編制程序較復(fù)雜，不常采用。2、主對角元置大數(shù)法設(shè)第 i 個節(jié)點位移分量 (已知)0di=D =D D DD nininnninniniiiininiPPPPkkkkkkkkkkkkkkkk212121212222211112110di=D為了將第 i 個方程改為:將 kii 置一大數(shù)如R=1020 Pi 改為 Rd0第 i 個方程變?yōu)?00112211dRdkRkkiiiii=D=D+ +D+ +D+D該法雖為近似處理，程序設(shè)計容