三線擺測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1、1三線擺測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(Determination of the Moment of Inertia, Using aTrilinear T orsion Pendulum )轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是表征剛體轉(zhuǎn)動(dòng)特性的物理量，是研究、設(shè)計(jì)、控制轉(zhuǎn)動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的重 要參數(shù)。如鐘表擺輪的體形設(shè)計(jì)，直升機(jī)的螺旋槳、槍炮的彈丸、機(jī)器零件的設(shè)計(jì)，導(dǎo)彈 和衛(wèi)星的發(fā)射、控制等，必然涉及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小。因此測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有重要的 實(shí)際意義。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的總質(zhì)量、形狀和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。對(duì)于形狀較復(fù)雜的剛體用數(shù)學(xué)方法求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量非常困難，一般采用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)定。測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)方法有多種，如三 線擺法、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x法及

2、扭擺法等。本實(shí)驗(yàn)采用三線擺法，其特點(diǎn)是操作簡(jiǎn)單，對(duì)于形狀 較復(fù)雜的剛體，如槍炮、彈丸、電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子、機(jī)器零件等都可以測(cè)量出其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 學(xué)習(xí)用三線擺測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2 驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。儀器用具轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)定儀一臺(tái)（圖 3.4-1 ）、圓環(huán)（一個(gè)）、圓柱體（兩個(gè)）。789MS-1 多功能毫秒儀次數(shù)預(yù)置+5VGND IN PU T 輸入低電平 查閱-R ESET查閱+圖 3.4-11-啟動(dòng)盤鎖緊螺釘；2-擺線鎖緊螺釘；3-啟動(dòng)盤；4-擺線調(diào)節(jié)螺釘；5-擺線；6-懸盤;7-磁鋼（粘于懸盤下面）；8-霍爾探頭；9-支架調(diào)節(jié)螺釘；10-MS-1型多功能毫秒儀實(shí)驗(yàn)原理剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

3、量等于組成剛體的各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與各質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離平方的乘 積之和。由上述定義可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)；剛體系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于系統(tǒng)中每一剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。一測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。兩半徑分別為r 和 R （ R，.r J的剛性均勻圓盤，用均勻分布的三條等長(zhǎng)丨的無彈性、無質(zhì)量的細(xì)線相連，半徑為r 的圓盤在上，作為啟動(dòng)盤，其懸點(diǎn)到盤心的距離為r ;半徑為R 的圓盤在下，作為懸盤，其懸點(diǎn)到盤心的距離為R。將啟動(dòng)盤固定，則構(gòu)成一振動(dòng)系統(tǒng)，稱為三線擺（圖3.4-2 ）。當(dāng)施加力矩使懸盤轉(zhuǎn)過角 二后，懸盤將繞中心軸00 做角簡(jiǎn) 諧振動(dòng)。如圖3.4-2所示，當(dāng)懸盤轉(zhuǎn)過 v角時(shí)，

4、懸線點(diǎn)A上升到A',懸盤上升高度為H。貝U2 2 2hi =l (R _r)可得：當(dāng)二很小時(shí)，括號(hào)中第二項(xiàng)遠(yuǎn)小于2 2 2 2 . 2 .h2 =1 (R +r 2RrcosO)=h1 2Rr(1cos 日)(3.4-1)11H =n h2 =0 h； 2 Rr (1 cos v)2 =n h1,作近似1 2Rr (1 -cos H)=Rr(1cosy ( 3.4-2 )hi2h1式中，h1為兩盤靜止時(shí)的垂直距離，V和H均為時(shí)間的函數(shù)。因系統(tǒng)遵從機(jī)械能守恒，則對(duì)懸盤有下式1 . 2 . . 1Jo m°gH m°vm°gH °2 2(343 )式

5、中，H為懸盤轉(zhuǎn)到角V時(shí)上升的高度，Ho為懸盤上升的最大高度，mo是懸盤的質(zhì)量，Jo是懸盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，是懸盤轉(zhuǎn)至角 二、上升至H時(shí)的角速度 空,v是 懸盤的上升速度dHdt將式（3.4-2dH。）和式（3.4-3 ）分別對(duì)時(shí)間微分，經(jīng)合并整理,d vmogRr 一rdt此式表明，懸盤在作角簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)周期為Jo hi2Rr (1 cos2振動(dòng)圖法342動(dòng)慣量三線擺(3443#To =2 7：i_jJ 0mogRr因此，可知懸盤空載時(shí)繞中心軸作扭轉(zhuǎn)擺動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mogRr 2Jo - - To4兀hi由式（345 ）可以看出，振動(dòng)系統(tǒng)的周期將取決于結(jié)構(gòu)參數(shù) R , r , h1和振子

6、（懸盤） 的質(zhì)量m0及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J0 （而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量又與質(zhì)量和質(zhì)量分布狀況有關(guān)） 。如果將質(zhì)量為m,， 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,的圓環(huán)放在懸盤上，則新振子質(zhì)量為 mo + mi，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J°+Ji，則此新振 動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期將發(fā)生改變Ti=2 二hi(Jo - Ji)(mo - mi )gRr(347)若懸盤的m0、Jo為已知，可用比較法求得 解，得Ji，即聯(lián)立式（3.4-5 ）和式（3.4-7 ）求Jimi)Jomo2miTi) 2moTo(348)5#測(cè)出mi、To、Ti后代入式（3.4-8 ）即可求得Ji。二.驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。剛體對(duì)任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)通過質(zhì)心并與該軸平行

7、的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc加上剛體質(zhì)量與兩軸間距離h的二次方的乘積，即這就是平行軸定理。J 二 Jc-mh在驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理時(shí)，將兩個(gè)直徑為D柱、質(zhì)量都為M2 ,形狀完全相同的圓柱體對(duì)稱地放置在懸盤 B上，使圓柱體的中心軸到轉(zhuǎn)軸的距離為d。則兩圓柱體和懸盤共同繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2為J2J柱 J。Jmo 2M2)gRrT2224 二 h1式中，T2為該系統(tǒng)繞軸的擺動(dòng)周期。由此，可測(cè)定一個(gè)圓柱體移軸后的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量i (m。+2M 2) gRr T2J 柱 N 不T2o(3.4-9 )J柱(3.4-iQ )根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理，可以計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論值22d(3.4-ii )其中M 2r柱是圓柱體

8、對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2實(shí)驗(yàn)內(nèi)容i.調(diào)節(jié)三線擺。以水平儀為參照，首先通過調(diào)整底盤三個(gè)黑色螺母調(diào)整啟動(dòng)盤水平，然后通過調(diào)整啟動(dòng)盤的擺線調(diào)節(jié)旋鈕改變懸線的長(zhǎng)度，來調(diào)整懸盤水平。2.調(diào)節(jié)霍爾探頭和毫秒儀。#使其恰好在懸盤下面粘著的小磁鋼的下方5mm左右，此時(shí)毫(1) 調(diào)節(jié)霍爾探頭的位置, 秒儀的低電平指示發(fā)光管亮。 調(diào)節(jié)毫秒儀的次數(shù)為“ 20”次，然后按 RESET鍵復(fù)位3. 測(cè)量懸盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量j0(1)見圖3.4-3，分別測(cè)量啟動(dòng)盤和懸盤的三個(gè)懸點(diǎn)之間的距離(啟動(dòng)盤分別為 a、a2、a3，懸盤分別為bi、&、b3)，用游標(biāo)卡尺測(cè) 量懸盤的直徑d1。根據(jù)r 3b和r -a計(jì)算懸點(diǎn)到盤中心的距

9、3 3(2)用米尺測(cè)量啟動(dòng)盤、懸盤之間的距離h1。(3)記錄懸盤的質(zhì)量mo。離r及R。#(4)測(cè)量懸盤擺動(dòng)周期t0。輕輕旋轉(zhuǎn)啟動(dòng)盤，使懸盤作扭轉(zhuǎn)擺動(dòng)(擺角小于50)，記錄10個(gè)周期的時(shí)間10T0，測(cè)量多次。(5)計(jì)算懸盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量j0 ,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義計(jì)算出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論值J0，將二者進(jìn)行比較。4. 測(cè)量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 j1。(1) 在懸盤上放上圓環(huán)并使它的中心對(duì)準(zhǔn)懸盤中心。(2) 測(cè)量懸盤加圓環(huán)的扭轉(zhuǎn)擺動(dòng)周期10t1，測(cè)量多次。(3) 用游標(biāo)卡尺測(cè)量并記錄圓環(huán)的內(nèi)、外直徑D內(nèi)和D外，測(cè)量多次。(4) 計(jì)算圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J1，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義計(jì)算出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論值J；，將二者進(jìn)行比較。5.驗(yàn)證平行軸定理。(1) 將兩個(gè)相同的圓柱體按照懸盤上的圓刻線對(duì) 稱地放在懸盤上，使圓柱體的外邊緣與刻線相切，則 兩圓柱體中心軸線的距離 2d =D槽_D柱。D槽為懸點(diǎn) 所在圓的直徑(圖 3.4-4 )。(2) 測(cè)量扭轉(zhuǎn)擺動(dòng)周期10T2，測(cè)量多次。(3) 測(cè)量圓柱的直徑D柱和懸盤上刻線直徑D槽，各測(cè)多次。記錄兩個(gè)圓柱體的總質(zhì)量2M2。計(jì)算圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J柱，并