初中幾何經(jīng)典例題及解題技巧.

1、初中幾何證明技巧及經(jīng)典試題證明兩線段相等1. 兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。2. 同一三角形中等角對(duì)等邊。3. 等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。4. 平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。5. 直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。6. 線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。7. 角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。8. 過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。*9.同圓（或等圓中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。*10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。11. 兩前項(xiàng) （或兩后項(xiàng)相

2、等的比例式中的兩后項(xiàng) （或兩前項(xiàng)相等。*12.兩圓的內(nèi) （外公切線的長(zhǎng)相等。證明兩個(gè)角相等1. 兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。13. 等于同一線段的兩條線段相等。2. 同一三角形中等邊對(duì)等角。3. 等腰三角形中 ,底邊上的中線 （或高平分頂角。4. 兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。5. 同角（或等角的余角 （或補(bǔ)角相等。*6.同圓（或圓中,等弦（或弧所對(duì)的圓心角相等 ,圓周角相等 ,弦切角等于它所夾的 弧對(duì)的圓周角。 *7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線 ,圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。8. 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。10. 等于同一角的兩個(gè)角

3、相等。證明兩條直線互相垂直1. 等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2. 三角形中一邊的中線若等于這邊一半 ,則這一邊所對(duì)的角是直角。3. 在一個(gè)三角形中 ,若有兩個(gè)角互余 ,則第三個(gè)角是直角。4. 鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。5. 一條直線垂直于平行線中的一條 ,則必垂直于另一條。7. 利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。8. 利用勾股定理的逆定理。6. 兩條直線相交成直角則兩直線垂直。9. 利用菱形的對(duì)角線互相垂直。*10.在圓中平分弦 （或弧的直徑垂直于弦。*11.利用半圓上的圓周角是直角。證明兩直線平行1. 垂直于同一直線的各直線平行。2. 同位角相等 ,內(nèi)錯(cuò)角相

4、等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。3. 平行四邊形的對(duì)邊平行。4. 三角形的中位線平行于第三邊。5. 梯形的中位線平行于兩底。6. 平行于同一直線的兩直線平行。7. 一條直線截三角形的兩邊 （或延長(zhǎng)線所得的線段對(duì)應(yīng)成比例 ,則這條直線平行于第三邊。證明線段的和差倍分1. 作兩條線段的和 ,證明與第三條線段相等。2. 在第三條線段上截取一段等于第一條線段 ,證明余下部分等于第二條線段。3. 延長(zhǎng)短線段為其二倍 ,再證明它與較長(zhǎng)的線段相等。4. 取長(zhǎng)線段的中點(diǎn) ,再證其一半等于短線段。5. 利用一些定理 （三角形的中位線、含 30度的直角三角形、直角三角形斜邊上 的中線、三角形的重心、相似三角 形的性

5、質(zhì)等。證明 角的和差倍分1. 與證明線段的和、差、倍、分思路相同。2. 利用角平分線的定義。3. 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。證明線段不等1. 同一三角形中 ,大角對(duì)大邊。2. 垂線段最短。3. 三角形兩邊之和大于第三邊 ,兩邊之差小于第三邊。4. 在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等 ,則夾角大的第三邊大。*5.同圓或等圓中 ,弧大弦大 ,弦心距小。6. 全量大于它的任何一部分。證明兩角的不等1. 同一三角形中 ,大邊對(duì)大角。2. 三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。3. 在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等 ,第三邊不等 ,第三邊大的 ,兩邊的夾角也大。*4. 同圓或等圓中

6、,弧大則圓周角、圓心角大。證明比例式或等積式1. 利用相似三角形對(duì)應(yīng)線段成比例。2. 利用內(nèi)外角平分線定理。3. 平行線截線段成比例。4. 直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。*5. 與圓有關(guān)的比例定理 -相交弦定理、切割線定理及其推論。6. 利用比利式或等積式化得。證明四點(diǎn)共圓*1.對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。*2.外角等于內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓。*3. 同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓 （頂角在底邊的同側(cè)。*4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。*5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓1fZL 鉗所住 魁吧圭省刖葺隨代薊7握燈:ff的瓦曜A尊t3.1 6靑B棗r列4叩應(yīng)珂J朋2廠仃.詢醐警.叭!訓(xùn)*11

7、學(xué)丨就由'斛“卜恥Il'nF Y-親雪H糾術(shù)4煒耳乖H：翻苛置一?11眸二覧葉 乩那HF®的乖如童呵誹?1”：丁丄籃逹<坤5甲he過忖T .、-2 -'亠=y =-=j對(duì)甬羅號(hào)搐于計(jì)5-與組時(shí)包削一建Pi' «.i 一今和9眠譚 申廳舊劃母*一卜廂go； i蘭呷打奶訥號(hào)AM曲料=護(hù)4-一塩第邊= 富卻昭站梅鐵JL 孑爾 90=1r可野1)陽(yáng)親邊栩菁理甲廳科迪母* iltM-血f； aJ1艸列曠體二：'柿干*町旬找=>.£)11矍也官=i.叮庭老怛訕剖崽住I和證陽(yáng)烙冷関®企；F 血to抄.丄蟲晅Wsffi

8、r右出號(hào)m越段札常.叮胃沁參神爐汕知識(shí)歸納:1.幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本 類型:一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常常可以相互轉(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。2.掌握分析、證明幾何問題的常用方法(1綜合法(由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；(2分析法(執(zhí)果索因從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；(3兩頭湊法:將分析與綜合法合并使用，比較起來

9、，分析法利于思考,綜合法易于 表達(dá)，因此，在實(shí)際思 考問題時(shí)，可合并使用，靈活處理,以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離， 最后達(dá)到證明目的。3.掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。 在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往 需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。.證明線段相等或角相等兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的 方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分 線的性質(zhì)、等腰 三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例

10、 1.已知:如圖 1 所示,?ABC 中,/ =? =C AC BC AD DB AE CF 90,。求證:DE =DF«'II圖1可知” ZA=ZB = 45%由D ft AB中點(diǎn)“可考慮連結(jié)CD,易得5= AD,=NW；分析:由 ?ABC / =? DCF 45。從而不難發(fā)現(xiàn)？證明:連結(jié)CDAC BC A BACB AD DBCD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD = / =/ =? = = / =/ = / =/ =/ =90,? =?A D E CDF DE DF說明:在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂 角

11、的平分線或底邊上的中線可知，ZA ZB = 45S由D是Aft中點(diǎn).可考慮連結(jié)CD,易得CM AD.ABC CDA SSS B D AB CD AE CFBE DF? / = / = =, ?（在？B C E 和？D A F 中,BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F=/ =/ =?.? /=/?(說明:利用三角形全等證明線段求角相等。常須添輔助線 ，制造全等三角形，這時(shí)應(yīng)注意:(1制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量(2添輔助線能夠直接得到的兩個(gè)全等三角形。.證明直線平行或垂直在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用 同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁

12、內(nèi)角的肚，也町辺對(duì)應(yīng)三用曲甲位瓏足理址陽(yáng).Uh購(gòu)康S敦垂直，劉痔化丙iih一個(gè)£ 牛鋭箱互余，威等JK三角形"三踐合一”來證.3.如圖3所晁 設(shè)冊(cè).CQ是MAC的內(nèi)角平分線，ah.豈K分別為a到bp. CQ的壬沖I【rrB ffN C團(tuán)3Sf=由己知，BH平分ZAHG 又BH丄AH延長(zhǎng)AH交tK；于汕 則HA=BN, AH=L 乩于口 »JCA=tM, AK=KM.從而由三角形的中a域定理.知«：延長(zhǎng)AH交BC于M延長(zhǎng)AK交BC于hln T T TTT rl I fe T-h r-AS fe m T T90 °,或KH / BC。同理，延長(zhǎng)AK

13、交NIAI H>i v需申陰 NIAIV6 w H>i v IAI>i= >iV IAIO= VO * ®回NH HV Na va vsv HaN Hav666VHa= HaoeaHN aHV6= v HV T Ha X ilb IS町ian辺對(duì)應(yīng)扳triPh 三用覽甲但我足理tt費(fèi).訕:昭象目線垂Jb町轉(zhuǎn)優(yōu)為lit- 卜銳箱互余.或等服三箱形“三線合一"來證.比如圖3所示，設(shè)tip. CQ是A4/iC的內(nèi)角平分線，AH*豈K分別為A到BF. CQB iK CM3樂 由已知” BH平分me,文BH丄AH,延悵AH交 吠 于汕5(!) BA = BN.

14、 AIBCM. 5llj CA=CM, AK=KM.從而由三角形的中位強(qiáng)定理.知KH"BC.«：延長(zhǎng)AH交BC于M mfe AK交BC于Mn T T TTT rl I fe T-h nS A r 1 T TFkrrtaTT例4.已知:如圖4所示,AB求證:FD丄ED證明一:連結(jié)ADAB AC BD DCDAEBAC BD DCBD ADB DAB DAE二 +=?=?=/ /，/129090在 ?A D E 和 ?B D F 中 ,AE BF B DAE AD BD ADE BDFFD ED? / =/ +/ =?丄,/ / , ?313290 卡底邊上的高.或作底邊上中線

15、，或作頂角平分踐是常用輔助找. > ifj Mt 使 DM=ED,連SFE* FM, BMAF/.下DE證明二:如圖5所示，延長(zhǎng)BD DCBDM CDE DM BDM CDE CE BM C CBM BM ACA ABM AAB AC BF AE AF CE BM = / =/ =二？二=/ =?./ =? =/ = =, , , ?/9090=丄？AEF BFMFE FM DM DE FD ED說明:證明兩直線垂直的方法如下：（1首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見本題證。（2找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個(gè)銳角互余。（3證明二直線的 夾角等于90

16、°IaC分析：在A上截AF = AE .5 + Z6=6tf Zl = 6<r , 22 + Z3= 12<rFoc = Azwr. /. rr= dc證嘛在AC取AF=AE圏6易知 MEO = MW ZI = Z2 . Z1 = Z2 = Z3=Z4-三.證明一線段和的問題（一在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截長(zhǎng)法例5.已知:如圖6所示在？ABC中,/ =? B 60,/ BAC、/ BCA的角平分線AD、CE 相交于 0。求證:AC =AE +CD宀01匕- "2 - 3 -:|>0F/ =? B 60,知? / =

17、 / AEO AFO SAS ?42又/ =? B 60/./ +/ =?/ +/ =?/ =/ =/ =/ =? ? =566016023120123460?FOC DOC AASFC DC即 AC AE CD =+（二延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段， 證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法例6.已知:如圖7£/ D0. 23 -.一一一一s L ：圏6曇知W AATO Z1 = Z*= Z2 = Z3 =c分析：在A4?上截取AF = AE 勺Zl = 6fr. Z2 + Z3= 12（r FOC 三證明：在AC上裁取AF=AE求證:EF =BE

18、+DF分析:此題若仿照例1證明:延長(zhǎng)CB至G，使 BG =在正方形ABCD中,/ =ABG ? =/ =/?ABG ADF SAS AG AF (,13又/ =? EAF 45/ +/ =?/ +/ =?23452145即 / GAE = / FAEEF BE DF中考題:如Sk所示已知為暮邊三角形，延長(zhǎng)IU；到D, S4£BA©JE.并且使AE= 求證：EC=EDA.證明：作DF/AC交BE于F / MfiC是正三豬形MFQ是正三角形XAE=BD，連結(jié) CE、DE 。:.=BA AF EF即 EF=ACAC FDEAC EFD EAC DFE SAS EC ED/(/ =

19、/ ?如圖K所示已知為暮邊三ft形，延長(zhǎng)BC到D,延長(zhǎng)HA到E*井且便AE= 求證：EC=ED2八F./證明=作DF/AC交BE于F 眈是正三角形.MB是正三角形X ae=bd=?題型展示:DCE B DCE EDE DC BD DC/ > /A / >/ > >,證明二:如圖10所示，在AB上截取AF =AC ,連結(jié)DFJ( < Off 丁(f7<P7 弋7vajff 代JO = JO " = £廠JOV7Sz/<7W31Sfi«Olfti3 a3 ! / d2!* /V則易證A4Dr = AADC，上3 = /4- /Jf - JfCV Z/ZZ>> J3t