機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用

1、§3 機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：理解和掌握機(jī)械能守恒定律，能熟練地運(yùn)用機(jī)械能守恒定律解決實(shí)際問題教學(xué)重點(diǎn)：機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：判斷被研究對象在經(jīng)歷的研究過程中機(jī)械能是否守恒，在應(yīng)用時(shí)要找準(zhǔn)始末狀態(tài)的機(jī)械能教學(xué)方法：復(fù)習(xí)、討論、總結(jié)、鞏固練習(xí)、計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)教學(xué)過程：一、機(jī)械能守恒定律1機(jī)械能守恒定律的兩種表述（1）在只有重力做功的情形下，物體的動(dòng)能和重力勢能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變。（2）如果沒有摩擦和介質(zhì)阻力，物體只發(fā)生動(dòng)能和重力勢能的相互轉(zhuǎn)化時(shí)，機(jī)械能的總量保持不變。2對機(jī)械能守恒定律的理解：（1）機(jī)械能守恒定律的研究對象一定是系統(tǒng)，至少包括地球在內(nèi)。

2、通常我們說“小球的機(jī)械能守恒”其實(shí)一定也就包括地球在內(nèi)，因?yàn)橹亓菽芫褪切∏蚝偷厍蛩灿械?。另外小球的?dòng)能中所用的v，也是相對于地面的速度。（2）當(dāng)研究對象（除地球以外）只有一個(gè)物體時(shí)，往往根據(jù)是否“只有重力做功”來判定機(jī)械能是否守恒；當(dāng)研究對象（除地球以外）由多個(gè)物體組成時(shí)，往往根據(jù)是否“沒有摩擦和介質(zhì)阻力”來判定機(jī)械能是否守恒。（3）“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在該過程中，物體可以受其它力的作用，只要這些力不做功，或所做功的代數(shù)和為零，就可以認(rèn)為是“只有重力做功”。3對機(jī)械能守恒條件的認(rèn)識如果沒有摩擦和介質(zhì)阻力，物體只發(fā)生動(dòng)能和勢能的相互轉(zhuǎn)化時(shí)，機(jī)械能的總量保持不變，這就是機(jī)械

3、能守恒定律沒有摩擦和介質(zhì)阻力，這是守恒條件具體的講，如果一個(gè)物理過程只有重力做功，是重力勢能和動(dòng)能之間發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，沒有與其它形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化，物體的動(dòng)能和重力勢能總和保持不變?nèi)绻挥袕椈傻膹椓ψ龉?，彈簧與物體這一系統(tǒng)，彈性勢能與動(dòng)能之間發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，不與其它形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化，所以彈性勢能和動(dòng)能總和保持不變分析一個(gè)物理過程是不是滿足機(jī)械能守恒，關(guān)鍵是分析這一過程中有哪些力參與了做功，這一力做功是什么形式的能轉(zhuǎn)化成什么形式的能如果只是動(dòng)能和勢能的相互轉(zhuǎn)化，而沒有與其它形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化，則機(jī)械能總和不變?nèi)绻麤]有力做功，不發(fā)生能的轉(zhuǎn)化，機(jī)械能當(dāng)然也不發(fā)生變化【例1】 如圖物塊和斜面都是光滑的，物塊從

4、靜止沿斜面下滑過程中，物塊機(jī)械能是否守恒？系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒？ 解：以物塊和斜面系統(tǒng)為研究對象，很明顯物塊下滑過程中系統(tǒng)不受摩擦和介質(zhì)阻力，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒。又由水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒可以得知：斜面將向左運(yùn)動(dòng)，即斜面的機(jī)械能將增大，故物塊的機(jī)械能一定將減少。點(diǎn)評：有些同學(xué)一看本題說的是光滑斜面，容易錯(cuò)認(rèn)為物塊本身機(jī)械能就守恒。這里要提醒兩條：由于斜面本身要向左滑動(dòng)，所以斜面對物塊的彈力N和物塊的實(shí)際位移s的方向已經(jīng)不再垂直，彈力要對物塊做負(fù)功，對物塊來說已經(jīng)不再滿足“只有重力做功”的條件。由于水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒，斜面一定會(huì)向右運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)能也只能是由物塊的機(jī)械能轉(zhuǎn)移而來，所以物塊的機(jī)械能必然減少

5、。4機(jī)械能守恒定律的各種表達(dá)形式（1），即；（2）； 點(diǎn)評：用（1）時(shí)，需要規(guī)定重力勢能的參考平面。用（2）時(shí)則不必規(guī)定重力勢能的參考平面，因?yàn)橹亓菽艿母淖兞颗c參考平面的選取沒有關(guān)系。尤其是用，只要把增加的機(jī)械能和減少的機(jī)械能都寫出來，方程自然就列出來了。5解題步驟確定研究對象和研究過程。判斷機(jī)械能是否守恒。選定一種表達(dá)式，列式求解。4應(yīng)用舉例ABO【例2】如圖所示，質(zhì)量分別為2 m和3m的兩個(gè)小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點(diǎn)O處有光滑的固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸。AO、BO的長分別為2L和L。開始時(shí)直角尺的AO部分處于水平位置而B在O的正下方。讓該系統(tǒng)由靜止開始自由轉(zhuǎn)動(dòng)，求：當(dāng)A到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)

6、，A小球的速度大小v； B球能上升的最大高度h；開始轉(zhuǎn)動(dòng)后B球可能達(dá)到的最大速度vm。解析：以直角尺和兩小球組成的系統(tǒng)為對象，由于轉(zhuǎn)動(dòng)過程不受摩擦和介質(zhì)阻力，所以該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。過程中A的重力勢能減少， A、B的動(dòng)能和B的重力勢能增加，A的即時(shí)速度總是B的2倍。，解得B球不可能到達(dá)O的正上方，它到達(dá)最大高度時(shí)速度一定為零，設(shè)該位置比OA豎直位置向左偏了角。2mg2Lcos=3mgL（1+sin），此式可化簡為4cos-3sin=3，利用三角公式可解得sin（53°-）=sin37°，=16°B球速度最大時(shí)就是系統(tǒng)動(dòng)能最大時(shí)，而系統(tǒng)動(dòng)能增大等于系統(tǒng)重力做的功WG

7、。設(shè)OA從開始轉(zhuǎn)過角時(shí)B球速度最大，=2mg2Lsin-3mgL（1-cos）=mgL（4sin+3cos-3）2mgL，解得點(diǎn)評：本題如果用EP+EK= EP+EK這種表達(dá)形式，就需要規(guī)定重力勢能的參考平面，顯然比較煩瑣。用就要簡潔得多。下面再看一道例題。v1/2ABOv1OABBOA 【例3】 如圖所示，半徑為的光滑半圓上有兩個(gè)小球，質(zhì)量分別為，由細(xì)線掛著，今由靜止開始無初速度自由釋放，求小球升至最高點(diǎn)時(shí)兩球的速度？解析：球沿半圓弧運(yùn)動(dòng)，繩長不變，兩球通過的路程相等，上升的高度為；球下降的高度為；對于系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律得： ；【例4】如圖所示，均勻鐵鏈長為，平放在距離地面高為的光滑水平

8、面上，其長度的懸垂于桌面下，從靜止開始釋放鐵鏈，求鐵鏈下端剛要著地時(shí)的速度？方法1、選取地面為零勢能面：方法2、桌面為零勢能面：解得：點(diǎn)評：零勢能面選取不同，所列出的表達(dá)式不同，雖然最后解得的結(jié)果是一樣的，但解方程時(shí)的簡易程度是不同的，從本例可以看出，方法二較為簡捷。因此，靈活、準(zhǔn)確地選取零勢能面，往往會(huì)給題目的求解帶來方便。本題用也可以求解，但不如用EP+EK= EP+EK簡便，同學(xué)們可以自己試一下。因此，選用哪一種表達(dá)形式，要具體題目具體分析。二、機(jī)械能守恒定律的綜合應(yīng)用K【例5】 如圖所示，粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有總長為4L的水。開始時(shí)閥門K閉合，左右支管內(nèi)水面高度差為L。打開閥門K后，左

9、右水面剛好相平時(shí)左管液面的速度是多大？（管的內(nèi)部橫截面很小，摩擦阻力忽略不計(jì)）解析：由于不考慮摩擦阻力，故整個(gè)水柱的機(jī)械能守恒。從初始狀態(tài)到左右支管水面相平為止，相當(dāng)于有長L/2的水柱由左管移到右管。系統(tǒng)的重力勢能減少，動(dòng)能增加。該過程中，整個(gè)水柱勢能的減少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力勢能的減少。不妨設(shè)水柱總質(zhì)量為8m，則，得。點(diǎn)評：本題在應(yīng)用機(jī)械能守恒定律時(shí)仍然是用 建立方程，在計(jì)算系統(tǒng)重力勢能變化時(shí)用了等效方法。需要注意的是：研究對象仍然是整個(gè)水柱，到兩個(gè)支管水面相平時(shí)，整個(gè)水柱中的每一小部分的速率都是相同的?！纠?】如圖所示，游樂列車由許多節(jié)車廂組成。列車全長為L，圓形軌道半徑為

10、R，（R遠(yuǎn)大于一節(jié)車廂的高度h和長度l，但L>2R）.已知列車的車輪是卡在導(dǎo)軌上的光滑槽中只能使列車沿著圓周運(yùn)動(dòng)，在軌道的任何地方都不能脫軌。試問：在沒有任何動(dòng)力的情況下，列車在水平軌道上應(yīng)具有多大初速度v0，才能使列車通過圓形軌道而運(yùn)動(dòng)到右邊的水平軌道上？解析：當(dāng)游樂車灌滿整個(gè)圓形軌道時(shí)，游樂車的速度最小，設(shè)此時(shí)速度為v，游樂車的質(zhì)量為m，則據(jù)機(jī)械能守恒定律得：要游樂車能通過圓形軌道，則必有v>0，所以有【例7】 質(zhì)量為0.02 kg的小球，用細(xì)線拴著吊在沿直線行駛著的汽車頂棚上，在汽車 距車站15 m處開始剎車，在剎車過程中，拴球的細(xì)線與豎直方向夾角37°保持不變，如

11、圖所示，汽車到車站恰好停住.求： （1）開始剎車時(shí)汽車的速度； （2）汽車在到站停住以后，拴小球細(xì)線的最大拉力。（取g10 ms2，sin37°0.6，cos37°0.8）解析：（1）小球受力分析如圖因?yàn)镕合=mgtan=ma所以a=gtan=10× m/s2=7.5 m/s2對汽車，由 v02=2as得v0= m/s=15 （m/s）（2）小球擺到最低點(diǎn)時(shí)，拉力最大，設(shè)為T，繩長設(shè)為l根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有mg（l-lcos）=mv2在最低點(diǎn)，有T-mg=m，T = mg+2mg（1一cos），代人數(shù)值解得T0.28 N【例8】 如圖所示，一根長為，可繞軸在豎直

12、平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)桿，已知，質(zhì)量相等的兩個(gè)球分別固定在桿的端，由水平位置自由釋放，求輕桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)兩球的速度？解析：球在同一桿上具有相同的角速度，組成一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)重力勢能的改變量等于動(dòng)能的增加量，選取水平位置為零勢能面，則：解得：【例9】 小球在外力作用下，由靜止開始從A點(diǎn)出發(fā)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)時(shí)消除外力。然后，小球沖上豎直平面內(nèi)半徑為R的光滑半圓環(huán)，恰能維持在圓環(huán)上做圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)C后拋出，最后落回到原來的出發(fā)點(diǎn)A處，如圖所示，試求小球在AB段運(yùn)動(dòng)的加速度為多大？解析：要題的物理過程可分三段：從A到孤勻加速直線運(yùn)動(dòng)過程；從B沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到C的圓周運(yùn)動(dòng)，且注意恰能維持在圓環(huán)上

13、做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)滿足重力全部用來提供向心力；從C回到A的平拋運(yùn)動(dòng)。根據(jù)題意，在C點(diǎn)時(shí)，滿足從B到C過程，由機(jī)械能守恒定律得由、式得從C回到A過程，滿足水平位移s=vt，由、式可得s=2R從A到B過程，滿足【例10】如圖所示，半徑分別為R和r的甲、乙兩個(gè)光滑的圓形軌道安置在同一豎直平面上，軌道之間有一條水平軌道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲軌道，通過動(dòng)摩擦因數(shù)為的CD段，又滑上乙軌道，最后離開兩圓軌道。若小球在兩圓軌道的最高點(diǎn)對軌道壓力都恰好為零，試求水平CD段的長度。 解析：（1）小球在光滑圓軌道上滑行時(shí)，機(jī)械能守恒，設(shè)小球滑過C點(diǎn)時(shí)的速度為，通過甲環(huán)最高點(diǎn)速度為v，根據(jù)小

14、球?qū)ψ罡唿c(diǎn)壓力為零，由圓周運(yùn)動(dòng)公式有取軌道最低點(diǎn)為零勢能點(diǎn)，由機(jī)械守恒定律由、兩式消去v，可得同理可得小球滑過D點(diǎn)時(shí)的速度，設(shè)CD段的長度為l，對小球滑過CD段過程應(yīng)用動(dòng)能定理，將、代入，可得三、針對訓(xùn)練1如圖所示，兩物體A、B從同一點(diǎn)出發(fā)以同樣大小的初速度v0分別沿光滑水平面和凹面到達(dá)另一端，則（ ）AA先到 BB先到 CA、B同時(shí)到達(dá) D條件不足，無法確定2將一球豎直上拋，若該球所受的空氣阻力大小不變，則其力大小不變，則其上升和下降兩過程的時(shí)間及損失的機(jī)械能的關(guān)系是（ ）A>，> B<，<C<，= D=，=3如圖所示，桌面高度為h，質(zhì)量為m的小球，從離桌面高H

15、處自由落下，不計(jì)空氣阻力，假設(shè)桌面處的重力勢能為零，小球落到地面前的瞬間的機(jī)械能應(yīng)為（ ）Amgh BmgH Cmg（H+h） Dmg（H-h）4一顆子彈水平射入置于光滑水平面上的木塊A并留在A中，A和木塊B用一根彈性良好的輕彈簧連在一起，如圖所示，則在子彈打擊木塊A及彈簧壓縮的過程中，對子彈、兩木塊和彈簧組成的系統(tǒng)（ ）A動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒 B動(dòng)量不守恒，機(jī)械能守恒C動(dòng)量守恒，機(jī)械能不守恒 D無法判斷動(dòng)量、機(jī)械能是否守恒5如圖所示，質(zhì)量、初速度大小都相同的A、B、C三個(gè)小球，在同一水平面上，A球豎直上拋，B球以傾斜角斜和上拋，空氣阻力不計(jì)，C球沿傾角為的光滑斜面上滑，它們上升的最大高度分別

16、為、，則（ ）A BC D6質(zhì)量相同的兩個(gè)小球，分別用長為l和2 l的細(xì)繩懸掛在天花板上，如圖所示，分別拉起小球使線伸直呈水平狀態(tài)，然后輕輕釋放，當(dāng)小球到達(dá)最低位置時(shí)（ ）A兩球運(yùn)動(dòng)的線速度相等 B兩球運(yùn)動(dòng)的角速度相等C兩球運(yùn)動(dòng)的加速度相等 D細(xì)繩對兩球的拉力相等7一個(gè)人站在陽臺上，以相同的速率v0，分別把三個(gè)球豎直向上拋出，豎直向下拋出，水平拋出，不計(jì)空氣阻力，則三球落地時(shí)的速率（ ）A上拋球最大 B下拋球最大 C平拋球最大 D三球一樣大8如圖所示，在光滑水平桌面上有一質(zhì)量為M的小車，小車跟繩一端相連，繩子另一端通過滑輪吊一個(gè)質(zhì)量為m的磚碼，則當(dāng)砝碼著地的瞬間（小車未離開桌子）小車的速度大小

17、為_，在這過程中，繩的拉力對小車所做的功為_。9質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星，在環(huán)繞地球的橢圓軌道上運(yùn)行，在運(yùn)行過程中它的速度最大值為，當(dāng)衛(wèi)星由遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)行到近地點(diǎn)的過程中，地球引力對它做的功為W，則衛(wèi)星在近地點(diǎn)處的速度為_，在遠(yuǎn)地點(diǎn)處的速度為_。10物體以J的初動(dòng)能從斜面底端沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)該物體經(jīng)過斜面上某一點(diǎn)時(shí)，動(dòng)能減少了80J，機(jī)械能減少了32J，則物體重返斜面底端時(shí)的動(dòng)能為_。參考答案1B 在凹曲面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于機(jī)械能守恒，一部分重力勢能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，下降過程中速度的水平分量總是增大，一直到底部，以后水平分量又恢復(fù)到v0，所以沿凹曲面運(yùn)動(dòng)的水平速度的平均值大于沿直線運(yùn)動(dòng)的速度，將先到達(dá)另一端

18、。2C 上升和下降兩過程，小球通過的位移大小相等，由受力分析知小球上升過程的加速度，小球上升的時(shí)間應(yīng)小于下降的時(shí)間；小球運(yùn)動(dòng)過程中損失的機(jī)械能等于克服空氣阻力做的功，空氣阻力大小不變，上升、下降兩過程的位移大小相等，上、下過程損失的機(jī)械能相等。3B 小球未碰地之前機(jī)械化能守恒，即每一時(shí)刻的機(jī)械能都與初始時(shí)刻的機(jī)械能相等，都為mgH，錯(cuò)選D項(xiàng)的原因是對機(jī)械能及參考平面的性質(zhì)沒有掌握準(zhǔn)確。機(jī)械能是動(dòng)能和勢能的總和，即，小球在自由下落過程中重力勢能減小而動(dòng)能增大，但機(jī)械能不變。4C 在子彈打木塊的過程中，認(rèn)為A還沒有移動(dòng)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能不守恒；在子彈與木塊一起向右壓縮彈簧的過程中，系統(tǒng)所受合外力為零，動(dòng)量守恒；由于只有彈簧彈力做功，機(jī)械能守恒。對題所給的物理過程，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能不守恒，應(yīng)選C。5C A球和C球上升到最高點(diǎn)時(shí)速度均為零，而B球上升到最高點(diǎn)時(shí)仍有水平方向的速度，即仍有動(dòng)能。對A、C球而言得，對B球 所以6C、D 設(shè)小球到達(dá)最低點(diǎn)的線速度為v，繩長為L，則由機(jī)械能守恒得，因而角速度、向心加速度、繩中拉力分別為，T=mg+ma=3mg可見，v和與繩長L有關(guān)，a和T與繩長無關(guān)。7D 三球空中運(yùn)動(dòng)軌跡雖然不同，但都只有重力做功，故可用機(jī)械能守恒定律求解。選地面為零