曲面積分習(xí)題解答

1、第十章 曲線積分與曲面積分(第六部分)曲面積分習(xí)題解答一、對面積的曲面積分1.計(jì)算曲面積分，其中為平面在第一卦限中的部分分析因?yàn)椋海珊愕茸冃螢椋海忠虮环e函數(shù)與形式相同，故可利用曲面方程來簡化被積函數(shù)，即將代入，從而簡化計(jì)算。解平面方程的為（如圖），在面上的投影區(qū)域：；，面積元素 從而 .2. 計(jì)算曲面積分，其中為.解 由對稱性可知，由輪換對稱性和代入技巧知，再由曲面積分的幾何意義知，所以，.二、對坐標(biāo)的曲面積分1.計(jì)算曲面積分其中為球面在第一卦限部分的上側(cè)。分析 由于不是封閉曲面，且只是對坐標(biāo)的曲面積分，故直接計(jì)算即可。解 因：取前側(cè)，且在面上的投影區(qū)域?yàn)?于是得 .2. 計(jì)算曲面積分其中

2、是柱面被平面及所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè)。分析 本題為計(jì)算對坐標(biāo)的組合積分，但由于不是封閉曲面，且其中的三個(gè)曲面積分化為二重積分計(jì)算又比較容易（因?yàn)闉橹?，在坐?biāo)面上的投影），故直接計(jì)算即可。解 因在坐標(biāo)面上的投影，所以；又在、坐標(biāo)面上的投影區(qū)域?yàn)椋海?.3. 計(jì)算曲面積分其中為上半球體，的表面外側(cè)。分析由于為封閉曲面，所以可采高斯公式計(jì)算。解本題中，積分曲面為封閉曲面，設(shè)所圍成的空間閉區(qū)域?yàn)?如圖)，則：，；或 ：，. 于是由Gauss公式，得.注 若將本題中的積分曲面改為上半球面的上側(cè)，則由于不是封閉曲面，又不是平面塊，采用下述方法計(jì)算較為簡便，現(xiàn)計(jì)算如下：補(bǔ)平面塊取下側(cè)，則與構(gòu)成一

3、封閉曲面，且取外側(cè)（如圖所示）。在封閉曲面上應(yīng)用Gauss公式，得.又 . 故 .4. 計(jì)算曲面積分其中為連續(xù)函數(shù)，是平面在第四卦限部分的上側(cè)。分析 由于，其中未知，而積分曲面為平面塊，故可考慮利用兩類曲面積分之間的關(guān)系，把給定的第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分計(jì)算。解 （如圖所示）在面上的投影區(qū)域.的方向余弦為，故 .注 在本題中，若用定義直接計(jì)算，由于被積函數(shù)中含有未知函數(shù)，那么轉(zhuǎn)化成三個(gè)二重積分后，下一步計(jì)算二重積分就很難進(jìn)行了。一般情況下，若被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)，通常不采用直接計(jì)算的方法，而是采用將第二型曲面積分轉(zhuǎn)化為第一型曲面積分或Gauss公式的方法來處理。5 設(shè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，

4、計(jì)算曲面積分其中為由和所圍成區(qū)域的外側(cè)。分析 令，由于被積函數(shù)含有抽象函數(shù)，如果直接計(jì)算很難求出?？紤]到為封閉曲面，而且，因此可考慮應(yīng)用高斯公式計(jì)算。解 令 ，則，應(yīng)用高斯公式，得在柱面坐標(biāo)系下，：，. 計(jì)算得.6.計(jì)算曲面積分，其中為曲面的上側(cè)。分析 由于，有，從而，故可考慮用高斯公式。但是曲面不封閉，且三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，所以，需要補(bǔ)面去掉奇點(diǎn)。 解 補(bǔ)有向曲面，足夠小，使完全包含于內(nèi)，取下側(cè)，補(bǔ)有向曲面，取位于小圓與橢圓之間部分，取下側(cè)，則構(gòu)成封閉曲面，且方向?yàn)橥鈧?cè)。設(shè)由所圍成的空間閉區(qū)域?yàn)? 應(yīng)用高斯公式，得為計(jì)算，再補(bǔ)面，取上側(cè)，用高斯公式而，所以，又 ，因此， 7 求力沿有向閉曲線所作的功，其中為平面被三個(gè)