解析幾何的認知及其在代數(shù)中的一些應用

1、解析幾何的認知及其在代數(shù)中的一些應用摘要：解析幾何是代數(shù)的工具，同時，解析幾何也為代數(shù)提供具體的實例模型，因此它們是不可分割、緊密聯(lián)系的。代數(shù)中的某些問題,如果使用常規(guī)的解題方法，其過程可能相當復雜，但如果巧用解析幾何的方法，則問題的解決會變得非常簡單。而通過幾何學習，我們可以養(yǎng)成一種用幾何圖形來看待一些代數(shù)問題的思維習慣，這樣是把復雜的問題轉(zhuǎn)換成具體、形象的幾何想象，或者如平常人們所說的幾何直覺，這是我們學好數(shù)學甚至是各個分科的重要方法，也是對所有數(shù)學分科的研究工作，甚至對于最抽象的工作，有著重大的意義。文章將巧用解析幾何方法理解代數(shù)中的某些問題。關鍵詞：解析幾何  代數(shù)

2、  行列式 矩陣  向量  關系理論Abstract: Analytic geometry is algebraic tools, algebra, analytic geometry also provides a concrete example model, so they are inseparable, closely linked. Some algebra problem, if you use a conventional problem-solving methods, the process can be quite complex, but

3、if the clever use of analytic geometry, the solution of the problem will become very simple. By geometry learning, we can develop the habit of thinking of a geometry to look at some algebra problems, such is the complexity of the problem is converted into a specific image geometry imagine, or as nor

4、mal people call 'geometric intuition', we even learn math in various branches of the method is also a of all mathematical branch of research, even the most abstract work of great significance. Article Using analytic geometry method to understand some of the problems in algebra.Keywords: Anal

5、ytic Geometry Algebra Determinant Matrix Vector Relations theory目錄一 解析幾何的產(chǎn)生11 代數(shù)的產(chǎn)生12 幾何的產(chǎn)生13 解析幾何的產(chǎn)生14 代數(shù)與解析幾何的關系1二 解析幾何的基本認知及其作用21 代數(shù)一些概念的引入22代數(shù)的一些概念的幾何解析33 解析幾何的基本作用5三 解析幾何在代數(shù)中的一些運用6四 總結(jié)9參考文獻9解析幾何的認知及其在代數(shù)中的一些應用數(shù)學發(fā)展到現(xiàn)在，已經(jīng)成為科學世界中擁有100多個主要分支學科的龐大的“共和國”。大體說來，數(shù)學中研究數(shù)的部分屬于代數(shù)學的范疇；研究形的部分，屬于幾何學的范疇；這兩大類數(shù)學是整

6、個數(shù)學的本體與核心。文藝復興使歐洲學者繼承了幾何學和代數(shù)學，科學技術的發(fā)展，使得用數(shù)學方法描述運動成為人們關心的中心問題。笛卡兒分析了幾何學與代數(shù)學的優(yōu)缺點，表示要去“尋求另外一種包含這兩門科學的好處，而沒有它們的缺點的方法”。 在他的幾何學一書中，提出了解析幾何學的基本思想和方法，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的趨向，把相互對立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合，標志著解析幾何學的誕生。笛卡兒的這一天才創(chuàng)見，在近代微積分的創(chuàng)立中有著不可估量的作用。一、解析幾何的產(chǎn)生1、代數(shù)的產(chǎn)生在歷史長河中，產(chǎn)生了古老的算術，然而，隨著社會的發(fā)展，越來越多的問題擺在了數(shù)學家面前。為了

7、尋找較為普遍的方法來解決在算術里積累的大量數(shù)量問題，古老的算術就必須進行改進和發(fā)展。在這個緩慢的過程中，便產(chǎn)生了代數(shù)學。至于什么年代產(chǎn)生的代數(shù)學這門學科，如果認為“代數(shù)學”是指解bx+k=0這類用符號表示的方程的技巧。那么,這種“代數(shù)學”是在十六世紀才發(fā)展起來的。如果我們對代數(shù)符號不是要求像現(xiàn)在這樣簡練，那么，代數(shù)學的產(chǎn)生可上溯到更早的年代。西方人將公元前三世紀古希臘數(shù)學家刁藩都看作是代數(shù)學的鼻祖。而在中國，用文字來表達的代數(shù)問題出現(xiàn)的就更早了，比如九章算術中就有方程問題。2、幾何的產(chǎn)生幾何學發(fā)展歷史悠長，內(nèi)容豐富。幾何，就是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學科。它是數(shù)學中最基本的研究內(nèi)容之一，與分析

8、、代數(shù)等等具有同樣重要的地位， 并且關系極為密切。幾何產(chǎn)生于古埃及，其年代大約始于公元前3000年。早期的幾何學是關于長度，角度，面積和體積的經(jīng)驗原理，被用于滿足在測繪，建筑，天文，和各種工藝制作中的實際需要。埃及和巴比倫人都在畢達哥拉斯之前1500年就知道了畢達哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱錐的錐臺（截頭金字塔形）體積正確公式；而巴比倫有一個三角函數(shù)表。這被世界認為是幾何產(chǎn)生的源頭。3、解析幾何的產(chǎn)生解析幾何產(chǎn)生于十七世紀的歐洲，當時由于生產(chǎn)和科學技術的發(fā)展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。比如，德國天文學家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓

9、的一個焦點上；意大利科學家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗著拋物線運動的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應了，這就導致了解析幾何的出現(xiàn)。1637年，法國的哲學家和數(shù)學家笛卡爾發(fā)表了他的著作方法論，其中有一篇幾何學，幾何學共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質(zhì)；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實際是代數(shù)問題，探討方程的根的性質(zhì)。后世的數(shù)學家和數(shù)學史學家都把笛卡爾的幾何學作為解析幾何的起點。4、代數(shù)與解析幾何的關系（1）、從代數(shù)與幾何的發(fā)展來看，代數(shù)與解析幾何從來就是相互聯(lián)系、相互促進的。它們的關系可以歸納為“代數(shù)為幾何提供研究方法，幾何為代數(shù)提

10、供直觀背景”。從內(nèi)容的聯(lián)系來看，兩門課之間存在著工具與對象的聯(lián)系。從概念的內(nèi)涵的外延來看，兩門課之間存在著特殊與一般的關系，解析幾何的一、二、三維空間是線性代數(shù)n維空間的特例，而線性空間的大量理論又是來源于一、二、三維幾何空間的推廣（抽象）。（2）、解析幾何中的很多概念、方法都是應用線性代數(shù)的知識、定義來刻畫、描述和表達的。例如，解析幾何中的向量的共線、共面的充分必要條件就是用線性運算的線性相關來刻畫的，最終轉(zhuǎn)化為用行列式工具來表述，再如，解析幾何中的向量的向量積、混合積也是行列式工具來表示的典型事例。代數(shù)中的許多知識點的引入、敘述和刻畫亦用到解析幾何的概念或定義?？偟膩碚f，一方面解析幾何是以

11、代數(shù)為主要研究工具的幾何學，沒有代數(shù)這個主要工具，就沒有解析幾何，而解析幾何又反過來為代數(shù)提供了幾何背景、解釋和研究課題，促進代數(shù)的發(fā)展，因此，把它們結(jié)合起來是十分有必要的，另一方面兩門課的合并又有利于“數(shù)”與“形”的結(jié)合，從數(shù)學思想方法來看，兩知識點也具有統(tǒng)一性。拉格朗日說過：“如果代數(shù)與幾何各自分開發(fā)展，那它的進步十分緩慢，而且應用范圍也很有限，但若兩者互相結(jié)合而共同發(fā)展，則就會相互加強，并以快速的步伐向著完善化的方向猛進?！?#160;華羅庚先生也說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難細微”，可看出數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學問題的有效策略，化數(shù)為形是理解代數(shù)題的常用技巧之一。那么，用解析幾何的方法研

12、究問題的思路是什么？   上述流程圖是解析幾何最核心的部分，理應沉淀下來并在后續(xù)的學習中體現(xiàn)認識的螺旋上升。二、解析幾何的基本認知及其作用解析幾何的核心計算工具就是代數(shù)。作為數(shù)學的一個重要分支，代數(shù)有著一些重要的特點：邏輯推理的嚴密性，研究方法的公理性，代數(shù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性。而在學習中，其教學內(nèi)容主要有：多項式、行列式、線性方程組、矩陣、線性空間、線性變換等。另一方面，解析幾何主要研究二維實空間中的直線與二次曲線、三維實空間中的平面與二次曲面、空間曲線和空間曲面的位置關系、平移變換和旋轉(zhuǎn)變換。由此可以看出，兩門課程的內(nèi)容重復之處較多，而這種重復基本上是一般與特殊的關系

13、。因此從學生的認知角度來看，兩門課程合并理解能讓學生在具體的幾何背景下更直觀地接受數(shù)學思想與方法，能充分地發(fā)揮兩門課內(nèi)容的互補作用，符合“數(shù)”與“形”結(jié)合的認知規(guī)律，幾何的討論給代數(shù)提出了相關問題，而代數(shù)研究的結(jié)果又可應用到幾何中去，它們互為問題、互為方法、相互交融，根據(jù)代數(shù)與解析幾何的密切關系，我們認為在進行代數(shù)與解析幾何的一體化學習中，首先應介紹解析幾何方法，然后用它去解決一些問題，這樣既可以輕松地完成解決代數(shù)的學習，同時學生也體會了幾何的妙處，加深了對代數(shù)的理解。1、代數(shù)一些概念的引入大多數(shù)學生都難以適應代數(shù)的抽象概念的引入、推導和應用。下面我通過一些實例，特別是幾何實例，引入代數(shù)的相關

14、概念，一方面可以讓學生了解抽象概念的來龍去脈，另一方面可以讓學生找到理解抽象概念的思維立足點。序號 實例代數(shù)的相關概念及理論1中學代數(shù)的多項式四則運算多項式及其加、乘運算的嚴格定義，并在此基礎上，介紹多項式的整除理論和最大公因式理論2中學代數(shù)的多項式因式分解方法用不可約多項式的嚴格定義解釋“不可再分解”的含義，給出了不可約多項式的性質(zhì)、唯一分解定理及不可約多項式在三種常見數(shù)域上的判定3中學代數(shù)的一元一次方程、一元二次方程的解法以及一元二次方程根與系數(shù)的關系給出了一元n次方程根的定義、復數(shù)域上一元n次方程根與系數(shù)的關系以及根的個數(shù)、實系數(shù)一元n次方程根的特點、有理系數(shù)一元n次方程有理根的性質(zhì)以及

15、求法4中學代數(shù)的二元一次方程組、三元一次方程組的消元解法引入行列式的定義，進一步介紹了線性方程組的行列式解法和矩陣消元解法，給出了線性方程組解的結(jié)構(gòu)5中學幾何中的、及其向量對加法和數(shù)乘運算滿足8條運算規(guī)律，、中過原點的直線、平面推廣為n維向量空間，通過8條運算規(guī)律抽象出一般線性空間的概念，引入線性空間的子空間6中學幾何中的、的直角坐標系，向量的坐標線性空間的基，向量的坐標7、中有心二次曲線和二次曲面的分類二次型通過正交替換化為標準形8、中向量在一個給定向量或平面上的投影，坐標系的旋轉(zhuǎn)線性空間中的線性變換2、代數(shù)的一些概念的幾何解析代數(shù)中相關概念和定理的幾何解析，可以使學生更容易把握這些概念和定

16、理的幾何本質(zhì)，更容易直觀地理解這些抽象的概念和定理，從而可以提高學生運用這些抽象的概念和定理去解題的能力。 2.1、線性代數(shù)中“線性”的幾何意義線性代數(shù)是代數(shù)的一個分支，有線性空間、線性映射、線性變換、線性方程組、線性相關性等概念。那究竟這里的“線性”的直觀理解是什么？簡單地說，就是因變量與自變量之間的關系可以描述為一條直線，例如線性函數(shù),最簡單的情形就是過原點的直線。而對于過原點的直線，其滿足加法線性和數(shù)乘線性，即，而且；或者這么概括：；一句話，線性組合的函數(shù)，等于函數(shù)的線性組合。22、行列式的幾何意義（1）二階行列式的幾何意義二階行列式是平面上以行向量和為鄰邊的平行四邊形的有向面積：若這個

17、平行四邊形是由向量沿逆時針方向轉(zhuǎn)到而得到的，面積取正值；若這個平行四邊形是由向量沿順時針方向轉(zhuǎn)到而得到的，面積取負值。如上圖所示，,而。另外，二階行列式的另一個幾何意義就是兩個行向量或列向量的叉積的數(shù)值。（2）三階行列式的幾何意義三階行列式的幾何意義是其行向量或列向量所張成的平行六面體的有向體積，我們可以引用混合積這個概念來表示。向量、和的混合積。從三階行列式中，我們還可以得到一些簡單的結(jié)論。推論1：三點、和共面的等價條件是。推論2：過平面上兩點,的直線方程為。  2.3、矩陣乘積的幾何意義對于矩陣的乘積的幾何意義，我們首先要簡單了解矩陣的發(fā)展歷程：1801年，德國數(shù)學家高

18、斯把一個線性變換的全部系數(shù)作為一個整體；接著，在1844年，德國數(shù)學家愛森斯坦討論了“變換”（矩陣）及其乘積；然后，于1850年，英國數(shù)學家西爾維斯特首先使用矩陣一詞；之后，在1858年，英國數(shù)學家凱萊發(fā)表關于矩陣理論的研究報告。他首先將矩陣作為一個獨立的數(shù)學對象加以研究，并在這個主題上首先發(fā)表了一系列文章，因而被認為是矩陣論的創(chuàng)立者，他給出了現(xiàn)在通用的一系列定義，如兩矩陣相等、零矩陣、單位矩陣、兩矩陣的和、一個數(shù)與一個矩陣的數(shù)量積、兩個矩陣的積、矩陣的逆、轉(zhuǎn)置矩陣等。矩陣實質(zhì)上就是一個線性變換。矩陣乘積實質(zhì)就是線性變換的復合。下面來看平面中的一個簡單例子。例：給定一個線性變換，可以簡單記為，

19、其中 ； 另有一個線性變換，簡記為，其中。則通過復合，我們得到一個新的線性變換，即,其中 。另一方面，又有，于是我們可以定義2.4、向量組線性相關(無關)與幾何中向量共面、共線之間的關系若是三維空間的向量,則:線性相關; 線性相關; 線性相關對應幾何直觀分別為為零向量; 共線; 共面。因此,一維空間的基是空間中任意一個非零向量;二維空間的基是空間中兩個不共線向量;三維空間的基是空間中3個不共面的向量組成的。2.5、向量組正交化的幾何解釋線性無關的向量組可以由Schmidt正交化得到與其等價的正交組,它的幾何解釋為：如果有3個線性無關的向量,則可以通過Schmidt正交化得到相應的3個正交向量,

20、。這里,其中為在上的投影向量; 為在,所確定的平面上的垂直投影向量。3、解析幾何的基本作用前面通過一些簡單的介紹，說明了我們可以將一些抽象的代數(shù)概念直觀化、幾何化。另一方面，一些幾何問題，我們可以通過引入坐標系，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決，這個就是解析幾何的基本思想。下面舉些例子具體說明。我們擬從直線與封閉曲線（圓、橢圓）、直線與非封閉曲線（拋物線、雙曲線）兩方面探索直線與圓錐曲線的位置關系。例1.已知直線，橢圓，試判斷直線和橢圓的位置關系。意圖1：體會幾何特征是怎樣轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式的；意圖2：通過實例總結(jié)判斷直線與圓錐曲線交點個數(shù)的方法：分析：直線和橢圓的位置關系，實際上就是指直線與圓錐曲線在圖像上

21、交點個數(shù)。而直線或橢圓的圖像，在代數(shù)上就是其各自的方程，從而：圖像上交點個數(shù)直線與圓錐曲線組成的方程組解的個數(shù)。這樣，我們最終將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的個數(shù)問題例2.已知直線，橢圓  ，（1）試判斷直線和橢圓的位置關系；（2）若相交，求交弦的長；分析：（1）直線上的點在橢圓上，從而我們很容易知道兩者是相交的。這個問題說明直線與圓錐曲線的位置關系還可以利用數(shù)形結(jié)合、以形助數(shù)的方法來解決，體現(xiàn)銜接。（2）方法1：直接聯(lián)立方程，求出交點坐標，用兩點間距離公式求弦長方法2：設交點,，則有弦長公式：，對聯(lián)立的方程組利用韋達定理，對交點設而不求，簡化運算?；仡櫶幚韴A中弦長問題的方法

22、，由于橢圓沒有圓的完美對稱性，故在圓中利用半徑、半弦、邊心距組成的直角三角形求弦長的方法失效了。需要說明的是，上述弦長公式也適用于求與圓有關的弦長。例3：已知直線，橢圓，相交于、兩點，若弦的中點為，求中點的軌跡方程。分析：設交點,，中點，則，同上例解法，對聯(lián)立的方程組利用韋達定理，對交點設而不求。以上一些例子就是把幾何問題，引入坐標系，轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題來解決。其解決問題的方法就是運用解析幾何處理具體問題的基本方法。三、解析幾何在代數(shù)中的一些運用著名數(shù)學家、哲學家笛卡爾通過坐標系，將圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)的方程，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來研究。這種處理方法推動了近代數(shù)學的發(fā)展。既然通過坐標系可以把圖形

23、和代數(shù)方程聯(lián)系起來，那么，我們也可以把代數(shù)方程看成是某種圖形來加以研究，也就是我們常說的笛卡爾方法。例1. 解方程。分析：我們知道要去根號，需經(jīng)兩平方才行，我們不妨試一試從幾何上進行分析。先將方程左端根號下的二次三項式配方，得到。再將方程左端有根號的兩項表示成兩個距離，即 。后面這個方程組具有明顯的幾何意義：方程組中第一個方程表示到兩個定點及距離之和為定數(shù)20的動點的軌跡，即半長軸,半焦距 (因而短半軸)的橢圓；組中第二個方程表示平行于x軸的兩條平行線。上述橢圓與兩條平行線的交點的坐標，就是方程組的解，交點的橫坐標就是原方程的解。由方程組可得，解得,此即原方程的解。例2. 已知，適合,求函數(shù)的

24、最大值和最小值？對于這個問題，我們同樣從幾何上加以分析：方程表示一個圓，圓心,半徑為1。，適合方程，表示點在圓上。而所求函數(shù)表示長的平方的3倍，即,此處為坐標原點。于是本題轉(zhuǎn)化為求當點在已知圓上變動時，的最大值和最小值。為此，需先求出的最大值和最小值，即求坐標原點與已知圓上的點的距離的最大值和最小值。連結(jié)與圓心，線段及其延長線分別交圓于及,則及即為的最大值和最小值（這是因為，對于圓上任意一點，,).由, ,得, .所以的最大值, 的最大值。以上都是些簡單的例子，那么對于復雜些的例子，我們要怎么來入手解決呢？下面我們就來介紹解三次和四次代數(shù)方程的笛卡兒方法，看一看笛卡兒又是如何創(chuàng)造性地把解析幾何

25、用于研究解決代數(shù)問題的。首先，我們指出，任意一個三次和四次代數(shù)方程，都可以化成解如下形式的四次方程： （1）這是因為，對于任意一個三次方程,只要令，就可以得到把上式展開，合并同類項，由于項的系數(shù)互相抵消，我們得到。這個方程各項乘以，使它增加一個根,我們就得到形如（1）的方程，其中。對于四次方程，只要令,可得同理，由于項的系數(shù)互相抵消，我們就得到形如（1）的方程。那又如何來解形如（1）的四次方程呢？笛卡兒考慮以為中心，為半徑的圓與拋物線的交點，即解方程組。將第二個方程代入第一個方程，得到的四次方程。如果適當選取使，即只需取則我們得到的正是方程（1），為此只須取 ,， (2)在方程（1）有實根的情

26、形下，上述是正數(shù)。這時方程 表示圓，且方程（1）的全部實根都是上述圓與拋物線的交點的橫坐標。特別地，當時，上述圓通過坐標原點，因此它與拋物線的諸交點中，有一個交點是原點，橫坐標為零，即當時，方程（1）的諸根中有一個根為零。我們再來看一個例子。例. 用笛卡兒方法解四次方程：。分析：這里 , , 。 由公式（2）得到 ， ，畫出以為中心，2為半徑的圓及拋物線y=x的圖形，可知圖中四個交點的橫坐標, ,即為上述四次方程的四個實根。我們再來看看以下兩個例子，就更能清楚直接的體會到用解析幾何怎樣巧解一些代數(shù)問題了。例1：已知實數(shù)， 滿足,求證：對于任意實數(shù),有 。 （1）分析：本題若通過代數(shù)一般運算來解

27、，要經(jīng)過兩次平方才能去掉根號，過程很繁瑣，但如果我們轉(zhuǎn)而從幾何上來分析，也就是用解析幾何的眼光來看待式（1）。那就是把此式放到坐標系中考察，看其是否具有某種幾何意義。通過坐標系我們?nèi)菀卓闯?，式?）所包含的三個根式各表示一個兩點間的距離。只要把,及分別為設為三個點,的坐標，則代數(shù)不等式（1）就轉(zhuǎn)化成幾何不等式 ( 2 )已知條件說明，即和兩點不重合。從幾何可知，當點不在線段上時，式（2）中的大于號成立；當點在線段上時，式（2）中的等號成立。于是對于所有的點P，式（2）成立，即對于任意實數(shù),，式（1）成立。例2：若0, ,求證 ， （1）并求等式成立的條件。分析：從幾何上來分析，也就是將式（1）放在坐標系中考察其是否具有某種幾何意義。式（1）左端各項皆表示兩點間的距離，我們只要設,，就可將代數(shù)不等式（1）轉(zhuǎn)化為幾何不等式 (2)由幾何知, ,于是不等式（2）成立，因而不等式（1）成立。 特別地，僅且當且點在上又在上，即為正方形的對角線交點時，式（2）中的等號成立，而點的坐標為，因此僅且當且， 時，不等式（1）中的等號成立。在上述兩例中，由于式（1）的幾何意義比較明顯，一眼就能看出，因此只要我們想到從幾何上來分析，也就是只要我們想到用解析幾何的眼光來