101集合及其應(yīng)用

1、知識梳理:1-集合與元素集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性L(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于兩種,用符號旦或g表示.集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN* （或 N+）ZQR2. 集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語言符號語言Venn 圖子集集合A中所有元素都在集合D中(即若xAA,貝 iJxEB)AAB （或 B豈（A ）或 CawD真子集集合/是集合B的子集，且集合 B中至少有一個(gè)兀素不在集合/中A B （或B A）O集合相等集合A, B中元素相同或集合A, B互為子集A=B3. 集合的運(yùn)算集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)

2、集圖形02）符號AUB=xWAAxABAAB=xxAA S lxabiuA =U,且 xiA4.集合關(guān)系與運(yùn)算的常用結(jié)論(1) 若有限集/中有“個(gè)元素，則/的子集個(gè)數(shù)為發(fā)個(gè)，非空子集個(gè)數(shù)為2" 1個(gè),真子集有2" 1個(gè).(2) &UnB =AAA DB=B.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写?quot;V "或"X ”)(1) xy=x+1 = yy=x+1 = (x, y)y=x2+1. ( X )(2) 若?'1 = 0,1,貝 lj x=0,l.( X )(3) x|rWI= Wl. ( V ) 對于任意兩個(gè)集合A, B

3、,關(guān)系(AHB)Q(AAB)恒成立.(V )(5)若&則 B = C.( X )(6) 含有 "個(gè)元素的集合有 2"個(gè)真了集 .( X )1.教材改編）設(shè)”4X 5 = 0, 5=xk 2=1,貝U AUB等于(B. -1,5C. D. -1答案5A 解析？?/ = -1,5 ,B= - 1,1,:.AUBA -1,1,5.2. 已知集合£= x一 x2W0,集合B為整數(shù)集，則 AHB等于(A. -B. 一 2, 1,0,11C,.0,1,2D. -1,0答案1A解析 因?yàn)? = xA - x - 2W0 =x -1WXW2 , 又因?yàn)榧?B 為整數(shù)集，

4、所以集合 - 1,0,1,2, 故選 A.23. (2015?浙江)已知集合P=XX-2XAO, Q =x|l<x<2,則(CRP) AQ 等于()A. 0,1 )B.C. D. 1,2 (0,2答案 C解析？.？P=x|x$2 或 xWO , RP= X|0<X<2,?(RP)n0=x|l<x<2, 故選 C.4. (教材改編 )已知集合 A=x|3Wx<7, B=x|2<x<10, 則 C RUUS)= .答案 x*W2 或 x 三 10解析?.? £ UB= x|2<x<10,.？.RG4UB)= 蚣三 2 或

5、x210.5. 已知集合 A = (x, >>)|x, y R,且 x+y=l, B=(x, y)x, y £，且 y=x,貝U AA5 的元素個(gè)數(shù)為 答案 2解析 集合/表示圓心在原點(diǎn)的單位圓，集合 B表示直線卩=”，易知直線 y = x和圓” +尸 =1相交，且有2個(gè)交點(diǎn)，故AHB中有2個(gè)元素.例題選講：題型一集合的含義例1已知集合a = 0,1,2,則集合B=xyxAA, yAA中元素的個(gè)數(shù)是()A. 1 B. 3 C. 5 D. 9已知集合 A = m + 2,2m 2 + m,若3丘£，則加的值為 .3答案 (1)C (2)-2解析 當(dāng) x-0 , y

6、-0時(shí)， x-y = O ； 當(dāng) x-Q , y-1 時(shí)， x-y= - 1 ；當(dāng)"=0,了 = 2 時(shí)，乂 卩=-2 ；當(dāng) x=l，了 = 0 日寸，x - y - 1;當(dāng) x=l ,了=1 時(shí)，*- 卩=0；當(dāng) x=l , =2時(shí)， *- =-1 ；當(dāng)x = 2 , y =0時(shí)，兀？y = 2 ；當(dāng)兀二 2,尹二1時(shí)，兀? y = 1 ；當(dāng)x = 2 , y = 2 時(shí)，兀尹二 0.根據(jù)集合中元素的互異性知，B中元素有0,? 1 ,? 2,1,2，共5個(gè).32由題意得加+ 2二3或2m + m = 3 ,則加二1或加二-廠當(dāng)加二1時(shí) 5 + 2 = 3且2m+m = 3 ,根據(jù)集

7、合中元素的3|3互異性可知不滿足題意；當(dāng)加二二時(shí)，m + 2 = 2 /而2m + m = 3 , iAm=二.是數(shù)方法常用思維升華（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型,集、點(diǎn)集還是其他類型集合；（2）集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意？分類討論的思想于解決集合問題?跟蹤訓(xùn)練1設(shè)集合/= 1,2,3, =4,5, M=x|x=a+b, aAA, bAB,則M中的元素個(gè)數(shù)為（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6設(shè) a, bAR,集合1, a+b, a=o,號，”，貝U ba=.答案（1）B （2）2角軍析（1）因?yàn)榧?/p>

8、a/中的元素x二o + b , aAA , bAB ,所以當(dāng)b二4時(shí),a = 1,2,3，此日寸兀二 5,6,7. 當(dāng) b 二 5 日寸，a 二 1,2,3，此日寸 x = 6,7,8.所以根據(jù)集合元素的互異性可知，% = 5,6,7，&即M=5,6,7,8,共有4個(gè)元素?因?yàn)? , a+ i , a = |o , dHO ,所以 d + b 二 0 ,得 #二? 1 ,所以 a= - 1 , b = 1 ，所以 b - a 2.題型二集合間的基本關(guān)系例2已知集合a = x|x2-3x+2=0,xGR,S=x|0vx<5,xeN,則滿足條件 AGCG的集合C的個(gè)數(shù)為（）A. 1

9、B. 2 C. 3 D. 4已知集合 A=X-2 017X+2 016<0, B=xx<a,若則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 答案(1)D (2)2 016, +8 )解析由/ - 3x + 2 = 0得x= 1或x = 2 ,:.A = 1,2.由題意知 D= 1,2,3,4.?滿足 AGCGB勺集合 C 可以是1,2 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,3,4 共 4 個(gè).由 x2 - 2 017% + 2 016<0 ,解得 l<x<2 016 ,故 £= x|l<x<2 016,又 B=xx<a , AAB 如圖所示（2）已知兩個(gè)

10、集.常用數(shù)軸、Venn0 12 016 a得 a$2 016.思維升華（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況，否則會(huì)造成漏解;合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系跟蹤訓(xùn)練2已知集合/= x|y = ln(x+3),B=xxA2,則下列結(jié)論正確的是()A. A=BB. AQB=OC. AUBD. BAA已知集合A=x|log2xW2, B=x)c<a,若則實(shí)數(shù)a的取值范圍是答案(1)D (4, +8)解析(I'M =- 3 , 5 = 蚣三2,結(jié)合數(shù)軸可得：BVA.04 a x山 log2xW2,得

11、0<xW4,即心x|0<xW4,而 B xx<a,由于如圖所示，則 a>4.題型三集合的基本運(yùn)算命題點(diǎn)1集合的運(yùn)算例 3 (1)設(shè)全集 U=xWN*lx<6,集合 £= 1,3, 5=3,5,貝嘰 &UB)等于()A. 1,4B. 1,5C. 2,5設(shè)集合 U=R, A = x2 xa<-,D. 2,4S=x|) '=ln(l-x),則圖中陰影部分表示的集合為()A. x|xA|D. MxWlC. x|O<x<l答案(1)D (2)B解析 由題意可知 U= 123,4,5 , /UB=1,3,5,所以? SUB) = 2

12、,4.故選 D.易知 A= X2x(x'2)<1 = x|x(x - 2)<0 = x|0<x<2 , B = xy = ln(l - x) = xl -x>0 = x|x<l,則血=xQl,陰影部分表 7F 的集合為 A A (C- x|lWx<2.命題點(diǎn)2利用集合運(yùn)算求參數(shù)例 4 (1)已知集合 a =1,3, ym, B=1, m, ADB=A,則刃等于()A.0或需B. 0或3C.1或羽D. 1或3集合M=x|TWx<2, N=yW<a, 若MONg則實(shí)數(shù)a的取值范圍一定是()C.D. a> 1答案 BD解析 由ADB

13、=/tW BAA,有mA ,所以有加=寸不或m = 3，即加=3或加=1或m= 0 ,又由集合中元素的互異性知 加 H1 , 故選 B.(2)VM=- lAx<2) , N= yy<a, 且 MGNH0 , 如圖只要 a> - 1 即可 ?-1 a 0 1 2 x思維升華 ( 1)一般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn 圖表示；集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況 .(2) 運(yùn)算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會(huì)使運(yùn)算簡化. 跟蹤訓(xùn)練 3(1) (2015- 天津 ) 已知全集 U= 1,2,3,4,5,6,7,8, 集

14、合 / = 2,3,5,6, 集合 5= 1,3,4,6,7, 則集合刖 ( 【皿 ) 等于 ()A. 2,5B. 3,6C. 2,5,6D. 2,3,5,6,8設(shè) U=R集合 A = XX2 + 3X+2=0, S=x|? + (m+l)x+m=O,若(泌)門 2=0,則力的值是 .答案 (1)A (2)1 或 2解析 由題意知， 皿=2,5,8,則”( 皿 )= 2,5, 選 A.(2) A = -2,-1, 山( 曲) 門鳥 =0,得?. ?方程 x2 + (m+l)x+m=0 的判別式 J = (m+l) 2-4m = (m-l) 2A0, :.BH.5=-1 或鳥 = 一 2或 B=

15、_1, -2.%1 若 B= 1, 則 "2=1;%1 若 B=2, 則應(yīng)有一 ( 加+ 1)=(_2)+( 2)=_4, 且加 =(2)X( 2)=4, 這兩式不能同時(shí)成立 ,:%1 若 5=(-1, -2, 則應(yīng)有一 (m+l) = (-l)+(-2)=-3, 且力 = (1)X( 2) = 2, 由這兩式得 m=2.經(jīng)檢驗(yàn)知 m=l 和 m = 2 符合條件 .?."7=1 或 2.SCH 南極數(shù)學(xué)鞏固作業(yè)：A 組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練( 時(shí)間： 30 分鐘 )1. 下列集合中表示同一集合的是 ()A. M=(3,2), N=(2,3)B. M=2,3, N=3,2C. M=(

16、x, y)x+y=l, N= v|x+_y=lD. M=2,3, N=(2,3)答案 B解析 選項(xiàng) A 中的集合 M 表示由點(diǎn) (3,2) 所組成的單點(diǎn)集，集合 N 表示由點(diǎn) (2,3) 所組成的單點(diǎn)集，故集合 M 與 N 不 是同組成的集合，即 N=y|x + y = 1 = R , 故集合 M 與 N 不是同一個(gè)集合 . 選項(xiàng) D 中的集合 M 是數(shù)集， 而集合 N 是點(diǎn)集 f 故 集合 M 與 N 不是同一個(gè)集合 ? 對選項(xiàng) B , 由集合元素的無序性 , 可知表示同一個(gè)集合 ?2. 設(shè)集合力=1,2,4,集合 =x|x=Q+b, aAA, bAA,則集合B中的元素個(gè)數(shù)為()A. 4 B

17、. 5 C. 6 D. 7答案 C角軍析 aAA , bAA ，兀二 a + b ,?兀二 2,3,4,5,6,8.:? B中共有6個(gè)元素?3. 已知集合A=|xk Z，且走wz,則集合"中的元素個(gè)數(shù)為()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5答案 C3解析VAeZ - x的取值有-3,-1丄3,又. ?的值分別為 5,3,1 , - 1 , 故集合 / 中的元素個(gè)數(shù)為 4 ,故選 C.4. (2015?課標(biāo)全國 II)已知集合 A = 2, -1,0,1,2, B=x|(x l)(x+2)<0,則 AHB等于()A. -1,0B. 0,1C. -1,0,1D. 0,1,2答案

18、 A解析 由 £ = -2 , - 1,0,1,2 , B = x|(x - l)(x + 2)<0 = x| - 2<x< 1, 得= - 1,0,故選 A.5. 已知集合 A, B 均為全集 C/=1,2,3,4 的子集，且 血 UB)=4, 5=(1,2, 則 / 仃( 廚等于 ()A. 3B. 4C. 3,4D. 0答案 A解析 ?U=1,2,3,4 , 血 UB) = 4,.?.&UB= 1,2,3.又 VS = 1,2 , .?.3 GAG 1,2,3 ,又 皿=3,4 , .5( 血)=3.6. 已知全集 U=R集合 Qx|lg(x+l)W0,

19、 B=x|3WI, 貝嘰宓 CB)等于()A. ( 一 8, 0)U(0, + °) °B. (0, 十 8)C. ( 8, -lU(0, + °) °D. (-1, + °) °答案 c解析 lg(x+ l)W0=0<x+ iwin - l<xW0,3WldxW0 ，則 AHB = ( - 1,0 , "") = (- 00 , - 1 U(0 , + °).°7. 已知集合 M= 0,1,2,3,4- N=1,3,5, P=MHN則 P 的子集共有()A. 2 個(gè) B. 4 個(gè) C. 6 個(gè) D. 8 個(gè)答案 B解析 ?:M= 0,1,2,3,4 , N=1,3,5,:.MHN=1,3 ? :?A/nN 的子集共有 2? = 4 個(gè).&已知集合A=x| IvxvO, B=x|xWa, 若MB則a的取值范圍為()A. ( 一 8, 0B.