不確定度評定中靈敏系數(shù)及相關(guān)系數(shù)分析論文

1、分類號 UDC 單位代碼 10642 密 級 公 開 學(xué) 號 2002466013 重慶文理學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文論文題目：不確定度評定中靈敏系數(shù)及相關(guān)系數(shù)分析論文作者：姚金才指導(dǎo)教師：吳 強 副教授專 業(yè)：物理學(xué)提交論文日期：2006年 05月 25 日論文答辯日期：2006年 06月 03 日學(xué)位授予單位：重慶文理學(xué)院 中 國 · 重 慶2006年06月Graduate Thesis of Chongqing University of Arts and SciencesThe Sensitivity Coefficient and Correlation Coefficient An

2、alysis about the Estimate Uncertainty EvaluationCandidate: Yao Jin-caiSupervisor: Wu QiangMajor: PhysicsDepartment of Physics & Information EngineeringChongqing University of Arts and SciencesJune 2006目 錄摘 要I關(guān)鍵詞IABSTRACTII0.引言11.不確定度評定中靈敏系數(shù)的計算11.1靈敏系數(shù)的相關(guān)概念11.2靈敏系數(shù)的計算11.2.1 計算機小擾動分析法2解析微分法22.不確定度

3、評定中相關(guān)系數(shù)的分析計算42.1 相關(guān)輸入量的合成42.2 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)52.3 相關(guān)系數(shù)的計算63. 不確定度評定中忽略相關(guān)項所帶來的風(fēng)險評估84.案例95.結(jié)論10參考文獻11致 謝12不確定度評定中靈敏系數(shù)及相關(guān)系數(shù)分析物理學(xué)專業(yè)2002級 姚金才 指導(dǎo)教師: 吳強摘 要本文對合成不確定度中的靈敏系數(shù)以及相關(guān)系數(shù)進行分析，包括靈敏系數(shù)的計算，協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念和計算。在合成不確定度評定中,相關(guān)性問題經(jīng)常被人為確定,或被故意忽略。這種現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生,尤其在低端實驗室更是如此。這種評定結(jié)果將給用戶和實驗室在測量不確定度的評定中帶來一定的風(fēng)險。文章給出評估這種風(fēng)險的計算公式。關(guān)鍵詞 靈敏系

4、數(shù);相關(guān)系數(shù); 協(xié)方差; 風(fēng)險評估AbstractThis text to analysis the sensitivity coefficient and correlation coefficient about the combined standard uncertainty， including the concept and the calculation of the intelligent coefficient, covariance and correlation coefficient. To estimate measurement uncertainty, the c

5、orrelation problems are always not analyzed precisely, or ignored subjectively completely. It is often the case in practive, especially in the lower end of metrological chain. In this case, the customers and the laboratories have to afford the risk that is certainly caused by artificial judgment of

6、the correlation coefficients for calculating measurement uncertainty. The formula for measuring this risk is presented.Key words delicacy coefficient, correlation coefficient, covariance, risk evaluate 0 引言 自1993 年國際標準化委員會( ISO) 等七個與計量測試相關(guān)的國際組織發(fā)表了“測量不確定度表達導(dǎo)則”之后,各國計量部門結(jié)合本國情況,已經(jīng)或正在對量大面廣的不同量值的測量不確定度評估方

7、法進行研究。我國國家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局和中國計量科學(xué)研究院亦采用上述ISO 導(dǎo)則,編制了相應(yīng)技術(shù)文件。許多文獻也對測量不確定度評定做了相應(yīng)的討論，本文從合成不確定度靈敏系數(shù)以及相關(guān)系數(shù)及忽略相關(guān)系數(shù)給實驗室和顧客帶來的風(fēng)險進行研究討論。1 不確定度評定中靈敏系數(shù)的計算1.1 靈敏系數(shù)的相關(guān)概念現(xiàn)行不確定度評定中，對于靈敏系數(shù)的概念及相關(guān)性質(zhì)描述的都比較少，但是在不確定度評定中靈敏系數(shù)又是一個非常重要的參數(shù)，因此有必要對其進行探討。有些文獻中又稱靈敏系數(shù)為傳遞系數(shù)或傳播系數(shù)。靈敏系數(shù)的概念為：在不確定度的評定中，當(dāng)全部輸入量都彼此獨立或不相關(guān)時，輸出量y的估計值Y的合成標準不確定度以下式計算： （1

8、）式中：輸入量的標準不確定度； -靈敏系數(shù)。靈敏系數(shù)符號為，。它描述輸出估計值Y如何隨輸入估計值，的變化而變化。在工程試驗不確定度的評定中?？梢詫㈧`敏系數(shù)理解為每個測量變量的不確定度對最終試驗結(jié)果不確定度的影響。這個影響可以是輸入量每變化一個單位，輸出量變化的單位值，也可以是輸入量每變化一個百分數(shù)，輸出量變化的百分數(shù)，也可以是輸入量每變化一個單位，輸出量變化的百分數(shù)等等。采用何種單位的靈敏系數(shù)，取決于不確定度分量合成的方便程度和試驗結(jié)果的函數(shù)形式。但注意在進行不確定度分量合成時，相應(yīng)的輸入量標準不確定度和輸出量標準不確定度的單位必須和靈敏系數(shù)單位一致，這一點非常重要,在文獻2中并通過實例分析來

9、說明它的重要性。只有知道了靈敏系數(shù)的意義及其重要性，才會在不確定度評定中自覺的分析靈敏系數(shù)。1.2 靈敏系數(shù)的計算根據(jù)（1）式靈敏系數(shù)的定義，我們可以直接計算，但在多數(shù)情況下,我們不能建立Y 與 的關(guān)系式,因此不能用數(shù)學(xué)方法求得 的標準差傳遞系數(shù)，即靈敏系數(shù)。有時可用實驗方法來求得,即分別給 一個小的變量 ,其它項保持不變,測量出Y的變量，,則/。撇開這種方法的可靠性問題,在操作上也存在難以解決的問題。如以彈性環(huán)式測力計為例,我們無法給出其長期穩(wěn)定度的小變量,也無法測出因此而產(chǎn)生的力值變化?，F(xiàn)實中會遇到很多這樣的問題,實際上多數(shù)同志在此時把標準差傳遞系即靈敏系數(shù)作為“1”來處理。這樣處理帶來的

10、偏差可能會超過單個分量的標準不確定度，因為有時候靈敏系數(shù)是遠大于“1”的。以上對不能確定模型函數(shù)時靈敏系數(shù)做了粗略估算，但還不嚴格，它們在不確定度評定中都將帶來一定的風(fēng)險。在工程上靈敏系數(shù)的計算已經(jīng)比較成熟了，以下給出了在工程上計算靈敏系數(shù)的幾種方法；1.2.1 計算機小擾動分析法對于較為復(fù)雜的工程試驗，往往編制有較為成熟的試驗結(jié)果計算程序，分別使用某一變量的兩個數(shù)值對試驗進行兩次評估并注意其差別。比如對于一個汽輪機性能試驗，要計算主蒸汽溫度不確定度對熱耗不確定度影響。主蒸汽溫度的測量平均值為535.2，熱耗的計算結(jié)果為8720.78即2.42。采用主蒸汽溫度=535.2+0.5=535.7，

11、其它測量參數(shù)的值不變，帶入計算機程序進行重新計算，熱耗的計算結(jié)果為8726.27，則主蒸汽溫度不確定度對熱耗不確定度的影響為(8726.278720.78)0.5=10.98，它表示主蒸汽溫度不確定度每變化1熱耗不確定度會變化1099。試驗計算程序可以是采用編程語言專門進行編制的執(zhí)行程序，也可以是使用EXCEL進行單元格計算的工作表。在大多數(shù)工程試驗中，都可以利用EXCEL的強大功能進行計算，而且在EXCEL中，改變參數(shù)值是很方便和直觀的，減少了出錯。在計算機較為普及的今天，如果有試驗計算程序，采用這種方法是非常簡便和可靠的。對于函數(shù)關(guān)系較為復(fù)雜的工程試驗，應(yīng)優(yōu)先考慮采用這種方法。1.2.2

12、解析微分法對于不太復(fù)雜的函數(shù)形式，可以采用解析微分法。靈敏系數(shù)的定義為偏導(dǎo)數(shù)，符號為，即。對于不太復(fù)雜的函數(shù)形式，手動求取偏導(dǎo)數(shù)不是很復(fù)雜，最好是利用EXCEL進行單元格計算，減少出錯和提高效率。對于某些特定形式的函數(shù)形式，可以用更簡單的方法來求取靈敏系數(shù)。 線性的函數(shù)形式對于相加的線性函數(shù)形式，靈敏系數(shù)的求取是很方便的 （2）則對輸入量求偏導(dǎo)數(shù)，靈敏系數(shù) 就等于輸入量的系數(shù)。它表示輸入量每變化1個單位，輸出量Y變化的單位值。1.2.2.2 相乘的非線性函數(shù)形式對于相乘的非線性函數(shù)形式，可以采用相對靈敏系數(shù)。首先將函數(shù)形式改寫為對數(shù)形式，如：立方體的體積的測量是通過輸入長、寬和高計算的，其函數(shù)

13、形式為： (3)將式(3)改寫為對數(shù)形式： (4)逐項微分，注意，并用差分“”代替“d”， (5)設(shè),則式(5)轉(zhuǎn)化為： (6)這樣使用新的變量，將函數(shù)轉(zhuǎn)換為式(2)形式的線性化函數(shù)，新變量的靈敏系數(shù)就是新變量的系數(shù)1。實際上新變量就是輸入變量的相對標準不確定度。此時的靈敏系數(shù)就是相對靈敏系數(shù)。因此如果函數(shù)形式為如下相乘的形式： (7)式中：指數(shù)可以是正數(shù)、負數(shù)或分數(shù)。則標準不確定度可表示為： (8)相對靈敏系數(shù)就等于輸入量的指數(shù)，單位為，表示輸入量每變化l，輸出量變化的百分數(shù)。這種函數(shù)形式，采用相對不確定度和相對靈敏系數(shù)進行合成是非常方便的。所以在進行微分計算靈敏系數(shù)的過程中，應(yīng)該盡可能將復(fù)

14、雜的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換成式(2)和式(7)這種特定的形式。1.2.2.3查表法在工程試驗中，很多時候函數(shù)形式是圖表，例如：在汽輪機試驗中，主蒸汽溫度功率修正系數(shù)的函數(shù)形式就是一條曲線，如圖1所示。在這條曲線中，可以通過主蒸汽溫度測量求取主蒸汽溫度對功率的修正系數(shù)。根據(jù)靈敏系數(shù)的定義，實際上就是曲線在主蒸汽溫度測量值(也就是平均值)處的斜率，它表示主蒸汽溫度不確定度每變化1，功率修正系數(shù)不確定度變化值。圖1 典型的主蒸汽溫度修正曲線（汽輪機進汽為過熱蒸汽）在不確定度評定中，不斷積累評定經(jīng)驗，根據(jù)試驗結(jié)果的函數(shù)形式，求取合適形式的靈敏系數(shù)。2 不確定度評定中相關(guān)系數(shù)的分析計算在國家計量技術(shù)規(guī)范JJ F1

15、059 - 1999測量不確定度評定與表示中規(guī)定, 當(dāng)輸入量 明顯相關(guān)時,其合成方差 必須考慮相關(guān)項,實際上處理相關(guān)的問題時, 由于數(shù)學(xué)上的或物理學(xué)的問題難以解決,我們在無奈之下，一般都采取了簡化處理:比如相關(guān)系數(shù)只取-1 、0 、+1三個值, 一般按不相關(guān)處理等。如在分析彈性環(huán)式測力計的不確定度時,其示值的分散性與其長期穩(wěn)定性及使用環(huán)境溫度的影響三者之間的相關(guān)性是必然的,只是苦于無法找到其間的聯(lián)系,不得已“認為”它們是相互獨立的。又如,江蘇省計量測試技術(shù)研究所生產(chǎn)的標準轉(zhuǎn)速、里程計價器檢定裝置,在分析它的不確定度時,其技術(shù)指標中,轉(zhuǎn)速穩(wěn)定度、記數(shù)器脈沖數(shù)的準確度、頻率準確度與轉(zhuǎn)速分散性等之間

16、由于電源、基準頻率的關(guān)系,其相關(guān)性是顯然的,但基于同樣的原因,我們只得估計它們是相互獨立的。這樣處理帶來的偏差究竟有多大,難以確定。這就必然會給實驗室和用戶帶來一定的風(fēng)險。2.1 相關(guān)輸入量的合成在估計輸入量之值 時,輸入量之間常因使用同一測量標準、測量儀器、參考數(shù)據(jù)或測量方法而造成彼此相關(guān),其表現(xiàn)在一對對的觀測值中的相互依賴的變化。假設(shè)兩個輸入量 、 的估計值 、 取決于一組不相關(guān)的變量 , , 得: = 和 ,設(shè) 是 的估計值 的估計方差,則 的估計方差: (9) 的估計方差也可類似表達為 (10)根據(jù)四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院組編的概率論與數(shù)理統(tǒng)計給出的兩個變量相關(guān)時的協(xié)方差為： (11)考慮到測

17、量學(xué)里的意義及其函數(shù)關(guān)系，可以將（11）式寫為： (12)2.2 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)輸入量相關(guān)時,測量結(jié)果的合成方差的表達式: （13）相關(guān)系數(shù)是兩個變量之間相互依賴性的度量,它等于兩個變量間協(xié)方差除以各自方差之積的正平方根,相關(guān)系數(shù)表示為: （14）因此相關(guān)系數(shù)的靈敏度要受數(shù)據(jù)的分布范圍的影響。且在概率論與數(shù)理統(tǒng)計里面給出了相關(guān)系數(shù)性質(zhì): （15）當(dāng)> 0 ,我們說兩量正相關(guān),即一量增大時,另一量取值平均也增大;當(dāng)< 0 ,兩量負相關(guān),即一量增大時,另一量取值平均減小;當(dāng)= 0 ,兩量無關(guān),它們的取值彼此無關(guān)。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計給出了證明，并進行了實例分析。我們也可以把合成方差 表示

18、為: （16）當(dāng)所有輸入估計值都相關(guān), 且相關(guān)系數(shù)= 1 的特殊情況下,上式可簡化為: （17）這時,合成標準不確定度 為每個輸入估計值標準不確定度 的線性和。舉例分析:當(dāng)標稱值均為1k 的10 個電阻器, 用同一個值為Rs 的標準電阻器較準時, 設(shè)校準不確定度可忽略,檢定證書給出的Rs 不確定度為u ( Rs) = 0.10,如將此10 只電阻器用可忽略電阻的導(dǎo)線串聯(lián),構(gòu)成標稱值為10k 的參考電阻。由于對每個電阻器來說,相關(guān)系數(shù):靈敏系數(shù):且所以: 得： 但如果忽略了10 個電阻校準值的相關(guān)性因素,按方和根進行計算,得出: ,其結(jié)果顯然是錯誤的。象這樣人為的降低不確定度，用戶是不會滿意的。

19、2.3 相關(guān)系數(shù)的計算高等教育出版社第二版概率論與數(shù)理統(tǒng)計以及科學(xué)出版社出版的概率論與數(shù)理統(tǒng)計都給出相關(guān)系數(shù)的計算公式： （18）其中為相關(guān)系數(shù)，為相關(guān)量的協(xié)方差，分別為X，Y的方差。在測量學(xué)里（18）還可以表示為： （19）通過相關(guān)性測量的實例, 說明相關(guān)系數(shù)的計算過程，例如：用分度值為1mm 的鋼卷尺測量某商品房間的面積,對房間的長（）和寬（d ） 各測量6 次,其測量列如表1 所示。表1 房間長和寬的測量數(shù)據(jù)6007.56008.56009.56008.56008.06006.0=6008.04010.54011.54011.54011.04010.04011.5=4011.0商品房間的

20、面積的數(shù)字模型：，因為對長和寬采用了同一測量儀器，則它們的估計值會出現(xiàn)相關(guān)，根據(jù)表1有 和d 算術(shù)平均值的標準不確定度為：協(xié)方差 =0.3所以相關(guān)系數(shù) 則考慮相關(guān)系數(shù)得：當(dāng)不考慮相關(guān)系數(shù)時，從以上兩式的結(jié)果可以看出考慮相關(guān)系數(shù)與不考慮相關(guān)系數(shù)存在明顯的區(qū)別，不考慮相關(guān)系數(shù)時是人為的降低了不確定度，從而給不確定度評定帶來了一定的風(fēng)險。在準確度要求很高的情況下相關(guān)系數(shù)不能忽略，否則就會產(chǎn)生較大的誤差。在一些準確度要求不是很高的情況下可以忽略相關(guān)系數(shù)，這就必然會帶來一定的風(fēng)險，以下就對這種風(fēng)險進行評估分析。3 不確定度評定中忽略相關(guān)項所帶來的風(fēng)險評估在不確定度評定中，由于相關(guān)系數(shù)的難確定及其復(fù)雜性，

21、在實際評定不確定度過程中,實驗室是難以付出高昂的成本去精確計算相關(guān)系數(shù)。因此相關(guān)性問題經(jīng)常被人為確定,或被故意忽略，這種現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生,尤其是在低端實驗室更是如此。這種評定結(jié)果將給用戶和實驗室在測量不確定度的評定中帶來一定的風(fēng)險。而目前國內(nèi)在這方面研究還比較欠缺。下面我們就此進行分析：當(dāng)評估模型為時，y 的標準合成不確定度按（16）有 （20）式中 是 的靈敏系數(shù)， 是 的標準不確定度; 是 和 的相關(guān)系數(shù)。特殊條件下的u ( y)計算公式可從式(20)中導(dǎo)出。如果所有變量都互為完全正相關(guān),則,式(20)變?yōu)? （21）如果所有變量都互為完全負相關(guān),則,式(20) 變?yōu)?（22）如果所有變量嚴格

22、的互不相關(guān),則 ,式(20) 變?yōu)? （23）當(dāng)評估模型中有3 個以上的變量時,相關(guān)系數(shù)的計算變得十分復(fù)雜,此時式(20) 難以使用。在實際評定不確定度過程中,實驗室是難以付出高昂的成本去精確計算相關(guān)系數(shù),或按文獻4的建議對測量過程做出非相關(guān)性安排,尤其在低端實驗室更是難以做到。所以有些實驗室習(xí)慣用式（21）,而有些實驗室則習(xí)慣用式(23)。由于相關(guān)系數(shù)被人為確定,所以無論是選用式(21) 還是式(23) 都將給實驗室和用戶帶來一定的風(fēng)險。因為當(dāng)靈敏系數(shù)確定之后，隨靈敏系數(shù)單調(diào)遞增或遞減。事實上，當(dāng)變量多于3個時，式（22）很少被選用。式（21）有時被一些實驗室使用，不管是使用（21）式還是使

23、用（22）式，對實驗室和用戶都存在一定的風(fēng)險。設(shè)風(fēng)險參數(shù)為，則式(24)可以對這種風(fēng)險進行定量的評估： （24）（24）式的性質(zhì)：1的值越小，則用戶和實驗室承擔(dān)的風(fēng)險也越小。2在人為忽略相關(guān)性問題條件下, r 是判斷式(23)可靠性的重要參數(shù)。4 案例案例1 :工具顯微鏡顯示誤差測量不確定度評定下列數(shù)據(jù)可從參考文獻6中獲取:，置信概率，自由度根據(jù)式(21)根據(jù)式(22)根據(jù)式(23)根據(jù)式(24)擴展不確定度：式中為包含因子測量結(jié)果報告：，這項測量不確定度評定結(jié)果可靠性很差,因為接近75%,大于50%，相關(guān)性問題不能忽略,應(yīng)予考慮。案例2 :中心長度為100 mm 的4 等量塊校準測量不確定度

24、評定下列數(shù)據(jù)可從參考文獻6中獲取， ，根據(jù)式(21)根據(jù)式(22)根據(jù)式(23)根據(jù)式(24)擴展不確定度：測量結(jié)果報告：，對用戶來說,這份測量不確定度報告比案例1可靠。5 結(jié)論由以上分析可知，在精確測量中，相關(guān)系數(shù)不能忽略。而在一些準確度要求不是很高的測量情況下，由于相關(guān)系數(shù)的難以計算,在測量不確定度的評定中,忽略相關(guān)性是一個普遍的現(xiàn)象,這無疑給不確定度的評定及使用帶來一定的風(fēng)險。為了對這種風(fēng)險進行評估和控制,在忽略相關(guān)性問題進行測量不確定度評估時,應(yīng)遵循下列原則:在相關(guān)性問題被忽略的條件下,式(23)是評定測量不確定度的最佳選擇;r 是風(fēng)險參數(shù),它代表著式(23)的可靠性和有效性。如果r

25、的值太大,或是超過了用戶所愿意承擔(dān)的風(fēng)險水平,相關(guān)性問題則不能忽略,或選用其它公式代替式(23)若選用式(23)評定測量不確定度,測量結(jié)果中應(yīng)包括風(fēng)險參數(shù)r 。在這種情況下,完整的測量不確定度信息描述應(yīng)給出、 和,這有助于實驗室和用戶對相關(guān)性問題進行粗略的評估和掌握測量不確定度評定結(jié)果的可靠性。測量不確定度報告應(yīng)注明參數(shù)包括: 、 、r 。 是測量結(jié)果; U 是擴展不確定度; p是置信水平; 是有效自由度。參考文獻 1王力. 關(guān)于測量不確定度計算的幾個疑難問題.計量技術(shù)，2000. 92張歐.工程試驗不確定度評定中靈敏系數(shù)的計算. 四川電力技術(shù). 2005，1 3李慶忠，李宇紅。計量不確定度評

26、估要點。計量技術(shù)，2003，14Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement S.Geneva : International Organization for Standardization. Corrected and reprinted , 1995.5朱愛民，張建志，賈克軍。測量不確定度的實際應(yīng)用。中國計量，2005，46上海市計量測試技術(shù)研究院，常用測量儀器測量不確定度評定案例M.北京:中國計量出版社, 2001. 34 36，62657Grade M. Estimation of measurement uncertainty-an alternative to the ISO GuideJ. Metrologia,2001,38(2):971068張相山，姜 波。合成標準不確定度評定中應(yīng)注意的問題及討論。計量與測試技術(shù)，2005 年第32