數(shù)學(xué)(文)二輪復(fù)習(xí)通用講義：專題三第二講大題考法——立體幾何

1、第二講大題考法立體幾何題型（一）平行、垂直關(guān)系的證明平行、垂直關(guān)系的證明是高考的必考內(nèi)容，主要考查線面（面面聲行、垂直的判定定理及性質(zhì)定理的應(yīng)用，以及平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化等.典例感悟典仞1（2018全國(guó)卷I）如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3,/ACM=90°.以AC為折痕將ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且ABXDA.（1）證明：平面ACD，平面ABC;（2）Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP=DQ=|dA,求三棱錐Q-ABP的3體積.審題定向（一）定知識(shí)主要考查直線與平面垂直、平面與平面垂直、三棱錐的體積.（二）定能力1 .考查直觀想象：平面圖形翻折前后變

2、與不變的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系；線面垂直、面面垂直的空間位置關(guān)系.2 .考查邏輯推理：欲證面面垂直，想到證線面垂直，進(jìn)而要證線線垂直；要求三棱錐的體積，需求其底面積及高.（三）定思路第（1）問利用面面垂直判定定理求證：證BA1AC?ABL平面ACD?面ACDXWABC;第（2）問利用三棱錐體積公式求解：先求得三棱錐底面ABP的邊角，過點(diǎn)Q作QEgC于點(diǎn)E,易證得QEL平面ABC,由體積公1式VQ-ABP=3XS/ABPXQE可求付體租.解(1)證明：由已知可得，/BAC=90°,即BA1AC.又因?yàn)锽A1AD,ACAAD=A,所以ABL平面ACD.因?yàn)锳B?平面ABC,所以平面ACDL平

3、面ABC.(2)由已知可得，DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=2DA,所以BP=272.3如圖，過點(diǎn)Q作QE必C,垂足為E,則QE觸1DC.3由已知及(1)可得，DC，平面ABC,所以QEL平面ABC,QE=1.因此，三棱錐Q-ABP的體積為VQ-ABP=1XSzABpXQE=1xN3X2j2sin45乂1=1.332典例2(2017全國(guó)卷n)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為太等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=2AD,ZBAD=ZABC=90°./I證明：直線BC/平面PAD;(2)若PCD的面積為2巾，求四棱錐P-ABCD的體積.審題定向(一)定知識(shí)

4、主要考查直線與平面平行的判定、四棱錐的體積.(二)定能力1 .考查直觀想象：四棱錐幾何體中的線線、線面、面面平行與垂直的空間位置關(guān)系2 .考查邏輯推理：欲證線面平行，想到證線線平行；要求四棱錐的體積，需求底面積及高,進(jìn)而先找證高線.(三)定思路第(1)問利用線面平行的判定定理求證：由條件中兩角等于90?？傻肂C/AD,再結(jié)合線面平行的判定定理證明；第(2)問利用四棱錐體積公式求解：先求BC的長(zhǎng)度后，計(jì)算底面積，確定高，利用V=1Sh可求.3解(1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因?yàn)?BAD=ZABC=90°,所以BC/AD.又BC?平面FAD,AD?平面FAD,所以BC/平面PAD.，一，

5、一.1一(2)如圖，取AD的中點(diǎn)M,連接PM,CM.由AB=BC=2AD及BC/AD,/ABC=90°,得四邊形ABCM為正方形，則CMLAD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,所以PMLAD,PM，底面ABCD.因?yàn)镃M?底面ABCD,所以PMXCM.國(guó)二llEr4設(shè)BC=x,貝UCM=x,CD=V2x,PM=3x,PC=PD=2x.取CD的中點(diǎn)N,連接PN,則PNXCD,所以PN=F24x.因?yàn)镻CD的面積為2巾，所以2xM2xx"24x=2g,解得x=2(舍去)或*=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=25.所以四棱錐

6、P-ABCD的體積V=:*21412V3=4*.32類題通法平行、垂直關(guān)系的證明思路i攝據(jù)圖眩與已知條件，把所求遷的面面問題：二傳化為統(tǒng)面向廄再特化為魏魏向超一.!VVB!*6=，KWVWB'!VV-H="W<!孑證明平行或垂直關(guān)系h利用線面，面面關(guān)不的判定定理與性及定理i14對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB/CD,ABXAD,CD=2AB,平面PAD,底面ABCD,PAXAD,E和F分別為CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA,底面ABCD;(2)BE/平面PAD;(3)平面BEFL平面PCD.證明：(1)因?yàn)槠矫鍼AD,底面ABCD,且PA垂直于這兩個(gè)平面的交

7、線AD,所以PAL底面ABCD.(2)因?yàn)锳BQD,CD=2AB,E為CD的中點(diǎn)，所以AB/DE,且AB=DE.所以四邊形ABED為平行四邊形.所以BE/AD.又因?yàn)锽E?平面PAD,AD?平面PAD,所以BE/平面PAD.(3)因?yàn)锳B1AD,且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE1CD,ADJCD.由知PAL底面ABCD,所以PAJCD,又ADAPA=A,所以CD，平面PAD,所以CD1PD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PDEF,所以CDJEF.又因?yàn)镃D1BE,EFnBE=E,所以CD，平面BEF.又CD?平面PCD,所以平面BEFL平面PCD.題型(二)體積、距離的計(jì)算本部分

8、的計(jì)算題目多設(shè)兩問，第(1戶考查空間位置關(guān)系的證明，第(2產(chǎn)考查空間幾何體體積的求法或點(diǎn)到平面距離的求法.典例感悟典例1(2018全國(guó)卷n)如圖，在三棱錐P-ABC中，ab=bc=R2,太PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn)./A證明：POL平面ABC;/血(2)若點(diǎn)M在BC上，且MC=2MB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.審題定向(一)定知識(shí)主要考查直線與直線垂直的判定、直線與平面垂直的判定定理、點(diǎn)到平面的距離.(二)定能力1 .考查直觀想象：三棱錐中的線線垂直、線面垂直的空間位置關(guān)系2 .考查邏輯推理：欲證線面垂直，想到證線線垂直；要求點(diǎn)面距，先找過此點(diǎn)的面的垂線，即高線的長(zhǎng).(三)定思

9、路第(1)問利用線面垂直的判定定理求證：連接OB,由已知條件得出OP1OB,OP1AC,再利用線面垂直的判定定理得證；第(2)問利用線面垂直判定定理找高線，由等面積法求其大?。鹤鞒鲋本€與直線垂直，證明直線與平面垂直，由等面積法求點(diǎn)到平面的距離解(1)證明：因?yàn)镕A=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn)，所以PO1AC,且PO=2冊(cè).2一.一.一1連接OB,因?yàn)锳B=BC=AC，所以ABC為等腰直角三角形，且OB必C,OB=2AC=2.所以PO2+OB2=PB2,所以POJOB.又因?yàn)锳CnOB=O,所以PO,平面ABC.（2）如圖，作CHJOM,垂足為H,又由可得OPJCH,所以CH，平1面POM.

10、故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離.由題設(shè)可知OC=/AC=2,24、萬2、花OCMCsinZACBCM=§BC=3,ZACB=45°,所以O(shè)M=3,CH=OM典仞2 （2017全國(guó)卷I ）如圖，在四棱錐CD,且/ BAP=Z CDP=90°.P-ABCD 中，AB /.所以點(diǎn)C到平面POM的距離為證明：平面PABL平面FAD;(2)若PA=PD=AB=DC,/APD=90°,且四棱錐P-ABCD的體積為8,求該四棱錐的側(cè)面積3審題定向（一）定知識(shí)主要考查直線與平面垂直、平面與平面垂直、四棱錐的體積和側(cè)面積（二）定能力1 .考查直觀想象：四棱錐幾何體中的

11、線線平行、垂直，線面垂直，面面垂直的空間位置關(guān)系2 .考查邏輯推理：欲證明面面垂直，想到證線面垂直，進(jìn)而要證線線垂直；已知四棱錐的體積，可求得底面邊長(zhǎng)，進(jìn)而可求側(cè)面積.（三）定思路第（1）問利用面面垂直判定定理求證：證AB1AP,AB1PD?ABL平面PAD?平面PABL平面FAD;第（2）問利用四棱錐體積公式列方程求邊，進(jìn)而求各側(cè)面面積：在平面PAD內(nèi)作PE必D,先證得PE為四棱錐的高，由四棱錐體積列方程，求得高及各側(cè)面中的邊，進(jìn)而由面積公式求得側(cè)面積.解(1)證明：由/BAP=/CDP=90°,得AB1AP,CDJPD.因?yàn)锳B心D,所以AB1PD.又APAPD=P,所以ABL平

12、面PAD.又AB?平面PAB,所以平面PABL平面PAD.(2)如圖所示，在平面PAD內(nèi)作PE1AD,垂足為E.由知，AB，平面PAD,故ABJPE,可得PEL平面ABCD.；.崇二設(shè)AB=x,則由已知可得AD=y2x,PE=¥x.故四棱錐P-ABCD'"的體積Vp-abcd=；ABADPE=；x3.由題設(shè)得：x3=5,故x=2.從而FA=PD=AB=DC=2,AD33331111=BC=2>/2,PB=PC=2q2.可得四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為2PAPD+-PAAB+2PDDC十萬BC2sin60=6+273.類題通法(1)求解不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用

13、割補(bǔ)法，將問題轉(zhuǎn)化為柱體或錐體的體積求解.(2)求點(diǎn)到平面的距離時(shí)，常用等體積轉(zhuǎn)換法.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2018鄭州模擬)如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PABL平面ABC,AB=6,BC=2V3,AC=276,D為線段AB上的點(diǎn)，且AD=2DB,PD±AC.(1)求證：PD,平面ABC;(2)若/PAB=-,求點(diǎn)B到平面PAC的距離.4解：(1)證明：連接CD(圖略)，據(jù)題知AD=4,BD=2,AC2+BC2=AB2,.ACB=90°,.cosZABC=263-=興,.CD2=22+(2m)22X2X2V3cos"BC=8,.CD=272,CD2+AD2=AC2,貝UC

14、D1AB；.平面PABL平面ABC,平面PABA平面ABC=AB,，CD，平面PAB,.CDJPD,PDIAC,ACACD=C,.PD，平面ABC.(2)由(1)得PD1AB,.熟B=j,.PD=AD=4,PA=4*,在Rt矛CD中，PC=/pD2+CD2=2乖，.-.zPAC是等腰三角形，可求得SAFAC=842.設(shè)點(diǎn)B到平面PAC的距離為d,由Vb-pac11SAabcxpd=Vp-abc,得3szpAcXd=3SaBcXPD,d=3.故點(diǎn)B到平面FAC的距離為3.題型（三）翻折與探索性問題主要考查平面圖形與空間圖形的轉(zhuǎn)換，且多涉及空間線面、向向的平行與垂直問題的證明或判斷以及探索性問題.

15、典例感悟典例1（2018全國(guó)卷出）如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧仃）所在平面垂直，M是，D上異于C,D的點(diǎn).歹（1）證明：平面AMD，平面BMC;Ak.幺（2）在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC/平面PBD?說明理由.審題定向（一）定知識(shí)主要考查線面垂直、面面垂直、線面平行的判定，探索性問題.（二）定能力1 .考查直觀想象：空間圖形中線線、線面、面面平行與垂直的空間位置關(guān)系2 .考查邏輯推理：欲證面面垂直，要證線面垂直、進(jìn)而先證線線垂直；是否存在點(diǎn)使得線面平行，只需找一點(diǎn)證明線面平行即可.（三）定思路第（1）問利用線面垂直、面面垂直的判定定理求證：先證明BCJDM,再證明DM1CM即可；第

16、（2）問利用線面平行的判定定理進(jìn)行判定：先連接AC,BD,BD與AC交于點(diǎn)O,再說明是否存在點(diǎn)P滿足OP/MC即可.解(1)證明：由題設(shè)知，平面CMD，平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽CJCD,BC?平面ABCD,所以BCL平面CMD,所以BC1DM.因?yàn)镸為CD上異于C,D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMJCM.又BCACM=C,所以DM，平面BMC.因?yàn)镈M?平面AMD,所以平面AMD，平面BMC.(2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC/平面PBD.證明如下：連接AC交BD于O.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以。為AC的中點(diǎn).連接OP,因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所以MCOP.又MC?平面PBD,OP?平面PBD

17、,所以MC/平面PBD.典仞2(2016全國(guó)卷H)如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,F分別在AD,CD上，AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到D'EF的位置.(1)證明：AC±HD，;(2)若AB=5,AC=6,AE=4，OD'=272,求五棱錐D'-ABCFE的體積.審題定向(一)定知識(shí)主要考查平面圖形翻折問題中的線線垂直、五棱錐的體積.(二)定能力1 .考查直觀想象：平面圖形到空間圖形的轉(zhuǎn)化，翻折前后變與不變的數(shù)量及位置關(guān)系2 .考查邏輯推理：欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證其中一直線的平行線與另一直線垂直；欲求五棱錐的體積，需先找(

18、證)其高，再求其底面積，然后利用錐體體積公式計(jì)算即可(三)定思路第(1)問利用平行過渡來證明線線垂直：利用AC與EF平行，轉(zhuǎn)化為證明EF與HD'垂直；1第(2)向利用錐體體積公式V=-Sh計(jì)算：3求五棱錐的體積需先求棱錐的高及底面的面積，結(jié)合圖形特征可以發(fā)現(xiàn)OD'是棱錐的高，而底面的面積可以利用菱形ABCD與4DEF面積的差求解，這樣就將問題轉(zhuǎn)化為證明OD'與底面垂直以及求DEF的面積問題了.解(1)證明：由已知得ACJBD,AD=CD.又由AE=CF得器=焉，故AC/EF.由此得EFJHD,故EFJHD',所以AC1HD'.(2)由EF/AC得祟=AE

19、"=1.由AB=5,AC=6得DO=BO=«AB2AO2=4.所以O(shè)H=DOAD41,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2V2)2+12=9=D，H2,故OD'!OH.由(1)知，AC±HD',又AC1BD,BDAHD'=H,所以AC,平面BHD',于是ACJOD'.又OD'JOH,ACAOH=O,所以O(shè)D'，平面ABC.又由AF=DO得EF=2.五邊形ABCFE的面積S=2X6X81X9X3=69.所以五棱錐D'-ABCFE的體積乜二乂岑會(huì)平=232.224342類題通法1.

20、求解平面圖形折疊問題的關(guān)鍵和方法關(guān)鍵分清翻折前后哪些位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系改變，哪些不變，抓住翻折前后不變的量充分利用原平面圖形的信息是解決問題的突破口把平面圖形翻折后.經(jīng)過恰當(dāng)連線就能得到三棱方法錐、四棱錐等幾何體，從而把問題轉(zhuǎn)化到我們熟悉的幾何體中解決2.求解探索性問題的類型及策略問題類型求解策略對(duì)命題條件的探索）先猜后證即先觀察,嘗試給出條件再證明；（2）先通過命題成立的必要條件探索出命即成立的條件,再證明充分性事（3）將JL何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,探索出命題成立的條件對(duì)命題結(jié)論的探索【1）探索結(jié)論是什么,常從條件出發(fā)，探索出要求的結(jié)論是什么；（2）探索結(jié)論是否存在.常先假設(shè)結(jié)論存在，再在這個(gè)

21、假設(shè)下進(jìn)行推理論證.尋找與條件相符或矛省的結(jié)論，相符則存在.矛盾則不存在對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練（2018泰安模擬）如圖，在正四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BiCi的中點(diǎn).（1）求證:AiF/平面ECCi；（2）在CD上是否存在一點(diǎn)G,使BG，平面ECCi?若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)G的位置，并證明你的結(jié)論，若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（I）證明：如圖，在正四棱柱ABCD-AB1c1中，取BC的中點(diǎn)M,連接AM,FM,所以BiFBM且BiF=BM,所以四邊形BiFMB是平行四邊形，所以FM/BiB且FM=BiB.因?yàn)锽iB/AiA且BiB=AiA,所以FMAiA且FM=AiA,所以四邊形AAiF

22、M是平行四邊形，所以AiF/AM.因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，所以AE/MC且AE=MC.所以四邊形AMCE是平行四邊形，所以CE/AM,所以CE/AiF.因?yàn)锳iF?平面ECCi,EC?平面ECCi,所以AiF/平面ECCi.(2)在CD上存在一點(diǎn)G,使BG，平面ECCi.證明如下：取CD的中點(diǎn)G,連接BG.在正方形ABCD中，DE=GC,CD=BC,ZADC=/BCD,所以CDE/BCG,所以/ECD=/GBC.因?yàn)?CGB+/GBC=90°,所以/CGB+/DCE=90°,所以BGJEC.因?yàn)镃Ci,平面ABCD,BG?平面ABCD,所以CCilBG.又ECACCi=C,所以

23、BGL平面ECCi.故當(dāng)G為CD的中點(diǎn)時(shí)，滿足BGL平面ECCi.解題通法點(diǎn)撥立體幾何問題重在“轉(zhuǎn)”一一轉(zhuǎn)化、轉(zhuǎn)換循流程思維一一入題快立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合，以某個(gè)幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深，解決這類題目的原則是轉(zhuǎn)化、轉(zhuǎn)換.轉(zhuǎn)化一一空間平行關(guān)系間的轉(zhuǎn)化、垂直關(guān)系間的轉(zhuǎn)化、平行與垂直關(guān)系間的轉(zhuǎn)化以及平面幾何與立體幾何的轉(zhuǎn)化等；轉(zhuǎn)換一一對(duì)幾何體的體積、錐體體積?？疾轫旤c(diǎn)轉(zhuǎn)換，多面體體積多分割轉(zhuǎn)換為幾個(gè)規(guī)則幾何體的體積和或體積差來求解，求體積時(shí)距離與體積計(jì)算的轉(zhuǎn)換等.按流程解題一一快又準(zhǔn)典例(20i6全國(guó)卷出)如圖，四棱錐P-ABCD中，PAL底面ABCD,AD/BC,

24、AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).(i)證明MN/平面PAB;(2)求四面體N-BCM的體積.解題示范證明：由已知得AM=2AD=2.取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC的中點(diǎn)知31TN/BC,TN=2BC=2.又ADBC,故TN觸AM,所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNAT.因?yàn)镸N?平面PAB,AT?平面PAB,所以MN/平面PAB.1(2)因?yàn)镻AL平面ABCD,N為PC的中點(diǎn)，所以N到平面ABCD的距離為2PA.取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB=AC=3得AEJBC,AEmMABBE2=J5.由AM/BC得M至UBC的距

25、離為機(jī)，故生BCM=1X4Xm=2的所以四面體N-BCM的體積Vn-bcm=XSabcm><Pa=2324,5?3.?轉(zhuǎn)化：平行關(guān)系間的轉(zhuǎn)化.線/纜線/面.TN/BC,AD/BC?TN觸AM?MN/AT?MN/平面PAB.?轉(zhuǎn)換：距離與體積的計(jì)算轉(zhuǎn)換.點(diǎn)面距、點(diǎn)線距？體積的計(jì)算.AE=V5,AM/BC?點(diǎn)M至ijBC的距離為J5;點(diǎn)N到平面ABCD的距離為(pa?四面體N-BCM的體積.思維升華立體幾何的內(nèi)容在高考中的考查情況總體上比較穩(wěn)定，因此，復(fù)習(xí)備考時(shí)往往有“綱”可循，有“題”可依.在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，要重視識(shí)圖訓(xùn)練，能正確確定關(guān)鍵點(diǎn)或線的位置，將局部空間問題轉(zhuǎn)化為平面模型.其中

26、，平行、垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)是立體幾何的核心內(nèi)容；空間距離、面積與體積的計(jì)算是重點(diǎn)內(nèi)容.應(yīng)用體驗(yàn)（20i8河北二市聯(lián)考）在直二棱柱ABC-AiBiCi中，AC=4,CB=2,AAi=2,ZACB=60,巳F分別是AiCi, BC的中點(diǎn).證明：平面 AEBL平面BBiCiC;(2)證明：CiF/平面 ABE;設(shè)P是BE的中點(diǎn)，求三棱錐 P-BiCiF解：(i)證明：在4ABC中,.AC=2BC=4,ZACB=60°,.AB=2®.AB2+BC2=AC2,.ABIBC,由已知ABdBBi,且BCnBBi=B,可得AB,平面BBiCiC,又AB?平面ABE,平面ABEL平面BB1

27、C1C.(2)證明：取AB的中點(diǎn)M,連接EM,FM,在ABC中，M,F分別為AB,BC的中點(diǎn),.MFAC,MF=2AC,A1C1/AC,AiCi=AC,E為A1C1的中點(diǎn),.MF£Ci,MF=ECi,，四邊形ECiFM為平行四邊形，.CiF/£M,.EM?平面ABE,CiF?平面ABE,CiF/平面ABE.1取BiCi的中點(diǎn)H,連接EH,則EHAB,且EH=2AB=3,又AB，平面BBiCiC,.EHL平面BBiCiC,.P是BE的中點(diǎn)，.VP-BiCiF=ZVE-BiCiF=iX1sABiCiFEH=XX2Xm=乎.223233課時(shí)跟檢測(cè)A卷一一大題保分練1 .(20i8

28、濟(jì)南*II擬)如圖，四邊形ABCD是菱形，四邊形MADN是矩形，平面MADN，平面ABCD,E,F分別為MA,DC的中點(diǎn).求證：(i)EF/平面MNCB;(2)平面MAC，平面BND.證明：(1)如圖，取NC的中點(diǎn)G,連接FG,MG.心加占/曰1玲*因?yàn)镕,G分別為DC,NC的中點(diǎn)，所以FG/ND且FG=/ND,尋一一1'：又MEND且ME=2ND,所以FG與ME平行且相等，所以四邊形MEFG是平行四邊形，所以EFMG,又MG?平面MNCB,EF?平面MNCB,所以EF/平面MNCB.(2)因?yàn)樗倪呅蜯ADN是矩形，所以ND1AD.因?yàn)槠矫鍹ADN，平面ABCD,平面ABCDn平面MA

29、DN=AD,DN?平面MADN,所以ND,平面ABCD,所以ND1AC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC1BD.因?yàn)锽DAND=D,所以AC,平面BDN.又AC?平面MAC,所以平面MAC,平面BDN.2 .(2018江蘇調(diào)研)如圖，在三棱錐P-ABC中，已知平面PBCX平面ABC.若ABBC,且CP±PB,求證：CPXPA;(2)若過點(diǎn)A作直線U平面ABC,求證：1/平面PBC.證明：(1)因?yàn)槠矫鍼BCL平面ABC,平面PBCA平面ABC=BC,AB?平面ABC,AB±BC,所以AB，平面PBC.因?yàn)镃P?平面PBC,所以CP1AB.又CP1PB,且PBnAB=B,A

30、B,PB?平面PAB,所以CP,平面PAB.又PA?平面PAB,所以CP1FA.(2)在平面PBC內(nèi)過點(diǎn)P作PDJBC,垂足為D(圖略).因?yàn)槠矫鍼BC，平面ABC,又平面PBCA平面ABC=BC,PD?平面PBC,所以PD，平面ABC.又1，平面ABC,所以lPD.又1?平面PBC,PD?平面PBC,所以1/平面PBC.3 .(2018鄭州模擬)如圖，已知四棱錐S-ABCD,底面梯形ABCD中，AD/BC,平面SABL平面ABCD,4SAB是等邊三角形，已知AC=2AB=4,BC=2AD=2CD=2p,M是SD上任意一點(diǎn)，SM=mMD,/'且m>0.?工(1)求證：平面SAB,

31、平面MAC;(2)試確定m的值，使三棱錐S-ABC的體積為三棱錐S-MAC體積的3倍.解：(1)證明：在4ABC中，由于AB=2,AC=4,BC=275,.AB2+AC2=BC2,故AB!AC.又平面SAB,平面ABCD,平面SABA平面ABCD=AB,AC?平面ABCD,AC，平面SAB,又AC?平面MAC,故平面SAB，平面MAC.(2)由(1)知，Smbc=2X2X4=4,S/acd=2*4X522=2,mmVs-mac=Vm-sac=Vd-sac=Vs-acd,Vs-abc_m+1Vs-abc_m+1SBC_m+1._Vs-macmVs-acdmsCDm'.m=2,即當(dāng)m=2時(shí)

32、，三棱錐S-ABC的體積為三棱錐S-MAC體c積的3倍.4.(2018北京東城區(qū)模擬)如圖，在四麴隹E-ABCD中，AEXDE,CD/，平面ADE,ABL平面ADE,CD=3AB.、丁(1)求證:平面ACEL平面CDE;(2)在線段DE上是否存在一點(diǎn)F,使AF/平面BCE?若存在，求出EED的值；若不存在，說明理由.解：(1)證明：因?yàn)镃D，平面ADE,AE?平面ADE,所以CD1AE.又AE1DE,CDADE=D,所以AE，平面CDE,因?yàn)锳E?平面ACE,所以平面ACEL平面CDE.(2)在線段DE上存在一點(diǎn)F,且ED=3,使AF/平面BCE.設(shè)F為線段DE上一點(diǎn)，且ED13.1過點(diǎn)F作F

33、M/CD交CE于點(diǎn)M,連接BM,AF,則FM=-CD,如3圖所示.因?yàn)閏d±Wade,abxWade,所以cd/ab.又FMCD,所以FM/AB.因?yàn)镃D=3AB,所以FM=AB.所以四邊形ABMF是平行四邊形,所以AF/BM.又AF?平面BCE,BM?平面BCE,所以AF/平面BCE.5.(2018北京西城區(qū)期末)如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF，平面ABCD,BF=3,G,H分別是CE,CF的中點(diǎn).(1)求證：AS平面BDEF;(2)求證：平面BDGH/平面AEF;(3)求多面體ABCDEF的體積.解：(1)證明：因

34、為四邊形ABCD是正方形,所以ACJBD.又平面BDEFL平面ABCD,平面BDEFn平面ABCD=BD,且AC?平面ABCD,所以AC，平面BDEF.(2)證明：在4CEF中，因?yàn)镚,H分別是CE,CF的中點(diǎn)，所以GH/EF.又GH?平面AEF,EF?平面AEF,所以GH/平面AEF.設(shè)ACABD=O,連接OH,如圖.在9CF中，因?yàn)镺,H分別為CA,CF的中點(diǎn)，所以O(shè)HAF.因?yàn)镺H?平面AEF,AF?平面AEF,所以O(shè)H/平面AEF.因?yàn)镺HAGH=H,OH,GH?平面BDGH,所以平面BDGH/平面AEF.(3)由(1)得AC,平面BDEF.因?yàn)锳O=<2,矩形BDEF的面積S矩

35、形bdef=3X2<2=642,1_一，所以四棱錐A-BDEF的體積Vi=;XS矩形bdefXAO=4.3同理，四棱錐C-BDEF的體積V2=4.所以多面體ABCDEF的體積V=Vi+V2=8.B卷一一深化提能練1.(2018重慶*II擬)如圖，在幾彳S體ABCDFE中，四邊形ABCD是菱形，BE,平面ABCD,DF/BE,且DF=2BE=2,EF=5,AC,BD交于點(diǎn)O.證明：平面AECL平面BEFD;(2)若cos/BAD=；,求幾何體ABCDFE的體積.3解：(1)證明：四邊形ABCD是菱形,.ACJBD,.BE,平面ABCD,AC?平面ABCD,.BE1AC,又BEABD=B,.

36、AS平面BEFD,.AC?平面AEC,平面AES平面BEFD.(2).BE，平面ABCD,.BEJBD,.DF/BE,DF1BD,.,BD2=EF2(DFBE)2=24,，BD=2V6,1S四邊形befd=2(BE+DF)BD=3，6,設(shè)AB=a(a>0),.CoszBAD=1,3.BD2=AB2+AD2-2ABADcosZBAD=4a2=24,，a=3也3.OA2=AB2-OB2=12,.OA=2弧由(1)得AC,平面BEFD,OA=OC,-V幾何體ABCDFE=2V四棱錐A-BEFD=；S四邊形BEFDOA=12/2.32.(2018陜西模擬)在三棱錐P-ABC中，PAC和4PBC都

37、是邊長(zhǎng)為山的等邊三角形，AB=2,O,D分別是AB,PB的中點(diǎn).(1)求證：OD/平面PAC;(2)求證：POL平面ABC;(3)求三棱錐A-PBC的體積.解：(1)證明：:。，D分別為AB,PB的中點(diǎn),.ODPA.又PA?平面PAC,OD?平面PAC,.OD/平面PAC.(2)證明：如圖，連接OC,.AC=CB=m，AB=2,.AC2+CB2=AB2,ACB=90°.又。為AB的中點(diǎn),.OCJAB,OC=1.同理，PO1AB,PO=1.又PC=小，而PC2=OC2+PO2=2,.POJOC.又ABAOC=O,AB?平面ABC,OC?平面ABC,.PO,平面ABC.由(2)可知PO,

38、平面ABC,PO為三棱錐P-ABC的高，且PO=1.三棱錐A-PBC的體積1Va-PBC=VP-ABC=3sAABCPO=Xi1X2X1X1=123.3 .如圖，在三棱錐P-ABC中，/ABC=90°,平面FAB±平面ABC,PA=PB,點(diǎn)D在PC上，且BD，平面PAC.證明：PA，平面PBC;(2)若AB：BC=2：46,求三棱錐D-PAB與三棱錐D-ABC的體積比.解：(1)證明：因?yàn)锽D，平面PAC,PA?平面PAC,所以BDJPA,因?yàn)?ABC=90°,所以CB必B,又平面PABXWABC,平面PABA平面abc=ab,所以CBL平面PAB,又PA?平面PAB,所以CBJPA,又cbabd=b,所以PAL平面PBC.，一一.1、一1一(2)因?yàn)槎忮FD-PAB的體積Vd-p