數(shù)學(xué)(理)人教A新設(shè)計大一輪講義+習(xí)題：第三章第1節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算

1、第三章F導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第1節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算最新考綱1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景；2.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=c(c為常數(shù))，y=x,y=1,y=x；y=x3,yx=也的導(dǎo)數(shù)；4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單復(fù)合函數(shù)(僅限于形如y=f(ax+b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).回師教材，夯實基礎(chǔ)I知識衍化體驗知識梳理1 .函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義：稱函數(shù)丫=)在乂= xo處的瞬時變化率1mf (x0+ Ax) f (x0)Axjma為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作，乂0)或丫4=|勺，

2、即f乂6)=w0三=limLx 。f (x0+ 迎f (x0)(2)幾何意義：函數(shù)f(x)在點xo處的導(dǎo)數(shù)fx6)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(xo,f(xo)處的切線的斜率.相應(yīng)地,切線方程為yy6=fx6)(xxo).2 .函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a,b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，函數(shù)fx)=也”一十七一f稱為函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).3 .基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))fx)=0f(x)=xaCQ*)rfv51fx)=axf(x)=sinxfx=cosxf(x)=cosxfx

3、)=sin_xxf(x)=efx)=exf(x)=ax(a0)fx)=axln_af(x)=Inxfx)Jxf(x)=logax(a0,aw1)11fx)=xlna4.導(dǎo)數(shù)的運算法則若fx),gx)存在，則有:f(x)力(x)=fx)=gx);(2)f(x)g(x)=fx)g(x)+f(x)gx);(g(x)w。).g (x) 2(x),f(x)g(x)f(x)g(x)(3)g(x)5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y= f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y= f(u)微點提醒u = g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為Vx= yuux-.1.fx0)代表函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)值;(f(xo)是函數(shù)值f(X0)的導(dǎo)

4、數(shù),且(f(xo)=0.12.一f (x)f (x)f (x) 2.3 .曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點.4 .函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)fx)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負(fù)號反映了變化的方向，其大小|fx)|反映了變化的快慢，|fx)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.基礎(chǔ)自測疑誤辨析1 .判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打或(1)fx0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率.()(2)函數(shù)f(x)=sin(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)=cosx.()(3)求fx0)時,可先求f(xo),再求fx0).()曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點.

5、()解析(1)fx0)表示y=f(xx=X0處的瞬時變化率，錯.(2)f(x)=sin(x)=sinx,則fx=cosx,(2)錯.(3)求fx。時，應(yīng)先求fx),再代入求值，錯.答案(1)x(2)x(3)X，教材衍化2 .(選彳22P19B2改編)曲線y=x3+11在點P(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)是()A.-9B.-3C.9D.15解析因為y=x3+11,所以y=3x2,所以yx*=3,所以曲線y=x3+11在點P(1,12)處的切線方程為y-12=3(x1).令x=0,得y=9.答案C3 .(選彳22P3例題改編)在高臺跳水運動中，ts時運動員相對于水面的高度(單位：m)是h(

6、t)=4.9t2+6.5t+10,則運動員的速度v=m/s,加速度a=m/s.解析v=ht)(=-9.8t+6.5,a=vt)(=9.8.答案9.8t+6.5-9.8考題體驗4 .(2019保定質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=x(2018+lnx),若fx0)=2019,則xo等于()A.e2B.1C.ln2D.e1解析fx=2018+lnx+xXx=2019+lnx.由fx0)=2019,彳#2019+lnxo=2019,則lnxo=0,解得xo=1.答案B5.(2018天津卷)已知函數(shù)f(x)=exlnx,fx)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(中)值為解析由題意得fx)=exlnx+ex1,則f)4e.

7、x答案e21,6.(2017全國I卷)曲線y=乂2+7在點(1,2)處的切線萬程為1解析設(shè)y=f(x),則fx)=2x-2,x所以以(令21=1,所以在(1,2)處的切線方程為y2=1X(x1),即y=x+1.答案y=x+1I考點聚焦突惻分類由練以例求法考點一導(dǎo)數(shù)的運算多維探究角度1根據(jù)求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例11】分別求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=exlnx；(2)y= xx2 + x+3)；(3)f(x)=ln1+2x.ex(1n x+1xe解(1)y=(e)xt+e(lnx)=elnx+二x因為v=乂3+1+白，所以y=3x2/.(3)因為y=InV1+2x=2ln(1+2x),111所以

8、丫=2,(1+”)=,.角度2抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算【例12(2019福州聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是fx),且滿足f(x)=2xf(1)+ln1,則f(1)=()xA.eB.2C.-2D.e解析由已知得fx)=2f(91,令x=1得f(號2f31,解得f(片1,則f(1)x=2f(1)2.答案B規(guī)律方法1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo).2 .復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進行換元.3 .抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.【訓(xùn)練11(1)若y=xcos；sin,則y=.(2)已知f(x)=x2+2xf則f(0).

9、1斛析(1)因為y=x-sinx,所以y=Jx-2sinx)=xQsinx)=1/cosx.(2)fxl=2x+2f(1)f(12+2f(1)即f(分一2.fx)=2x4,.f(0)-4.1答案(1)12cosx(2)-4考點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義多維探究角度1求切線方程【例21(2018全國I卷)設(shè)函數(shù)僅)=乂3+(212+2乂若耳乂)為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為()A.y=2xB.y=xC.y=2xD.y=x解析因為函數(shù)f(x)=x3+(a1)x2+ax為奇函數(shù)，所以a1=0,則a=1,所以f(x)=x3+x,所以fx)=3x2+1,所以f(0)1,所以曲線y=f(x

10、)在點(0,0)處的切線方程為y=x.答案D角度2求切點坐標(biāo)_、，一一，x一.1、.【例22】(1)(2019鄭州月考)已知曲線v=3lnx的一條切線的斜率為2,則切點的橫坐標(biāo)為()1A.3B.2C.1D.21設(shè)曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y=-(x0)上點P處的切線垂直，則Px、的坐標(biāo)為.解析(1)設(shè)切點的橫坐標(biāo)為刈僅。0),x2j人-1:曲線y=彳一3lnx的一條切線的斜率為2,即x0-31x0=2解得x0=3或x0=2(舍去，不符合題意)，即切點的橫坐標(biāo)為3.(2)，函數(shù)y=ex的導(dǎo)函數(shù)為y=ex,曲線y=ex在點(0,1)處的切線的斜率k1=e0=1.設(shè)P(x0,y0)(x

11、00),函數(shù)y=的切線的斜率k2= 昉， 由題意知kik2= 1,即1 1又二點P在曲線y=(x0)上，y0=1,故點P的坐標(biāo)為(1, 1). X答案 (1)A (2)(1, 1)角度3求參數(shù)的值或取值范圍【例2 3】(1)函數(shù)f(x)=ln x+ ax的圖象存在與直線2x-y= 0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-oo, 2B.( 2)C.(2, +00)D.(0, +oo)(2019東北三省四校聯(lián)考)已知曲線f(x) = x+a+b(xw0)在點(1, f(1)處的切線 x方程為 y= 2x+5,則 ab=.解析(1)由題意知fx)=2在(0, +oo)上有解.解析 (1)由 f

12、(x) = x3 + ax2,得 fx)=3x2 + 2ax.根據(jù)題意可得 f x0) = 1, f(x) = xo,的導(dǎo)函數(shù)為v=-32,曲線y=J(x0)在點P處di20 L又 X00, xo=1.xxxfx)=1+a=2在(0,+)上有解，則a=21.xx一，一1因為x0,所以210）既在曲線y=xlnx上又在直線y=kx2上，ikxo-2=yo=xolnxo,xolnxo,k=Inxo+-,則Inxo+?=lnxo+1,xo=2,k=In2+1.xoxo答案D二、填空題9 .已知曲線f（x）=2x2+1在點M（xo,f（xo）處的瞬時變化率為一8,則點M的坐標(biāo)為.解析由題意得fx）=4

13、x,令4xo=8,則xo=2,；f（xo）=9,點M的坐標(biāo)是（一2,9）.答案（2,9）1。.已知aCR,設(shè)函數(shù)f（x）=axlnx的圖象在點（1,f（1）處的切線為1,則l在y軸上的截距為.1、解析f(1)=a,切點為(1,a).fx)=a，則切線的斜率為f(今a1,切線方x程為：ya=(a1)(x1),令x=0得出y=1,故l在y軸上的截距為1.答案111.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為fxl,且滿足關(guān)系式f(x)=x2+3xf(2)lnx,則f(2).解析因為f(x)=x2+3xf(2)lnx,1所以fx)=2x+3f(2)jx19所以f(2)4+3f(2)2=3f(2)2,所以f(2)4.

14、9答案一412.已知函數(shù)y=f(x)的圖象在點(2,f(2)處的切線方程為y=2x-1,則曲線g(x)=x2+f(x)在點(2,g(2)處的切線方程為.解析由題意，知f(2)=2X21=3,，g(2)=4+3=7,.gx)=2x+fx),f(2)2,(2)2X2+2=6,曲線g(x)=x2+f(x)在點(2,g(2)處的切線方程為y-7=6(x2),即6x-y-5=0.答案6x-y-5=0能力提升題組(建議用時：15分鐘)13.(2018深圳二模)設(shè)函數(shù)f(x)=x+1+b,若曲線y=f(x)在點(a,f(a)處的切線經(jīng)x過坐標(biāo)原點，則ab=()A.1B.0C.-1D.-21.1一一.1解析由

15、題息可得，f(a)=a+a+b,fx)=1，所以fa)=1孑，故切線萬程是ya&b=J-02(xa),將(0,0)代入得一ab=J02J(a),故b2，=_,故ab=2.a答案D14.(2019西安一模)定義1:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導(dǎo)，即fx)存在，且導(dǎo)函數(shù)fx)在區(qū)間D上也可導(dǎo)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導(dǎo)數(shù)，記作fX)=f刈.定義2:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導(dǎo)數(shù)恒為正，即fx)0包成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù).已知函數(shù)f(x)=x3% 2斛析 ,. f(x)=2x ax+ In x,止義域為(0, +00), 一，1, f x)=x a + x.+1在區(qū)間D上為凹函數(shù)，則x的取值范圍是.解析因為f(x)=xV f(x)存在垂直于y軸的切線，. f x)存在零點，即x+1a=0有解， x3x2+1,因為fx)=3x23x,fx)=6x3,令fx)0,解