基本不等式之1的代換

1、專題：均值不等式應(yīng)用中“1的代換”不等式是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，利用均值不等式求最值以及證明不等式是重中之重.縱觀近幾年全國各省的高考題與競賽題，可以發(fā)現(xiàn)均值不等式中與“1”有關(guān)的試題頻頻出現(xiàn)，好學教育老師對此總結(jié)如下，以供大家參考.【題引】【安徽省皖江名校2016屆高三12月聯(lián)考數(shù)學（理）試題】已知實數(shù)滿足，若目標函數(shù)的最小值為2，則的最小值為（ ） 【答案】【解析】 首先作出可行域，如下圖所示，把目標函數(shù)，變形可得，斜率為負數(shù)，當取得最小值時，聯(lián)立求出交點A的坐標，當目標函數(shù)過點A時取最小值，代入得，即所以，當且僅當時，取最小值，故選【考點】線性規(guī)劃；基本不等式之1的代換.【點評】這道題

2、目除了考查線性規(guī)劃外，還考查了常數(shù)的代換，或稱為“1的代換”，更具體的說，其與一般代換還是不同的，它更像是在所求的式子后面乘以一個1，或者是一個常數(shù)，因此，我們把此類解題技巧定義為“1的代換”.【使用情景】使用“1的代換”解題的結(jié)構(gòu)特征：都可轉(zhuǎn)化為條件求最值問題，且已知是“和式”，所求也是“和式”，同時要求兩和式是一整式，一分式（或化為分式）；已知“和式”可變?yōu)槌?shù)“1”；兩個“和式”都是齊次式或可變?yōu)辇R次式。符合上述特征的題目，通過“1”的代換輕松解決問題?！绢}型歸納】題型1 直接使用“1的代換”題目1：已知1，(x0，y0)，則xy的最小值為()A1 B2 C4 D8【答案】D【解析】x0

3、，y0，xy(xy)·42448.當且僅當，即xy4時取等號故選D題目2：設(shè)a0，b0.若ab1，則的最小值是()A2 B. C4 D8【答案】D【解析】由題意2224，當且僅當，即ab時，取等號，所以最小值為4.故選D變式1：若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是（ ）() A. B. C5 D6審題：由于已知x3y5xy可變成1，符合“1”的代換法解題指針。解：變式2：在4×（ ）+9×（ ）60的2個（ ）中，分別填入2個自然數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，應(yīng)分別填 和 。審題：設(shè)所填2數(shù)分別為x、y，則已知條件可變?yōu)?，符合“1”的代換法解題指針。解：

4、題型2 構(gòu)造的“1的代換”此類題目沒有直接給出和式條件，所以需要從條件中找出和式條件，繼而使用“1的代換”進行求值.題目3：設(shè)若的最小值為 （ ）A B1 C4 D8【答案】C【解析】試題分析：由等比中項得，當且僅當時等號成立，所以最小值為4，故選C考點：均值不等式求最值題目4：已知正項等比數(shù)列滿足：，若存在兩項使得，則的最小值為(    )A. B. C. D. 不存在【答案】A【解析】因為，所以，即，解得。若存在兩項，有，即，即，所以，即。所以，當且僅當即取等號，此時，所以時取最小值，所以最小值為，選A.【點評】上面兩道題目是關(guān)于求最值的題目，且是二元式子的最

5、值，此類題目我們要做的是首先找兩變量之間的關(guān)系.變式3：設(shè)為坐標原點，第一象限內(nèi)的點的坐標滿足約束條件，若的最大值為40，則的最小值為（ ）（A） （B） （C）1 （D）4【答案】B審 題：找出和式條件解：變式4：函數(shù)的圖象恒過定點,若點在直線上,其中,則的最小值為 【答案】8解：變式5：已知，且，則的最小值為 【答案】解：題型3 隱藏“1”此類題目條件中沒有給出含“1”的等式，無法直接使用“1的代換”法求解，但觀察題目，發(fā)現(xiàn)其分母之和為常數(shù)，故可構(gòu)造出“1”的等式，即可使用“1的代換”法求解.題目5：已知，求的最小值.【答案】【解析】試題分析： 當且僅當，即時等號成立故【點評】本題條件中沒

6、有給出含有1的等式，無法直接使用“1的代換”法求解，但觀察待求函數(shù)易知其分母和為1，故可將代入所求函數(shù)解析式，即可用“1的代換”求解.題目6：已知，求函數(shù)的最小值【答案】.【解析】試題分析： 當且僅當，即時取等號所以函數(shù)的最小值為.變式6：已知，求的最小值解：變式7：求的最小值解：題型4 部分使用“1的代換” 若形如“已知，求的最小值”，只需部分使用“1的代換”，即題目7：設(shè)正實數(shù) 滿足的最小值為 【答案】1【解析】試題分析：， 當且僅當即時取得等號題目8：【2013天津理】設(shè)a + b = 2, b>0, 則當a = 時, 取得最小值.【答案】【解析】試題分析：因為，所以所以當且僅當，

7、即時取等號，當時，；當時，；所以的最小值為，此時又，所以，即變式8：設(shè) 滿足，則的最小值為 解：題型5 非齊次使用“1的代換”在使用“1的代換”時，注意保持兩和式是同次的.題目9：已知且，則的最小值是 .【答案】32【解析】試題分析： ，當且僅當，即時取等號；，當且僅當，即時取等號；所以，當且僅當時取等號；所以的最小值為32【點評】在使用“1的代換”時，注意保持兩和式是同次的.；在使用兩次基本不等式時，注意兩次等號成立的條件是否一致.變式9：已知且，則的最小值是 .解：好學教育名師榜張莉莉：原某輔導(dǎo)機構(gòu)的教學部主任，主講高中化學，多年從事高中化學及高考輔導(dǎo)教學，張老師教學經(jīng)驗豐富，強調(diào)化學的整

8、體和細節(jié)，擅于將不同的題目歸類，使得題型的講解易懂化和形象化。課風嚴肅和有趣并存，張老師的化學課，最能激起學生學習的興趣，能最大限度地體現(xiàn)學生的主體性。劉 恒：原某輔導(dǎo)機構(gòu)的數(shù)學部主管，主講高中數(shù)學，多年從事高中數(shù)學及高考輔導(dǎo)教學，對高考考點和題型有著深刻的認識。授課沉穩(wěn)又不失幽默，有著較強的親和力，教學思路清晰，注重復(fù)雜知識的簡單化，善于對試題進行總結(jié)，幫助學生舉一反三，提高學習效率. 孫明明：原某輔導(dǎo)機構(gòu)的理綜部主管，主講高中物理，多年從事高中物理及高考輔導(dǎo)教學，孫老師課堂最大特色就是：互動教學，趣味教學；最大限度的讓學生參與到課堂中，摒棄了填鴨式教學，引導(dǎo)學生主動思考；輕松、簡練，會讓復(fù)雜的物理變得簡單有趣.張海濤:外國語大學高材生，英語專八高分得主，3年英語培訓(xùn)資歷，主講英語構(gòu)詞法、句法、語法，閱讀之謎，強勢攻破，從此高分高能不是夢！ 教學中重點突出，條理清晰，幽默風趣；注重引導(dǎo)學生充滿激情，注重學生興趣的培養(yǎng)；注重知識與實際生活的聯(lián)系，注重能力的培養(yǎng)和思維的訓(xùn)練.好學教育開設(shè)課程1.個性化： 一對一教學 一對二教學2.精品班：