基于MATLAB的科學(xué)計(jì)算—數(shù)值微積分

1、科學(xué)計(jì)算理論、方法及其基于MATLAB的實(shí)現(xiàn)與分析數(shù)值微積分1數(shù)值微分對于給定的函數(shù)，如果、的函數(shù)關(guān)系式比較復(fù)雜時(shí)；、未知，而僅僅知道在個(gè)相異點(diǎn)，處的函數(shù)值；則希望能用相對簡單的計(jì)算方法，求得導(dǎo)數(shù)的（近似）值?；谏鲜隹紤]，選擇的方法之一是利用函數(shù)的插值多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的近似值，例如Lagrange插值多項(xiàng)式，由于（）因而有 （）這里需要說明一點(diǎn)的是，盡管和的函數(shù)值可能相差不多，但是它們的導(dǎo)數(shù)有可能相差很大，如下面的例子例1： 考慮函數(shù)在區(qū)間-1，1的插值問題，取區(qū)間-1，1的11個(gè)點(diǎn)，作函數(shù)的10次插值多項(xiàng)式：函數(shù)和插值多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)分別為 對函數(shù)和插值多項(xiàng)式及其導(dǎo)數(shù)分別比較，結(jié)果如圖

2、所示：Derivative_Runge 下面我們基于Taylor公式 (3)討論導(dǎo)數(shù)的近似計(jì)算問題1 一階導(dǎo)數(shù)的近似計(jì)算令,可得一階向前有限差商公式(First Forward Finite Divided Difference): (4)類似地,當(dāng)時(shí),可得一階向后有限差商公式(First Backward Finite Divided Difference): (5)由近似計(jì)算公式(4)和(5),可得可得一階中心有限差商公式(First Centered Finite Divided Difference): (6)2 二階導(dǎo)數(shù)的近似計(jì)算在Taylor公式中，用代替可得 (7)式(7)與式(

3、4)結(jié)合可得二階向前有限差商公式(Second Forward Finite Divided Difference): (8) (9)類似地利用可得二階向后有限差商公式(Second Backward Finite Divided Difference): (10)進(jìn)一步底，由公式 (11)可得二階中心有限差商公式(Second Centered Finite Divided Difference): (12)2數(shù)值積分2.1 Newton-Cotes 數(shù)值積分公式基于數(shù)值微分的同樣原因，當(dāng)函數(shù)在上的定積分不易計(jì)算時(shí)，利用函數(shù)的Lagrange插值多項(xiàng)式，有 (13)由于Lagrange插值多

4、項(xiàng)式的插值基函數(shù)只依賴插值節(jié)點(diǎn)，所以當(dāng)，取定后，就是完全確定的多項(xiàng)式函數(shù)，令，(14)則由式(13)得到Newton-Cotes求積公式：(15)特別地，當(dāng)取插值節(jié)點(diǎn)為， (16)時(shí)有） 兩點(diǎn)公式（Trapezoidal Rule）：(17)2） 三點(diǎn)公式（Simpsons 1/3 Rule）：， (18)3） 四點(diǎn)公式（Simpsons 3/8 Rule）： (19)4） 誤差估計(jì)： 利用Lagrange插值的誤差公式： (20)容易得到Trapezoidal Rule的誤差估計(jì)： (21)Simpsons 1/3 Rule以及Simpsons 3/8 Rule的誤差估計(jì)分別為： (22)

5、(23)其中.注 數(shù)值積分公式(13)表明，數(shù)值積分方法最大的優(yōu)點(diǎn)是將復(fù)雜的函數(shù)積分轉(zhuǎn)化為相對簡單的加、減、乘、除運(yùn)算；注從幾何的角度看，上述三種求積公式（17）、（18）和（19）（在積分區(qū)間上）分別用直線（24）拋物線（25）三次立方曲線 （26）代替曲線:例1 計(jì)算積分，并估計(jì)誤差.解 1） 用梯形公式計(jì)算，.由于，所以，于是，梯形公式的誤差.2） 用辛普森公式計(jì)算，.由于，于是，辛普森公式的誤差.【注】 （1） 當(dāng)時(shí)，梯形求積公式準(zhǔn)確成立；當(dāng)=0時(shí)，辛普森公式準(zhǔn)確成立.即梯形公式對一次多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，而辛普森公式對三次多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立.（2） 一般地，由余項(xiàng)公式(7.9)知，當(dāng)是次多項(xiàng)式

6、時(shí)，積分余項(xiàng)為零，從而牛頓-柯特斯求積公式準(zhǔn)確成立.（3） 數(shù)值求積方法是一種近似方法，因此，要求求積公式對盡可能多的被積函數(shù)能準(zhǔn)確計(jì)算積分值.作為衡量公式逼近好壞的標(biāo)準(zhǔn)之一，下面給出代數(shù)精度(the Degree of Precision of the Quadrature Formula)的概念.2.1.2 代數(shù)精度【定義1】 如果某求積公式對于次數(shù)小于等于的多項(xiàng)式能準(zhǔn)確求出積分值，而對某個(gè)次多項(xiàng)式就不能準(zhǔn)確求出積分，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度.由定義1，具有次代數(shù)精度的求積公式（7.3）對時(shí)精確成立，而對不能精確成立.為了構(gòu)造形如公式（7.3）的求積公式，通過解方程組可得求積節(jié)點(diǎn)與求積

7、系數(shù)，由此求得具有次代數(shù)精度的求積公式.不難驗(yàn)證，梯形公式和矩形公式均具有一次代數(shù)精度，而辛普森公式具有三次代數(shù)精度.對牛頓-柯特斯求積公式，有下面結(jié)論.【定理1】 牛頓-柯特斯求積公式（7.4）至少具有次代數(shù)精度，而當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，至少具有次代數(shù)精度.證明 當(dāng)為任何次數(shù)不高于的多項(xiàng)式時(shí)，所以,顯然結(jié)論成立.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，只須對時(shí)的結(jié)論驗(yàn)證.因?yàn)?，由截?cái)嗾`差公式，若令，則有.注意到是的奇函數(shù)（為偶數(shù)），因此，結(jié)論成立.例2 對于求積公式，試確定，使此求積公式有最高的代數(shù)精度，是幾階的？2.2復(fù)化求積公式由前面分析知道，在整個(gè)積分區(qū)間上用直線或用拋物線代替原曲線做積分，盡管計(jì)算簡單，但精度較差，結(jié)果不

8、好，因此，一個(gè)自然的想法是：在盡可能保持公式(17)、和(18)計(jì)算簡單、易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)的前提下，尋找提高誤差精度的途徑和方法。下面給出的“復(fù)化求積公式”就是有效的方法之一受“利用低次多項(xiàng)式分段插值”能夠提高逼近精度且計(jì)算簡單的事實(shí)啟發(fā)，將上述的“在整個(gè)積分區(qū)間上用一個(gè)插值多項(xiàng)式代替被積函數(shù)”的做法變?yōu)椤坝梅侄尾逯刀囗?xiàng)式代替被積函數(shù)”，方法具體如下：首先，用個(gè)點(diǎn)將區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，然后在每個(gè)小區(qū)間上用插值多項(xiàng)式代替被積函數(shù)做積分，也即在整個(gè)積分區(qū)間上用分段插值多項(xiàng)式代替被積函數(shù)做積分。如果所取的節(jié)點(diǎn)，那么在每個(gè)小區(qū)間上做線性插值時(shí)，就得到） 復(fù)化的梯形求積公式 (27)） 復(fù)化的Simp

9、sons 1/3 求積公式 (28)3） 復(fù)化的Simpsons 3/8 求積公式 (29) 復(fù)化求積公式的截?cái)嗾`差設(shè)，則復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差，其中.證明 因?yàn)樵谏咸菪喂降慕財(cái)嗾`差為，所以.在上連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)知，在中存在點(diǎn)，使，因此.證畢.類似于復(fù)化梯形公式截?cái)嗾`差的推導(dǎo)，可得復(fù)化辛普森公式的截?cái)嗾`差. 復(fù)化的Simpsons 3/8 求積公式的截?cái)嗾`差.【注】 復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛普森公式和復(fù)化的Simpsons 3/8 公式都是有效的求積計(jì)算公式.（1） 收斂性.由截?cái)嗾`差公式（可知，復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛普森公式和復(fù)化的Simpsons 3/8 公式的誤差階分別為、，收斂性都是顯

10、然的.實(shí)際上，只要，則可得到收斂性，即，.（2） 穩(wěn)定性.由于、和的求積系數(shù)均為正數(shù)，所以由定理2可知復(fù)化梯形公式、復(fù)化辛普森公式和復(fù)化的Simpsons 3/8 公式均是穩(wěn)定的求積公式.例2 計(jì)算積分.解 1） 將積分區(qū)間0，1八等分，分點(diǎn)及分點(diǎn)處的函數(shù)值見表7-3，用復(fù)化梯形公式計(jì)算，得.表7-3 例2數(shù)據(jù) 0 1/8 1/4 3/8 1/24.00000000 3.93846154 3.76470588 3.50684932 3.20000000 5/8 3/8 7/8 12.87640449 2.56000000 2.26548673 2.000000002） 將積分區(qū)間0，1四等分，

11、用復(fù)化辛普森公式計(jì)算，得.兩種復(fù)化方法都用到表7-3中九個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值，它們的計(jì)算工作量基本上相同，但所得結(jié)果與積分真值相比較，復(fù)化辛普森所得近似值遠(yuǎn)比復(fù)化梯形所得近似值要精確.因此，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，較多地應(yīng)用復(fù)化辛普森公式.例3 分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式計(jì)算，使誤差不超過，問各取多少個(gè)節(jié)點(diǎn)？解 由復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差，有，所以，因此，復(fù)化梯形公式至少應(yīng)取361個(gè)節(jié)點(diǎn).由復(fù)化辛普森公式的截?cái)嗾`差，有，所以，因此，復(fù)化辛普森公式至少應(yīng)取10個(gè)節(jié)點(diǎn).4） 變步長的梯形求積公式（1） 一般復(fù)化求積公式的不足：數(shù)值積分是積分近似計(jì)算的一類方法，在滿足精度要求的前下，人們希望計(jì)算工作量盡可能的

12、小，而計(jì)算量大小的主要標(biāo)志就是積分區(qū)間分割數(shù)，對于給定的精度要求，由于沒有確定適當(dāng)?shù)膮^(qū)間分割數(shù)的準(zhǔn)則，所以，可能會出現(xiàn)：區(qū)間分割數(shù)太小，達(dá)不到精度要求；區(qū)間分割數(shù)太大，造成不必要的浪費(fèi)。()改進(jìn)的辦法以復(fù)化的梯形求積公式為例，將區(qū)間按分成小區(qū)間，則有 (30) (31)即有， (32)例5 利用遞推公式（32）重新計(jì)算積分. 解 1） 首先對區(qū)間0，1使用梯形公式，得.2） 將區(qū)間二等分，新增分點(diǎn)，由遞推公式（32）得. 3） 再將各小區(qū)間二等分，新增分點(diǎn)，由遞推公式（32）得.4） 將區(qū)間八等分，新增分點(diǎn)，由遞推公式（32）得.這樣不斷二分下去，計(jì)算結(jié)果見表7-4，其中代表二分的次數(shù)，區(qū)間等

13、分?jǐn)?shù).表7-4 梯形法遞推計(jì)算值0 1 2 3 4 5 63 3.1 3.13117647 3.13898849 3.14094161 3.14142989 3.14155196 7 8 93.14158248, 3.14159011, 3.14159202 表7-4說明用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分，將區(qū)間二分9次，即有分點(diǎn)513個(gè)，達(dá)到7位有效數(shù)字，計(jì)算量很大.2.3Romberg求積公式梯形求積公式包括復(fù)化的梯形求積公式由于是利用分段線性插值多項(xiàng)式代替被積函數(shù)做積分，所以是低階的方法，一般來說，為獲得較高的精度，區(qū)間分割數(shù)要取得很大，基于這樣的事實(shí)，人們考慮這樣一個(gè)問題：在不增加區(qū)間分割數(shù)的前提

14、下，適當(dāng)?shù)厥褂玫碗A的方法提高計(jì)算精度，為此，我們考察復(fù)化的梯形求積公式的誤差估計(jì)：由此得到下面的估計(jì)和結(jié)果： （33） (34)即有 （35）（36）將上述公式用于變步長的復(fù)化梯形求積公式，（37）按上述的思路，還有(38)以及 (39)特別地 (40) (41)上述的遞推公式(37)、(38)和(40)統(tǒng)稱為（Romberg Quadrature）求積法，公式(40)稱為Romberg求積公式。2.4Gauss求積法）代數(shù)精度：衡量數(shù)值積分方法優(yōu)劣的重要標(biāo)準(zhǔn)定義：如果由計(jì)算公式 （41）給出的數(shù)值積分方法對次數(shù)不超過次的多項(xiàng)式函數(shù)是精確的，而對次數(shù)大于次的多項(xiàng)式函數(shù)不一定精確，那么稱該數(shù)值積

15、分方法具有階的代數(shù)精度。顯然，梯形求積公式具有階的代數(shù)精度；Simpson求積公式具有階的代數(shù)精度。按著代數(shù)精度的標(biāo)準(zhǔn)，自然要產(chǎn)生一個(gè)想法：（） 能否在不增加插值節(jié)點(diǎn)的前提下，盡可能地提高數(shù)值積分方法的代數(shù)精度？（） 在插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)固定的前提下，代數(shù)精度最高能達(dá)到多高？我們先來研究第二個(gè)問題，由于討論的前提是插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)固定，所以，能夠做的只能是通過對插值節(jié)點(diǎn)的選擇來提高計(jì)算的代數(shù)精度。設(shè)用次插值多項(xiàng)式代替被積函數(shù)，插值節(jié)點(diǎn)為，那么當(dāng)數(shù)值積分公式具有階的代數(shù)精度時(shí)，就應(yīng)該使下列個(gè)等式成立：，（42）由于在等式（42）中，有和，總共個(gè)參數(shù)可共選擇，或者說方程組（42）中總共有個(gè)未知數(shù)，唯一確定這個(gè)未知數(shù)需要且僅需要個(gè)方程，因此，代數(shù)精度最高可達(dá)到階。定義 在積分區(qū)間上用次插值多項(xiàng)式代替被積函數(shù)且具有階代數(shù)精度的數(shù)值積分方法稱為Gauss求積法。其插值節(jié)點(diǎn)稱為Gauss點(diǎn)?，F(xiàn)在我們來討論第一個(gè)問題， 方程組（42）是非線性方程組，一般求精確解很難。當(dāng)積分區(qū)間是特殊的區(qū)間時(shí)，方程組（42）就成為下面的情形：，（43）已經(jīng)證明，在區(qū)間上Gauss點(diǎn)是次Legendre多項(xiàng)式（44）的個(gè)零點(diǎn)。據(jù)此，非線性方程組（43）的求解可分兩步來完成：） 求