不等式知識點歸納大全

1、 不等式知識點歸納一.(1)解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義圍的端點值.(2)解分式不等式的一般解題思路是什么？（移項通分，分子分母分解因式，x的系數(shù)變?yōu)檎?，?biāo)根及奇穿過偶彈回）；(3)含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？(一般是分類討論、平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化)；(4)解含參不等式常分類等價轉(zhuǎn)化，必要時需分類討論.注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集，但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.二、利用重要不等式以及變式等求函數(shù)的最值時，務(wù)必注意a，b（或a，b非負(fù)），且“等號成立”時的條件是積ab或和ab其中之一應(yīng)是定

2、值(一正二定三等四同時).三、.常用不等式有：(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用) a、b、cR，（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）四、含立方的幾個重要不等式（a、b、c為正數(shù)）：（，）；五、最值定理（積定和最?。?，若積，則當(dāng)時和有最小值；（和定積最大），若和，則當(dāng)是積有最大值.【推廣】：已知若，則有則的最小值為：等式到不等式的轉(zhuǎn)化：已知x>0，y>0，x2y2xy8，則x2y的最小值是_即解得故x2y的最小值是4如果求xy的最大值，則，然后解關(guān)于的一元二次不等式，求的圍，進(jìn)而得到xy的最大值六、比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、綜合法、分析法和放縮法(注

3、意：對“整式、分式、絕對值不等式”的放縮途徑，“配方、函數(shù)單調(diào)性等”對放縮的影響).七、含絕對值不等式的性質(zhì)：同號或有；異號或有.八、不等式中的函數(shù)思想不等式恒成立問題“含參不等式恒成立問題”把不等式、函數(shù)、三角、幾何等容有機地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點多，綜合性強，解法靈活等特點而倍受高考、競賽命題者的青睞。另一方面，在解決這類問題的過程中涉及的“函數(shù)與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)其思維的靈活性、創(chuàng)造性都有著獨到的作用。本文就結(jié)合實例談?wù)勥@類問題的一般求解策略。一、函數(shù)法（1）一次函數(shù)有：（2）一元二次函數(shù)有：1）對恒成立; 2）對

4、恒成立（3）不等式中的取值圍有限制，則可利用根的分布解決問題。例1設(shè)，當(dāng)時，恒成立，數(shù)的取值圍。Oxyx-1解：設(shè)，則當(dāng)時，恒成立當(dāng)時，顯然成立；當(dāng)時，如圖，恒成立的充要條件為：解得。綜上可得實數(shù)的取值圍為。二、最值法：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題的一種處理方法，其一般類型有：（1）恒成立（2）恒成立例2已知兩個函數(shù)，其中為實數(shù).(1)若對任意的，都有成立，求的取值圍；(2)若對任意的，都有，求的取值圍.(3)若對于任意,總存在使得成立，求的取值圍.解：(1) 令,問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,即即可(2)由題意可知當(dāng)時,都有. （3）于任意,總存在使得成立，等價于的值域是的值域的子集，三、

5、分離變量法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強。一般地有：1）恒成立2）恒成立例3：已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù),且f(1)=1,若，若對于所有的恒成立，數(shù)t的取值圍.解：題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去一個變量，容易證明f(x)是定義在-1,1上的增函數(shù),故f(x)在-1,1上的最大值為f(1)=1,則對于所有的恒成立對于所有的恒成立，即對于所有的恒成立，令，只要，四、變換主元法理含參不等式恒成立的某些問題時，若能適時的把主元變量和參數(shù)變

6、量進(jìn)行“換位”思考，往往會使問題降次、簡化。例4：，不等式恒成立，求的取值圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問題。解：令，則原問題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。當(dāng)時，可得，不合題意。當(dāng)時，應(yīng)有解之得。故的取值圍為。五、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”，這充分說明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問題中它同樣起著重要作用。函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方.例5.設(shè)函數(shù),若恒有成立,試數(shù)a的取值圍. xyO解：由題意得,令,.可化為，它表示以(2,0)為

7、圓心，2 為半徑的上半圓；表示經(jīng)過定點(-2,0)，以a為斜率的直線，要使恒成立，只需所表示的半圓在所表示的直線下方就可以了(如圖所示)當(dāng)直線與半圓相切時就有，即，由圖可知，要使恒成立，實數(shù)a的取值圍是六、分類討論在給出的不等式中，如果兩變量不能通過恒等變形分別置于不等式的兩邊，則可利用分類討論的思想來解決。例6：時，不等式恒成立，求的取值圍。解：設(shè)，則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，的最小值非負(fù)。（1） 當(dāng)即：時，又所以不存在；（2） 當(dāng)即：時，又（3） 當(dāng)即：時，又綜上所得：例7：已知是實數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點，求的取值圍解析：由函數(shù)的解析式的形式，對其在定區(qū)間上零點問題的解決需要考慮它是一次函數(shù)，還是二次函數(shù)，因而需就和兩類情況進(jìn)行討論。解：函數(shù)在區(qū)間-1，1上有零點，即方程=0在-1，1上有解，a=0時，不符合題意，所以a0,方程f(x)=0在-1