思維特訓(九)　一次函數(shù)的實際應用

1、.思維特訓九一次函數(shù)的實際應用方法點津 ·假如函數(shù)的自變量在不同的取值范圍內(nèi)所對應的函數(shù)關(guān)系也不一樣，那么我們把這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)學習一次函數(shù)中的分段函數(shù)，通常應注意以下幾點：1要特別注意相應的自變量的變化范圍在表達式和圖象上都要反映出自變量的相應取值范圍2分段函數(shù)的圖象是由幾條線段或射線組成的折線其中每條線段射線分別代表某一個階段的情況3分析分段函數(shù)的圖象要結(jié)合實際問題背景對圖象的意義進展認識和理解，尤其要理解折線中橫、縱坐標表示的實際意義典題精練 ·類型一行程問題行程類問題的圖象應注意橫軸常表示時間和縱軸常表示路程分別表示的量；另外，也要注意圖象中的起點、終點及兩圖

2、象的交點所包含的信息1甲、乙兩車從A城出發(fā)前往B城，在整個行程中，兩車分開A城的路程y千米與時刻t的對應關(guān)系如圖9TX1所示1A，B兩城之間的間隔 是多少千米？2求乙車出發(fā)多長時間后追上甲車 圖9TX12A，B兩地相距1100米，甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)，相向而行，甲比乙先出發(fā)2分鐘，乙出發(fā)7分鐘后與甲相遇，設甲、乙兩人相距y米，甲行進的時間為t分，y與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖9TX2 所示請你結(jié)合圖象探究：1甲的行進速度為每分鐘_米，m_；2求直線PQ所對應的函數(shù)關(guān)系式；3求乙的行進速度 圖9TX232019·綏化一輛轎車從甲城駛往乙城，同時一輛卡車從乙城駛往甲城，兩車沿一樣道路勻速

3、行駛，轎車到達乙城停留一段時間后，按原路原速返回甲城；卡車到達甲城比轎車返回甲城早0.5小時，轎車比卡車每小時多行駛60千米，兩車到達甲城后均停頓行駛，兩車之間的間隔 y千米與轎車行駛時間t時的函數(shù)圖象如圖9TX3所示，請結(jié)合圖象提供的信息解答以下問題：1請直接寫出甲城和乙城之間的間隔 ，并求出轎車和卡車的速度；2求轎車在乙城停留的時間，并直接寫出點D的坐標；3請直接寫出轎車從乙城返回甲城過程中離甲城的路程s千米與轎車行駛時間t時之間的函數(shù)關(guān)系式不要求寫出自變量的取值范圍 圖9TX3類型二分段計費問題把實際問題通過函數(shù)圖象反映出來，解答時的關(guān)鍵是弄清圖象和相關(guān)文字與一次函數(shù)的有關(guān)信息4如圖9T

4、X4所示，購置一種蘋果，所付金額y元與購置量x千克之間的函數(shù)圖象由線段OA和射線AB組成，那么一次購置3千克這種蘋果比分三次購置每次購置1千克這種蘋果可節(jié)省_元圖9TX45甲、乙兩家草莓采摘園的草莓品質(zhì)一樣，銷售價格也一樣五一期間，兩家均推出了優(yōu)惠方案，甲采摘園的優(yōu)惠方案：游客進園需購置50元的門票，采摘的草莓六折優(yōu)惠；乙采摘園的優(yōu)惠方案：游客進園不需購置門票，采摘的草莓超過一定數(shù)量后，超過部分打折優(yōu)惠優(yōu)惠期間，設某游客的草莓采摘量為x千克，在甲采摘園所需總費用為y1元，在乙采摘園所需總費用為y2元，圖9TX5中折線OAB表示y2與x之間的函數(shù)關(guān)系1甲、乙兩采摘園優(yōu)惠前的草莓銷售價格是每千克_

5、元；2分別求y1，y2與x之間的函數(shù)表達式圖9TX56我國是世界上嚴重缺水的國家之一，為了增強居民節(jié)水意識，某市自來水公司對居民用水采用以戶為單位分段計費方法收費即月用水量在10噸以內(nèi)包括10噸的用戶，每噸收水費a元；月用水量超過10噸的用戶，前10噸水仍按每噸a元收費，超過10噸的部分，按每噸b元ba收費設一戶居民月用水量為x噸，應收水費y元，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖9TX6所示1求a的值，并計算某戶居民上月用水8噸，應收水費多少元；2求b的值，并寫出當x10時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 圖9TX6類型三方案決策問題解這類問題難點在于理清題意，把實際問題與數(shù)學問題相聯(lián)絡，建立相應的數(shù)學模型，最

6、后利用一次函數(shù)性質(zhì)或分類討論的方法，可知最優(yōu)解7綿州大劇院舉行專場音樂會，成人票每張20元，學生票每張5元暑假期間，為了豐富廣闊師生的業(yè)余文化生活，該大劇院制定了兩種優(yōu)惠方案只能從兩種方案中選擇一種，方案一：購置一張成人票贈送一張學生票；方案二：按總價的90%付款某校有4名老師與假設干名不少于4人學生去聽音樂會1設學生人數(shù)為x，付款總金額為y元，分別寫出兩種優(yōu)惠方案中y與x之間的函數(shù)表達式；2請計算并確定出最節(jié)省費用的購票方案8.某蔬菜基地要把一批新穎蔬菜運往外地，有汽車和火車兩種運輸方式可供選擇，其中汽車運輸?shù)闹饕獏⒖紨?shù)據(jù)如下表：運輸方式汽車運輸速度千米/時60裝卸費用元200途中綜合費用元

7、/時300火車運輸總費用y2元與運輸路程x千米之間的函數(shù)圖象如圖9TX7所示：圖9TX71請分別寫出汽車、火車運輸?shù)目傎M用y1元、y2元與運輸路程xkm之間的函數(shù)關(guān)系式不要求寫出自變量的取值范圍；2假設蔬菜基地先由汽車把蔬菜運往60千米外的中轉(zhuǎn)站，再用火車運送中轉(zhuǎn)時間忽略不計，寫出運輸總費用y元與運輸總路程x千米之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當運輸總路程為200千米時的總費用；3假設只選擇一種運輸方式，你認為哪種運輸方式運輸?shù)目傎M用較少？并說明理由類型四與幾何圖形有關(guān)的分段函數(shù)問題用數(shù)學的目光發(fā)現(xiàn)素材，從數(shù)學的角度進展有關(guān)知識的構(gòu)建與建模，從而解決問題9如圖9TX8，在大長方形中截取兩個一樣的正方形

8、作為長方體的上、下底面，剩余的長方形作為長方體的側(cè)面，剛好能組成長方體設大長方形的長和寬分別為y和x，那么y與x之間的函數(shù)圖象大致是圖9TX9中的圖9TX8圖9TX910小明受?烏鴉喝水?故事的啟發(fā)，利用量筒和體積一樣的小球進展了如下操作如圖9TX10：圖9TX101放入1個小球后，量筒中水面升高_ cm；2求放入小球后量筒中水面的高度ycm與小球個數(shù)x個之間的函數(shù)關(guān)系式不要求寫出自變量的取值范圍；3量筒中至少放入幾個小球時有水溢出？詳解詳析1導學號：34972369解：1由圖象可知A，B兩城之間的間隔 是300千米2設乙車出發(fā)x小時后追上甲車，由圖象可知甲車的速度300÷560千米

9、/時，乙車的速度300÷3100千米/時，由題意得方程60x1100x，解得x1.5.故乙車出發(fā)1.5小時后追上甲車 解題的關(guān)鍵是運用轉(zhuǎn)化思想把待求問題轉(zhuǎn)化為方程求解2導學號：349723670解：1甲的行進速度60米/分，m279.2設直線PQ所對應的函數(shù)關(guān)系式為ykxb.因為點P0，1100在直線PQ上，所以b1100.又因為點Q2，980在直線PQ上，所以2k1100980，解得k60.所以直線PQ所對應的函數(shù)關(guān)系式為y60t1100.3設乙的行進速度為x米/分由題意，得60×97x1100，解得x80，所以乙的行進速度為80米/分3解：1甲城和乙城之間的間隔 為18

10、0千米，設卡車的速度為x千米/時，那么轎車的速度為x60千米/時，由B1，0，得xx60180，解得x60，所以x60120，所以轎車和卡車的速度分別為120千米/時和60千米/時2卡車到達甲城需180÷603時，轎車從甲城到乙城需180÷1201.5時，30.51.5×20.5時，所以轎車在乙城停留了0.5小時，點D的坐標為2，1203s180120×t1.50.5120t420.4導學號：349723712解析 從圖象上可以看出購置2千克蘋果需要20元，且2千克以內(nèi)所付金額是購置量的正比例函數(shù)，所以購置1千克需要10元，所以分三次購置每次購置1千克總

11、共需要30元；2千克以后每多購置2千克所付金額增加了16元，所以每千克需要8元，所以一次性購置3千克需要28元，節(jié)省了2元5導學號：34972372解：1由圖易知甲、乙兩采摘園優(yōu)惠前的草莓價格是每千克30元故答案為30.2由題意得y118x50x0；y2 解題的關(guān)鍵是純熟掌握待定系數(shù)法，利用圖象確定自變量的取值范圍6導學號：34972373解：1當x10時，yax，將x10，y15代入，得a1.5，所以y1.5x.當x8時，y8×1.512.故某戶居民上月用水8噸，應收水費12元2當x10時，ybx1015，將x20，y35代入，得3510b15，解得b2，故當x10時，y2x5.7

12、導學號：34972374解：1按優(yōu)惠方案一付款可得y120×4x4×55x60x4；按優(yōu)惠方案二付款可得y25x20×4×90%4.5x72x42當y1y2時，x24，所以當x24時，兩種優(yōu)惠方案付款一樣多當y1<y2時，x<24，所以當4x<24時，優(yōu)惠方案一付款較少當y1>y2時，x>24，所以當x>24時，優(yōu)惠方案二付款較少8導學號：34972375解：1根據(jù)題意得y1·3002005x200.設y2kxbk0，將0，400代入y2kxb中，得b400，將100，700代入y2kx400中，得k3，所以

13、y23x400.2當x60時，y15×60200500，所以運輸總費用y元與運輸總路程x千米之間的函數(shù)關(guān)系式為y5003x604003x720x60當x200時，y3×2007201320.所以當運輸總路程為200千米時的總費用為1320元3當y1y2時，5x2003x400，解得x100；當y1<y2時，5x200<3x400，解得x<100；當y1>y2時，5x200>3x400，解得x>100.綜上所述：當路程小于100千米時，選擇汽車運輸?shù)目傎M用較少；當路程等于100千米時，選擇汽車或火車運輸一樣；當路程大于100千米時，選擇火車運輸?shù)目傎M用較少9導學號：34972376B解析 依題意知正方形的邊長為x，yx2x，所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為yxx>0應選B. 解決此題的關(guān)鍵是分析得到y(tǒng)x等于該長方體上底面的周長，從而可得函數(shù)關(guān)系式10解析 水面的高度隨著放入小球的個數(shù)的變化而變化，成一次函數(shù)關(guān)系，從生活情景中可以得放入0個小球的水面高度為30 cm，放入3個小球的水面高度為36 cm.從