心理統(tǒng)計學之相關量數(shù)

1、 第六章 第六章     相關量數(shù) 課時安排：6課時教學課型：理論課，課堂同步練習教學目的要求：理解相關分析的意義與條件；熟練掌握積差相關法的基本思想與分析方法；熟練掌握等級相關、點二列相關、二列相關與相關的使用前提與分析方法；能應用各種相關解決實際問題。教學重點與教學難點：重點積差相關的意義與應用；難點各種相關方法的選擇應用教學方法、手段、媒介：教科書、板書、多媒體教學過程與教學容第一節(jié)相關與相關系數(shù)1 第二節(jié) 積差相關3 第三節(jié) 等級相關6 第四節(jié) 質(zhì)與量的相關10 第五節(jié) 品質(zhì)相關相關13 

2、;作業(yè)題13 第一節(jié) 第一節(jié)          相關與相關系數(shù)一、事物的關系與相關量數(shù)事物關系分為三種：一是說明的是事物之間互相依存、互為因果的關系。二是函數(shù)關系。三是伴隨關系，它既不同于因果關系和函數(shù)關系，又不排斥因果關系和函數(shù)關系，是事物之間的一種更為復雜關系，相關關系即屬這種關系。三者的關系如圖6-1所示。因果關系函數(shù)關系伴隨關系圖6-1 事物之間的關系二、相關的種類（一）方向上正相關、負相關和零相關正相關指一列變量由大而小或由小而大變化時，另一列變量亦由大而小或由小而大的變化，即兩列變量

3、是同方向變化的，屬“同增共減”的關系。負相關指一列變量由大而小或由小而大的變化，另一列變量卻反由小而大或由大而小的變化，即兩列變量的變化方向是相反的，屬“此增彼減”的關系。零相關又稱無相關，是一列變量由大而小或由小而大變化時，另一列變量則或大或小的變化，即兩列變量的變化看不出一定的趨勢，甚至毫無關系。（二）形狀直線相關和曲線相關直線相關指兩列變量中的一列變量在增加時，另一列變量隨之而增加；或一列變量在增加，另一列變量卻相應地減少，形成一種直線關系。兩列變量的變化在坐標軸上繪制散點圖時形成的是長軸或橢圓形圖形。曲線相關指兩列相伴隨變化的變量，未能形成直線關系。兩列變量的變化莫測在坐標軸上繪制散點

4、圖時形成的是成彎月狀或曲線形圖形。（三）變量個數(shù)簡相關和復相關簡單相關是指只有兩個變量的相關，又稱簡相關。復雜相關則是指有三個或三個以上變量的相關，也稱復相關。（四）相關程度完全相關、強相關、弱相關和無相關完全相關指兩列變量的關系是一一對應、完全確定的關系。在坐標軸上描繪兩列變量時會形成一條直線。強相關又稱高度相關，即當一列變量變化時，與之相應的另一列變量增大（或減少）的可能性非常大。在坐標圖上則表現(xiàn)為散點圖較為集中在某條直線的周圍。弱相關又稱低度相關，即當一列變量變化時，與之相對應的另一列變量增大（或減少）的可能性較小。在坐標圖表現(xiàn)出散點比較分散地分布在某條直線的周圍。無相關則是當一列變量變

5、動時，相對應的另一列變量可能有變動，也可能無變動，而且毫無規(guī)律。三、相關分析的方法（一）圖示法圖示法主要是利用散點圖來描述變量之間的相互關系。散點圖是將成對變量的變動值描繪在坐標圖上形成的一種圖形。從散點圖上，我們既可以了解相關的方向（是正相關、負相關，還是零相關）、相關的形態(tài)（是直線相關還是曲線相關），也可以了解相關的大致程度（是強相關還是弱相關）。（二）計算法計算法是通過計算變量之間的相關系數(shù)來描述其相關情形的。相關系數(shù)是表示相關方向和大小的一種數(shù)值，用符號表示，其取值圍為，其中符號表示相關的方向，絕對值表示相關的程度。相關系數(shù)為1時表示完全正相關，相關系數(shù)為時表示完全負相關，相關系數(shù)為0

6、時表示零相關。相關系數(shù)越接近1，其相關程度越高，反之，越接近0，相關程度越低。相關系數(shù)究竟達到何種程度才算相關高或低屬于統(tǒng)計檢驗的問題。不過也有一些統(tǒng)計學家對相關程度作了規(guī)定，如認為表示低度相關，表示中度相關，表示高度相關。四、相關系數(shù)的解釋首先，要從邏輯上判斷事物之間是否真正存在關系。因為相關系數(shù)是由樣本數(shù)據(jù)計算而來的，即使所考察的兩列變量確無任何關系，我們也可以通過概率得到強的正相關或是強的負相關。其次，要注意隨著樣本容量的增大，達到相關顯著的相關系數(shù)值會變得越來越小。對于相關系數(shù)，我們不僅要問是否顯著，還要問有多大，而決定其大小的是測定系數(shù)。測定系數(shù)是相關系數(shù)的平方（即），用以說明二列變

7、量的變異中一方能由另一方解釋部分的多少。一般來說，相關系數(shù)在0.3以下為低相關，這時的只有理論意義而無實際意義；相關系數(shù)在0.40.6之間為中等相關，這時的既有有理論意義也有實際意義；相關系數(shù)在0.7以上為高相關，這時的理論意義與實際意義都很大。第三，要在一定的時空間圍解釋相關系數(shù)。此外，應注意不同類型的數(shù)據(jù)其相關的計算方法不同。第二節(jié)積差相關一、積差相關的意義（一）積差相關的定義積差相關是直線相關中最基本的方法，又叫均方相關ak 積矩相關，其公式由英國統(tǒng)計學家皮爾遜（Pearson）提出，故又稱或皮爾遜相關系數(shù)，用符號表示。它是利用離差乘積的關系來說明事物的關系，是將原始記分轉換為離差乘積（

8、即積差），再轉換為標準積差后所求得的標準積差的平均數(shù)。我們以例6-1說明積差相關的意義與公式來源。例6-1：有5名學生的身高（公分）與體重（公斤）的測量結果如表6-1第2欄所示。試問身高與體重有無關系？表6-1 5名學生身高和體重的測查結果第1欄第2欄第3欄第4欄第5欄第6欄學生編號實測記分離差記分積差標準記分標準積差身高體重Y11707203001.50.00216569-500-0.4100.00315066-20-3601.63-1.52.44418070101100.820.50.4151856815-1-151.22-0.5-0.6185034500552.24第1步，計算兩列變量各

9、自的平均數(shù)和標準差，；，第2步，求成對變量的離差和，將實測記分轉換為離差記分。第3步，將成對變量的離差相乘，稱為積差即。積差的平均數(shù)稱協(xié)方差（covariance），記為，即第4步，將離差記分轉換為標準記分。第5步，將兩列變量的標準記分再相乘稱標準積差，標準積差的平均數(shù)就是積差相關系數(shù)的基本公式，即可見，積差相關系數(shù)實際上就是成對變量標準積差的算術平均數(shù)。例6-1的積差相關系數(shù)為（二）積差相關系數(shù)的使用條件積差相關的使用一般需滿足三個充分必要條件。一是兩列變量必須是成對的，而且樣本容量不宜少于30；二是兩列變量必須是比率變量或等距變量；三是兩列變量的總體分布均為正態(tài)分布或近似正態(tài)分布。二、積差

10、相關系數(shù)的計算方法（一）定義式（二）計算式用計算式計算例6-1的積差相關系數(shù)的過程如下。 分別求兩列變量值的和，即和。 分別對兩變量的變量值進行平方（即，）并求和（即，）。 求成對變量值的乘積（即）與其乘積和（即）。 代入公式，計算結果表6-2 積差相關計算表第1欄第2欄第3欄第4欄第5欄第6欄學生身高體重1170722890051841224021656927225476111385315066225004356990041807032400490012600518568342254624125808503451452502382558705 三、積差相關顯著性的判斷積差相關的顯著

11、性可查“皮爾遜積差相關系數(shù)顯著性臨界值表”。當自由度（）為時，若，相關顯著，若相關極顯著，若，相關不顯著。本例n=5，r=0.45，查“皮爾遜積差相關系數(shù)顯著性臨界值表”可得=0.878，所以相關不顯著。 第三節(jié)等級相關一、等級相關的意義等級相關是根據(jù)等級資料來研究變量之間相互關系的方法，其資料一是研究中所收集的數(shù)據(jù)本身就是等級評定的資料，二是研究中所收集的數(shù)據(jù)原本為等距或比率變量的資料，因不滿足積差相關的使用條件需要將基而轉化為等級性資料進行分析的情形。等級相關使用條件較積差相關更為寬松和靈活，可以用于多列等級或順序變量，也可以用于成對變量值少于30的情形，還可以用于兩列變量總體分

12、布為非正態(tài)時。二、等級相關的計算方法等級相關法因變量個數(shù)的多少而有用于分析兩列變量相互關系的斯皮爾曼等級相關和用于分析多列變量相互關系的肯德爾和諧系數(shù)。（一）斯皮爾曼等級相關斯皮爾曼等級相關（Spearmans rank correlation）是根據(jù)兩列變量的成對等級差數(shù)計算相關系數(shù)，又叫“等級差數(shù)法”，用符號或表示1無重復量的等級相關例6-2：10名輔導員工作年限與輔導能力評定等級結果如表6-3所示。試問工作年限與輔導能力之間是否有關？表6-3 工作年限與輔導能力評定等級資料表 12345678910年限581024126397能力73598261041742108169350-

13、13-101011-40191010111630變量形式的轉換。因只有年限變量為等距變量，故只需將其轉換成順序變量即可。 求成對等級變量的差。 求等級差的平方（）與平方和（）。 代入公式，計算結果。2有一樣等級的等級相關系數(shù)例6-3：10名學生的數(shù)學和物理測驗的成績?nèi)绫?-4所示，試求數(shù)學和物理成績的相關系數(shù)。數(shù)據(jù)中不僅數(shù)學成績有較多的重復數(shù)據(jù)，而且物理成績也有較多重復數(shù)據(jù)。其中，或，表6-4 學生數(shù)學和物理成績表 12345678910數(shù)學80707080657075607055695物理707570756075806565606951.55.55.51.585.5395.5105

14、.535.539.5317.57.59.5-42.50-1.5-1.52.521.5-20.5166.2502.252.256.2542.2540.2543.5分析過程：變量形式分析與轉換。 求成對等級變量的差，等級差的平方（）與其平方和（）。 確定重復等級數(shù)目，求等級的離差平方和。數(shù)學成績的平方和物理成績的平方和 代入公式，計算結果。3等級相關顯著性的判別方法單側檢驗：查“斯皮爾曼等級相關系數(shù)臨界值表”，若，相關顯著；若，相關極顯著；若，則相關不顯著。雙側檢驗：計算值，即其中，自由度。（二）肯德爾和諧系數(shù)肯德爾和諧系數(shù)由統(tǒng)計學家肯德爾（Kendel）提出的肯德爾交錯系數(shù)、相容性系數(shù)和一致性系

15、數(shù)等三種等級相關系數(shù)的總稱?？系聽栆恢滦韵禂?shù)是用于描述多列等級變量相關程度或一致性程度的相關方法，其中又有肯德爾系數(shù)和肯德爾系數(shù)，它分別用于不同的資料形式。肯德系數(shù)用于一般等級評定的資料，一是K個評分人評價N個被評價人或N件作品，以分析和評價K個評分人的評價是否一致，二是同一個人先后K次評價N個被評人或N件作品，以分析其前后評價是否一致。1無重復等級的系數(shù)系數(shù)的取值圍在01之間。當為1時，評分者意見完全一致，SS越小，評價的一致性程度越低；相反，SS越大，評價的一致性程度越高高。例6-4：隨機抽取5名兒童，采用排序法研究其對七種顏色的喜好程度，結果表6-5。試問兒童對七種顏色的喜好程度是否一致

16、？表6-5 實際的評價結果表6-6 假想的評價結果 評價者     評價者  12345   12345紅1332312144  紅2222210100橙5454523529  橙5555525625黃21112749  黃11111525綠3223111121  綠3333315225青66767321024  青6666630900蘭4545422484  蘭44

17、44420400紫77676331089  紫77777351225     1403440       1403500                假設5名兒童對顏色的喜好完全一樣，見表6-6，其分析過程如下。 求等級的和，即將每一顏色的等級相加，結果見表6-6。 求等級和的平方，即直接將等級和

18、平方，結果見表6-6。求等級的離差平方和（簡稱平方和）。實得的平方和：完全一致的平方和：對色彩的喜好并不完全一樣時，如表6-5。分析過程如下。 求等級的和，結果見表6-5。 求等級和的平方，結果見表6-5。代入公式，計算結果 2有一樣等級的W系數(shù)式中，例6-5：在一次繪畫競賽中，3位評委對8名參賽者作品的等級評定結果如表6-7所示，試問三位評委的對繪畫的評定意見是否一致？表6-7 3位評委對8幅作品的評定結果評價者參賽作品編號12345678A13538736 B1.53.53.51.5785.55.5 C21447846 4.57.512.58.522

19、2312.517.510820.2556.25156.2572.25484529156.25306.251780.5分析過程： 求等級和（）與等級平方和（）。 求重復等級的校正值， 代入公式，計算結果3系數(shù)的顯著性檢驗1）查表法：當n為37個時，查肯德爾W系數(shù)臨界值表，然后用分子的SS進行直接比較： SSSS0。05，一致性顯著；SSSS0。01，一致性極顯著；SSSS0。05，一致性不顯著。因為SS=2316 SS0.01=737.00，所以一致性相當高，10人對顏色喜好有極高的一致性。2）計算法當n大于7時，需計算值，再查顯著性臨界值表進行比較判斷。當自由度，若0.05，一致性顯著；若0.

20、01，一致性極顯著，若0.05，一致性不顯著。如例6-5，n=8，所以當時，。因為>，所以一致性極顯著，說明三位評委的意見非常一致。 第四節(jié)質(zhì)與量的相關一、點二列相關（一）定義研究一列等距或比率變量與一列“二分”名稱變量之間相關的統(tǒng)計方法稱做點二列相關系數(shù),用符號表示。所謂“二分”名稱變量，是將變量按事物固有的性質(zhì)分為兩極情況。如性別分為男和女。點二列相關在測量中用于題目區(qū)分度分析。（二）計算例6-7：隨機抽取了某班14名學生的數(shù)推理測驗的成績。其中，男生成績?yōu)?7，10，20，43，61，18，35，33；女生成績?yōu)?3，44，60，10，50，30。試問數(shù)推理成績與學生性別

21、有無關系？ 求“二分”名稱變量各自的比例， 分別求類類值的平均數(shù)，求全部觀測值X的標準差 代入公式，計算結果值得注意的是計算點二列相關系數(shù)出現(xiàn)負值時，并不一定是負相關，其負值與兩個平均數(shù)的位置有關。點二列相關是積差相關的特殊應用。可用積差相關法計算。需要對“二分”名稱變量賦值，如上例，男生賦值為0，女生賦值為1，則有，其積差相關系數(shù)為表6-8 點二列相關資料轉換為和積差相關資料計算表 1234567891011121314成績6710204361183533234460105030504性別000000001111116（三）顯著性檢驗查“積差相關顯著性臨界值表”。本例時，=0.53

22、2，=0.661。因為0.008 =0.532，所以數(shù)推理成績與性別無相關，即成績優(yōu)勢與性別無關。二、二列相關（一）定義二列相關系數(shù)是研究一列正態(tài)的比率或等距變量和一列人為“二分”名稱變量之間相互關系的統(tǒng)計方法，用符號或表示。在測量中用于測驗效度和試題區(qū)分度的分析。（二）計算例6-8：某校心理班50名學生在期末的心理測量考試后，教師對某一簡答題上的得分按一定標準劃分為答對與答錯兩種情況，結果有58%的學生答對了該題，而測驗總分的平均數(shù)為53分，標準差為18分，答對學生的平均分為61。試問該題與測驗總分有無關聯(lián)？已知：，由值查正態(tài)分布表得值為0.39，則該題與總分的二列相關系數(shù)為（三）顯著性檢驗

23、若，相關顯著；，相關極顯著；，相關不顯著。例6-8的檢驗值為因為Z，所以相關極顯著，說明該題與總分存在明顯的關系。表6-10 點二列相關與二列相關的比較表比較容點二列相關二列相關變量形式共同點一列正態(tài)的等距或比率變量不同點“二分”名稱變量人為的“二分”名稱變量計算公式 第五節(jié)品質(zhì)相關相關一、意義相關是專門研究二列“二分”名稱變量之間相關的統(tǒng)計方法。二、計算例6-9：研究者隨機抽取100名學生進行情緒穩(wěn)定性測驗，結果如表6-11所示。試問性別與情緒穩(wěn)定性有無關聯(lián)？表6-11 100名學生情緒穩(wěn)定性測查結果性別情緒穩(wěn)定性 穩(wěn)定不穩(wěn)定 女生34（）16（）50（）男生3

24、0（）20（）50（）64（）36（）100（）將表中數(shù)據(jù)代入公式，得（三）檢驗時，若，相關顯著；，相關極顯著；相關不顯著。本例，相關不顯著。作業(yè)題1某小學一年級一班有學生40人，期末考試后，班主任老師想了解學生語文學習與算術學習的關系，試問用什么相關方法進行分析？2用不同形狀、顏色和大小的幾何圖形讓39歲的兒童分類，考察不同年齡兒童選擇分類標準的特點?，F(xiàn)有5歲組兒童35人，按色分類的23，按形分類的12人；6歲組兒童36，按色分類的14，按形分類的32人。問選擇分類標準是否與年齡大小有關？312名學生經(jīng)濟學（）和人類學（）的期末考試分數(shù)如下表，試用積差相關法和等級相關法計算。 12

25、34567891011125168729755739574209174807470889367739973339180864下表成績與性別有無關聯(lián)？1 2 3 4 5 6 7 8 9 10性別男女女男女男男男女女成績 83 91 95 84 89 87 86 85 88 925在某項測驗中，隨機抽取10名學生的測驗總分與其在某一主觀題（滿分值15分，分界規(guī)則為：17分不合格，815分合格）的得分如下表。試分析試題與總分的相關。 12345678910總分79707578778488696680題目分7688912117596四位教師對6篇論文的評價結果。試分析其評價的一致性。評分者論

26、文編號123456A142.5562.5B231564C1.531.545.55.5D242562 綜合練習一110位大一學生平均每周所花的學習時間與他們的期末考試成績?nèi)缦卤怼Ｔ噯枺簩W習時間與考試成績之間是否有相關？比較兩組數(shù)據(jù)誰的差異程度大一些？比較學生2與學生9的期末考試測驗成績。 12345678910學習時間40431810253327173047考試成績58735647585445326869 2某班數(shù)學的平均成績?yōu)?0，標準差10分；化學的平均分85分，標準差為8分；物理的平均分為79，標準差15分。某生在三科成績分別為95，80，80。試問該生在哪一學科上突出一些？該班三科成績的差異程度如何？有無學習分化現(xiàn)象？該生的學期分數(shù)是多少？三科的總平均和總標準差是多少？3某校高一年級四個班的數(shù)學成績初步統(tǒng)計結果為：一班50人，平均分88，標準差為10；二班55人，平均分90，標準差12；三班48人，平均分85，標準差9；四班53人，平均分92，標準差6。試問 年級平均數(shù)與標準差是多少？ 哪個班的差異程度一些？4某班