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文檔簡介

1、第二節(jié) 第二類曲線積分分布圖示 引例 變力沿曲線所作的功 第二類曲線積分的概念 空間曲線弧上的第二類曲線積分 第二類曲線積分的性質 第二類曲線積分的計算 例1 例2 例3 例4 例5 內容小結 課堂練習 習題112 返回內容要點 一、引例：設有一質點在面內從點沿光滑曲線弧移動到點,在移動過程中，這質點受到力 (2.1)的作用，其中，在上連續(xù). 試計算在上述移動過程中變力所作的功. 二、 第二類曲線積分的定義與性質：平面上的第二類曲線積分在實際應用中常出現的形式是性質1 設L是有向曲線弧, 是與L方向相反的有向曲線弧，則；即第二類曲線積分與積分弧段的方向有關.性質2 如設由和兩段光滑曲線組成，則

2、. 三、第二類曲線積分的計算： . (2.9)如果曲線的方程為 起點為a, 終點為b，則如果曲線的方程為 起點為c, 終點為d，則例題選講第二類曲線積分的計算例1（E01）計算的值, 其中L分別為圖10-2-3中的路徑:(1) 從到的直線;(2) 從到再從到的折線;(3) 從沿拋物線到解 連接兩點的直線方程為對應于的方向,從變到所以(2) 從到的直線為從變到且又從到的直線為從變到，且于是(3) 化為對的定積分, 從變到1，于是注: 本例表明,即使被積函數相同,起點和終點也相同,但沿不同的積分路徑的積分結果并不相等.例2（E02）計算其中L為曲線上從到的一段?。▓D10-2-4）.解 (1) 化為

3、對的定積分, (2) 化為對的定積分, 從變到1.注: 易見化為對的定積分計算較為簡單.例3 計算，其中分別為圖10-2-5中的路線：(1) 直線；(2) 拋物線：；(3) 折線.解 (1) 直線的方程為對于的方向,參數從變到1，于是(2) 拋物線的方程為對于的方向,參數從1變到2,于是(3) 在折線中，從1變到 2; 從1 變到 3.注: 本例表明,如果被積函數相同,起點和終點也相同,沿著不同積分路徑的積分結果也可能相等.例4（E03）計算為點至點的空間有向線段.解 直線的方程為改寫為參數方程為對應著起點，對應著終點于是例5（E04）求質點在力的作用下沿著曲線（圖10-2-6） 從點移動到點時所作的功.解 注意到對于的方向, 參數從變到所以課堂練習1.計算其中L為與x軸所圍的閉曲

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