第21練-關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型

1、第21練 關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型題型分析 高考展望平面向量數(shù)量積的運(yùn)算是平面向量的一種重要運(yùn)算，應(yīng)用十分廣泛,夾角、模等問(wèn)題，另外還可以解決對(duì)向量本身，通過(guò)數(shù)量積運(yùn)算可以解決位置關(guān)系的判定、 平面幾何、立體幾何中許多有關(guān)問(wèn)題，因此是高考必考內(nèi)容，題型有選擇題、填空題，也在 解答題中出現(xiàn)，常與其他知識(shí)結(jié)合，進(jìn)行綜合考查體驗(yàn)高考1.（2015山東）已知菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為a, ZABC=60° ,則BD CD等于（）3 23 23 23 2A. 2a B. - 4a C.4a D.2a答案 D解析如圖所示,由題意，得 BC=a, CD = a, Z BCD = 120&#

2、176;.1BD 一一一一 工= BC2+ CD2 2BC CD cos 120 = a2+ a22a ax - = 3a2, .BD= V3a. BD CD = |BDHCD|cos 30 = V3a2x - cos 0= 2 .又, 0W g 兀，0= 4. = 2a2. ，一2 2 一2.（2015重慶）若非零向量 a,b滿足冏=Y|b|,且（ab），（3a+2b）,則a與b的夾角為（）3兀A.4B.2 C.35 D.兀答案2,2解析由(a b)，(3a+ 2b)得(a b) (3a + 2b)= 0,即 3a2- ab-2b2= 0.又|a|=U-|b|,設(shè)a,3即 3|a|2|a|

3、|b| cos。一2b2=0,，8|b|2平|b|2cos。 2b|2=0, 333.（2015陜西）對(duì)任意向量a, b,下列關(guān)系式中不恒成立的是（）A.|a b|< |a|b|B.|a b|w |a|b|C.(a+ b)2= |a+ b|2D.(a+b)(a b)=a2-b2答案 B解析 對(duì)于A,由|a b|= |a|b|cosa, b|w |a|b恒成立；對(duì)于 B,當(dāng)a, b均為非零向量且 方向相反時(shí)不成立；對(duì)于C、D容易判斷恒成立.故選B.4.(2016 課標(biāo)全國(guó)乙)設(shè)向量 a=(m, 1), b= (1, 2),且 |a+b|2= |a|2+|b|2,則 m =.答案 2解析由

4、|a + b|2= |a|2+|b|2,得 ab,所以 mx 1+ 1 X2=0,得 m = - 2.5.(2016上海)在平面直角坐標(biāo)系中，已知 A(1 , 0), B(0, 1), P是曲線y = 1-x2上一個(gè) 動(dòng)點(diǎn)，則BPbA的取值范圍是 .答案0, 1+72解析由題意知y=(1 x2表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的上半圓.設(shè)P(cos a, sin o),0,兀BA= (1, 1), BP = (cos a, sin a+ 1),所以 EBP ba= cos a+ sin a+ 1= 72sin(1 C 0, 1+V2BP BA的范圍為0, 1 + m.高考必會(huì)題型題型一平面向量數(shù)量積的

5、基本運(yùn)算 例1 （1）（2015四川）設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，岫46, |AD|=4,若點(diǎn)M, N滿足bM= 3MC, DN=2lNC,則 AM nM 等于()A.20 B. 15 C.9 D.6、一， ，之1（2）（2015 福建）已知 ABAC, |AB|=|AC|=t,若點(diǎn)P是 ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且AP =班+ 4AC,則PBpC的最大值等于()|AB| |AC|A.13 B.15 C.19 D.21答案(1)C (2)A解析 (1)疝=崩+3啟，Nm = Cm - Cn = - 1AD + ;Ab , - Am nm = 1(4Ab+3Ad)-(4Ab 443412'

6、;3AD)=48(16AB2 9AD2) = 48(16 X 62 9 X 42)= 9,故選 C.(2)建立如圖所示坐標(biāo)系，則B 0 , C(0, t), AB= t, 0 ,AC=(0, t),AB 4AC ,1c 4AP=+ =t p 0 +-(0, |A B| |A C|1t)=(1, 4),P(1 , 4), PB PC= - 1, - 4 (1, t-4)= 17- t+4t <17-2；4t=13,故選 A.點(diǎn)評(píng)(1)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式：一是依據(jù)長(zhǎng)度和夾角，二是利用坐標(biāo)運(yùn)算,具體應(yīng)用哪種形式由已知條件的特征來(lái)選擇.注意兩向量a, b的數(shù)量積a b與代數(shù)中a, b

7、的乘積寫法不同，不應(yīng)該漏掉其中的ab=0時(shí)得不到a=0或b = 0,根據(jù)平面向量數(shù)量積(2)向量的數(shù)量積運(yùn)算需要注意的問(wèn)題: 的性質(zhì)有 |a|2= a2,但 |a b|< |a| |b|.變式訓(xùn)練1 在 ABC中，ADLAB,Bo = 2V3 BD, |AD|= 1,則 aCad等于()A.2 ,3 B. 3 C.-23 D.-33答案 A解析在4ABC中， BC=273 Bd ,所以 AC Ad = (AB+BC) Ad = (AB+2>/3 BD)AD,又因?yàn)锽D = AD-AB,所以 AC aD = (1 2V3)AB+ 2V3 AD AD = (12*)AB aD+2v3

8、AD aD =(1 -2V3)AB)AD+2-73 Ad2,因?yàn)?AD LAB,所以 ADAB,所以 AD AB=0,所以 AC AD = (1243)X0+243x 1 = 2。3,故選 A.題型二 利用平面向量數(shù)量積求兩向量夾角 例2 (1)設(shè)a, b為非零向量，|b|=2|a|,兩組向量 X1, X2, X3, X4和y1, y2, y3, y4均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成.若xi y + x2 y2+x3 y3 + x4 y4的所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為()2兀 兀 兀A.5 B.3 C，6 D.0(2)已知向量a, b滿足|a|= 2|b|w0,且關(guān)于x的函數(shù)

9、f(x) = 2x3+3|a|x2+6a bx+5在R上單調(diào)遞減，則向量a, b的夾角的取值范圍是()2222 71A. 0, 6 B. 0, 3 C. 0, 6 D. "3，兀答案(1)B (2)D解析(1)設(shè)a與b的夾角為為由于xi, yi(i=1, 2, 3, 4)均由2個(gè)a和2個(gè)b排列而成，4記S=(xi yi),則S有以下三種情況:i=1S=2a2+2b2;S=4ab;S= |a|2+2a b+|b|2. |b|=2|a|, 中 S=10|a|2,中 S= 81a12cos 為中 S= 5|a|2+4|a|2cos a1易知取小，即 8|a|2cos 0= 4|a|2, -

10、 cos 9=,又 0w 0< 兀，0=,故選 B.3(2)設(shè)向量 a, b 的夾角為 0,因?yàn)?f(x)=2x3 + 3|a|x2 + 6a bx+5,所以 f' (x) = - 6x2+6|a|x + 6ab,又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，所以f' (x)W0在R上恒成立，所以A= 36|a|24X(, 一11c6)x (6a b)w 0,解得 abw4回2,因?yàn)?a b= |a|b| cos。，且 |a|= 2|b|w0,所以 |a|b|cos 0=21a12cos-4|a|2,解得cos -2,因?yàn)镺C 0,兀所以向量a, b的夾角。的取值范圍是 爭(zhēng) 兀, 故選D

11、.點(diǎn)評(píng) 求向量的夾角時(shí)要注意：(1)向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.(2)數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線 的兩向量的夾角為銳角， 數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角， 數(shù)量積小于0且兩向量不 能共線時(shí)，兩向量的夾角為鈍角 .變式訓(xùn)練2若非零向量a, b滿足|a|=|b|, (2a + b) b=0,則a與b的夾角為()A.30 ° B.60 ° C.120 ° D.150 °答案 C解析設(shè)a與b的夾角為0,由題意得 |a|=|b|, (2a + b) b = 0,可得 2a b+b2= 2|a| |b|cos 0+ b2 = 2|a| |a|cos 0+ |a|2=0

12、,解一1得cos 0=-因?yàn)? <陛180 ,所以0= 120 ,故選C.題型三利用數(shù)量積求向量的模例3 (1)已知向量a, b的夾角為45°,且|a|=1, |2ab|=50,則|b| =.(2)已知直角梯形 ABCD中，AD / BC, /ADC = 90°, AD = 2, BC = 1,點(diǎn)P是腰DC上的動(dòng) 點(diǎn)，則|PA+ 3PB|的最小值為.答案(1)3 .'2 (2)5解析 (1)由 |2ab|=#0,貝U |2a-b|2=10,及 4a24a b+b2= 10,又向量 a, b 的夾角為 45°, 且|a|=1,所以 4X 1 4X1 x

13、 |b|cos 4+ |b|2= 10,即 |b|22小|b|6= 0,解得 |b|=3/2.(2)方法一 以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線為x、y軸，建立如圖所示的平面直角 坐標(biāo)系，設(shè)DC = a, DP = x.D(0, 0), A(2, 0), C(0, a), B(1, a), P(0, x), PA= (2, - x), PB=(1, a-x),PA + 3PB = (5, 3a 4x),|PA+ 3PB|2= 25+ (3a-4x)2>25,|PA+3PB|的最小值為5.方法二 設(shè) DP = xDC(0xv 1), . PC = (1 - x)DC , PA= DA -

14、 DP = DA - xDC ,1L 1±1PB= PC+CB = (1 -x)DC+2DA, .PA + 3PB = |dA+(3-4x)DC,|PA+3PB|2=普法2 + 2X 搟X (3 4x)DA dC + (3 4x)2DC 2 = 25+(3-4x)2DC2>25,1.|PA+3PB|的最小值為5.點(diǎn)評(píng)(1)把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，給有關(guān)向量賦以具體的坐標(biāo)求向量的模，如向量a=(x, y),求向量a的模只需利用公式|a|=x2+ y2即可求解.(2)向量不放在坐標(biāo)系中研究，求解此類問(wèn)題的方法是利用向量的運(yùn)算法則及其幾何意義或 應(yīng)用向量的數(shù)量積公式，關(guān)鍵是會(huì)把

15、向量a的模進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：|a|= 相.變式訓(xùn)練3 已知向量a, b, c滿足|a|=4, |b|= 2血，a與b的夾角為j, (c- a) (c-a)=- 1, 則|c a|的最大值為()A./+2 B.乎+1 C.j 1 D.V2+1答案 D解析在平面直角坐標(biāo)系中，取 B(2平,0), A(2yf2, 20,則OA=a, OB=b,設(shè)c=OC =(x, V),則(c a) (cb)=(x2山，v 2取)(x 272, y) = (x 272)2+y(y-272) = - 1,即(x 2p)2+ (y U)2= 1 ,所以點(diǎn) C(x, y)在以D(2#, #)為圓心，1為半徑的圓上，|c- a

16、| = x-2 ,12 2 + y-2 2 2,最大值為|AD|+1 = 42+1.故選D.高考題型精練1 .已知空間四邊形 ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都為 1,點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn),則eF dC等于（）A.4答案 D解析 由題四邊形ABCD的邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都為 1,點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則EF平行于 BD,則 EF DC = 2BD Do = 2X 1X1XC0S 120 =-1.2 .(2016課標(biāo)全國(guó)丙)已知向量bA= 2,當(dāng)，BC= 坐，2，則/ ABC等于()A.30 ° B.45 ° C.60 ° D.120 °答案 A

17、解析 |BA|= 1, |BC|= 1,BA BC 他 cos / ABC =.|BA| |BC|又< 0°<Z ABC<180°, ./ ABC =30°.3 .(2015湖南)已知點(diǎn)A, B, C在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)，且ABBC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2, 0),則|PA+PB+pC|的最大值為()A.6 B.7 C.8 D.9答案 B解析由A, B, C在圓x2+y2= 1上，且ABXBC, .AC為圓的直徑，故PA+PC=2PO=(-4, 0),設(shè) B(x, v),則 x2 + y2= 1 且 xC 1, 1, PB=(x-2, y),所以

18、法+用+吃=(x 6, y).故|珠+ 通+ 無(wú)= y 12X+ 37, - 1<x<1, 當(dāng)x=- 1時(shí)有最大值律=7,故選B.4 .已知三點(diǎn)A(-1 , 1)、B(3, 1)、C(1 , 4),則向量BC在向量BA方向上的投影為()A.也B.5 C. 13D. 一2,1313BC BA|BA|答案 A解析 BC = ( -2, 3), BA= (-4, 2),向量BC在向量BA方向上的投影為,故選A.一 2X - 4+3X - 25(a+ b) a= a2+ a b= 3 + |f3x 2cos < a, b> = 0,cos <a, b> = 又 0V

19、a, b> < %, a和b的夾角為 68 .(2016浙江)已知向量a, b, |a|= 1, |b|=2.若對(duì)任意單位向量 e,均有|a e|十|b eg正，則 a b的最大值是.答案|解析由已知可得，乖河a e|+ |b e|> |a e+ b e|= |(a+ b) e|, 由于上式對(duì)任意單位向量e都成立.通>忸+13|成立.-6>(a+b)2=a2+b2+2a b=12 + 22+2a b.1即 6>5+2a b,. a b< -9 .如圖，在 ABC 中，點(diǎn)。為 BC 的中點(diǎn)，若 AB=1, AC=3, <AB, AC> = 6

20、0 ,則 |OA|答案手解析因?yàn)樵?，?60°,所以苑品=岫| |aS|cos60 =1X 3X 2 =>1 >XAO = -(AB+ AC),所以啟2=；(m+A6)2=(AB2+ 2AB AC+AC2),即啟2 = ：。+ 3+9)=素，所以 |OA| = .10.已知點(diǎn)O是銳角 ABC的外心，AB=8, AC=12, A =號(hào)若危=凝+丫/，則6x+9y o答案 5解析 如圖，設(shè)點(diǎn)O在AB, AC上的射影分別是點(diǎn) D, E,它們分別為AB, AC的中點(diǎn)，連接OD , OE.由數(shù)里積的幾何思義，可得 AB AO= |AB| |AD|= 32, AC AO= |AC|

21、|Al|= 72,依題意有 AB aO = xAB2 + yAC Ab= 64x+ 48y=32,即 4x+ 3y=2, AC aO=xAB aC+ yAo2=48x+ 144y=72,即 2x+6y = 3,將兩式相加可得 6x+9y= 5.11.設(shè) a=(-1, 1), b=(x, 3),c=(5, y),d=(8, 6),且 b/d, (4a+d)±c.(1)求b和c;(2)求c在a方向上的投影;求為和江，使c=為a+及b.x=4.解 (1) . b/ d, .1.6x-24=0, ,-4a+d=(4, 10), (4a+d)±c, .5X4+10y=0, y=-2,

22、 .b=(4, 3), c=(5, -2)./c、/、 ac 527 v58(2)cOs ° =麗=巧=-58 'c在a方向上的投影為|c|cosa, c>7,22 .(3) c=為a+ 淪b,5=-九+ 4尬，- 2=4+ 3尬，.1233解得23加=3,>，一，,，一.， 一一，一，一 f 5f12.在4ABC中，AC=10,過(guò)頂點(diǎn) C作AB的垂線，垂足為 D, AD=5,且滿足AD = DB.求岫-AC|；(2)存在實(shí)數(shù)t>1,使得向量x=AB+t/AC, y=tAB + AC,令k= x y,求k的最小值.5解 (1)由AD = &DB,且A, B, D二點(diǎn)共線， 11可知|曲=布面.又AD=5,所以DB = 11.在 RtAADC 中，CD2= AC2-AD2=75,在 RtBDC 中，BC2=DB2+CD2=196,所以BC= 14.所以 |AB AC|= |CB|=14.(2)由，知 |AB|= 16, |AC|=10, |BC|=14.由余弦定理，得cos A=102+ 162 142_2X 1