廣東省2020屆高三第二次線上統(tǒng)一測(cè)試(4月)數(shù)學(xué)(理)試題

1、不要等待機(jī)會(huì)，而要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會(huì)2020年深圳市普通高中高三年級(jí)第二次線上統(tǒng)一測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共6頁，23小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1 .已知集合 A= x -<2x<2 , B=x|ln(x 1)W0,則 AA ( eR B)=2 2A. B.( T, 1C.1,1)D.(-1, 1222 .棣莫弗公式(cosx + isinx) n= cosnx + isinnx(i為虛數(shù)單位)是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667 1754)發(fā)現(xiàn) 的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù) (cos

2、+isin )6在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3 .已知點(diǎn)(3, 1)和(一4, 6)在直線3x2y + a=0的兩側(cè)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是A. 7<a<24 B.a =7 或 a = 24C.a<7 或 a>24 D. 24<a<74 .已知f(x)(a 2)x3a,x是(8,+8)上的減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(0 , 1)B.(0,C.5 .在4ABC中，D是BC邊上一點(diǎn),11-,1)D.62uuir AD± AB, BC61)uuurj-uuuruuurJ3BD , AD =1

3、,則uuir uuur AC AD =A.2 .3 B.-3C.3D.、,31的正方形,6 .已知一個(gè)四棱錐的高為3,其底面用斜二測(cè)畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為 則此四棱錐的體積為A. 一 2B.6 工 C. 1D.2,237 .在等差數(shù)列an中，S為其前n項(xiàng)的和，已知3a8=5a13,且a>0,若Sn取得最大值，則 n為A.20B.21C.22D.238 .已知拋物線y2=8x,過點(diǎn)A(2, 0)作傾斜角為石的直線I,若l與拋物線交于 B C兩點(diǎn)，弦BC的中垂線交x軸于點(diǎn)巳則線段AP的長(zhǎng)為人16A.B.C.16:3D.8,39 .已知函數(shù)f(x) =sin( 3 x+ 4)

4、( 3 >0, | 4 | <a)的最小正周期是兀，把它圖象向右平移三個(gè)單位后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)?，F(xiàn)有下列結(jié)論：一 一一一一，,，5,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=一對(duì)稱 12函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一，0)對(duì)稱函數(shù)f(x)在區(qū)間，一上單調(diào)遞減其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A. B. C. D. 一一3. 一，函數(shù)f(x)在z，/上有3個(gè)零點(diǎn)DOOB1的值為二、填空題：本大題共一個(gè)片區(qū)的房屋是等可能的，則該市的任4位申請(qǐng)人中，申請(qǐng)的房源在 2個(gè)片區(qū)的概率是2x16.在平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓ay2b21(a b 0)的左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于 A, B兩點(diǎn)，C為橢圓的右焦點(diǎn)，

5、且 ABC是等腰直角三角形,且/A= 90° ,則橢圓的離心率為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考0.6 。設(shè)各局比賽相互間沒10 .甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，單局比賽甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為 有影響，且每場(chǎng)比賽均要分出勝負(fù)，若采用五局三勝制，則甲以 3: 1獲勝的概率是A.0.0402B.0.2592C.0.0864D.0.172811 .設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng) xC2, 3時(shí)，f(x) =x,則xC 2, 0時(shí)，f(x)的解 析式為A.f(x) =2+|x+1| B.f(x) =3|x+1|

6、 C.f(x) =2-x D.f(x) =x + 412 .如圖，長(zhǎng)方體ABCD- ABCDi中，E、F分別為棱 AR AQ的中點(diǎn)。直線DB與平面EFC的交點(diǎn) O,則4小題，每小題5分，共20分.13 .已知x軸為曲線f(x) =4x3 + 4(a - 1)x + 1的切線，則a的值為14 .已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若 S=2an2,則G&=。15 .某市公租房的房源位于A, B, C三個(gè)片區(qū)，設(shè)每位申請(qǐng)人只能申請(qǐng)其中一個(gè)片區(qū)的房子，申請(qǐng)其中任生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分.17 .(本小題滿分12分)在 ABC中，內(nèi)角 A B

7、C對(duì)邊分別是 a、b、c,已知sin 2B= sinAsinC 。求證：0<BW；3o A C(2)求2sin sin B 1的取值范圍。218 .(本小題滿分12分)如圖所示，四棱錐 S ABCM, SA1平面 ABCD AD/BC, SA= AB= BC= CD= 1, AA2。在SD上是否存在一點(diǎn) 巳使得CP平面SAB?青證明你的結(jié)論;(2)求平面SAB和平面SCD所成銳二面角的余弦值。19 .(本小題滿分12分)22已知橢圓C:二匕 1 , A、B分別是橢圓C長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)。124(1)求/ AMB勺最大值，并證明你的結(jié)論；(2)設(shè)直線AM的斜率為k,且kC

8、( - 1 , 1),求直線BM的斜率的取值范圍。2320 .(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x) =ln(x +1), g(x) = ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))。x a(1)討論函數(shù) (x) f (x) 在7E義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；x(2)設(shè)直線l為函數(shù)f(x)的圖象上一點(diǎn) A(xo, y°)處的切線，證明：在區(qū)間 (0,+8)上存在唯一的 xo,使 得直線l與曲線y = g(x)相切。21 .(本小題滿分12分)2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國(guó)，某省由于人員流動(dòng)性較大，成為湖北省外疫情最嚴(yán)重的省份之一，截至2月29日，該省已累計(jì)確診 1349例患者(無境外輸入病例)。100名確診

9、患者，統(tǒng)計(jì)他們的年齡數(shù)據(jù),(1)為了解新冠肺炎的相關(guān)特征，研究人員從該省隨機(jī)抽取得下面的頻數(shù)分布表:年齡10;川(20.30(30.40(40,50(50,60(6070Jg80(8090.(90,100人數(shù)61218221217由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，該省新冠肺炎患者的年齡Z服從正態(tài)分布 N(w, 15.2 2),其中 科近似為這100名患者年齡的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)。請(qǐng)估計(jì)該省新冠肺炎患者年齡在70歲以上(>70)的患者比例；(2)截至2月29日，該省新冠肺炎的密切接觸者(均已接受檢測(cè))中確診患者約占10%以這些密切接觸者確診的頻率代替1名密切接觸者

10、確診發(fā)生的概率，每名密切接觸者是否確診相互獨(dú)立.現(xiàn)有密切接觸者20人，為檢測(cè)出所有患者，設(shè)計(jì)了如下方案：將這 20名密切接觸者隨機(jī)地按 n(1<n<20且n是20的約 數(shù))個(gè)人一組平均分組，并將同組的n個(gè)人每人抽取的一半血液混合在一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)新冠病毒，則對(duì)該組的n個(gè)人抽取的另一半血液逐一化驗(yàn)，記n個(gè)人中患者的人數(shù)為 Xn,以化驗(yàn)次數(shù)的期望值為決策依據(jù)，試確定使得20人的化驗(yàn)總次數(shù)最少的 n的值。參考數(shù)據(jù)：若 ZN(科，/),貝U P(科b <Z<p + d ) =0.6826 , P(科-2(t<Z< +2 ) =0.9544 , P(廠3 <Yq

11、 + 3(t) = 0.9973 , 0.9 4= 0.66 , 0.9 5 0.59 , 0.9 10= 0.35。(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做， 則按所做的第一題計(jì)分。22 .(本小題滿分10分)選彳4 4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程x tcosx 2cos在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線l1：(t為參數(shù)，0<“<一),曲線C:( 3為y tsin2y 4 2sin參數(shù))，1i與。相切于點(diǎn)A,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。(1)求C的極坐標(biāo)方程及點(diǎn) A的極坐標(biāo)；(2)已知直線l2： 0 = (

12、 p R)與圓G： p 243cos。+ 2= 0交于B, C兩點(diǎn)，記 AOB勺面積為S1, COC的面積為S2,求運(yùn)的值。S2 S123.(本小題滿分10分)選彳45:不等式選講 已知 f(x) = |x - 2a|。(1)當(dāng)a= 1時(shí)，解不等式 f(x)>2x +1;2(2)若存在實(shí)數(shù)aC (1 , +8),使得關(guān)于x的不等式f (x) x -2 m有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。a 1理科數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考一、選擇題1.B2. C3. A4.C6. D7. A10. Bll.B12. A二、填空題;14 3215.142716.二、融答題;解答應(yīng)寫出。字說明,17.1 本小題滿分

13、12分)在&中,內(nèi)角8、。對(duì)造分別昆門、b、t ,已知siiB=sinXwinC.(1)求證工0 < B W?：(2)求2疝？"£+&inB L的取值著同解：C1)由正弦定理可得s.111 A &uiB siii C二 sin，二，'siii5 =* siiiC =.1R1R2RV sin(2) 2iin'十siiiBl = -C0S(j4 4 (?) + 而 E= oo與8 + siuB衛(wèi)i,S #山(1)揖0cBMg . 工工.IQ 分 4 124即1 in2空二十 B-1的小值范是(L VI.12分18-(本小題滿分12分

14、)如圖所示，四棱錐S 4BCD 中.SA1 平-面 AD BC , SA= AB= BC = CD = , AD=2.(1)化棱工D上是否存住一啟尸.侵卷CP/嚴(yán)面MB?請(qǐng)證明你的結(jié)論；(2)求產(chǎn)面MB和平面SCD所做稅 而用的余效值 3 = sin JsmC.:* b =ac -4分lac4 出2r上一 &2= 2ac-ac I :.cos =>=-,二04月6分證明；(門:與點(diǎn)F內(nèi)梭5D的中方時(shí).CP 平二面£48,讓明如下: 取£4的中點(diǎn)F.連結(jié)口、FB. PC,則FP '：ADuBC t .4B-BCCD . AD2. JiA AE=-. BE

15、= t 22IR> JiOjIOh B -,- 口史二.JI， />(.：,(. I. .S：IMJ.1J. JIAS = (0.04)* 啟5 =, SD = (0,2, 1)i DC .0)* *8 分設(shè)平面以B的法向量為)=(孫平面SCD的法向量為a=(毛，死.4),則Kj - AS = o. I 九工-SD = 0., T，5.，ri , jiB - 0. | % l DC tX AD且FP = qjiZ)，+,2分*； ADfiBC , SC=-AD = lrC BC ：| FPBC .二四出用FBCP為平日四邊JK-4分二 CP IEF .UPh 卜面£45.

16、 AFul 面£1B.二CP 平面£或，5分(2)在¥面且就心內(nèi)過點(diǎn)看作出線/D電線上-SAL 平面，£4_LAD.、可線月£、小和.0收陽聿有，*1 = 6，工%-J =。、以點(diǎn)d為原點(diǎn)，分加以Fi線短、ADASx. p和工建立加劇所亭的直角坐標(biāo)系， 過點(diǎn)/作月E1HD交宜戰(zhàn)/DTE.艱工l=J5, x3=VJ可得rtj = (y/3. 3,0)/=(V-3.6).lo 分疝-3.0卜疝3.6）_ 1J訴儀7/串廣2。64，平面幺6和平面5CD所成銳二面角的余強(qiáng)也為上一 L2分419.（本小題滿分12分）已知橢回C;二十乙=】，A . E分別

17、是橢圓C長(zhǎng)軸的左.右端點(diǎn)，M為橢同上的動(dòng)點(diǎn). 12 4（1）求工4A加的最h值.并證明你的結(jié)論；（2）設(shè)直線dAf的斜率為匕且正亡（一；：）求直線力材的料率的取值范圍.2 3解：C1）根據(jù)橢圓的前稱件，不妨設(shè)M。*,盟）（一2君< /< 26。'2）.過點(diǎn)M作MH_L工軸，垂足為日，（0<?0<2）,1分于是，有tanZ4Mff =|謝_32后 函T崎_防_2萬一玉一口放1一外1 血一如必= M=+)用口乙LKH 十跖口ZBA/ZZ _4j3v07w -UfHta口工Al田-i；+y：-12',3 分丁點(diǎn)在例U I，:* 幅口 /AMB =.'.

18、tail AMB =一二 < -VJ，與0< ZAMS < 國(guó) 1，一<44疥的最"的內(nèi)生.此時(shí)£ 二 3即點(diǎn)”為桶同C的匕頂點(diǎn).根摳桶照的材稱性.當(dāng)點(diǎn)時(shí)內(nèi)聃回。的麻輔的頂點(diǎn)時(shí).乙必m四最大信.兀尻上侑為,7分（2）亞百姓力”的曾奉為尸.*0 +汽），劇，-苫 + ?= 1 J ¥ = 12 - 3 *二=一！， 10 分": £ B（一2一；1二k'L，3故目建HA/的斜率的取值輪因?yàn)?2分20.蟲小窗清分10分）已知函敬/口） = hil，41J,g（£） = * C為門然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.C）附論函數(shù)

19、或。-fM - 正定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)： X（2）設(shè)直至？為函數(shù)/。）的圖象上，點(diǎn)處的切線，iD助在區(qū)間（0.2）上存在唯f的4r使得直技/與前線j-g0）相切.杯工 C1）中（工）=/0）-= ln（'Al）-11T3-1 同、±0"XX2、 1 a m + q/ 3 = * 工+ 1 x-（，+1）/令 ft（x） =，' + 口* +。* =一碗.1 分T）當(dāng)A =時(shí).即當(dāng)0M口 £4時(shí)硝）之0,此時(shí)如力在（一L0）和色+=6/用遞增,土橫值點(diǎn)；2分當(dāng)A :/一面0時(shí)，即當(dāng)。0或白4時(shí).函數(shù)A（x） = / +ar+。一兩卜零點(diǎn),-a - 4

20、c1 -4a -n +- 4n巧 2* I ；，ti）芻。之口時(shí).rnj_ ,2 +- If1 4（r i一 4。 -舊 4 4t因?yàn)橐? 網(wǎng)=；0,所以和0勒 ）1，3分所以函數(shù)3a在（-l三）甦m速港，在和（0,毛）上單調(diào)遞Me.在"吟上推凋通增，此時(shí)函“飆燈有兩十極值點(diǎn)；7分(li)當(dāng)白>4時(shí)，2 +(t + Jn' - Ac Ja" - 4<r + 4 yla' - 4a因?yàn)橐? -r = > 0 *一個(gè)r所以毛（三一 1比依中O03 G在JLQ：和值偏遞增“上極值點(diǎn)5分標(biāo)上所述，當(dāng)SN0時(shí)，晶故儀工）無極侑點(diǎn)，當(dāng)口0時(shí)，閑散中（外

21、有兩個(gè)攝值點(diǎn).- -6分（曾因?yàn)閞w=法以函數(shù)f（t）的圖象上一點(diǎn)/（ I；.乳）處的w線，的方n m表示為設(shè)直線，與曲戰(zhàn)尸二雙不相切干點(diǎn)名里）,網(wǎng)為g'（4=亡）所以小 , 5】丸=11>8+1)，上1、亡 f-( 工日)/十1消去.并整理，窗11分工1）在單調(diào)遞增,由(1)可知,當(dāng)白=1時(shí), F8效爭(zhēng)住1 = ln(工+ 11 H + 1X又死9一獨(dú)二40,奴mc - Ie' - 1所以函熱 咐 e（c-Lcs-l）上有唯一的零點(diǎn)，又因?yàn)楣禄迷赒X）單調(diào)連增,所以為程+D一區(qū)11 = 0（0.4）11（!在唯的根，敝在R問（口“）上存百吁一的”,使用直錢/與曲找y =

22、 g（»用切.整分21.本小題博分建分）2020年初,新冠肺炎疫情襲擊全國(guó).某省由于人員流動(dòng)性狡大.成為黜I匕省外狡情最蘆重的省 舟之一,磁至2月弱日.訪省已案計(jì)破恰】349例恚若（無境外稿人病例J .（D為了好新過肺窕的相關(guān)特征，研究人員從該省隨機(jī)油取100%確衿患擰.一計(jì)他們的年 齡數(shù)堀，布下面的預(yù)數(shù)分布表：年齡10 ：q(20 SO(30 40(40,50(50,60(g7b(7C,B0(80(W.IOO人題6121822ifc Jr1247 一山獨(dú)敷分布表可以大致認(rèn)為，讀省斯通肺度小者的年合Z股從正息分布NU，52日,其中" 近似為這100名患老年箭的樣本平均數(shù)?？?/p>

23、一咀中的數(shù)話用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.請(qǐng)估計(jì)讀省新 冠林炎患者年齡在7。岑以上（>70）的思者比例卜則叫估計(jì)該省癰診新冠肺炎患者年齡任70巖以上冷患者比例為15*7%.bB團(tuán)解法一，根據(jù)整章.瘠括密切接觸荷痢冷為新無病發(fā)的慨第均內(nèi),門的可能取值為？，* 105. L0，m we24"QH，對(duì)于某組X個(gè)人-化驗(yàn)歡&V的可能取值為1，打十1.9p(y=i>=(.p(k = h+i)=i 109。9g=2二：卜二(i-1n 10口可1-()# +(m + 1) 1(y - n + ln()".人的化驗(yàn)苴次教為/5=2n+l-n<r n10空門箕，-t

24、/(5)12.2, /(10)15.骯以.當(dāng)料=4時(shí)符合抽意.即按4人一組檢測(cè),可使化驗(yàn)總次數(shù)最少. 1?力解法二：根據(jù)題意，每名密切接觸者確診的概率均為工TTii可能取值為2, % i- 10, 10當(dāng)同工24510時(shí)，上8（小春），了分逐以神個(gè)人為一組時(shí).省內(nèi)福人所需的化驗(yàn)次數(shù)為F.則F的可能取信為，1 +上.則E一舄八0 6KHe1-方/（仃）=20 1+則加人所需的化跪次數(shù)為L(zhǎng)耳】0，（2尸 133, /（4卜113. ?。?）122.八10）015,所以，存合制意的 =4,即按4人一組檢測(cè).可怏化驗(yàn)總次數(shù)最少. 12分22 .（本小題滿分1口分:選修4 - 4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程一 八

25、 ， fr=/cosa<jt（x= 2cds/?»在平面直角坐標(biāo)系工3沖，直線外Cf為參數(shù)，0<曰<一）,曲戰(zhàn) 總j = fs1n 口2y=4+2stnp（口為參數(shù)），與G相切十點(diǎn)a，以坐標(biāo)喙點(diǎn)為糧點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求G的極坐標(biāo)方理及點(diǎn)t的被坐標(biāo)二（2J巴歸直線h 8=EgwR）與圓G： / 4歷2s& + 2 = 0交于E , c兩點(diǎn)，記 6的面和為況,八eq的面積為5門 求興十興的信. 均 *帳 （1） 解法一由題意可知，G的直角坐標(biāo)方理為X,+3-4產(chǎn)=4,fr = x?cosA將： .白代人得G的板坐標(biāo)方程為川一一X/sin

26、8 + 12 = 0.2分（7 = psui<?I 也.）=FCO5G, d7T又4的參數(shù)方程為<（，為參數(shù).0<s<），>=；SU1（T2得L的極坐標(biāo)方程為*M/WR）.3分榔代入得/？一名戶占m口+120,則4父居即1/、4、】？ = 0+ 乂OUorC；, 解得口三，此時(shí)/wG 所以點(diǎn)上的狄坐標(biāo)為（2右守，5分（解法二）由題尊口:紀(jì).G的直角里原方行內(nèi)：？*。-匐二=4.jc = poos A,將,Y= $m8代入.得G的極坐標(biāo)方程為0'工M8 + 】2=2分J P £111國(guó)為與色相用丁點(diǎn)d，所以在Rt八。C月中.行| O川與，0煌二歲&

27、#163; = 2百.ZAOC = = » 所以 ZX<7t=三， 4 分山極審標(biāo)的幾何惹義，可得X12"5分（2）由Q的極"標(biāo)方程為""-4再斗仆9+? = 0，可得G的有用坐標(biāo)方行為（.x-2）!+v2-5,所以圓心。式26t 8分設(shè)身用心，。修，工）將6二三代入/一4百戶£86 + 2 = 0， 436券戶£p4-2 = 0.所以4+必=5 +注取-117分又因?yàn)镠smlg-/）=三與=：a"/戶力，;咚2， 8分230 占2&2所吟吟二十邑一心占皿】0分% P： R A 鼻23 .（木小題清分1。分）選修4-51不等式選講已旬FCO =|K一 2H.（E當(dāng)。=1時(shí)，眸不等式幻241：（2）若存在實(shí)數(shù)田）.使得美于工的不等式fSHA二一股有實(shí)數(shù)解，求實(shí)&E的 ff-1取值范國(guó).解；（1）當(dāng)日=1時(shí)，即解不等式（法f 節(jié)近2時(shí),原不等式等價(jià)于-一所以工-3，所以不等式f/）A2x-L的蟀集為空集, 2分當(dāng)工2時(shí).昂不等式等價(jià)于2 丁2± +】.解用工1