直線方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、直線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、直線基本知識(shí)1、直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角 關(guān)于傾斜角的概念要抓住三點(diǎn)：1 .與x軸相交； ii .x軸正向；iii.直線向上方向. 直線與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為00.傾斜角a的范圍00 <a <180°. 0yL90©,k 至 0;90口80" Y°(2)直線的斜率直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為90 0的直線斜率不存在。經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1, yi),F2(x2,y2)(x1x2)的直線的斜率公式是k = -y2一y1(x1 # x2)X2 -x1每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線

2、都有斜率。2、兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線l1,l2,其斜率分別為(,k2,則有L/l2u k1 = k2 0特別地，當(dāng)直線11,12的斜率都不存在時(shí)，11與12的關(guān)系為平行。(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1,l2斜率存在，設(shè)為k1,k2,則Llzu Kl_k2 = -1注：兩條直線I/2垂直的充要條件是斜率之積為-1 ,這句話不正確；由兩直線的斜率之積為-1 ,可以得出兩直線垂直，反過來，兩直線垂直，斜率之積不一定為1。如果I1,l2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，I1與I互相垂直。二、直線的方程1、直線方程的幾種形式名稱方程的形式已知條

3、件局限性點(diǎn)斜式y(tǒng) -y1 =k(x-x1)3)為直線上一定點(diǎn)，k為斜率不包括垂直于x軸 的直線斜截式y(tǒng) = kx + bk為斜率，b是直線在y 軸上的截距不包括垂直于x軸 的直線兩點(diǎn)式y(tǒng) y1x x1y2 y1x2 x1（其中x ”, y豐、2）(x1,yJM,y)是直線上兩定點(diǎn)不包括垂直于x軸 和y軸的直線截距式x y /一 十2=1a ba是直線在x軸上的非零 截距，b是直線在y軸上 的非零截距不包括垂直于x軸 和y軸或過原點(diǎn)的 直線一M式Ax +By +C =0（其中A, B/、同時(shí)為0）A , B , C為系數(shù)無限制，可表小任 何位置的直線注：過兩點(diǎn)Pjxiyj P2(X2, y2)的

4、直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？(不一定。(1)若為=x2且y1豐y2,直線垂直于x軸，方程為x = x1 ；(2)若x1#x2且y1=y2,直線垂直于y軸，方程為y = y1；(3) (3)若x, #x2且y1 # y2,直線方程可用兩點(diǎn)式表示)x1x22yy222、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若兩點(diǎn) 叫，丫1), P2(x2，y2),且線段RE的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),3.過定點(diǎn)的直線系斜率為k且過定點(diǎn)(%,yo)的直線系方程為y -yo = k(x-x0)；過兩條直線11 : Ax + By +C1 = 0 , l2: A2x + B2y+C2 = 0的交點(diǎn)的直線系方程為Ax + B1y+C1+

5、“A2x + B2y+C2) = 0 (九為參數(shù))，其中直線l 2不在直線系中.三、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式1 .兩條直線的交點(diǎn)設(shè)兩條直線的方程是l1 : Ax + B1y+G = 0 , I2 : Azx+Bzy +C2 =0兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組Ax+By+G =0的解Ax + B2y+C2 =0若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；反之，亦成立。2 .幾種距離(1)兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn) Pi(xi，yj P2(X2, y2)間的距離公式 PP2 = Jd -x1)2+(y2 - y1)2特別地，原點(diǎn)0(0,0

6、)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離op|="x2 + y2(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn) P (x0, %)到直線 l: Ax + By +C = 0 的距離 d =" + By0 + C,A2 B2(3)兩條平行線間的距離兩條平行線 li : Ax + By +Ci = 0, I2 : Ax + By +C2 =0 間的距離 d =JC22cLA2 B2(汪忠: 求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般式； 求兩條平行線間的距離時(shí)，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能 套用公式計(jì)算。)補(bǔ)充：1、直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角陋斜角0(0,2(9 e斜 率取值0(0,+r)

7、不存在(8,0)增減性/遞增遞增(2) .已知斜率k的范圍，求傾斜角Q的范圍時(shí)，若k為正數(shù)，則6的范圍為(0,三)2的子集，且k=tan a為增函數(shù)；若k為負(fù)數(shù)，則口的范圍為(1,n)的子集，且k=tan «為增 函數(shù)。若k的范圍有正有負(fù)，則可所范圍按大于等于 0或小于0分為兩部分，針對(duì)每一部 分再根據(jù)斜率的增減性求傾斜角范圍。2、利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法：已知 A(xi, yJB(x2, y2),C(x3,y3),若為=x2 =x3或kAB =kAc ,則有 A、B、C三點(diǎn)共線。注：斜率變化分成兩段，900是分界線，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論3.兩條直線位置關(guān)系的判定：已知

8、l1 ： Ax + By +C1 = 0, l2 ：Ax + By+C2 =0,貝U:(1) l1 H2 A1A2 +B1B2 =0(2)1/I2U A1B2- A2 B1 0, A1C 2 - A2C1。0;(3) I1 與I2重合 = AB2-A2B1 =0, A1C2 A2C1 =0；(4) 11 與 12相交 u A1B2 A2B1 #0如果AAC2 /0時(shí)，則：(1) 112 = A1 色-1Bi B2(2) I1/I2 之 冬=旦¥21瓜2巾2。不為 0)；A2 B2 C2(3) I1與I2重合u % =竺=4八后62不為0)A2 B2 C2(4) I1與I2相交u &a

9、mp; #旦(慶2, B2不為0)A2 B2(5) 關(guān)對(duì)稱問題常見的對(duì)稱問題：(1)中心對(duì)稱 x= 2a x右點(diǎn)M(x1,y1)及N(x2,y2)關(guān)于P(a,b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得j = 2b- %直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出 它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用l1 /I2,由點(diǎn)斜式得到所求直線方程。(2)軸對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱若兩點(diǎn) 卬卬丫)與P2(x2, y2)關(guān)于直線1 : Ax + By+C=0對(duì)稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸1上，而且連接RP2的直線垂直于對(duì)稱軸1上，由方程組x1 +x2

10、y1 +y2A(x-2)+B(y-y2)+C=022% =< =<運(yùn)(一公)=一1)2 =x2 -x1B可得到點(diǎn)P1關(guān)于1對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2,y2)(其中A#0,x1#x2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱此類問題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸 相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行。注：曲線、直線關(guān)于一直線y=±x + b對(duì)稱的解法：y換x,x換y.例：曲線f(x,y) = 0 關(guān)于直線y =x-2對(duì)稱曲線方程是f(y+2,x-2) = 0曲線C: f (x,y) =0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線方程是f (2a-x,2b - y) = 05 .兩條直

11、線的交角直線11到12的角（方向角）；直線11到12的角，是指直線11繞交點(diǎn)依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 到與12重合時(shí)所轉(zhuǎn)動(dòng)的角6,它的范圍是（0,n）,當(dāng)日"90時(shí)tanH=上二kL.1 k1k2兩條相交直線11與12的夾角：兩條相交直線11與12的夾角，是指由11與12相交所成的四個(gè)角中最小的正角6,又稱為11和12所成的角，它的取值范圍是'0,-當(dāng)日二90則I 2k2 -k11 -+k1k 26 .直線1上一動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離“最值問題”：（1）在直線1上求一點(diǎn)P,使PA+ PB取得最小值，若點(diǎn)A、B位于直線1的同側(cè)時(shí)，作點(diǎn) A （或點(diǎn)B ）關(guān)于1的對(duì)稱點(diǎn)A/或B/ ,

12、連接A/B（或AB/）交1于P,則點(diǎn)P即為所求點(diǎn). 若點(diǎn)A、B位于直線的異側(cè)時(shí)，連接 AB交于1點(diǎn)P,則P為所求點(diǎn)?？珊?jiǎn)記為“同側(cè)對(duì)稱異側(cè)連”.即兩點(diǎn)位于直線的同側(cè)時(shí)，作其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；兩點(diǎn) 位于直線的異側(cè)時(shí)，直接連接兩點(diǎn)即可.（2）在直線1上求一點(diǎn)P使PA - PB取得最大值，方法與（1）恰好相反，即“異側(cè)對(duì)稱同側(cè)連” 若點(diǎn)A、B位于直線1的同側(cè)時(shí)，連接AB交于1點(diǎn)P ,則P為所求點(diǎn)。 若點(diǎn)A、B位于直線的異側(cè)時(shí)，作點(diǎn) A （或點(diǎn)B ）關(guān)于1的對(duì)稱點(diǎn)A/或B/ ,連接A/B（或AB/）交1于P,則點(diǎn)P即為所求點(diǎn).22（3） |PA +|pb的最值：函數(shù)思想”轉(zhuǎn)換成一兀二次函數(shù)，找對(duì)稱軸”

13、。7.直線過定點(diǎn)問題：含有一個(gè)未知參數(shù)，y =(a1)x+2a-1= y = a(x+2)x + 1(1)令 x +2 =0= x = -2 ,將x = -2代入式，得y=3,從而該直線過定點(diǎn)(-2,3)含有兩個(gè)未知參數(shù)(3m - n)x (m 2n)y -n =0= m(3x y) n(-x 2y -1) = 03x + y = 0=3y=7-x +2y -1從而該直線必過定點(diǎn)(,3)7 78 .點(diǎn)到幾種特殊直線的距離(1)點(diǎn)P(x0,y0)到x軸的距離d斗力|。(2)點(diǎn)P(xo,y。)到y(tǒng)軸的距離d斗飛.(3)點(diǎn)P(xo, y°)到與x軸平行的直線y=a的距離d =| y0 -a|。(4)點(diǎn)P(x0, y0)到與y軸平行的直線x=b的距離d =|x0 -a|.9 .與已知直線平行的直線系有：(1)平行于直線Ax By C =0的直線可表示為Ax By C/ =0(C/二C)(2)平行于直線y =kx + b的所有直線為y = kx + b/(b/#b)10 .易錯(cuò)辨析：(1)討論斜率的存在性：解題過程中用到斜率，一定要分類討論: 斜率不存在時(shí)，是否滿足題意； 斜率存在時(shí)，斜率會(huì)有怎樣關(guān)系。(2)注意“截距”可正可負(fù)，不能“錯(cuò)認(rèn)為”截距就是距離，會(huì)丟解;(求解直線與坐標(biāo)軸圍成面積時(shí)，較為常見。)(3)直線到兩定點(diǎn)距離相