(1)輾轉相除法

1、算算 法法 案案 例例(第一課時第一課時)1、求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)、求兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)（1）求）求25和和35的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)（2）求）求49和和63的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)2、求、求8251和和6105的最大公約數(shù)的最大公約數(shù) 25（1） 5535749（2） 77639所以，所以，25和和35的最大公約數(shù)為的最大公約數(shù)為5所以，所以，49和和63的最大公約數(shù)為的最大公約數(shù)為7輾轉相除法（歐幾里得算法）輾轉相除法（歐幾里得算法）觀察用輾轉相除法求觀察用輾轉相除法求8251和和6105的最大公約數(shù)的過程的最大公約數(shù)的過程 第一步第一步 用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余

2、數(shù)用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)8251=61051+2146結論：結論： 8251和和6105的公約數(shù)就是的公約數(shù)就是6105和和2146的公約數(shù)，求的公約數(shù)，求8251和和6105的最大公約數(shù)，只要求出的最大公約數(shù)，只要求出6105和和2146的公約數(shù)就可以了。的公約數(shù)就可以了。第二步第二步 對對6105和和2146重復第一步的做法重復第一步的做法6105=21462+1813同理同理6105和和2146的最大公約數(shù)也是的最大公約數(shù)也是2146和和1813的最大公約數(shù)。的最大公約數(shù)。 完整的過程完整的過程8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=

3、18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0例例2 用輾轉相除法求用輾轉相除法求225和和135的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)225=1351+90135=901+4590=452顯然顯然37是是148和和37的最大公約的最大公約數(shù)，也就是數(shù)，也就是8251和和6105的最的最大公約數(shù)大公約數(shù) 顯然顯然45是是90和和45的最大公約數(shù)，也就是的最大公約數(shù)，也就是225和和135的最大公約數(shù)的最大公約數(shù) 思考思考1：從上面的兩個例子可以看出計：從上面的兩個例子可以看出計算的規(guī)律是什么？算的規(guī)律是什么？ S1：用大數(shù)除以小數(shù)：用大數(shù)除以小數(shù)S2：除數(shù)變成被除數(shù)，余

4、數(shù)變成除數(shù)：除數(shù)變成被除數(shù)，余數(shù)變成除數(shù)S3：重復：重復S1，直到余數(shù)為，直到余數(shù)為0開始開始輸入兩個正整數(shù)輸入兩個正整數(shù)n，mr= m MOD nr=0?m=nn=r輸出最大公約數(shù)輸出最大公約數(shù)m結束結束否否是是第一步第一步,給定兩個正整數(shù)給定兩個正整數(shù)m,n.第二步第二步,計算計算m除以的余數(shù)除以的余數(shù)r.第三步第三步,m=n,n=r.第四步第四步,若若r=0,則則m,n的最大公的最大公約數(shù)等于約數(shù)等于m;否則否則,返回第二步返回第二步.算法步驟算法步驟:思考思考?你能把輾轉相除法編你能把輾轉相除法編成一個計算機程序嗎成一個計算機程序嗎?程序框圖程序框圖程序程序INPUT m, nDO r

5、=m mod n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND 輾轉相除法是一個反復執(zhí)行直到余數(shù)等于輾轉相除法是一個反復執(zhí)行直到余數(shù)等于0停止的步驟，這實際上是停止的步驟，這實際上是一個循環(huán)結構。一個循環(huán)結構。8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0m = n q r用程序框圖表示出右邊的過程用程序框圖表示出右邊的過程r=m MOD nm = nn = rr=0?是否九章算術九章算術更相減損術更相減損術 算理：算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少

6、減多，更相減可半者半之，不可半者，副置分母、子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。損，求其等也，以等數(shù)約之。第一步：第一步：任意給頂兩個正整數(shù)；判斷他們是否都是偶數(shù)。若是，則用任意給頂兩個正整數(shù)；判斷他們是否都是偶數(shù)。若是，則用2約簡；若不是則執(zhí)行第二步。約簡；若不是則執(zhí)行第二步。第二步：第二步：以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以較大的數(shù)減較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止，則這個以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的減數(shù)和差相等為止，則這個等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。例例3 用更相減損術求用更相減損術求98與與63的最大公約數(shù)的最大公約數(shù)解：由于解：由于63不是偶數(shù)，把