高斯消元法解線性方程組

1、高斯消元法解線性方程組 在工程技術(shù)和工程管理中有許多問題經(jīng)?？梢詺w結(jié)為線性方程組類型的數(shù)學(xué)模型，這些模型中方程和未知量個(gè)數(shù)常常有多個(gè)，而且方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)也不一定相同。那么這樣的線性方程組是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的結(jié)構(gòu)如何呢？這就是下面要討論的問題。 一、線性方程組 設(shè)含有n個(gè)未知量、有m個(gè)方程式組成的方程組 （3.1）其中系數(shù)，常數(shù)都是已知數(shù)，是未知量（也稱為未知數(shù)）。當(dāng)右端常數(shù)項(xiàng), , , 不全為0時(shí)，稱方程組（3.1）為非齊次線性方程組；當(dāng)= = 0時(shí)，即 （3.2）稱為齊次線性方程組。 由n個(gè)數(shù), , , 組成的一個(gè)有序數(shù)組（, , , ），如果將它們依次代

2、入方程組（3.1）中的, , , 后，（3.1）中的每個(gè)方程都變成恒等式，則稱這個(gè)有序數(shù)組（, , , ）為方程組（3.1）的一個(gè)解。顯然由=0, =0, , =0組成的有序數(shù)組（0, 0, , 0）是齊次線性方程組（3.2）的一個(gè)解，稱之為齊次線性方程組（3.2）的零解，而當(dāng)齊次線性方程組的未知量取值不全為零時(shí)，稱之為非零解。 （利用矩陣來討論線性方程組的解的情況或求線性方程組的解是很方便的。因此，我們先給出線性方程組的矩陣表示形式。） 非齊次線性方程組（3.1）的矩陣表示形式為：AX = B其中A = ，X = ，B = 稱A為方程組（3.1）的系數(shù)矩陣，X為未知矩陣，B為常數(shù)矩陣。將系數(shù)

3、矩陣A和常數(shù)矩陣B放在一起構(gòu)成的矩陣=稱為方程組（3.1）的增廣矩陣。 齊次線性方程組（3.2）的矩陣表示形式為：AX = O 二、高斯消元法 （下面介紹利用矩陣求解方程組的方法，那么矩陣初等行變換會(huì)不會(huì)改變方程組的解呢？我們先看一個(gè)定理。） 定理3.1 若用初等行變換將增廣矩陣化為，則AX = B與CX = D是同解方程組。 證 由定理3.1可知，存在初等矩陣, , , ，使 = 記 = P，則P可逆，即存在。 設(shè)為方程組A X = B的解，即 A = B 在上式兩邊左乘P，得 P A = PB 即 C= D 說明也是方程組C X = D的解。反之，設(shè)為方程組C X = D的解，即 C= D

4、 在上式兩邊左乘，得 C= D 即 A = B 說明也是方程組AX = B的解。 因此，方程組A X = B與C X = D的解相同，即它們是同解方程組。（證畢） (由定理3.1可知，求方程組（3.1）的解，可以利用初等行變換將其增廣矩陣化簡(jiǎn)。又有第二章定理2.10可知，通過初等行變換可以將化成階梯形矩陣。因此，我們得到了求解線性方程組（3.1）的一般方法：) 用初等行變換將方程組（3.1）的增廣矩陣化成階梯形矩陣，再寫出該階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的方程組，逐步回代，求出方程組的解。因?yàn)樗鼈優(yōu)橥夥匠探M，所以也就得到了原方程組（3.1）的解。這種方法被稱為高斯消元法，（下面舉例說明用消元法求一般線性方

5、程組解的方法和步驟。） 例1 解線性方程組 （3.3） 解 先寫出增廣矩陣，再用初等行變換將其逐步化成階梯形矩陣，即= 上述四個(gè)增廣矩陣所表示的四個(gè)線性方程組是同解方程組，最后一個(gè)增廣矩陣表示的線性方程組為將最后一個(gè)方程乘，再將項(xiàng)移至等號(hào)的右端，得將其代入第二個(gè)方程，解得再將代入第一個(gè)方程組，解得因此，方程組（3.3）的解為 （3.4）其中可以任意取值。 由于未知量的取值是任意實(shí)數(shù)，故方程組（3.3）的解有無窮多個(gè)。由此可知，表示式（3.4）表示了方程組（3.3）的所有解。表示式（3.4）中等號(hào)右端的未知量稱為自由未知量，用自由未知量表示其它未知量的表示式（3.4）稱為方程組（3.3）的一般解

6、，當(dāng)表示式（3.4）中的未知量取定一個(gè)值（如=1），得到方程組（3.3）的一個(gè)解（如，），稱之為方程組（3.3）的特解。 注意，自由未知量的選取不是唯一的，如例1也可以將取作自由未知量。 如果將表示式（3.4）中的自由未知量取一任意常數(shù)k，即令= k，那么方程組（3.3）的一般解為 ，其中k為任意常數(shù)。用矩陣形式表示為 = （3.5）其中k為任意常數(shù)。稱表示式（3.5）為方程組（3.3）的全部解。 （用消元法解線性方程組的過程中，當(dāng)增廣矩陣經(jīng)過初等行變換化成階梯形矩陣后，要寫出相應(yīng)的方程組，然后再用回代的方法求出解。如果用矩陣將回代的過程表示出來，我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)過程實(shí)際上就是對(duì)階梯形矩陣進(jìn)

7、一步簡(jiǎn)化，使其最終化成一個(gè)特殊的矩陣，從這個(gè)特殊矩陣中，就可以直接解出或“讀出”方程組的解。例如，）對(duì)例1中的階梯形矩陣進(jìn)一步化簡(jiǎn)， 上述矩陣對(duì)應(yīng)的方程組為將此方程組中含的項(xiàng)移到等號(hào)的右端，就得到原方程組（3.3）的一般解， （3.4）其中可以任意取值。 例2 解線性方程組 解 利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成階梯陣，再求解。即= 一般解為 例3 解線性方程組 解 利用初等行變換，將方程組的增廣矩陣化成階梯陣，再求解。即= 階梯形矩陣的第三行“0, 0, 0, -2”所表示的方程為：，由該方程可知，無論，取何值，都不能滿足這個(gè)方程。因此，原方程組無解。 三、線性方程組的解的判定 前面介紹

8、了用高斯消元法解線性方程組的方法，通過例題可知，線性方程組的解的情況有三種：無窮多解、唯一解和無解。從求解過程可以看出，方程組（3.1）是否有解，關(guān)鍵在于增廣矩陣A B化成階梯非零行的行數(shù)與系數(shù)矩陣A化成階梯形矩陣后非零行的行數(shù)是否相等。因此，線性方程組是否有解，就可以用其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩來描述了。 定理3.9 線性方程組（3.1）有解的充分必要是 =。 證 設(shè)系數(shù)矩陣A的秩為r，即= r。利用初等行變換將增廣矩陣A B化成階梯陣： A B = C D 故AX = B與CX = D是同解方程組，因此 AX = B有解= 0 = r 即= r。 （證畢） 推論1 線性方程組有唯一解的充分必要條件是= 。 推論2 線性方程組有無窮多解的充分必要條件是 。 （將上述結(jié)論應(yīng)用到齊次線性方程組（3.2）上，則總有。因此齊次線性方程組一定有解。并且有） 例4 判別下列方程組是否有解？若有解，是有唯一解還是有無窮多解？ (1) (2) (3) 解 (1) 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯陣，即A B = 因?yàn)?= 4，=3，兩者不等，所以方程組無解。 (2) 用初等行變換將增廣矩陣化成階梯陣，即A B = 因?yàn)?=2n（= 3），所