協(xié)整與誤差修正模型

1、§9.3 協(xié)整與誤差修正模型前文已提到，經(jīng)典回歸模型（classical regression model）是建立在穩(wěn)定數(shù)據(jù)變量基礎(chǔ)上的，對于非穩(wěn)定變量，不能使用經(jīng)典回歸模型，否則會出現(xiàn)虛假回歸等諸多問題。由于許多經(jīng)濟(jì)變量是非穩(wěn)定的，這就給經(jīng)典的回歸分析方法帶來了很大限制。例如，在前面討論中國居民人均消費(fèi)支出與人均GDP關(guān)系的例子中，由于它們是非平穩(wěn)的，就此來說直接建立回歸模型，其結(jié)果的可信程度將有所降低。然而，從上節(jié)的例中已經(jīng)看到，回歸模型要比ARMA模型有更好的預(yù)測功能，其原因在于從經(jīng)濟(jì)理論上說，人均GDP決定著居民人均消費(fèi)水平，而且它們之間有著長期的穩(wěn)定關(guān)系，即它們之間是協(xié)整的

2、（cointegration）。我們將會看到，具有協(xié)整關(guān)系的經(jīng)濟(jì)變量間具有長期的穩(wěn)定關(guān)系，因此是可以使用經(jīng)典回歸方法建立回歸模型的。一、 長期均衡關(guān)系與協(xié)整經(jīng)濟(jì)理論指出，某些經(jīng)濟(jì)變量間確實存在著長期均衡關(guān)系，這種均衡關(guān)系意味著經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)不存在破壞均衡的內(nèi)在機(jī)制，如果變量在某時期受到干擾后偏離其長期均衡點(diǎn)，則均衡機(jī)制將會在下一期進(jìn)行調(diào)整以使其重新回到均衡狀態(tài)。假設(shè)X與Y間的長期“均衡關(guān)系”由下面的（）式描述 （）式中是隨機(jī)擾動項。該均衡關(guān)系意味著給定X的一個值，Y相應(yīng)的均衡值也隨之確定為。在t-1期末，存在下述三種情形之一：（1）Y等于它的均衡值，；（2）Y小于它的均衡值，；（3）Y大于它的均衡值

3、，。在時期t，假設(shè)X有一個變化量，如果變量X與Y在時期t與t-1末期仍滿足它們間的長期均衡關(guān)系，則Y的相應(yīng)變化量由下面（）式給出 （）式中，。然而情況往往并非如此。如果t-1期末，發(fā)生了上述第二種情況，即Y的值小于其均衡值，則Y的變化往往會比第一種情形下Y的變化大一些；反之，如果Y的值大于其均衡值，則Y的變化往往會小于第一種情形下的?？梢姡绻ǎ┱_地提示了X與Y間的長期穩(wěn)定的“均衡關(guān)系”，則意味著Y對其均衡點(diǎn)的偏離從本質(zhì)上說是“臨時性”的。因此，一個重要的假設(shè)就是隨機(jī)擾動項必須是平穩(wěn)序列。顯然，如果有隨機(jī)性趨勢（上升或下降），則會導(dǎo)到Y(jié)對其均衡點(diǎn)的任何偏離都會被長期累積下來而不能被消除。式

4、（）中的隨機(jī)擾動項也被稱為非均衡誤差（disequilibrium error），它是變量X與Y的一個線性組合： （）因此，如果（）式所揭示的X與Y間的長期均衡關(guān)系正確的話，（）式表述的非均衡誤差應(yīng)是一平穩(wěn)時間序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。正象前文所指出的，許多經(jīng)濟(jì)變量是非穩(wěn)定的，即它們是一階或高階的單整時間序列。但從這里我們已看到，非穩(wěn)定的時間序列，它們的線性組合也可能成為平穩(wěn)的。如假設(shè)（）式中的X與Y是I(1)序列，如果該式所表述的它們間的長期均衡關(guān)系成立的話，則意味著由非均衡誤差（）式給出的線性組合是I(0)序列。這時我們稱變量X與Y是協(xié)整的（cointegrat

5、ed）。一般地，如果序列都是d階單整，存在向量，使得 ，其中，則認(rèn)為序列是(d,b)階協(xié)整，記為為協(xié)整向量（cointegrated vector）。在第二節(jié)所舉的中國居民人均消費(fèi)與人均GDP的例中，該兩序列都是2階單整序列，而且可以證明它們有一個線性組合構(gòu)成的新序列為0階單整序列，于是認(rèn)為該兩序列是(2,2)階協(xié)整。由此可見，如果兩個變量都是單整變量，只有當(dāng)它們的單整階相同時，才可能協(xié)整；如果它們的單整階不相同時，就不可能協(xié)整。三個以上的變量，如果具有不同的單整階數(shù)，有可能經(jīng)過線性組合構(gòu)成低階單整變量。例如，如果存在： 并且 那么認(rèn)為： 從協(xié)整的定義可以看出，（d,d）階協(xié)整是一類非常重要的

6、協(xié)整關(guān)系，它的經(jīng)濟(jì)意義在于：兩個變量，雖然它們具有各自的長期波動規(guī)律，但是如果它們是（d,d）階協(xié)整的，則它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關(guān)系。例如前面提到的中國居民人均消費(fèi)CONSP和人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPP，它們各自都是2階單整，并且我們將會看到，它們是(2,2)階協(xié)整，說明它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關(guān)系。從計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的意義上講，建立如下居民人均消費(fèi)函數(shù)模型 變量選擇是合理的，隨機(jī)誤差項一定是“白噪聲”（即均值為0，方差不變的穩(wěn)定隨機(jī)序列），模型參數(shù)有合理的經(jīng)濟(jì)解釋。這也解釋了盡管這兩時間序列是非穩(wěn)定的，但卻可以用經(jīng)典的回歸分析方法建立回歸模型的原因。從這里，我們已經(jīng)初步認(rèn)識，檢

7、驗變量之間的協(xié)整關(guān)系，在建立計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中是非常重要的。而且，從變量之間是否具有協(xié)整關(guān)系出發(fā)選擇模型的變量，其數(shù)據(jù)基礎(chǔ)是牢固的，其統(tǒng)計性質(zhì)是優(yōu)良的。二、協(xié)整的檢驗 1、兩變量的Engle-Granger檢驗為了檢驗兩變量是否為協(xié)整，Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗法，也稱為EG檢驗。第一步，用OLS方法估計方程（）并計算非均衡誤差，得到： 稱為協(xié)整回歸（cointegrating）或靜態(tài)回歸（static regression）。第二步，檢驗的單整性。如果為穩(wěn)定序列，則認(rèn)為變量為(1,1)階協(xié)整；如果為1階單整，則認(rèn)為變量為(2,1)階協(xié)整；。檢驗的單整性的方法即是第一節(jié)中

8、使用的DF檢驗或者ADF檢驗。由于協(xié)整回歸中已含有截距項，則檢驗?zāi)Ｐ椭袩o需再用截距項。如使用模型1 進(jìn)行檢驗時，拒絕零假設(shè)，意味著誤差項是平穩(wěn)序列，從而說明X與Y間是協(xié)整的。一個需要注意的問題是，這里的DF或ADF檢驗是針對協(xié)整回歸計算出的誤差項而非真正的非均衡誤差進(jìn)行的。而OLS法采用了殘差最小平方和原理，因此估計量是向下偏倚的，這樣將導(dǎo)致拒絕零假設(shè)的機(jī)會比實際情形大。于是對平穩(wěn)性檢驗的DF與ADF臨界值應(yīng)該比正常的DF與ADF臨界值還要小。MacKinnon(1991)通過模擬試驗給出了協(xié)整檢驗的臨界值，表9.3.1是雙變量情形下不同樣本容量的臨界值。表 雙變量協(xié)整ADF檢驗臨界值顯 著

9、性 水 平樣本容量0.010.050.1025-4.37-3.59-3.2250-4.12-3.46-3.13100-4.01-3.39-3.09-3.90-3.33-3.05 例9.3.1 檢驗中國居民人均消費(fèi)水平與人均GDP的協(xié)整關(guān)系。在前文已知CONSP與GDPP都是I(2)序列，而§2.5中已給出了它們的回歸式 =0.9927通過對該式計算的殘差序列進(jìn)行ADF檢驗，得適當(dāng)檢驗?zāi)Ｐ?（-2.54） LM(1)=0.88 LM(2)=1.45 t值為-2.54，顯著性水平為5%的ADF臨界值為-1.96，在該顯著性水平下拒絕存在單位根的假設(shè)，殘差項是穩(wěn)定的，因此中國居民人均消費(fèi)水

10、平（CONSP）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPP）是（2,2）階協(xié)整的，說明了該兩變量間確實存在長期穩(wěn)定的“均衡”關(guān)系。2、多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗要比雙變量復(fù)雜一些，主要在于協(xié)整變量間可能存在多種穩(wěn)定的線性組合。假設(shè)有4個I(1)變量Z、X、Y、W，它們有如下的長期均衡關(guān)系： （）其中，非均衡誤差項應(yīng)是I(0)序列： （）然而，如果Z與W，X與Y間分別存在長期均衡關(guān)系： 則非均衡誤差項、一定是穩(wěn)定序列I(0)。于是它們的任意線性組合也是穩(wěn)定的。例如 （9.3.7）一定是I(0)序列。由于象（）式中的一樣，也是Z、X、Y、W四個變量的線性組合，由此（9.3.7）式也成為該四變量的另

11、一穩(wěn)定線性組合。（）是對應(yīng)于（9.3.6）式的協(xié)整向量，（）是對應(yīng)于（）式的協(xié)整向量。對于多變量的協(xié)整檢驗過程，基本與雙變量情形相同，即需檢驗變量是否具有同階單整性，以及是否存在穩(wěn)定的線性組合。后者需通過設(shè)置一個變量為被解釋變量，其他變量為解釋變量，進(jìn)行OLS估計并檢驗殘差序列是否平穩(wěn)。如果不平穩(wěn)，則需更換被解釋變量，進(jìn)行同樣的OLS估計及相應(yīng)的殘差項檢驗。當(dāng)所有的變量都被作為被解釋變量檢驗之后，仍不能得到平穩(wěn)的殘差項序列，則認(rèn)為這些變量間不存在（d,d）階協(xié)整。同樣地，檢驗殘差項是否平穩(wěn)的DF與ADF檢驗臨界值要比通常的DF與ADF檢驗臨界值小，而且該臨界值還受到所檢驗的變量個數(shù)的影響。表給

12、出了MacKinnon(1991)通過模擬試驗得到的不同變量協(xié)整檢驗的臨界值。表 多變量協(xié)整檢驗ADF臨界值變量數(shù)=3變量數(shù)=4變量數(shù)=6樣本顯著性水平顯著性水平顯著性水平容量0.010.050.10.010.050.10.010.050.125-4.92-4.1-3.71-5.43-4.56-4.15-6.36-5.41-4.9650-4.59-3.92-3.58-5.02-4.32-3.98-5.78-5.05-4.69100-4.44-3.83-3.51-4.83-4.21-3.89-5.51-4.88-4.56-4.30-3.74-3.45-4.65-4.1-3.81-5.24-4.7

13、-4.42 三、誤差修正模型1、誤差修正模型前文我們已經(jīng)提到，對于非穩(wěn)定時間序列，我們可通過差分的方法將其化為穩(wěn)定序列，然后才可建立經(jīng)典的回歸分析模型。如當(dāng)我們建立人均消費(fèi)水平（Y）與人均可支配收入（X）之間的回歸模型 （9.3.1）時，如果Y與X具有共同的向上或向下的變化趨勢，則為了避免虛假回歸，通常需要通過差分的方法消除變量的共同變化趨勢，使之成為穩(wěn)定序列，再建立差分回歸模型 （9.3.2）式中，。然而，這種做法會引起兩個問題：一是，如果X與Y間存在著長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系（）式，且誤差項不存在序列相關(guān)，則差分式（）中的是一個一階移動平均時間序列，因而是序列相關(guān)的；二是，如果采用（ ）式的差分

14、形式進(jìn)行估計，則關(guān)于變量水平值的重要信息將被忽略，這時模型只表達(dá)了X與Y間的短期關(guān)系，而沒有揭示它們間的長期關(guān)系。因為，從長期均衡的觀點(diǎn)看，Y在第t期的變化不僅取決于X本身的變化，還取決于X與Y在t-1期末的狀態(tài)，尤其是X與Y在t-1期的不平衡程度。另外，使用差分變量也往往會得出不能令人滿意的回歸方程。例如，使用（9.3.2）式回歸時，很少出現(xiàn)截距項顯著為零的情況，即我們常常會得到如下形式的方程： ， （9.3.8）這樣在X保持不變時，如果模型存在靜態(tài)均衡（static equilibrium），Y也會保持它的長期均衡值不變。但如果使用（9.3.8）式，即使X保持不變，Y也會處于長期上升（&g

15、t;0）或下降（<0）的過程中，這意味著X與Y間不存在靜態(tài)均衡。這與大多數(shù)具有靜態(tài)均衡的經(jīng)濟(jì)理論假說不相符。很明顯，如果收入保持穩(wěn)定，我們就不能期望消費(fèi)支出永遠(yuǎn)不停地變化。可見，簡單差分不一定能解決非平穩(wěn)時間序列所遇到的全部問題，因此，誤差修正模型便應(yīng)運(yùn)而生。誤差修正模型（Error Correction Model，簡記為ECM）是一種具有特定形式的計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，常稱為DHSY模型。為了便于理解，我們通過一個具體的模型來介紹它的結(jié)構(gòu)。假設(shè)兩變量X與Y的長期均衡關(guān)系如（）式所示，由于現(xiàn)實經(jīng)濟(jì)中X與Y很

16、少處在均衡點(diǎn)上，因此我們實際觀測到的只是X與Y間的短期的或非均衡的關(guān)系，假設(shè)具有如下（1，1）階分布滯后形式 （）該模型顯示出第t期的Y值，不僅與X的變化有關(guān)，而且與t-1期X與Y的狀態(tài)值有關(guān)。由于變量可能是非平穩(wěn)的，因此不能直接運(yùn)用OLS法。對（）式適當(dāng)變形得 或 （9.3.10）式中，如果將（）中的參數(shù)，與（）式中的相應(yīng)參數(shù)視為相等，則（）式中括號內(nèi)的項就是t-1期的非均衡誤差項。于是（）式表明Y的變化決定于X的變化以及前一時期的非均衡程度。同時，（）式也彌補(bǔ)了簡單差分（9.3.2）式的不足，因為該式含有用X、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已對前期的非均衡程度作出了修正。（9.

17、3.10）式稱為一階誤差修正模型（first-order error correction model）。模型(9.3.10)可以寫成： (9.3.11)其中表示誤差修正項。由(9.3.9)可知，一般情況下，所以有。我們可以據(jù)此分析的修正作用：若(t1)時刻大于其長期均衡解，為正，則（）為負(fù)，使得減少；若(t1)時刻小于其長期均衡解，為負(fù)，（）為正，使得增大。體現(xiàn)了長期非均衡誤差對的控制。需要注意的是，在實際分析中，變量常以對數(shù)的形式出現(xiàn)。其主要原因在于變量對數(shù)的差分近似地等于該變量的變化率，而經(jīng)濟(jì)變量的變化率常常是穩(wěn)定序列，因此適合于包含在經(jīng)典回歸方程中。于是長期均衡模型（）中的可視為Y關(guān)于

18、X的長期彈性（long-run elasticity），而短期非均衡模型（9.3.9）中的可視為Y關(guān)于X的短期彈性（short-run elasticity）。更復(fù)雜的誤差修正模型可依照一階誤差修正模型類似地建立。如具有季度數(shù)據(jù)的變量，可在短期非均衡模型（）中引入更多的滯后項。引入二階滯后的模型為 （）經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮獾茸冃危傻萌缦抡`差修正模型 （）式中，同樣地，引入三階滯后項的誤差修正模型與（）式相仿，只不過模型中多出差分滯后項，。多變量的誤差修正模型也可類似地建立。如三個變量如果存在如下長期均衡關(guān)系 （9.3.14）則其一階非均衡關(guān)系可寫成 （）于是它的一個誤差修正模型為 （9.3.16）式

19、中， 2、誤差修正模型的建立（1）Granger 表述定理誤差修正模型有許多明顯的優(yōu)點(diǎn)，如一階差分項的使用消除了變量可能存在的趨勢因素，從而避免了虛假回歸問題；一階差分項的使用也消除模型可能存在的多重共線性問題；誤差修正項的引入保證了變量水平值的信息沒有被忽視；由于誤差修正項本身的平穩(wěn)性，使得該模型可以用經(jīng)典的回歸方法進(jìn)行估計，尤其是模型中差分項可以使用通常的t檢驗與F檢驗來進(jìn)行選取等等。因此，一個重要的問題就是是否變量間的關(guān)系都可以通過誤差修正模型來表述？就此問題，Engle 與 Granger 1987年提出了著名的Grange表述定理（Granger representation the

20、orem）：如果變量X與Y是協(xié)整的，則它們間的短期非均衡關(guān)系總能由一個誤差修正模型表述： ， 0<<1 (式中，是非均衡誤差項或者說成是長期均衡偏差項，是短期調(diào)整參數(shù)。對于上述(1,1)階自回歸分布滯后模型()式，如果 那么，式左邊，右邊的，因此，只有Y與X協(xié)整，才能保證右邊也是I(0)。因此，建立誤差修正模型，需要首先對變量進(jìn)行協(xié)整分析，以發(fā)現(xiàn)變量之間的協(xié)整關(guān)系，即長期均衡關(guān)系，并以這種關(guān)系構(gòu)成誤差修正項。然后建立短期模型，將誤差修正項看作一個解釋變量，連同其它反映短期波動的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型。注意，由于（）式中沒有明確指出與的滯后項數(shù)，因此，可以是多個；

21、同時，由于一階差分項是I(0)變量，因此模型中也允許使用X的非滯后差分項。Granger表述定理可類似地推廣到多個變量的情形中去。（2）Engle-Granger兩步法由協(xié)整與誤差修正模型的的關(guān)系，可以得到誤差修正模型建立的E-G兩步法：第一步，進(jìn)行協(xié)整回歸（OLS法），檢驗變量間的協(xié)整關(guān)系，估計協(xié)整向量（長期均衡關(guān)系參數(shù)）；第二步，若協(xié)整性存在，則以第一步求到的殘差作為非均衡誤差項加入到誤差修正模型中，并用OLS法估計相應(yīng)參數(shù)。需要注意的是，在進(jìn)行變量間的協(xié)整檢驗時，如有必要可在協(xié)整回歸式中加入趨勢項，這時，對殘差項的穩(wěn)定性檢驗就無須再設(shè)趨勢項。另外，第二步中變量差分滯后項的多少，可以殘差項

22、序列是否存在自相關(guān)性來判斷，如果存在自相關(guān)，則應(yīng)加入變量差分的滯后項。（3）直接估計法也可以采用打開誤差修整模型中非均衡誤差項括號的方法直接用OLS法估計模型。但仍需事先對變量間的協(xié)整關(guān)系進(jìn)行檢驗。如對雙變量誤差修正模型（）式，可打開非均衡誤差項的括號直接估計下式： 這時短期彈性與長期彈性可一并獲得。需注意的是，用不同方法建立的誤差修正模型結(jié)果也往往不一樣。 例 中國居民人均消費(fèi)的誤差修正模型。 例中驗證了中國居民人均消費(fèi)（CONSP）與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDPP）間呈協(xié)整關(guān)系。下面我們試圖建立它們的誤差修正模型。記lnC=ln(CONSP)，lnGDP=ln(GDPP)，即我們主要針對人均消

23、費(fèi)與人均GDP的對數(shù)進(jìn)行考察。（1） 單整檢驗容易驗證lnC與lnGDP是一階單整的，它們適合的檢驗?zāi)Ｐ腿缦拢?（2.83）(-3.36) LM(1)=1.08 LM(2)=1.22 (3.69) （-3.77） （4.09） （1.56） （3.27） （1.96） (1.81) LM(1)=0.03 LM(2)=1.11 LM(3)=5.55 LM(4)=7.69 LM(5)=7.70在5%的顯著性水平下，上述兩方程的ADF檢驗臨界值分別為-3.01與-3.07。 （2）協(xié)整檢驗 首先，建立lnC與lnGDP的回歸模型 （8.82） (46.99) =0.991 DW=0.505 發(fā)現(xiàn)殘差

24、項有較強(qiáng)的一階自相關(guān)性?？紤]加入適當(dāng)?shù)臏箜?，得lnC與lnGDP的分布滯后模型 (9.3.18) （2.85） （5.01） （4.22） （-3.53） 0.994 DW=1.45 LM(1)=1.73 LM(2)=1.87 自相關(guān)性消除，因此可初步認(rèn)為是lnC與lnGDP的長期穩(wěn)定關(guān)系。殘差項的穩(wěn)定性檢驗： （-3.29） 0.3497 DW=1.89 LM(1)=0.05 LM(2)=0.05這里的t檢驗值小于5%顯著性水平下的ADF臨界值-1.96，說明lnC與lnGDP是（1，1）階協(xié)整的，（）式即為它們長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系。 （3）建立誤差修正模型 以穩(wěn)定的時間序列做為誤差修正項，可建立如下誤差修正模型 （5.54） (1.73) (-2.53)