第六章 定積分

1、第六章 定積分前一章討論了已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),如何求原來(lái)的函數(shù),這樣一個(gè)積分學(xué)的基本問(wèn)題-不定積分。這一章將討論積分學(xué)的另一個(gè)基本問(wèn)題定積分.本章的主要問(wèn)題有:1.什么是定積分?2.定積分有哪些性質(zhì)?3.定積分與不定積分有何關(guān)系?4.如何計(jì)算定積分和應(yīng)用定積分?§6.1+§6.3 定積分的概念與基本性質(zhì)主要教學(xué)內(nèi)容:(1) 引出定積分概念的例子; (2) 定積分的概念;(3) 定積分的幾何意義;（4）定積分的基本性質(zhì)；教學(xué)目的及要求: 使學(xué)生理解定積分的定義與基本性質(zhì);重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施: 重點(diǎn)、難點(diǎn): 連續(xù)變量的累積，定積分的性質(zhì);解決措施:用具體實(shí)例幫助學(xué)生理解抽象的概

2、念.教學(xué)方法及手段設(shè)計(jì):講授法一、引出定積分概念的例子1.曲邊梯形的面積定義；在直角坐標(biāo)系中,由一條連續(xù)曲線y=(x)和三條直線x = a、x = b和y = 0 (x軸) 所圍成的圖形, 稱為曲邊梯形, 如右圖AabBA (與直邊梯形AabB的區(qū)別)。問(wèn)題：當(dāng)y = (x) ³ 0 時(shí), 曲邊梯形AabB的面積怎么求呢? 中學(xué)里會(huì)求直邊多邊形(特別是矩形)的面積, 下面利用矩形的面積來(lái)求曲邊梯形AabB的面積.分析:問(wèn)題的難度在于曲邊梯形AabB的高對(duì)整個(gè)區(qū)間a, b來(lái)說(shuō)是一個(gè)變量, 其最大值與最小值之差較大;從區(qū)間a, b的一個(gè)局部(小區(qū)間)來(lái)看,它也是一個(gè)變量;但因(x)連續(xù),

3、 從而當(dāng)x0時(shí), y0,故可將此區(qū)間的高近似看為一個(gè)常量,從而此區(qū)間對(duì)應(yīng)的小窄曲邊梯形CEFH的面積近似等于小窄矩形DEFH的面積. 因而,如果把區(qū)間a, b任意地劃分為n個(gè)小區(qū)間,并在每一個(gè)區(qū)間上任取一點(diǎn), 再以該點(diǎn)的高來(lái)近似代替該小區(qū)間上窄曲邊梯形的高,從而每個(gè)窄曲邊梯形就可近似地視為一個(gè)小窄矩形, 而且全部窄矩形的面積之和也可作為曲邊梯形面積的近似值.要想得精確值, 只需區(qū)間a, b的分法無(wú)限細(xì)密(即每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度x0時(shí), 全部窄矩形的面積之和的極限一定是曲邊梯形面積的精確值.從而可用下述方法和步驟來(lái)求曲邊梯形的面積:第一步：分割；用分點(diǎn)=b將區(qū)間a,b任意地劃分為n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)

4、間的長(zhǎng)度為，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作垂直于x軸的直線, 將曲邊梯形分成n 個(gè)窄曲邊梯形。第二步：近似、求和；小矩形面積小曲邊梯形面積 ，。第三步：求極限。記各小區(qū)間的最大長(zhǎng)度為，當(dāng)分點(diǎn)數(shù)n無(wú)限增大且各小區(qū)間的最大長(zhǎng)度對(duì)上述和式取極限就得曲邊梯形的面積,即2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)速度為v=v(t),求物體在時(shí)間區(qū)間a,b內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s.第一步：分割；用分點(diǎn)=b將區(qū)間a,b任意地劃分為n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，第二步：近似、求和；在區(qū)間上任取一時(shí)刻，將物體看成在時(shí)間內(nèi)以作勻速直線運(yùn)動(dòng)，即第三步：求極限。記各小區(qū)間的最大長(zhǎng)度為，當(dāng)分點(diǎn)數(shù)n無(wú)限增大且各小區(qū)間的最大長(zhǎng)度對(duì)上述和式取極限就得物體在時(shí)間

5、區(qū)間a,b內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s.即上述兩個(gè)問(wèn)題都?xì)w結(jié)為同一結(jié)構(gòu)的和的極限，我們抽象出它的一般形式進(jìn)行討論，就得到定積分的概念。二、定積分的概念1.定積分的定義 ：（定義6.1 p232）設(shè)(x)在a, b上有定義, 點(diǎn)=b將區(qū)間a, b任意地劃分為n個(gè)小區(qū)間; 每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為,在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)作和式,若當(dāng)時(shí),有確定的極限值I, 且I 與區(qū)間a, b的分法和的取法無(wú)關(guān),則稱函數(shù)(x)在區(qū)間a, b上可積,并稱此極限值I為(x)在區(qū)間a, b上的定積分, 記為, 即。其中(x)為被積函數(shù), (x)d x稱為被積表達(dá)式, x 稱為積分變量, a稱為積分下限, b稱為積分上限, a, b稱為積分區(qū)

6、間,稱為積分和。2.上述兩個(gè)引例的定積分表示（1）曲邊梯形的面積：（2）變速直線運(yùn)動(dòng)的路程3.注意（1）.反之不能推出。極限過(guò)程 ,既保證了分點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限增多(),又保證了區(qū)間分割無(wú)限細(xì)密(即所有小區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于0).（2）定積分的存在性(充分條件)i若(x)在區(qū)間a, b 上無(wú)界, 則(x)在a, b上必不可積.ii.若(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則(x)在a, b上可積.iii.若(x)在區(qū)間a, b上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn),則(x)在a, b上可積.（3）若(x)在區(qū)間a, b上可積,則定積分是一常數(shù),它只與被積函數(shù)、積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量用什么字母表示無(wú)關(guān)，即（4）規(guī)定特別地，(

7、5) (x)在區(qū)間a, b上可積的充要條件是極限（常數(shù)）,且此極限值與a, b的分法和的取法無(wú)關(guān),因此,對(duì)于可積函數(shù)(x),若要用定義來(lái)計(jì)算，則可選擇較為方便的區(qū)間分法（等分區(qū)間）和的取法（左（或右）端點(diǎn)）,使得計(jì)算簡(jiǎn)便。例1利用定積分定義計(jì)算定積分.解因(x)=2x+3 在 0, 4 上連續(xù), 故它在a,b上可積, 從而可將區(qū)間0, 4 特殊劃分并特殊取點(diǎn).不妨在區(qū)間0, 4 內(nèi)插入n 個(gè)等分點(diǎn)分成n 個(gè)小區(qū)間, 取右端點(diǎn)為,且故三、定積分的幾何意義當(dāng)且a<b時(shí), 定積分表示一個(gè)在x 軸上方的曲邊梯形的面積。當(dāng)且a < b時(shí), 定積分表示一個(gè)在x 軸下方的曲邊梯形的面積的相反數(shù).

8、當(dāng)(x)在a, b上有正有負(fù)時(shí), 定積分的值就是x 軸上方的曲邊梯形的面積與x 軸下方的曲邊梯形的面積的代數(shù)和.四、定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1：；性質(zhì)2：推廣（線性性質(zhì)）：性質(zhì)3（可加性）：對(duì)任意c,有推廣：性質(zhì)4：若，且，則推論1：推論2：性質(zhì)5：若f(x)=1,則性質(zhì)6：若，則幾何意義：區(qū)間a, b上方以曲線y =(x)為曲邊的曲邊梯形的面積，介于以a,b為底、以被積函數(shù)(x)的最小值m及最大值M為高的兩個(gè)矩形的面積之間. 性質(zhì)7：（積分中值定理）設(shè)，則在上至少存在一點(diǎn)，使得幾何意義：區(qū)間a ,b上方以曲線y =(x)為曲邊的曲邊梯形的面積,等于以區(qū)間a, b為底、以() 為高的這個(gè)矩形的面積

9、稱為(x)在a, b上的平均值。例試比較下列各組中定積分之大小（1）；（2）；作業(yè) p266 2 (3)(4)、3（2）§6.4定積分與不定積分的關(guān)系主要教學(xué)內(nèi)容:(1) 變上限的積分及其導(dǎo)數(shù); (2) 微積分基本公式;教學(xué)目的及要求: 使學(xué)生理解變上限的積分的概念，掌握其導(dǎo)數(shù)的求解方法,，熟練掌握用微積分基本公式求不定積分;重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施: 重點(diǎn): 微積分基本公式;難點(diǎn): 變上限的積分及其導(dǎo)數(shù);解決措施:用具體實(shí)例幫助學(xué)生理解.教學(xué)方法及手段設(shè)計(jì):講授法一、變限的積分函數(shù)1、變上限積分函數(shù):在區(qū)間,上連續(xù)，區(qū)間,上的任意一點(diǎn), 因?yàn)樵趨^(qū)間,上連續(xù)，則在區(qū)間,連續(xù)，即在區(qū)間,上的

10、定積分一定存在，即存在，當(dāng)變化時(shí)，也變化，因此，它是定義在,上的函數(shù)，記為 ,，稱為變上限函數(shù)或稱為積分上限函數(shù)。2、變上限積分函數(shù)的性質(zhì)定理6.1：設(shè)函數(shù)，則變上限積分可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為證明：見(jiàn)教材p2393、原函數(shù)存在定理定理6.2：若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，則變上限積分是在a,b上的一個(gè)原函數(shù)。推論1若(x)在a, b上連續(xù), j(x)在a, b上可導(dǎo), 則推論2若(x)在a, b上連續(xù),在a, b上可導(dǎo), 則例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）； （2）；（3）； （4）例2 求極限； 課堂練習(xí)： P268 8題二、牛頓萊布尼茲公式（微積分基本公式）定理6.3：設(shè)函數(shù)，函數(shù)是的一個(gè)原函數(shù)，則

11、證明：也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)。故，求出c=-F(a)即可證明。見(jiàn)教材p241牛頓萊布尼茲公式當(dāng)然也可寫(xiě)作它不僅給出了計(jì)算定積分的統(tǒng)一、簡(jiǎn)便的計(jì)算方法,而且也揭示了不定積分與定積分在計(jì)算方法上的關(guān)系例3求下列定積分1.;2; 3.例4. (見(jiàn)教材p242例5)例5設(shè)在0，1上連續(xù)，且滿足，求及。解： 因此，注意:若f(x)在a,b上不可積,則定理6.3不可用,例如,函數(shù)f(x)=在x=0處不連續(xù).課堂練習(xí)： 已知，求 （=1/5）三、小結(jié)掌握變限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及牛頓萊布尼茲公式求定積分的求解方法；并注意其使用條件與帶有絕對(duì)值的定積分的計(jì)算。作業(yè) p266 4(3)(4)、5（10）（12）（

12、14）、 9§6.5+§6.6定積分的換元積分法與分部積分法主要教學(xué)內(nèi)容:(1) 定積分的換元積分法; (2) 定積分的分步積分法;教學(xué)目的及要求: 使學(xué)生掌握定積分的性質(zhì);重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施: 重點(diǎn): 熟練運(yùn)用換元積分法與分步積分法;難點(diǎn): 靈活運(yùn)用換元積分法與分步積分法;解決措施:用具體實(shí)例幫助學(xué)生理解抽象的概念.教學(xué)方法及手段設(shè)計(jì):講授法由牛頓萊布尼茲公式知:計(jì)算定積分的關(guān)鍵在于求出(x)在a, b上的一個(gè)原函數(shù)F(x); 而由第五章知求函數(shù)的原函數(shù)(即不定積分)的方法有湊微分法、換元法和分部積分法.因而在一定條件下,也可用這幾種方法來(lái)計(jì)算定積分一.湊微分法因用湊微分

13、法計(jì)算不定積分時(shí)自始至終沒(méi)有引入新變量,故用湊微分法計(jì)算定積分時(shí), 也應(yīng)自始至終不改變積分限.下面舉例說(shuō)明例1 求二.換元積分法定積分的換元公式：設(shè)(x)在a, b上連續(xù), 令x =j(t) 如果(1)j(t)在,上單調(diào)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)(2) j()= a,j()=b, 則證明在應(yīng)用換元公式計(jì)算定積分時(shí), 應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題:(1) 所選擇的代換式x=j(t)必須滿足定理中的兩個(gè)條件;(2) 換元積分的關(guān)鍵是換限.記住“上限對(duì)上限,下限對(duì)下限”;(3) 求出的一個(gè)原函數(shù)后,不必象求不定積分那樣把j(t)還原成x的函數(shù),而只須直接將t 的上、下限代入相減即可.例2.求下列積分（1） （=1/6

14、） ；（2） （=3ln3）例3求 (=)例4證明：（1）若，且為偶函數(shù)，則（2）若，且為奇函數(shù)，則。利用此結(jié)論可簡(jiǎn)化奇函數(shù)及偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的定積分的計(jì)算。例5 求下列定積分 1.； 2.課堂練習(xí)：(1)（）；(2)（）；(3) （）三.分部積分法設(shè)u=u(x)與v=v(x)在a,b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則注意：（1）（2）用分部積分法計(jì)算定積分,因沒(méi)有引入新的變量,故在計(jì)算過(guò)程中自始至終均不變限,u、v的選擇與不定積分的分部積分法相同.例7求下列定積分1、；2、；3、課堂練習(xí)：(1)；(2)；（3）解1：原式例8設(shè)在0，1上連續(xù)，且，求.解：五、小結(jié)1注意定積分的換元積分公式以及換元一定要換限；

15、2注意定積分的分部積分公式以及u、v的選擇原則。作業(yè) p266 6（3）（7）（10）、7（3）（6）（8）、13§ 6.7 定積分的應(yīng)用 主要教學(xué)內(nèi)容:(1) 平面圖形的面積; (2) 立體的體積;（3）經(jīng)濟(jì)應(yīng)用；教學(xué)目的及要求: 使學(xué)生掌握用定積分求平面圖形的面積和立體的體積;會(huì)用定積分解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題;重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施: 重點(diǎn): 定積分在幾何與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用；難點(diǎn): 平行截面面積為已知的立體的體積；解決措施:用具體實(shí)例幫助學(xué)生理解.教學(xué)方法及手段設(shè)計(jì):講授法定積分的應(yīng)用極其廣泛, 以下僅介紹它在幾何與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1. 曲邊梯形的面積由定積分的幾何意義知：當(dāng)且a&l

16、t;b時(shí),定積分表示一個(gè)在x 軸上方的曲邊梯形的面積。當(dāng)f（x）<0且a < b時(shí),定積分表示一個(gè)在x 軸下方的曲邊梯形的面積的相反數(shù).當(dāng)(x)在a, b上有正有負(fù)時(shí), 定積分的值就是x 軸上方的曲邊梯形的面積與x 軸下方的曲邊梯形的面積的代數(shù)和.從而可知，y=f(x)，x=a，x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積公式為：即 （1）當(dāng)f（x）>o時(shí)， （2）當(dāng)f（x）<0時(shí)，； （3）當(dāng)f(x)在a,b上有正有負(fù)時(shí),類似地，x=(y)，y=c，y=d及y軸所圍成的曲邊梯形的面積公式為：2.一般平面圖形的面積求由曲線所圍成之平面圖形的面積例1 求橢圓所圍成的圖形的面積例2計(jì)

17、算拋物線，所圍成的圖形的面積（選擇為積分變量）。解：為了定出圖形的所在范圍, 應(yīng)先求出拋物線和直線的交點(diǎn)，為此, 解方程組即這兩條拋物線的交點(diǎn)為 (2, -2) 及 (8, 4)。從而知道這圖形在直線y = -2 及y = 4 之間。取y為積分變量,且y-2, 4, 則思考:若選x 為積分變量，應(yīng)該如何做? 請(qǐng)同學(xué)們課后自己作一下.例3 求曲線、與直線所圍成的圖形的面積。例4 求曲線在區(qū)間（0，4）內(nèi)的一條切線，使該切線與直線、及軸所圍成的梯形面積最小。解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線為：且，因此，所圍平面圖形的面積為：，令得唯一駐點(diǎn)，而 ，故是唯一極小值點(diǎn)，也就是最小值點(diǎn)。 所以，所求切線方程為：二、

18、立體的體積1.旋轉(zhuǎn)體體積設(shè)一立體是由連續(xù)曲線y =(x) 、直線x = a、直線x = b及x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的.下面來(lái)求它的體積.（1）分割；用分點(diǎn)=b將區(qū)間a,b任意地劃分為n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為，過(guò)每個(gè)分點(diǎn)作垂直于x軸的直線, 將旋轉(zhuǎn)體分成n 個(gè)小旋轉(zhuǎn)體（2）近似、求和；將小旋轉(zhuǎn)體近似看成以底半徑為高為的直圓柱,則 ， 。（3）求極限。記各小區(qū)間的最大長(zhǎng)度為，當(dāng)分點(diǎn)數(shù)n無(wú)限增大且各小區(qū)間的最大長(zhǎng)度，對(duì)上述和式取極限就得旋轉(zhuǎn)體的體積為類似地, 由曲線 x =(y) 、直線y = c 、 = d(c<d)與y軸所圍成的曲邊梯形,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體

19、的體積為一般地, 由連續(xù)曲線 y =(x) 、y =g(x) 和直線 x = a、x = b所圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積為例5求由曲線和 x=1，y=0所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：例6求曲線與直線、圍成的平面圖形分別繞、軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解：2.平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)某立體被夾在過(guò)x軸上的點(diǎn) x= a 與x= b 并垂直于 x軸的兩平面之間, 對(duì)應(yīng)于a,b上的任意點(diǎn)x處垂直于 x 軸的截面面積 S(x) 是 x的連續(xù)函數(shù),則此問(wèn)題的體積為： 類似地，若立體被夾在過(guò)y軸上的點(diǎn)y = c 與y = d并垂直于 y 軸的兩平面之間, 在c,

20、 d上的任意點(diǎn) y處垂直于 y 軸的截面面積 S(y) 是y的連續(xù)函數(shù), 則立體的體積為：例7一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心，并且與底面交成角，計(jì)算這個(gè)平面截圓柱體所得立體的體積。解：建立如圖所示的坐標(biāo)系, 從而底面圓的方程為設(shè)x為R,R上之任意一點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)且垂直 x 軸的截面面積為S(x),則由三角形的面積公式, 有, 則所得立體的體積為：三、.經(jīng)濟(jì)應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中,經(jīng)常都要涉及到各種經(jīng)濟(jì)量的總量.這些總量,在一定條件下,也可用定積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算.（已知邊際(變化率), 求總量.）若總量P(t)在某區(qū)間I上可導(dǎo), 且a, xI, 則有在上式中,當(dāng)x為產(chǎn)量且a = 0時(shí),只要將P(x)代之

21、以總成本C(x)、總收益R(x)、總利潤(rùn)L(x), 則有例8 教材p252例2例9 設(shè)某產(chǎn)品的總成本C(單位:萬(wàn)元)的邊際成本是產(chǎn)量x(單位: 百臺(tái))的函數(shù)總收入R(單位:萬(wàn)元)的邊際收入 是產(chǎn)量 x 的函數(shù)(1)求產(chǎn)量由1百臺(tái)增加到5百臺(tái)時(shí)總成本與總收入各增加多少?(2)已知固定成本C(0)=1萬(wàn)元.分別求出總成本、總收益、總利潤(rùn)與產(chǎn)量 x 的函數(shù)關(guān)系式;(3)產(chǎn)量為多少時(shí), 總利潤(rùn)最大; 并求此時(shí)的最大總利潤(rùn),總成本及總收益各為多少?四、小結(jié)求平面圖形的面積的步驟.注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算作業(yè) p268-269 15 (3) (5) (9) (11)、16 、17 (2) (3)、19、20§6.9廣義積分與函數(shù)主要教學(xué)內(nèi)容:(1) 無(wú)限區(qū)間上的積分(無(wú)窮積分; (2) 無(wú)界函數(shù)的積分;（3）函數(shù)教學(xué)目的及要求: 使學(xué)生理解無(wú)窮限廣義積分和無(wú)界函數(shù)廣義積分和定義及計(jì)算;重點(diǎn)難點(diǎn)及解決措施: 重點(diǎn): 利用廣義積分的定義計(jì)算;難點(diǎn): 概念產(chǎn)生的背景；解決措施:用具體實(shí)例幫助學(xué)生理解抽象的概念.教學(xué)方法及手段設(shè)計(jì):講授法前面討論的定積分不僅要求積分區(qū)間a, b有限,而且還要求被積函數(shù)(x)在a ,b上有界. 然而實(shí)際還經(jīng)常遇到無(wú)限區(qū)間或無(wú)界函數(shù)的積分問(wèn)題.這兩類積