圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)知識點總結(jié)

1、雙曲線知識點雙曲線的定義：1. 第一定義：到兩個定點Fi與F2的距離之差的絕對值等于定長（V |FiF2| ）的點的軌跡 （|尸引|PF2| 2a FiFJ （ a為常數(shù)）這兩個定點叫雙曲線的焦點.要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2） 2av | FiF2|.當|MF| |MF|=2a時，曲線僅表示焦點F?所對應的一支；當|MF| |MF|= 2a時，曲線僅表示焦點Fi所對應的一支；當2a=| F1F2I時，軌跡是一直線上以Fi、F2為端點向外的兩條射線；當2a>| FiF2|時，動點軌跡不存在.<3 2)2. 第二定義：動點到一定點F的距離與它到一條定直線I的距離之比是常數(shù)

2、e（e> 1）時，這個動點 的軌跡是雙曲線這定點叫做雙曲線的焦點，定直線I叫做雙曲線的準線雙曲線的標準方程:2 2話冷1(a>0, b>°)(焦點在X軸上)；2 y 2 ab21 (a>0, b>0)(焦點在y軸上);1.如果x2項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y2.軸上.a不一定大于b.2 2與雙曲線冷 為1共焦點的雙曲線系方程是a ba23.2雙曲線方程也可設(shè)為：-m2y1(m n 0)n2例題：已知雙曲線C和橢圓162臺1有相同的焦點,且過P(3, 4)點，求雙曲線C的軌跡方程。點與雙曲線的位置關(guān)系，直線與雙曲線的位

3、置關(guān)系:1點與雙曲線：點Pgy。)在雙曲線2 x 22y .21(a0,b0)的內(nèi)部2x022y0 1.2abab2222點Pgy。)在雙曲線x2y_.21(a0,b0)的外部X。2y0 1.2abab2222點P( x0, y°)在雙曲線x2y_.21(a0,b0)上智直=1= 2=1abab2直線與雙曲線：(代數(shù)法)設(shè)直線l: y kx m，雙曲線2x22y1(a0,b0)聯(lián)立解得ab 2 2 2 2 24a b (m b a k )(b2 a2k2)x22 a2mkxa2m2a2b201) m 0時，-k -直線與雙曲線交于兩點(左支一個點右支一個點)；a ak -，kb，或k

4、不存在時直線與雙曲線沒有交點；aa2) m 0 時，k存在時，若b2 a2k20Kk -,直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；a22. 2 2 2 2 2, 2 2 22.2.若 b a k 0，( 2a mk) 4(b a k )( a m a b )0時，m2 b2 a2k20，直線與雙曲線相交于兩點；0時，m2 b2 a2k2 0 ,直線與雙曲線相離，沒有交點；2 .20時m2 b2 a2k2 0， k2 m2直線與雙曲線有一個交點；a若k不存在，a m a時，直線與雙曲線沒有交點； m a或m a直線與雙曲線相交于兩點；3. 過定點的直線與雙曲線的位置關(guān)系：2 2設(shè)直線 1

5、 ： y kx m 過定點 P(x0, y0)，雙曲線一21(a 0,b 0)a b1).當點P(x°,y°)在雙曲線內(nèi)部時：-k -，直線與雙曲線兩支各有一個交點；a ak -，直線與雙曲線漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點；ak -或k-或k不存在時直線與雙曲線的一支有兩個交點；aa2).當點P(x0,y0)在雙曲線上時：k -或k，直線與雙曲線只交于點P(x0,y°)；aay。-k -直線與雙曲線交于兩點(左支一個點右支一個點)；a ak舟0 ( y0 0 )或k廠0( y0 0 )或k或k不存在,ay。a a y。a直線與雙曲線在一支上有兩個交點；當y 0

6、時，Kk 一或k不存在，直線與雙曲線只交于點 P(X0,y°)；ak -或k-時直線與雙曲線的一支有兩個交點；aab k -直線與雙曲線交于兩點(左支一個點右支一個點)；a a3) .當點P(X0,y。)在雙曲線外部時：當P 0,0時，-k -，直線與雙曲線兩支各有一個交點；a ak -或k b或k不存在，直線與雙曲線沒有交點；a a當點m 0時，k2b時，過點P(X0, y°)的直線與雙曲線相切k b時，直線與雙曲線只交于一點；a幾何法：直線與漸近線的位置關(guān)系2例:過點P(0,3)的直線I和雙曲線C : x2 1，僅有一個公共點，求直線I的方4四、程。雙曲線與漸近線的關(guān)系

7、:1.若雙曲線方程為2.3.2 ab2 X2y2 ab22yx22 ab22y2 X2 ab2ybX a2 X2y2 ab2漸近線方程:0若雙曲線方程為1漸近線方程:x若漸近線方程為a雙曲線可設(shè)為2 x2y0y1(a0,b0)(a>0, b>0)0.24. 若雙曲線與篤a2 y b21有公共漸近線五、1.2.3.六、則雙曲線的方程可設(shè)為上)雙曲線與切線方程:2 X2 a2 y b2(0 ,焦點在X軸上,0，焦點在y軸27 1(a 0, b 0)上一點P(x0, y0)處的切線方程是0_bay0y 1孑1.2 2過雙曲線 篤 氣1(a 0,b 0)外一點P(x°,y

8、6;)所引兩條切線的切點弦方程是a bX0X2aycy 1 b2 1.X2雙曲線孑b吿1(a 0,b 0)與直線Ax By C 0相切的條件是A2a2 B2b2 c2.雙曲線的性質(zhì):標準方程(焦點在x軸)標準方程(焦點在y軸)雙曲線定義范圍對稱軸對稱中心焦占坐八 、八、一I-標頂點坐 標離心率準線方 程頂點到 準線的 距離2 y2 ab21(a0,b0)第一定義：平面內(nèi)與兩個定點 Fi, F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于 點的軌跡叫雙曲線。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫焦距。M呼| |MF2| 2a 2a |吋2|1XF2/XkFi X第一疋義：平面內(nèi)與一個疋點 動點的軌跡是雙曲

9、線。定點F 叫 e (e 1)叫做雙曲線的離心率。f和一條定直線I的距離的比是常數(shù)e，當e 1時， H做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)PyP IKJF2X a， y Ry a， x Rx軸，y軸；實軸長為2a,虛軸長為2b原點 0(0,0)£( c,0) F2(c,0)斤(0, c)F2(0,c)焦點在實軸上，c Ja2 b2 ;焦距：|FiF 2c(a,0)( a,0)(0, a,) (0，a)e C(e 1)，c22 b2，e越大則雙曲線開口的開闊度越大a2 準線垂直于實軸且在兩頂點的內(nèi)側(cè)；兩準線間的距離：絲C頂點A ( A )到準線li ( I2 )的距離為a弦長公

10、式:若直線AB. (xi X2)2 (yi y2)2AB坐標,若yi,y2分別為A B的縱則.k2_t 2 頂點A ( A2 )到準線12 ( li)的距離為L ac焦占至U 八、八、亠J準線的 距離22焦點Fi( F2)到準線ii( 12)的距離為c丄c c2焦點Fi ( F2)到準線l2 ( li )的距離為匕cc漸近線方程b (虛) y -x () a實b(虛)x -y (=) a實共漸近 線的雙 曲線系 方程2 2k (k 0)ab2 2T 2k ( k 0)ab直線和 雙曲線 的位置2 2雙曲線篤與i與直線y kx b的位置關(guān)系：ab22x y i利用a2 b2'轉(zhuǎn)化為一元二

11、次方程用判別式確定。y kx b二次方程二次項系數(shù)為零直線與漸近線平行。相父弦 AB的弦長 |AB| Ji k2J(Xi x2)2 4xix2通徑：AB| y2 yi|過雙曲 線上一 點的切 線弩呼i或利用導數(shù)abay ：2x i或利用導數(shù)七、y kxb與圓錐曲線相交于兩點A、B,且Xi,X2分別為A、B的橫坐標，則2b 2通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于A B兩點，則弦長|AB|絲。a若弦AB所在直線方程設(shè)為x ky b，則AB1k2|y(y2。特別地，焦點弦的弦長的計算是將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解,2 2例：直線y x 1與雙曲線1相交于A, B兩點

12、，貝U AB =23八、焦半徑公式：2 2雙曲線 篤 篤 1 (a>0, b>0)上有一動點M(x0,y0)a b當 M(xo,y。)在左支上時MFj exo a,|MF2| exo a當 M(xo,y。)在右支上時 | MF! | exo a, IMF2I exo a注：焦半徑公式是關(guān)于X。的一次函數(shù)，具有單調(diào)性，當 M(Xo,y。)在左支端點時IMFj c a ,IMF2I c a，當 M(xo,y。)在左支端點時 | MF! | c a , | MF2 | c a九、等軸雙曲線:2x2 a貝U:2y21 (a>0, b>0)當a b時稱雙曲線為等軸雙曲線;b21.

13、 a b ；2. 離心率e 2 ；3. 兩漸近線互相垂直，分別為y= x ；4. 等軸雙曲線的方程x2 y2，0 ；5. 等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項。 十、共軛雙曲線：1. 定義：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共 軛雙曲線，通常稱它們互為共軛雙曲線.2. 方程：3. 性質(zhì)：共軛雙曲線有共同的漸近線；共軛雙曲線的四個焦點共圓.2 2x - y_TT -2a b它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1。1 (a>0;b>0)的焦點為F1與F2，且p為曲線上任意一點,貝U PF1F2的面積Sb2cot焦點三角形面積公式：S f,pf

14、2 b2 cot ,(F1PF2)1 2 2高二數(shù)學橢圓知識點1、 橢圓的第一定義：平面內(nèi)一個動點P到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(PFj |pfJ 2a F1F2),這個動點P的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢 圓的焦距.注意：若(PF1PF2F1F2)，則動點P的軌跡為線段F1F2 ；若(PF1PF2F1F2 )，則動點P的軌跡無圖形.2、橢圓的標準方程2 21).當焦點在x軸上時，橢圓的標準方程：與 1 (a b 0)，其中c2 a2 b2 ；a b2）當焦點在y軸上時，橢圓的標準方程:2 y 2 a22 23、橢圓： 篤 與 1 （a b 0）的簡單幾何性

15、質(zhì)a b2 2（1）對稱性：對于橢圓標準方程 冷爲 1 （a b 0）:是以x軸、y軸a b為對稱軸的軸對稱圖形，并且是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，這個對 稱中心稱為橢圓的中心。（2） 范圍：橢圓上所有的點都位于直線 x a和yb所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足|x| a，|y| b。A1 ( a, °)， A2 (a,0)，(3)頂點:2 2x ya2 b2橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。橢圓1 （a b 0）與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為B1（0, b），B2（0,b）。線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，| AA2 | 2a,|

16、B1B2 | 2b。 a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。2c c（4）離心率：橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用e表示，記作e。因為2a a（a c 0），所以e的取值范圍是（0 e 1）。e越接近1，則c就越接近a，從而b . a2 c2越小， 因此橢圓越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0,從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a b時，c 0，這時兩個焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2 y2 a。2 2注意： 橢圓篤 與 1的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：a bb21(a b 0)，其中 c2 a2 b2 ；(PFj pF?2a)殲丨PF? |PM J |PM

17、2 I '2a2(PM1 I PM 2 I )；4、橢圓的令一個定義：至憔點的距離與到準線的距離的比為離心率的點所構(gòu)成的圖形。即上圖中有PFiPF2PMi5:橢圓PM 222x y2 T2a by2a標準方程x2-y 1 (a b 0)的區(qū)別和聯(lián)系b22 2篤爲1 (a b 0)a b22yx2,2ab圖形(a b 0)焦占八 '、八、R( c,0), F2(c,0)Fg c) , F2(0,c)焦距F1F22c1 F1F22c范圍丨x丨a，ybx b, | y a對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點(a,0) , (0, b)(0, a), ( b,0)軸長長軸長=2a，短軸長

18、=2b離心率ce -(0 e 1) a準線方程2axc2 a yc焦半徑PF1 a exg,PF2a ex0PF1a eyo, PF2 a ey°性質(zhì)拋物線知識點I上）。定點F叫做拋物線的焦點，定直線 I 2、方程、圖形、性質(zhì)標準方y(tǒng)2 2PX程（P 0）1、掌握的定義：平面內(nèi)與一定點F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（定點F不在定直線叫做拋物線的準線y22pxx22pyx22py(P0)(P0)(P0)統(tǒng)一方程焦占坐八 、八、L_-標p(£,0)2(-,0)2p(0=)2(0,-：2準線方pppp程x2x2y iy 2范圍x 0x 0y 0y 0對稱性x軸x軸

19、y軸y軸頂點(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)離心率e 1e 1e 1e 1焦半徑是()A.(2,2渥),(2,/2)B. (1,2),(1, - 2)C.(1, 2)D.(2,2J2)拋物線曲線幾何意義11、動點P到點F(2,0)的距離與它到直線 x 2 0的距離相等，則P的軌跡方程為18、已知圓的方程為x24，若拋物線過點 A( 1, 0) , B(1,0)且以圓的切線為準線，則拋物線焦點的軌跡方程為()2 2A. L Z 1(y340) B.x2x21(y0)C 32 21(x0) D.4420、在直角坐標系中，到點A.直線4(1 , 1)和直線x+2y=3距離相等的點的軌跡是(B

20、.拋物線C.圓y21(x0)3)D.雙曲線13、以拋物線y2 4x的焦點為圓心，且過坐標原點的圓的方程為 ()2 2A. x +y +2x=0 B.2 2x +y +x=0C.x2+y2-x=0 D.2 2x +y -2x=0114、點 P 到點 A( ,0)2,B(a,2)及到直線x1-的距離都相等，2如果這樣的點恰好只有一個，那么1值是()A.-B.-C . 1 或-1 1D.或一222 22 217、以拋物線y2 8x上的點M與定點A(6,0)為端點的線段 MA勺中點為P,求P點的軌跡方程.焦半徑24、 拋物線y2 2x上的兩點A、B到焦點的距離之和是 5，則線段AB中點到y(tǒng)軸的距離是

21、。225、 已知過拋物線y 4x的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點，AF 2 ,則BF .26、 設(shè)拋物線y2 8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是()A. 4B. 6C. 8D.1227、 若拋物線y2 x上的點P到直線x 1的距離為2,則點P到該拋物線焦點的距離為 。30、 從拋物線y2 4x上一點P引拋物線準線的垂線，垂足為M且|PM|=5，設(shè)拋物線的焦點為卩，則厶MPF的面積為() A . 5 B. 10 C. 20D. . 1531、拋物線x2 4y上一點A的縱坐標為4，則點A與拋物線焦點的距離為()A.2B.3C.4D. 535、已知拋物線y2=4x,過點F

22、(4,0)的直線與拋物線相交于A(X1,y 1),B(x 2,y 2)兩點，貝U y/+y22的最小值是.2 37、過拋物線y =4x的焦點作直線交拋物線于A(X1,y 1),B(x 2,y 2),如果X1+X2=6,那么|AB|=()A.8B.10C.6D.439、已知拋物線C : y28x的焦點為F ,準線與x軸的交點為K,點A在C上且AKJ2|AF，則AFK的面積為()過焦點弦(A) 4(B) 8(C) 16(D) 3245、過拋物線y 2 x的焦點作一條直線與拋物線交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于3,則這樣的直46、47、50、()A.有且只有一條 B過拋物線y ax2(a 0)的

23、焦點mn 詠十則等于m n設(shè)拋物線a342過拋物線y則此拋物線方程為51、過拋物線y2.有且只有兩條有無窮多條D)A.F作一直線交拋物線于A、B兩點，若線段AF、BF的長分別為m、1B.2a丄C.4a2aD.-42x與過其焦點的直線交于A, B兩點,uuu uuuOA?OB的值(2px(p)A.c30)的焦點F且傾斜角為60°的直線2 2 2y 3xb. y 6x c . y交拋物線于A、B兩點，若 |AF |3 ,y2 2x2px (p 0)的焦點F作直線l ,交拋物線于A,B兩點，交其準線于C 點.若uuu uuuCB 3BF ,則直線I的斜率為52、已知以F為焦點的拋物線y2uur4x上的兩點A、B滿足AFuju3FB ,則弦AB的中點到準線的距離為最值問題54、已知拋物線y24x,焦點為F, A(2,2),P為拋物線上的點，則PA PF的最小值為 25